2.5 第2课时方向角的实际应用-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(青岛版)

第2课时 方向角的实际应用（答案P10) 通基础 4.应用意识如图所示，一渔船在海上A处测得 灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方 知识点方向角的实际应用 向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它 1.几何直观如图所示，海中有一小岛A,在B 的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航 点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B 行，则渔船与灯塔C的最短距离是 点出发由西向东航行10 nmile到达C点，在C 海里。 点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与 北 小岛A的距离为( )nmile. 0 B 5.应用意识)如图所示，一艘轮船由西向东航 30 行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东 31°方向上，继续向东航行10 nmile到达C港， A.103 此时测得灯塔B在它北偏西61°方向上，求轮 3 C.20 D.103 船在航行过程中与灯塔B的最短距离.（结果 2.(2023·泰安宁阳期末)如图所示，嘉琪一家自 精确到0.1 nmile)(参考数据：sin31°≈0.52， 驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车 cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin61°≈0.87， 辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再 c0s61°≈0.48，tan61°≈1.80) 沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区 C,嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方 61 向，那么B,C两地的距离为() A.26千米 B.(2√2+3)千米 C.32千米 D.5千米 必 北 60 45 60 ·东 第2题图 第3题图 3.抽象能力如图所示，某海防哨所O发现在它 的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船 向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北 偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的 距离OB约为 米.（结果精确到1米，参 考数据：√2≈1.414，√3≈1.732) 一力年级上所数学0 44 固对方向角相关名词、术语不理解而导致8.新情境如图所示，“龙舟故里”赛龙舟，小亮 出错 在龙舟竞渡中心广场点P处观看400米直道 6.(2023·菏泽曹县一模)如图所示，三角形花园 竞速赛，如图所示，赛道AB为东西方向，赛道 ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建 起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B 的人行步道.经测量，点C在点A的正东方 位于点P的北偏东60°方向上，AB=400米，则 向，AC=200米，点E在点A的正北方向，点 点P到赛道AB的距离( )(结果保留整 B,D在点C的正北方向，BD=150米，点B 数，参考数据：√3≈1.732) 在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏 东45°方向，求步道AE的长。 30 北 A.50√5 B.1005C.87 D.173 9.如图所示，小亮家在点O处，其所在学校的校 园为矩形ABCD,东西长AD=1000米，南北 长AB=600米.学校的南正门在AD的中点 E处，B为学校的西北角门.小亮从家到学校可 以走马路，路线O→M→E(∠M=90°)；也可以 走沿河观光路，路线O→B.小亮在D处测得 点O位于北偏东30°，在B处测得点O位于北 偏东60°.小亮从家到学校的两条路线中，长路 7.(2023·泰安东平二模)如图所示，某驱逐舰在 线比短路线多 米.（结果保留根号） 海上执行任务后刚返回到港口A,接到上级指 令，发现在其北偏东30°方向上有一艘可疑船 只C,与此同时在港口A处北偏东60°方向上 避风港 602.1 且距离10km处有另一艘驱逐舰B也收到了 相关指令，驱逐舰B恰好在可疑船只C的南偏 E 东30°的方向上，则可疑船只C距离港口A的 第9题图 第10题图 距离为( 10.如图所示，一艘渔船正以60海里/时的速度 向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北 方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时 测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁 P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向. 为了在台风到来之前用最短时间到达M处， A.5/3 3 m B.10 3 .km 渔船立刻加速，渔船以75海里/时的速度继续 C.203 航行 小时即可到达M处.（结果保留 D.103 3 km 根号) 45 优十学编课时渔一 11.应用意识如图所示，灯塔A周围9海里内 他走哪条路较近.（结果精确到个位） 有暗礁.一渔船由东向西航行至B处，测得灯 (参考数据：sin58°≈0.85，c0s58°≈0.53， 塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后 tan58°≈1.60,3≈1.73) 到达C处，测得灯塔A在西北方向上.如果 渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁 的危险？ (参考数据：sin32°≈0.530，c0s32°≈0.848， tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，cos58°≈ 0.530,tan58°≈1.6) 通素养》9999999390999999999 13.如图所示，在一条笔直的东西走向海岸线1上 有一长为1.5km的码头MN和灯塔C,灯塔 C距码头的东端N20km.一轮船以36km/h 的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位 于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处 测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与 灯塔C相距12km. 12.模型观念为了美化环境，提高民众的生活 (1)若轮船照此速度与航向航行，何时到达海 质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一 岸线？ 个四边形人工湖泊ABDE,并沿湖泊修建了 (2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码 人行步道.如图所示，点C在点A的正东方 头？请说明理由.（参考数据：√2≈1.4，√3≈ 向170米处，点E在点A的正北方向，点B, 1.7) D都在点C的正北方向，BD长为100米， 点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E 的北偏东58°方向. (1)求步道DE的长度， (2)点D处有一个小商店，某人从点A出发 沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点 D,也可以经点E到达点D,请通过计算说明 一九年级上数学0 46,.x=10, 70° AD=10海里」 10>9, ∴渔船没有触礁的危险。 12.解：(1)如图所示，过点D作DF⊥AE,垂足为 点F 第2课时方向角的实际应用 1.D2.A3.5664.6W3+6 58 5.解：过点B作BD⊥AC于点D,如图所示，则 ∠BDC=∠ADB=90°， ·东 设BD=r nmile. 30 ,∠ABD=31,∠CBD=61°， 南 ,∴.AD=BD·tan31°，CD=BD·tan61° .AC=10 nmile, 由题意知四边形ACDF是矩形， ∴.x·tan31°+x·tan61°≈x(0.60+1.80)=10, .DF=AC=170米. ∴.x=BD≈4.2 nmile. 在Rt△EFD中，∠DEF=58°， 答：轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为 .DE=-DF 170 4.2 nmile. sin58≈0.85=200（米）， .步道DE的长度约为200米. (2)在Rt△EFD中，∠DEF=58°，DF=170米， ..EF=- DF170 61 、tan58≈1.6106.25（米）， 在Rt△ABC中，∠BAC=60°，AC=170米， 6.解：如图所示，过点D作DF⊥AE交AE的延长线 ∴.BC=AC·tan60°=170，W3(米)， 于点F, 则DF=AC=200米，AF=CD .AB=170 c0s60=340(米). BD=100米，∴.CD=BC+BD=(170V3+ 459 B 100)米. 四边形ACDF是矩形，∴.AF=DC=(1703+ 100)米. 30 ..AE=AF-EF=1703+100-106.25≈ 287.9米， 根据题意，得∠DEF=45°，∠ABC=∠EAB=30°， 某人从点A出发，经过点B到达点D路程= ∴.△DEF是等腰直角三角形， AB+BD=340+100=440(米)， ∴.DE=√2DF=200√2米，EF=DF=200米 某人从点A出发，经过点E到达点D路程= AC AE+DE=287.9+200=487.9(米). ,AC=200米，∴.BC= tan∠ABC=200√3米， 440米<487.8米， ∴某人从点A出发，经过点B到达点D路程较近 ∴.AF-CD-BC+BD-(200W3+150)米， 13.解：(1)延长AB交 ∴.AE=AF-EF=(200√3+150)-200= M N 海岸线L于点D,过 D (200√5-50)米， 点B作BE⊥海岸 答：步道AE的长为(200,3-50)米 线l于点E,过点A 7.C8.D9.1300-200510.18+63 作AF⊥1于点F, 5 如图所示 11.解：过点A作AD⊥BC于点D,如图所示. ∠BEC=∠AFC=90°，∠EBC=60°， 由题意，得∠ABC=90°-58°=32°，∠ACD=45°， ∠CAF-30°， BC=6海里， ∴.∠ECB=30°，∠ACF=60° 设AD=x海里， ,.∠BCA=90°. 北 BC=12km,AB=36× 40 =24(km), 60 ..AB=2BC. ∴.∠BAC=30°，∠ABC=60°. '∠ABC=∠BDC十∠BCD=60°， ∴.∠BDC=∠BCD=30 在Rt△ADC中，∠ACD=45°，∴.AD=CD=x海里， .'BD=BC=12 km. BD=x十6海里. 在Ri△ADB中，an∠ABD=AP 六12÷36=3（小时），3小时=20分钟。 BD=+6 ∴，轮船照此速度与航向航行，上午11：00到达海 0.625, 岸线. 10 (2)该轮船能停靠在码头.理由如下： 设DE=x米，则EC=3x米. BD=BC,BE⊥CD,.DE=EC. 在Rt△CDE中，3.22=x2+(3x)2, ,在R△BEC中，BC=12km,∠BCE=30°， 解得x≈1，则3x=3. ,.BE=6km,EC=6√310.2(km). 3>2.8, ..CD=20.4km. ∴货车能进人地下停车场 20<20.4<21.5, ∴轮船不改变航向，可以停靠在码头。 一楼 第3课时坡度、坡角的实际应用 A地平线 1.A2.B3.B4.12.45.(2十√3) 6.解：(1)，新坡面的坡度为1√3， 地下停车场 D tana=tan∠CAB=L-3 53∠a=30 14.解：(1)如图所示，过点B作BG⊥CE于点G. 坡面AB的坡度i=1√3， 答：新坡面的坡角a为30° (2)文化墙PM不需要拆除.理由如下：如图所示， tan∠BAF-1:3= 过点C作CD⊥AB于点D,则CD=6. 3 ,坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：√3， ÷∠BAF=30BF=号AB=25m .BD=CD=6,AD=63, (2)由勾股定理，得AF=√AB-BF= .AB=AD-BD=63-6<8, ∴文化墙PM不需要拆除. √/502-25=253(m), M .BG=FE=AF+AE=(25N5+75)(m). =tan60°=√3， PA B D 在Rt△DAE中，tan∠DAE=DE AE 7.B8.D9.B10.210cm11.8 ,∴.DE=√3AE=753(m). 12.解：如图所示，延长EF交AG于点H,则EH⊥ :∠CBG=45°，∴.△CBG是等腰直角三角形， AG,作BP⊥AG于点P,则四边形BFHP是 ∴.CG=BG=(253+75)m. 矩形. GE=BF=25 m, .CD=CG+GE-DE=255+75+25-753= 100-503≈13.4(m. 答：“新”字的高度CD约为13.4m. H ..FB=PH,FH=PB. 由i=5:12,可以假设BP=5x,AP=12x. PB+PA2=AB2,.(5x)2+(12x)2=262, ∴.x=2或-2（舍去）， 60° ∴.PB=FH=10,AP=24. H AC 设EF=a米，BF=b米. 第14题图 第15题图 'tan∠EBF=E g≈2a≈2b①. 15.解：BH=0.6米， BF·6 3 EHEF+HFEF十BP sin a= 5 tan/EAH-AH-AP+PH-AP+BF' ..AB= BH0.6 =1(米)， 812@ sin a 3 5 由①②得a≈47，b≈23.5. .AH=0.8米. 答：塔顶到地面的高度EF约为47米. AF=FC=2米，.BF=1米. 13.解：1)：斜坡的坡度为1：3，：BD=1 如图所示，作FJ⊥BG于点J,作EK⊥FJ交FJ AB3 的延长线于点K, ,BD=CD-CB=2.2米， ∠EKF=∠FJB=∠AHB=90°， 在Rt△ABD中，AB=3BD=6.6米， ∴∠EFK=∠FBJ=∠ABH,BF=AB, 故AD=√2.2+6.6=11 ≈7（米）. .△EFK∽△FBJ△ABH, 5 △FBJ≌△ABH, 答：斜面AD的长度约为7米 (2)过点C作CE⊥AD,垂足为点E,如图所示， 需船器B=BH=6米， ,'.∠DCE+∠CDE=90° 即，6_FKEK ,∠BAD+∠ADB=90°， 10.60.8解得EK=1.28米， ∴.∠DCE=∠BAD, .BJ+EK=0.6+1.28=1.88(米)， DE 1 1.88米<2米， ,',tan∠BAD=tan∠DCE= EC-3 ,∴，木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部