3.2 第1课时确定圆的条件-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(青岛版)

3.2确定圆的条件 第1课时 确定圆的条件（答案P18) 通基础 稀固忽视三角形外心的位置导致丢解 6.在△ABC中，AB=AC,点A,B,C在以点O 知识点1确定圆的条件 为圆心的同一个圆上，圆心O到BC的距离为 1.抽象能力》下列条件可以画出唯一一个圆的 3cm,圆的半径为7cm,求腰长AB. 是() A.已知圆心 B.已知半径 C.已知不在同一条直线上的三点 D.已知直径 2.(2023·潍坊诸城月考)小明 不慎把家里的圆形玻璃打碎 了，其中四块碎片如图所示 为配成与原来大小一样的圆 形玻璃，小明带到商店去的玻璃碎片应该 是() 通能力》292>9>29>99229 A.第①块 B.第②块 7.小英家的圆形镜子被打碎 C.第③块 D.第④块 了，她拿了如图所示（网格图 3.如图所示，矩形ABCD的对角线AC与BD相 中的每个小正方形边长为1) 交于点O,试说明点B,C,D都在以O为圆心、 的一块碎片到玻璃店，配制 AO的长为半径的圆上 成形状、大小与原来一致的 镜面，则这个镜面的半径是( A.2 B.5 C.2√2 D.3 8.如图所示，点A,B,C在同 D 一条直线上，点D在直线 知识点2三角形的外接圆 A B AB外，过这四点中的任意 4.在下列命题中，真命题有( 3个点，能画出的圆有() ①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 有一个内接三角形，并且只有一个内接三角 9.几何直观》如图所示，在平面直角坐标系中， 形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并 点A,B,C都在格点上，过A,B,C三点作一 且只有一个外接圆：④三角形的外心到三角形 圆弧，则圆心的坐标是 三个顶点的距离相等， A.4个B.3个C.2个 D.1个 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm,BC= 2 8cm,则它的外心与顶点C的距离为() A.5 cm B.6 cm C.7 em D.8 cm 0 12345x 65 优十学塞课时通 10.运算能力如图所示，在△ABC中，∠A=12.应用意识如图所示，残缺的圆形轮片上，弦 60°，BC=5cm.求能够将△ABC完全覆盖的 AB的垂直平分线交圆弧于点C,交弦AB于 最小圆形纸片的直径， 点D,已知AB=24cm,CD=8cm. (1)求作此残片所在的圆.（不写作法，保留作 图痕迹) (2)求此残片所在圆的半径. 通素养》9993999999999999999999 13.探究拓展》我们将能完全覆盖某平面图形的 最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.例如 11.推理能力》如图所示，菱形ABCD的对角线 线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直 AC和BD相交于点O.求证：菱形ABCD各 径的圆. 边中点M,N,P,Q在以点O为圆心的同一 (1)请分别作出如图①②所示两个三角形的 个圆上 最小覆盖圆.（要求用尺规作图，保留作图痕 迹，不写作法) (2)三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出 你所得到的结论.（不要求证明） 100 一九年里上所数学0 66∴.∠AON=∠A'ON=60 :点B是AN的中点， .∠BON=30°.∴.∠BOA'=∠A'ON+ ∠BON=90°.，OB=OA'=1, BA'=2, 即AP+BP的最小值为√2」 15.解：(1)证明：如图①所示，过点O作OM⊥AB, ② ON⊥CD,垂足分别为M,N. 如图②所示，若∠A是钝角，则△ABC是饨角三 角形， :PO平分∠EPF,.OM=ON..AB=CD. 和图①解法一样，可求BD=2√I0cm,.AD=7 ..AB=CD. 3=4cm, ∴.AB=√AD+BD=214cm. 综上所述，腰长AB=2√35cm或2√14cm 7.B8.C9.(2,1) 10.解：如图所示，设圆的圆心为点 O,能够将△ABC完全覆盖的 2 最小圆形纸片是△ABC的外 (2)成立.证明：如图②所示，当顶点P在圆内时， 接圆，连接OB,)C,连接AO 作OG⊥AB于点G,OH⊥CD于点H,连接OB, 并延长，交BC于点E,由三角 OD.:OG⊥AB,OH⊥CD且∠EPO=∠FPO, 形外角的性质易证∠BOE ∴.OG=OH,∴.AB=CD,∴.AB=CD,即顶点P在 2∠BAO,∠COE=2∠CA0, 圆内时，结论成立 .∴.∠BOC=2∠BAO十 第3课时弧的度数 2∠CAO=2∠BAC=120°.作OD⊥BC于点D,则 1.A2.18 3.解：如图所示，连接OA,OB,作 ∠ODB=90°，∠BOD=60,BD=?cm OC⊥AB,垂足为C. .∠OBD=30°， 由题意知，劣弧AB的度数 为120°， ∴∠AOB=120°.，OA=OB, 0Bm0,得0B-5 2 cm,20B=103 3 cm. ..∠0AB=∠BA=30 即能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径 又OC⊥AB,(OC=3. ∴.OA=20C=6.∴.⊙0的直径为12. 是03 3 cm. 4.C5.C6.A7.40°8.63 11.证明：连接OP,OQ,OM,ON 9.解：，CM⊥AB,DN⊥AB, ,四边形ABCD是菱形， '.∠CMO=∠DNO=90 ∴.AC⊥BD,垂足为O,且AB=BC=CD=DA. M,N分别是OA,OB的中点， M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA的中点， .OM=ON.又OC=OD, ,.Rt△OCM≌Rt△ODN(HL). ∴OM=ON=OP=0Q-2AB. ∴.∠COA=∠DOB. .M,N.P,Q四点在以点O为圆心、OM的长为半径 AC的度数为60°，.∠AOC=60°. 的圆上. .∠BOD=60 12.解：(1)如图所示，⊙O就是 3.2确定圆的条件 此残片所在的圆. (2)连接OA,设OA=OC= 第1课时确定圆的条件 r cm. 1.C2.B ,CO⊥AB,AB=24cm,CD= 3.解：，四边形ABCD是矩形， 8 cm. ..OB=OC=OD=OA. ∴.AD=12cm,OD=(x .点B,C,D都在以O为圆心，AO的长为半径的 8)cm. 圆上. 在Rt△AOD中， 4.C5.A 由勾股定理，得OA2=AD十OD, 6.解：分圆心在三角形内和在三角形外两种情况讨论， 即x3=122+(x-8)°， 如图①所示，假若∠A是锐角，△ABC是锐角三 解得x=13, 角形， .此残片所在圆的半径为13cm. 连接OB,过点A作AD⊥BC于点D 13.解：(1)如图①②所示. 则OD=3cm,OA=OB=7cm.∴.AD=10cm, 在R1△OBD中 BD=√OB-OD=2/10cm, 1009 在Rt△ABD中 AB=√AD+BD=2√35cm; 18 (2)锐角三角形（和直角三角形）的最小覆盖圆是其7.52.5°解析：设量角器的圆心为点O,连接OD, 外接圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为 0B,∠B0D=155°-50°=105°，，.∠BAD= 直径的圆。 1 第2课时反证法 2∠B0D=52.5. 1.A2D3.BC+.这五个数都小于号 B 5.解：a∥b 证明：假设直线a,b相交于点A, 则过A点有两条直线a,b都平行于直线c, 这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线 平行”相矛盾， 8.解：如图所示，连接OB.四边形ABCO是平行四 .假设是错误的， 边形， ..OC=AB. ∴.ab. 又，OA=OB=OC. 6.解：已知：∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角. ..OA=OB=AB. 求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角. .△AOB为等边三角形， 证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，不妨 ..∠BOA=60°. 设∠A=∠B=90°， :OF⊥AB,.∠BOF= 则∠A+∠B+∠C>180°， 这与“三角形内角和等于180°”相矛盾， ∠AOF= 2∠B0A=30°.由圆周 .假设不成立， .∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角 角定理，得∠BAF=号∠BOF=15 7.D8.A9.A10.B 9.B10.4 11.假设两数都小于6 11.60或120解析：如图所示，，弦BC垂直平分半 12.AC+BC2≠AB13.a≠0，b≠0 径OA,.OD:OB=12,.∠BOD=60°， 14.证明：假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为 .∠B0C=120°，.∠a=360°-120°=240°， 2n十1，另一个奇数为2p十1，(n,p为整数) .∠BEC=60°，∠BAC=120°，'.弦BC所对的圆 则(2+1)(2p+1)=2(2p十n+p)+1. 周角等于60°或120°， :无论n,p取何值，2(2np十n十p)十1都是奇数， 这与已知中“两个奇数的乘积为偶数”相矛盾，所以 假设不成立， .这两个整数中至少有一个是偶数。 15.证明：设AB,CD交于点P,连接OP,如图所示， 假设AB与CD能互相平分， 则CP=DP,AP=BP. ,AB,CD是⊙O内非直径的两弦， 12.C13.D1+.B15.90°16.217.40 .OP⊥AB,OPCD. 18.解：(1)证明：，∠ACB= ∠AOB,∠BAC= 1 这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直” 相矛盾，.假设不成立 ,AB与CD不能互相平分 2∠BOC,∠ACB=2∠BAC, .∠AOB=2∠BOC. (2)过点O作半径OD⊥AB于点E,连接DB,如 图所示， ..AE=BE. :∠A0B=2∠B0C,∠DOB=号∠AOB. ,.∠DOB=∠BOC 16.证明：假设存在三个实数x,y,元同时满足三个不 ..BD=BC. 等式：|x|<y-x|,y|<lz-x,|:|<|x .AB=4,BC=J5,..BE=2,DB=5 y 在R1△BDE中，∠DEB=90°， 将它们两边分别平方，得x<(y一x)2,y2<( x),z2<(x-y)2. ∴.DE=√/BD-BE=1. 移项，得x-(y-g)<0,y2-(x-x)<0,2 在Rt△BOE中，∠OEB=90°， (x-y)<0, 0B=(OB-1+2,解得OB=号， 即(x+y-x)(x-y+x)<0, (y+2-x)(y-z+x)<0, 即00的半径是号 (:+x-y)(z-x+y)<0. .[(x-y+)(x+y-)(y+-x)]<0,这与 “任何实数的平方都是非负数”相矛盾，故假设不成 立，原命题成立. 3.3圆周角 第1课时圆周角的定理及推论1 1.D2.C3.B4.C5.C6.D 19