3.1 第1课时垂径定理-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(青岛版)

..AD=- PD an68.2≈ m,BE-AD=2z ∠A,∠AEO=∠AFC,∴.△AEO∽△AFC, m, .PE=PD+DE=(x+520)m, C2降g是Pc-:CDLAB,. 53 cE=Bc-BE-(20-2）m 48 .CD=2CF=- =9.6. 5 在Rt△PCE中，tanC=tan56.31°= PE 13.61014.5m CE 15.70或170解析：如图所示，OE⊥CD,OF⊥AB. x+520 ≈1.50，解得x=800, 由题意AB=100cm,CD=240cm, 1200-2 根据垂径定理，得 ∴.PD=800m, DE-2CD-120 cm,BF-2AB-50 cm. ..PE=PD+DE=800+520=1320(m). 直径为260cm,半径OD=OB=130cm. 答：明珠大剧院到龙堤BC的距离约为1320m. 在Rt△OED中，OE2=OD2-DE2=1302- 北 168.29 1202=2500, 东一 ∴.OE=50cm.在Rt△OFB中， 0F2=0B2-BF2=1302-502=14400, 56.3 ∴.OF=120cm. ①当CD在圆心下方时， EF=OF-OE=120-50=70(cm): ②当CD在圆心上方时， 第3章对圆的进一步认识 EF=OF+OE=120+50=170(cm). 3.1圆的对称性 综上所述，水位上升70cm或170cm. 第1课时垂径定理 (课程标准变动内容) 1.C2.D3.B4.B 5.36.26 D 7,证明：0DLAB于点D,∴AD-号AB. 16.解：(1)过点O作OD⊥AB,垂足为D,如图所示. E是AC的中点，∴.OE⊥AC,AE= 2AC. AB-8.AD-BD-2AB-4. ∴.∠ADO=∠AEO=90° 4 :AB⊥AC,.∠DAE=90°， 在Rt△OBD中，cos∠ABC= 5 ,.四边形ADOE是矩形」 BD .AB=AC,..AD=AE, ∴OB= 4=5,⊙0的半径为5. .矩形ADOE是正方形. cos∠ABC- 8.C解析：过O点作OE⊥AB于点E,交CD于点 F,连接OA,OC,如图所示.AB∥CD, (2)过点C作CE⊥AB,垂足为E,如图所示. OF LCD,AE-BE-AB-4 cm.CF- 0c=20B,0B=5BC=0B=1.5. DF-10 CD=3cm在R△OAE中，rOA=5cm, 0DLAB,0D/cE,÷98-0, AE=4cm,∴.OE=√/52-4=3(cm).在Rt△OCF 中，，OC=5cm,CF=3cm, 号证B=6, .AE=AB-BE=8-6=2. ∴.0F=5-32=4(cm). ①当点O在AB与CD之间时，如图①所示，EF= 在Rt△BCE中，CE=√/BC2-BE OF十OE=4+3=7(cm): √/7.52-6=4.5. ②当点O不在AB与CD之间时，如图②所示， EF=OF-OE=4-3=1(cm). 在Rt△ACE中，tan∠BAC=CE=4.5_9 AE 24 综上所述，EF的值为1cm或7cm ∠BAC的正切值为是 2 9.A10.A11.D 12.A解析：，OE⊥AC,AE=EC.,AB⊥CD, 17.解：如图所示，设圆弧所在圆的圆心为O,连接OA, .∠AFC=∠AEO=90°..OE=3,OA=OB=5, OA',设半径为x米， ∴.AE=√AO-OE2=4,∴.AC=8.,∠A= 则OA=OA'=OP=x米. 16 由垂径定理可知AM= BM,A'N=B'N. 当对称点为(1,0)时，直线AB为x=3 ,如图所 ,AB=60米， 示，线段A2Bg, .AM=30米，且OM OP-PM=(x-18)米. A:B:-2A.N. 则ON=3 在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2 OM2+AM2, 由勾股定理，得A,N-√OA,-ON- 4 即x2=(x-18)2+302,解得x=34, ∴.ON=OP-PN=34-4=30(米). 在Rt△A'ON中，由勾股定理，得A'N A:B. 2 √OA-ON=/34-30=16(米)， ∴.AB′=32米>30米，∴.不需要采取紧急措施. 综上所述，AB的长为或咨或雪。 18.解：(1)旋转一周用时120秒，.每秒旋转 第2课时圆心角、弧和弦之间的关系 360° 120=3 1.A2.33°3.A4.C 5.证明：(1)AB=CD, 当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时， ·AB=CD,即AD+AC-BC+AC, ∠AOB=360°-3°×95=75. ∴.AD=BC ,∠A0M=30°，∴∠BOM=75-30°=45. (2)如图所示，作BC⊥OM于点C,设OM与水平 (2)连接BD,如图所示.：AD=BC, 面交于点D,则OD⊥AD, ∴.AD=BC. 又：AB=CD,BD=DB, 在Rt△OAD中，∠AOD=30°，OA=2米， ∴.△ADB≌△CBD(SSS) .∠ABD=∠CDB,.DE=BE」 AD=0A=1米，0D=2-=5(米). 又，AB=CD,∴.AE=CE 6.B7.A8.C9.C 在Rt△OBC中，∠BOC=45°，OB=2米， 10.B解析：以点F为圆心，DE长为半径作孤，交 BC=OC2OB=2(米) DF于点G ∴FG=DE,∴∠GCH=∠ACB. .CD=OD-OC=√5-√2≈0.3（米）， GH⊥BF,∠GHC=90°， 即该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离约为 ∴.∠B=∠GHC=90°， 0.3米. ..△CGHn△CAB, 19.解：(1)C(0,0),C,(2,0) ..GH AB=CG:AC. (2)由垂径定理可知，弦AB的垂直平分线过圆 心0， :AC=√JAB+BC=√6+8=10 .GH:6=510,.GH=3. “点C(号，0)是弦AB的“关联点”， 11.312.51.5 .OC为弦AB的垂直平分线， 13.证明：如图所示，连接AC,BD,设∠1~∠6. :∠AOB-90°，OA=OB, ∴点C(2,0)关于直线AB的对称点为(-1,0)或 .∠4=∠5=45. (1,0). ,点C,D是AB的三等分点， .∠1=∠2=∠3=30. 当对称点为(-1,0)时，直线AB为x=一 ,如图 ,∠6=∠1+∠4， 所示，线段A1B1 ∴∠6=75° .OB=OD .∠ODB= 1 2 ×(180° 30)=75° ∠6=∠ODB.∴.BF=BD 同理AC=AE. .AC=CD=BD, 则OM=号A,B,=2A,M. ..AC=CD=BD...AE=BF=CD 14.解：(1)如图所示，过点A作 由勾股定理，得A,M=√OA,-OM=⑤ AA'⊥MN于点E,交⊙O 于点A',连接BA',交MN A:B,=⑤ 于点P,则点P即为所求， 2 (2)·点A是半圆上的一个 三等分点， 17第3章对圆的进一步认识 大单元建构 相离 切线的判定 直线与圆的 相切 切线的性质 垂径定理 轴对称性 位置关系 圆的 切线长定理 圆心角、孤、一 中心对称性 对称性 边相切 相交 弦的关系 三角形的 (定文 内切圆 不共线三点确定一个侧 丙心 确定圆 对圆的进 三角形的外接调 的条件 一步认识 弧长及扇形 狐长公式 (面积公式 推导公式 (定文 面积的计算 推论1 、定理 圆周角 性质 构造直角 推论2 推论 正多边形 三角形计算 推论3 与圆 有关的概念 推论4 正多边形的画法 研究正多边形的依据 本章核心素养 学科核心素养 具体内容 利用圆心角，弧，弦之间的关系进行有关的推理：利用反证法证明切线的性质定理：综合运用圆周 推理能力 角定理，切线的性质，切线的判定和三角形外心与内心的性质进行推理证明 运算能力 利用弧长公式和扇形面积公式求弧长和扇形面积及不规则图形或组合图形的面积 应用意识 利用尺规过不在同一直线上的三点作圆、修复圆 创新意识 探索利用尺规作正多边形的多种方法 从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，利用垂径定理，构造直角三角形的模型，利用解直角 模型观念 三角形解决简单的实际问题，培养学生解决实际问题的能力 一九洋验~上带数学00 58 3.1 圆的对称性 第1课时垂径定理（答案P16) (深程标准变动内容) 通基9292999099992992》 5.如图所示，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于 点D,连接OB.若⊙O的半径为5cm,BC的 知识点1·圆的对称性 长为8cm,则OD的长是 cm. 1.如图所示，其中是轴对称图形的有( ① 2 3 A.①②③ B.②③④ 6.数学文化》“圆材埋壁”是我国古代数学名著 C.①③④ D.①②④ 《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁 2.下列图形对称轴条数最多的是( 中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺 A.线段 B.正方形 问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就 C.正三角形 D.圆 是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥ CD,垂足为E,CE=1寸，AB=10寸，则直径 知识点2垂径定理及其应用 CD的长度为 寸 3.数学文化赵州桥是当今世界上建造最早，保 存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图所 示，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m,拱高约为 7m,则赵州桥主桥拱半径R约为( 7.如图所示，在⊙O中，相等的弦AB,AC互相 37m ■ 垂直，E是AC的中点，OD⊥AB于点D.求 证：四边形ADOE是正方形 0 A.20m B.28m C.35m D.40m 4.模型观念》如图所示，OA,OB,OC都是⊙O 的半径，AC,OB交于点D.若AD=CD=8, OD=6,则BD的长为( 辑解决平行弦问题时，忽视分类丢解 8.(2023·泰安岱岳区二模)已知⊙O的直径为 10cm,AB,CD是⊙O的两条弦，AB∥CD, AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的 距离为( )cm. A.5 B.4 A.1 B.7 C.3 D.2 C.1或7 D.3或4 59 优十学播课道一 13.如图所示，CD是⊙O的直径，AB是弦， CD⊥AB,若OB=10,AB=12,则AC的长 9.如图所示，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD,垂 为 足为E,若AB=12,BE=3,则四边形ACBD 的面积为( 第13题图 第14题图 A.363 B.243 14.新情境》如图所示是一个半圆形桥洞截面示 C.18/3 D.723 意图，圆心为O,直径AB是河底线，弦CD 10.（2023·弹坊诸城月考)如图所示，在半圆 是水位线，CD∥AB,且CD=24m,OE⊥CD ACB中，AB=6,将半圆ACB沿弦BC所在 的直线折叠，若弧BC恰好过圆心O,则BC 于点E.已测得in∠DOE-是则OE的长度 的长是() 为 15.应用意识》如图所示，一下水管道横截面为 圆形，直径为260cm,下雨前水面宽为 100cm,一场大雨过后，水面宽为240cm,则 水位上升 cm. A.33 B.π C.2x D.4x 11.运算能力如图所示，AB为⊙O的直径，弦 CD⊥AB于点E,若AE=CD=8,则⊙O的 半径为() 16.运算能力如图所示，在⊙O中，弦AB的长 为8，点C在BO延长线上，且cos∠ABC= 00=0B, 4 (1)求⊙O的半径. (2)求∠BAC的正切值. A.3 B.4 c D.5 12.如图所示，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于 点F,OE⊥AC于点E,若OE=3,OB=5,则 CD的长度是( A.9.6B.45 C.53D.10 一九详验上带数学00 60 17.应用意识如图所示，有一座圆弧形拱桥，它 (2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距 的跨度AB为60米，拱高PM为18米，当洪 离.（结果精确到0.1米） 水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措 施.当拱顶离水面只有4米，即PN=4米时， 是否需要采取紧急措施？ 通素养》999999999299929” 19.阅读理解)在平面直角坐标系xOy中，⊙O 的半径为1.对于⊙O的弦AB和点C给出如 下定义：若点C在弦AB的垂直平分线上，且 点C关于直线AB的对称点在⊙O上，则称 18.阅读理解问题情境：筒车是我国古代发明 点C是弦AB的“关联点” 的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科 学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒 如图所示，点A(分，)，B(分-在 车的工作原理（如图①所示）.假定在水流量 点C1(0,0),C2(1,0),C(1,1),C,(2,0)中， 稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按 弦AB的“关联点”是 逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时 120秒. (2)若点C(20)是弦AB的“关联点”，直接 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的 写出AB的长. ⊙O.如图②所示，OM始终垂直于水平面，设 筒车半径为2米.当t=0时，某盛水筒恰好位 于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒 后该盛水筒运动到点B处，（参考数据，√2 1.414,3≈1.732) 2 问题解决： (1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处 时，∠BOM的度数. 61 优十学播课的一