22.1.4 第2课时用待定系数法求二次函数的解析式-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(人教版)

第2课时用待定系数法求二次函数的解析式（答案P11) 通基曲 C.y=- 3(x+3)2-1 知识点1用“一般式”求二次函数的解析式 D.y=-x2+6x-12 1.已知二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)中自变 4.(2023·广东广州越秀区月考)已知二次函数 量x和函数值y的部分对应值如下表所示： 图象经过点A(1,3),其对称轴为直线x=2, 函数的最大值为5. 0 2 2 (1)求此函数的解析式. -2 (2)当y随x的增大而减小时，求x的取值 4 4 范围。 则该二次函数的解析式为 2.几何直观如图所示，抛物线y=x2+bx+c 与x轴交于点A(一1,0)，B(4,0),与y轴交 于点C (1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出 顶点P的坐标， (2)求△BCP的面积. 知识点3用“交点式”求二次函数解析式 5.二次函数的图象如图所示，根据图象可知，抛 物线的函数解析式可能是() A.y=x2-x-2 2x2+1 B.y=- x1 x21 Cy=-2-2+1 1 D.y=-x2+x+2 6.已知抛物线与x轴交于点A(一3,0)，对称轴 是直线x=1,且过点(2,5)，求抛物线的函数 知识点2用“顶点式”求二次函数解析式 解析式 3.(2023·湖北荆州沙市区期中)一个二次函数 的图象的顶点坐标是(3，一1)，与y轴的交点 是(0，一4)，这个二次函数的解析式是( Ay7x2-2x+4】 r2+2-4 B.y=-3 41 伏学速课时m 互对顶点在哪条坐标轴上不明确，没有 平分∠CAO,则此抛物线的函数解析 分类讨论而出错 式是 7.若抛物线y=x2一kx十k一1的顶点在坐标轴 11.已知在二次函数y=x2+bx+c中，函数值 上，则k= y与自变量x的部分对应值如下表所示： 道能力D032303022993023293 0 2 3 5 2 5 8.(2023·河南商丘梁园区期末)若所求的二次 (1)n= 函数图象与抛物线y=2x2一4x一1有相同的 (2)求该二次函数的解析式， 顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而 (3)若A(x1,y1),B(x1+1,y2)两点都在该 增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， 函数的图象上，试比较y1与y2的大小 则所求二次函数的解析式为( ) A.y=-x2+2x+4 B.y=-ax2-2ax-3(a>0) C.y=-2x2-4x-5 D.y=ax2-2ax+a-3(a<0) 9.几何直观◆如图所示，在平面直角坐标系中放 置Rt△ABC,∠ABC=90°，点A(3,4).现将 △ABC沿x轴的正方向无滑动翻转，依次得 通素养》99999999 到△A1B1C1,△AzB2C2,△A3B,C3,…,连 12.探究拓展如图所示，抛物线y=ax2+bx十 续翻转14次，则经过△A14B1,C14三顶点的 3与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点，交y 抛物线的函数解析式为( 轴于点C. (1)求抛物线的函数解析式， (2)抛物线上是否存在一点P,使得S△PBC= 合S,若存在，请求出点P的坐标：者不 OC)B(B AA C(C B 存在，请说明理由 A.y=- 3 5(x-51)(x-55) B.y=- 2x-51)(x-55) C.y=-3a-55z-60) D.y=- 12(x-55)(x-60) 10.如图所示，抛物线y= ax2+bx+4经过 点A(-3,0),点B在抛 物线上，CB∥x轴，且AB 一九年组上出数学更 42y=a-m)+m+6 把6，号）代人y=ax-2ax-2,解得a= 2 ,抛物线M经过点B, 1 六将点B的坐标0,6代入，得am+m十6=6， “该二次函数的解析式为y=2x-x一2， 当x=1时y=-号∴N1,-》 (3)a>0,开口向上，对称轴x=1, 3 ,m≠0，.am= 「4，即m= 3 当t+1<x1<t+2,t+3<x2<t+4时，均有 4a y1≠y2, 将烟=名代人y=aa-mr+是 m+6, .t+4<1,解得t<-3:或t+1>1,解得t>0. 综合所述，t的取值范围为t>0或t<一3. 整理，得y=a+名+6,6=号6=6 6y-3x+22区或y=-x+2-2巨 (3)CD∥x轴，点P在x轴上， 7.(1)5(2)-2≤y≤2 设pp,0,c(m,m+6 8.解：依题意可以设该二次函数的解析式为y=2(x一 1)2+b, ,点C,B分别平移至点P,D, 把(3,2)代入，得2=2(3-1)2+b,解得b=一6. 点B,点C向下平移的距离相同， 故该二次函数的解析式为y=2(x一1)2一6. ∴m+6=6-(侵m+6）, 9.(1)(-3,2)(2)x=-3(3)-32(4)x<-3 (5)-5<x<-1 解得m=一4. 10.C 3 3 由(2)知m= 4a…a= 11.B解析：，抛物线与x轴有两个交点， 16 .b2-4ac>0,故①正确. :抛物线N的函数解析式为y=号红一p识. ,抛物线开口向下，a<0. =1,.b>0 将点B的坐标(0,6)代人，得p=土4√2， .抛物线N的函数解析式为 ,抛物线交y轴于正半轴，c>0, 3 3 ..bc>0,故②错误. y=6x-42)或y=6x+42) 专题二二次函数系数与图象 =1,∴.2a十b=0,故③正确. 形状和对称轴的关系 ,当x=1时，y>0,.a十b十c>0,故④错误. 抛物线交x轴于点（一1,0），(3,0)， (含课程标准新增考查内容)】 .当一1<x<3时，y>0,故⑤错误. 1.B 2.解：(1)根据图表可知： 12A解折：名-受b=-30 二次函数y=ax十bx十c的图象过点(0，一2)， .3a十b=0,故A错误，特合题意. (1,-2), ,抛物线开口向上， 对称错为直线工-0生-名6=-2 ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大 (2)根据二次函数的对称性可知： :(号)关于时称轴的时特点为（经小 （一2)关于对称轴x=的对称点为3 7、5 2>2心y1>y,故B正确，不符合题意 即x=一2和x=3是关于x的方程ax2+bx十c=t ,图象过(-1,0)，∴.a-b十c=0,∴.c=-4a, 的两个根 .10a十c=6a>0,故C正确，不符合题意. 3.A ,(0,c)关于对称轴的对称点为(3，c), 解析：二次函数y=(x十a)(x-a-l), y≤c时，0≤x≤3，故D正确，不符合题意. 第2课时用待定系数法求二次函数的解析式 .该二次函数图象经过点（一a,0)和(a十1,0）， 1.y=x2+x-2 对称轴为直线x=二a十a十11 2.解：(1)抛物线y=x3十bx十c与x轴交于点 2 2 A(-1,0),B(4,0), 5.解：(1)该二次函数图象的对称轴是直线x= 2a=1. +0。解得6=二3： 一2a i6+4b+c=0: c=-4, ∴抛物线的函数解析式为y=x2一3x一4， (2)·该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 x=1,-1x5, P(侵》 ∴当x=5时y的值最大，即M6,号) (2)连接OP,如图所示. A(-1,0),B(4,0), 11 c0,-0P(-》 OD=0B+A,B,+A:D= 5 Saae=2×4x B 23, A7,0,B,(号号）.C,12,0) /5112 S△0P= 25_25 ×4×42' 设过A,B2,C2的抛物线的函数解析式为 2 y=a(x-7)(x-12). S△c0=2X4X4=8, k得号)R入y-aa--12,得 .S△CP=SAOPC+S△P-S△0c=3+ -8= 2 2 吕-（僧-停-，将得。- 3.B 过Ag,B2,C2的抛物线的函数解析式为 4.解：(1)设二次函数的解析式为y=a(x一2)2+5且 5 过点A(1,3),3=a+5,.a=-2, y=-12x-7)(x-12). ∴.该二次函数的解析式为y=一2(x一2)2+5. 将抛物线向右平移4×12=48个单位长度，得抛物 (2),a=-2<0,.抛物线开口向下. 线为y=-2x-5)(x-60). 5 ,对称轴为直线x=2, .当x>2时，y随x的增大而减小. 10y=++4 1 5.D 6.解：，抛物线与x轴交于点A(一3,0)，对称轴是直 11.解：(1)2 线x=1, (2)根据表格可以得到，点(0,5)与(4,5)是对称点， ∴.抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(5,0)， 设抛物线的函数解析式为y=a(x一5)·(x十3). 将(2,5)代人，得5=a·(2-5)×(2+3),解得 六两数图象的对称销是直线工-0生-2， 4=- 分∴抛物线的函数解析式为y=一号女一5)· =2,∴.b=-4a=-4. ,二次函数y=x2十bx十c的图象经过点(0,5)， a+90.即y=-号+号+5 .c=5,∴.二次函数的解析式为y=x2一4x十5= (x-2)2+1. 7.2或0解析：①当项点在x轴上时， 4×1×(k-1)-(-k)2 (3)A(z1y),B(x1十1，y2)两点都在该函数的 =0, 4×1 图象上，∴y1=x子一4x1十5，y2=（x1十1)2 整理，得2一4k十4=0，解得k=2 4(x1+1)+5,y2-y1=2x1-3. .3 一k ②当顶点在y轴上时，一2X1=0, ①当x1<2时，1> 解得k=0.综上所述，k的值为2或0. 8.D o当1-号时- 9.D解析：过点B2作B,D⊥x轴，垂足为D,如图 3 ③当x1>2时y1<y… 所示， 12.解：(1)将(-3,0)，(1,0)代入y=ax2+bx+3,得 8-0+3=0舞得合-2： a十b十3=0， ∴.抛物线的函数解析式为y=一x2-2x十3. (2)存在. A(-3,0),B(1,0),.AB=4. OC)B(B)A(A3 DC(C)B.￥ ,抛物线y=一x2-2x+3与y轴交于点C, ∠ABC=90°，点A(3,4),.OB=3,AB=4, 令x=0,得y=3,.C点坐标为(0,3)，OC=3, ∴.OA=√OB+AB2=√32+4=5. 1 :三角形有三条边，连续翻转3次是一个循环，14÷ Se-号AB.00-2×4X3=6, 3=4*…2, 1 △ABC4与△A,BzC2在平面直角坐标系中 SAPIC-2SAAWC-3. 的放置方式相同，一个周期长为3十4十5=12. 作PE∥x轴交直线BC于点E,如图所示 △A2B,Cg是直角三角形，△AzB,C2的面积为 设直线BC的函数解析式为y= kx十m,将B,C两点的坐标代 A,CB,D=2A:B·B,C 1 人，得 5B,D=3X4,B,D=1 十m=0解得，3 3=m, {m=3, ∴.直线BC的函数解析式为 A,D=A,-B,D=-(得-9 y=-3x+3. 12 设点P的横坐标为t,则P(t,一t2一21十3). 当-3x+3=-2-20+3时，解得x-+24 是（合，） 31 18.解：(1)y=x2-6x十8=x2-6x十9-1=(x 则E告2，--2+3， 3)2-1. (2)图象的开口向上，对称轴是直线x=3,顶点坐 PE-号 标是(3，一1). 3 (3)当x>3时，y随x的增大而增大；当x<3时， 1-tX3=3, y随x增大而减小. SAPIC=2X3 19.解：(1)把(2，一4)代人y=ax2,得-4=4a, 解得t=一2或1=3，∴.P点的纵坐标为 解得a=-1. -(-2)2-2×(-2)+3=3或-32-2×3 (2)设点C的横坐标为m. +3=-12, ,四边形CDFE为正方形， ∴.点P的坐标为(-2,3)或(3，一12). ∴.CD=CE=2m, 阶段检测二（22.1) .点E的坐标为(m,一4十2m). 1.A2.A3.A4.C5.C6.B7.D8.B9.C a=-1,y=-x2, 10.C解析：，抛物线开口向上，∴a>0. ∴.-m2=-4十2m, :对称轴x=一2a b 解得m=-1一√5（舍）或m=一1+√5. =-1<0, .CD=2m=-2+2√5. ∴a,b同号，而a>0,b>0. ∴.正方形CDFE的周长为4CD=-8+85. ,抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， 20.解：(1)把(1，一2)和(0，一5)代人y=x2+bx+c, .c<0,.abc<0,因此①正确： 由于抛物线过，点(1,0)，∴.a十b十c=0, 得1十6十c=一2解得6=2， c=-5, 1c=-5, 又“对称轴为x=-1,即一20=一1， .二次函数的解析式为y=x2十2x一5. :y=x2+2x-5=(x+ ∴.b=2a,∴a+2a十c=0,即3a十c=0. 1)2-6, a>0,∴.2a十c<0,故②正确. ·图象的顶点坐标为 由图象可知，抛物线与工轴的一个交点坐标为 (-1,-6). (1,0),而对称轴为x=一1，由对称性可知， (2)如图所示， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为（一3,0）， :点A(1,一2)关于对称轴直 ∴.9a-3b十c=0,故③正确. 线x=一1的对称点为 由二次函数的最小值可知， C(-3,-2),.当y≤-2时， 当x=一1时，y最*=a一b十c; x的取值范围是一3≤x≤1. 当x=m时，y=am2十bm十c, ∴，am2+bm十c≥a-b+c, 21.解：(1)设二次函数的解析式为y=a(x-1)+ 3 即am2十bm一a十b≥0，故④不正确. 1 综上所迷，正确的结论有①②③，共3个 图象过点A(2,1).a十了 =1,即a= 3 1.<2.013.-214-g 15.1 “该二次函数的解析式为y=一1+子 1 16.①③④解析：，函数y=ax+bx十c(a≠0)经过 (2)点B在这个二次函数的图象上.理由如下： (0,3),(1,1),(3,3), c=3, a=1, .a+b+c=1,解得b=-3, 9a+3b+c=3, c=3, y=x2-3x+3,故①正确. 函数y=kx的图象经过(1,1)， D O ∴.k=1,y=x,故②错误. 如图所示，过点A,B分别作AC⊥x轴，BD⊥ :当x=3时y=3,且a=1, x轴，垂足分别为C,D. .3=9+3b+c, 在△AOC与△OBD中， .36十c十6=0，故③正确. ∠AOC=∠OBD=90°-∠BOD, 根据图象，当1<x<3时，x2十bz十c<x, ∠ACO=∠ODB=90°，OA=OB, ,x2+(b一1)x十c<0,故④正确」 .△AOC≌△OBD(AAS), 17.解：1)由题意，得m二m2解得m=-1. ..DO=AC=1,BD=OC=2. m一2≠0. (2),m=-1, 六点B(-1,2).当x=-1时，y=3× y=-3r+3江+6=--2}°+ (一1-1)+名=2，“点B在这个二次函数的图 3 象上， 六此抛物线的对称轴是直线x=是，顶点2.解：)：抛物线)=ax十红十c经过坐标原点和 13