第21章 一元二次方程(限时训练)-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(人教版)

本章综合提升 【本章知识归纳】 解：)号 必然不发生不发生可能性10大于0且 (2)画树状图如图所示： 开始 小于1可能 。较少两步两个两步以上 两个以上无限可能 【思想方法归纳】 【例1】 3 思路分析：(1)用红球的个数除以球的总个数即可； (2)设取走了x个白球，根据概率公式列出算式，求出 x的值即可得出答案 共有12种等可能的结果，其中抽到的2个实数进行 相应的运算后结果是无理数的有：①②⑤，①③④， 解：1号 ①③⑤，②①⑤，②③④，②③⑤.③①④，③①⑤，③ ②④，③②⑤，共10种， (2)设取走了x个白球，根据题意，得 ∴抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数 4十x5 126 的概率为吕名 解得x=6. 答：取走了6个白球 限时训练 【变式训练1】C 21.221.2.1配方法(1) 【例2】 解：(1)将方程2x2一8=0，转化为x=4. 思路分析：(1)用发芽种子数除以试验的种子数即可得 直接开平方，得x=士2. 出r,y的值： 即x1=2,x2=-2. (2)根据频率估计概率求解即可： (2)将方程(3.x-5)2+16=0, (3)用需要这种植物幼苗敏量除以种子能发芽的概率 移项，得(3x-5)2=一16. 可得答案. 一16<0，.原方程无解. (1)0.9550.952(2)0.95(3)327 (3)将方程2c-5)-16=0, 【变式训练2】2000 【通模拟】 转化为(x-5)2=32. 1.B23 3 直接开平方，得x一5=士4√2. 3. 即x1=5+4V2,.x2=5-42. 4.解：(1)列表如表： (4)对于(2x-1)=(√2-1) 第1次 直接开平方，得2x一1=士(W2-1), 第2次 解得-受。2 2 21.2.1配方法(2)】 2 解：(1)配方，得x2+6.x+9=-7+9,即(x+3)2=2. 直接开平方，得x十3=±√2.由此可得x+3=√2， ,共有12种等可能的结果，其中两个数的差为0的 或x十3=-√2，所以x1=-3十2，x2=-3-√2. 情况有3种，∴P(两个数的差为0)=12=4 31 (2)移项，得x2一2x=2023. 配方，得x3-2x十1=2023十1， (2)不公平 即(x-1)=2024. ·两个数的差为非负数的情况有9种，两个数的差 由此可得x-1=±2√506， 为非正数的情况有6种， 所以x1=1十2506，x2=1-2√506， P(甲获鞋)-品-号P(乙获鞋)-是- (3)移项，得-3x2十2x=一1.二次项系数化为1， :子>？P(甲获胜)>P(乙我鞋 .这样的规则不公平 (一专)广-言直接开平方，得红一号士子由 可将规则改为：两个数的差为正数时，甲获胜，否则， 乙获胜 此可得一-号一号一号所以= 此时P(甲获胜)=P(乙获胜)= 1 x2=-3 【通中考】 (4)方程可化为2.x-x=4.二次项系数化为1，得 5.A6.D7.98 -=2 40 配方，得x-2x+(任)=2+(）)广 = -b±B-4a0_1士1 2a 2 》-器 .x1=1,xg=0. 21.2.3因式分解法(1) 直接开平方，得x一 33 解：(1)因式分解，得(x一√2)(x十√2)=0. 4 4 于是得x一√2=0，或x十√2=0， 由此可得一零。 4 x1=√2，x4=一2 (2)因式分解，得x(x一3)=0. 或x-1锅 于是得x=0,或x-3=0,x1=0,x2=3. 4 4· (3)方程变形，得 所以x,=1十33 1-/33 (3.x-1)2-2(3.x-1)=0. 4 2= 4 因式分解，得(3x-1)(3x-1-2)=0. 21.2.2公式法(1) 于是得3.x-1=0,或3.x一3=0， 解：(1)x2-3.x-2=0, ∴.△=b-4ac=9+8=17, -号= “x=3±17 (4)方程变形，得 2 3.x(x-1)+2(.x-1)=0. 2=3+7 w,-317 因式分解，得(x-1)(3x+2)=0. 2· 于是得x-1=0,或3.x十2=0， (2)2x2-3.x=1, x1=1x2=-3 整理，得2.x2-3x一1=0， 21.2.3因式分解法(2) ∴.△=b2-4ac=9+8=17, 解：(1)移项，得3(x-4)-2(x一4)=0， 3土/173士√17 x= (x-4)3(x-4)-2]=0, 2×2 4 x-4=0,3(x-4)-2=0. 3-√17 3+/17 14 x1= 4x 4 x1=4,x:=3 (3)(x+2)(x十3)=-4， (2)开方，得x-1=士3， 整理，得x2+5x十10=0， 解得x1=4,x2=一2. △=b2-4ac=52-40=-15<0, (3)移项，得x2-4x-5=0, .原方程无实数根. (x-5)(x+1)=0,x-5=0,x+1=0, (4)(x+1)(x-1)-22x, 1=5,x2=-1. (4)整理，得x2+2x-2=0, 整理，得x2-2√2x-1=0, b2-4ac=22-4×1×(-2)=12, ∴.△=b2-4ac=8+4=12, -2士√1 r-22告厘-2士原， 2 ,x1=-1十√3，x2=-1-√3， 2 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 x1=√2-3，xg=√2+3 (课程标准变动为考查内容) 21.2.2公式法(2) L.解：x1,x:是一元二次方程x2十6x十3=0的两个 1.证明：a=m+1,b=一2m,c=n2+4. 实数根，x1十x:=-6,x1xg=3. △=4m2-4×(m2+1)(m2+4)=4m2-4m' (1)x1+x2-x1·xg=-6-3=-9. 20m-16=-4m'-16m2-16=-4(m2+2)2<0, (2)4+整-i+=x十x:)-2· 则方程(m2十1)x2一2mx+(m2+4)=0没有实 x1I1·xg 12 数根 (-6)2-2×3 =10. 2.解：(1)a=1,b=2m十1，c=m2-1. 3 △=b°-4ac=(2m+1)2-4(m2-1)=4m+5. 2.解：(1)，关于x的方程kx2+(2-3)x十k+1=0有 两个不等的实数根x1,x2,.△=(2k一3)一4×k× ,方程有两个不等的实数根，.△=4m十5>0. (k十1)=一16k十9>0，且k≠0， 部得m>-是 解得长<品且长≠0， (2)结合(1)，可知m的最小整数值为一1， (2)不存在，理由如下： .原方程化为x一x=0. ,方程kx+(2k一3)x十k+1=0有两个不等的实 a=1,b=-1,c=0. △=b-4ac=(-1)2-4×1×0=1>0. 数根x1,1十x,=-26-3 k 41 x号-x=0,即(x1十x2)(x1-x:)=0, 5x1十，=0.-2k-3=0. 25 20 舒得大一受受>品 .不存在实数k,使得x一x=0 21.3实际问题与一元二次方程(1)】 1.解：设应邀请x支球队参加比赛， 由题意，得x(x-1)=12. -5-4-3-2-1012345x -5 解得x1=4.x2=一3（舍去）. 2.解：(1)y=8.x2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶 答：应邀请4支球队参加比赛， 点为(0,0). 2.解：设十位上的数字为x,则个位上的数字为(x十2). 根据题意，得3.x(x十2)=10.x十(.x十2). 一。2的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点为 整理，得3x-5x-2=0. (0.0). 1 解得工=2x2=一3（不合题意，舍去） (2)函数y=8.x2有最小值0： x十2=4，.这个两位数为24 函数y=- gx有最大值0. 21.3实际问题与一元二次方程(2) 22.1.3二次函数y=a(x一h)2+k的图象和性质 1.解：(1)设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长 解：(1)由y=2(x-1)2-8, y4x=1 率为x, 得函数图象开口向上，对称轴 依题意，得1000(1+x)=1440, 为直线x=1,顶点为(1，一8)， 解得x1=0.2=20%x2=一2.2（不合题意，舍去） 函数图象如图所示. 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率 (2)由图象可知：当x>1时， 为20%. y随x的增大而增大. (2)设该市在2023年可以改造y个老旧小区， (3)抛物线y=2(x-1)2-8 依题意，得80×(1十15%)y≤1440×(1+20%)， 是由抛物线y=2.x2先向右 解得<器 平移1个单位长度，再向下平 移8个单位长度得到的. 又，y为整数，y的最大值为18. 22.1.4二次函数y=ar2十br十c的图象和性质(1) 即该市在2023年最多可以改造18个老旧小区. 2.解：设每盒定价为x元时，每天的销售利润可以达到 (含课程标准新增考查内容) 1 8000元. 1.解：10y=2x2-x+4= 由题意，得(.x-40)[700-20(.x-45)]=8000. ，2(x—1)￥+2- 解得x1=x:=60. (2)由(1)可得抛物线的顶点为1.）：对称轴为直 答：当每盒定价为60元时，每天的销售利润可以达 到8000元. 线x=1. 21.3实际问题与一元二次方程(3)】 (3)①图象开口向上，当x<1时，y随x增大而减 小：当x>1时，y随x增大而增大. L.解：设横彩条的宽度是xcm,竖彩条的宽度是3xcm, 则(30-3.x)(20-2.x)=20×30×(1-19%), ②抛物线有最小值子。 解得x1=1,x2=19(舍去). 2.解：(1)：y=-x+2.x+3=-(.x-1)2+4, 所以3x=3. .函数图象的顶点为(1,4). 答：竖彩条的宽度是3cm. 函数的图象如图所示. 2.解：设AB的长为x米，则BC的长为(100一4x)米.根 据题意，得x(100一4x)=400. 整理，得x2-25.x十100=0. 解得x1=20,x2=5. -12 当AB=20米时，BC=20米： 当AB=5米时，BC=80米>25米，故舍去 答：羊圈的边AB,BC的长都为20米. 4-3-22345 22.122.1.2二次函数y=ar2的图象和性质 1.解：(1)由已知，得a2-7=2且2-a≠0，解得a=士3. ,当x>0时，y随x的增大而增大， .2-a>0,即a<2. (2)根据图象可知： .d=一3. ①当一1<x<3时，函数值y为正数. (2)函数图象如图所示 ②当x=一2时，y=-5.当-2<x<2时，函数值y 42 的取值范围为一5<y≤4. 22.1.4二次函数y=ax2十bx十c 北G090和00代人得8二十格： 的图象和性质(2) (含课程标准新增考查内容)】 解得合-1： .y与x之间的函数关系式为y=-x十140. 1.解：(1)因为二次函数的图象顶点为P(一2,2)， 所以设该抛物线的函数解析式为y=a(x十2)+2. (2)·规定销售单价不低于进价，且不高于进价的 2倍， 将点A(0,一2)代入，得 .40≤x≤80 a×(0+2)2+2=-2, 设每月出售这种护眼灯所获的利润为元， 解得a=-1, 根据题意，得=(x一40)y=(x一40)（一x十 所以该抛物线的解析式为y=一(x十2)十2. 140)=-x°+180.x-5600=-(x-90)2+2500. (2)点B不在此函数图象上. ,一1<0，.当40≤x≤80时，w随x的增大而 将x=1代入函数解析式，得 增大， y=-(1+2)2+2=-7≠-6. ,.当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售 所以点B不在此函数图象上， 这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为 2.解：(1)由题意，将(2,4)和(-1,7)代人y=ax十 2400元. bx+4, 得山0气解得份二2 22.3 实际问题与二次函数(3) la-b+4=7, 解：(1)如图所示，以桥面所在的直线为x轴，最中间的 .抛物线的函数解析式为y=x2-2x+4, 钢管所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， (2)如图所示，作直线BC,交抛物线对称轴于点H, 装饰物 连接CD,BD. y=x-2.x+4=(x-1)+3. 主缆 .顶点D(1,3). 设直线BC的函数解析式为y=mx十， B(2,4).C(-1,7), 2十n解得6 设抛物线的函数解析式为y=a:x'+h, n=6. 把A(0,2),B(6,2.18)代人，得 ∴.直线BC的函数解析式为y=一x十6， 1 2.18二36+，解得：200'故抛物线的函数解 2=h, .抛物线对称轴与BC的交点H的坐标为(1,5)， ∴.DH=5-3=2, h=2, 1 .S△mD=S△DH十S△DHc= 2 ×2×(2+1)=3. 析武为y=200r+2, (2),每两根钢管相距6米，共有29根钢管， 1 六当x=6X15=90时y-200×90+2=42.5, 42.5十13=55.5（米）. 答：砼塔（含装饰物）相对于桥面的高度为55.5米。 23.1图形的旋转 22.2二次函数与一元二次方程 1.解：如图所示 解：(1)由图象可知抛物线顶点为(1,4)， ∴.设抛物线的函数解析式为y=a(x一1)2十4. ,抛物线与y轴交于点B(0,3), ∴.3=a十4，解得a=一1， ∴.抛物线的函数解析式为y=一(x一1)”+4. (2)①.x1=0,x2=2 2.解：(1)证明：：△AEF是由△ABC绕点A按逆时 ②x<-1或x>3 针方向旋转得到的，∴.AE=AF=AB=AC=4, 22.3实际问题与二次函数(1) ∠EAF=∠BAC=45°， 解：(1)由题意，得 .∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE,即 y=AB×AD=x(78+2-2x)=x(80-2.x)= ∠BAE=∠CAF」 -2x2+80.x. AB=AC. (2)由题意，得-2.x2十80x=800, 在△ABE和△ACF中，∠BAE=∠CAF, 解得x1=x2=20. AE=AF. 答：鸡舍的一边AB的长为20米. ∴.△ABE≌△ACF,∴.BE=CF. 22.3实际问题与二次函数(2) (2),四边形ABDF为菱形， 解：(1)设月销量y(单位：台)与销售单价x(单位：元) .DF=AF=4,DF∥AB, 之间满足的一次函数关系式为y=kx十b, .∠ACF=∠BAC=45°， 43建议用时10分钟，实际用时 分钟 21.221.2.1配方法(1)（答案P40) 用直接开平方法解下列方程： (1)2x2-8=0: (2)(3.x-5)2+16=0: （x-5)2-16=0: (3)2 (4)(2x-1)2=(2-1)2. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 21.2.1配方法(2)（答案P40) 解下列方程： (1)x2+6x=-7: (2)x2-2.x-2023=0: (3)-3.x2+2x+1=0: (4)(x+1)(2.x-3)=1. 一优学谢·演时遍 建议用时10分钟，实际用时 分钟 21.2.2公式法(1)（答案P41) 用公式法解下列方程： (1).x2-3.x-2=0: (2)2.x2-3.x=1: (3)(x+2)(.x+3)=-4; (4)(x+1)(x-1)=2√2x. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 21.2.2公式法(2)（答案P41) 1.求证：关于x的方程(m2+1)x2一2m.x+(m2+4)=0没有实数根. 2.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x十m2-1=0. (1)当m为何值时，方程有两个不等的实数根？ (2)在(1)的结论下，若取最小整数，求此时方程的两个根. 《2》 九年围上带-数学则 建议用时10分钟，实际用时 分钟 21.2.3因式分解法(1)（答案P41) 解下列方程： (1)x2-2=0: (2)x2-3.x=0: (3)(1-3x)2=2(3.x-1): (4)3.x(x-1)=2-2x. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 21.2.3因式分解法(2)（答案P41) 运算能力》请选择适当的方法解下列方程： (1)3(x-4)=2(x-4): (2)(x-1)2=9: 1 (3)x2-5=4x: (4)2 2+x=1. 一优学谢·演时遍 3》 建议用时10分钟，实际用时 分钟 “21.2.4一元二次方程的根与系数的关系（答案P41) (课程标准变动为考查内容) 1.已知x1·x2是一元二次方程x2+6.x十3=0的两个实数根，求下列代数式的值： (1)x1十x2一x1·x2 (2)1+2 T2 TI 2.推理能力已知关于x的方程kx2十(2k一3)x十k十1=0有两个不等的实数根x1,x2. (1)求k的取值范围， (2)是否存在实数k,使得x一x=0?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 21.3实际问题与一元二次方程(1)（答案P42) 1.某中学要组织一次篮球赛，赛制为双循环形式（每两队之间赛两场），计划安排12场比赛，应 邀请多少支球队参加比赛？ 2.有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积 的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数： 《4》 九年段上册数学-划 建议用时10分钟，实际用时分钟 21.3实际问题与一元二次方程(2)（答案P42) 1.应用意识)建设美丽城市，改造老旧小区.某市2020年投人资金1000万元，2022年投入资 金1440万元，现假定每年投人资金的增长率相同. (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率. (2)2022年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2023年为提高老旧小区品质，每个小 区改造费用增加15%.如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2023年最多可以改造多 少个老旧小区. 2.模型观念》为满足市场需求，某超市在“端午节”前夕购进一种品牌粽子，每盒进价是40元， 超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售发现：当售价定为每盒45元时，每天可以 卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒.当每盒定价为多少元时，每天的销 售利润可以达到8000元？ 建议用时10分钟，实际用时 分钟 21.3实际问题与一元二次方程(3)（答案P42) 1.几何直观》如图所示，要设计一幅宽20cm、长30cm的矩形图案，其中有两横彩条、一竖彩 条，横、竖彩条的宽度比为1：3.若要使彩条所占面积是图案面积的19%，求竖彩条的宽度. 2.如图所示，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米 的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边AB,BC的长各为多少米 D 一优学咖·演时遍 5