2.5 第1课时仰角、俯角的实际应用-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(青岛版)

2.5解直角三角形的应用 第1课时仰角、俯角的实际应用（答案9） 通基础>39 4.(2023·雒坊昌邑二模)如图所示，某学生的眼 睛离地面的距离为m米，在一处用眼睛看篮球 知识点仰角、俯角的实际应用 筐，测得仰角为30°，继续向正前方走n米再看 1.几何直观如图所示，从航拍无人机A看一栋 篮球筐，测得仰角为60°，篮球筐距地面的高度 楼顶部B的仰角a为30°，看这栋楼底部C的 为 米 俯角3为60°，无人机与楼的水平距离为 120m.则这栋楼的高度为() 5.新情境》风电项日对于调整能源结构和转变 经济发展方式具有重要意义，某电力部门在一 处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电 A.140√3m B.1603m 机，如图①所示.某校实践活动小组对该坡地 C.1803m D.2003m 上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量， 2.应用意识2023年岳阳举办以“跃马江湖”为 如图②所示为测量示意图.已知斜坡CD长16 主题的马拉松赛事.如图所示，某校数学兴趣 米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P 小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部 点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方 E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离 53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风 BC为20米，且距地面高度AB为1.5米，则 力发电机塔杆PD的高度.（参考数据：sin18°≈ 气球顶部离地面的高度EC是 米（结 0.309,cos18°≈0.951，tan18°≈0.325) 果精确到0.1米，sin21.8°≈0.3714， cos21.8°≈0.9285，tan21.8°≈0.4000). 21.8 第2题图 第3题图 3.(2023·泰安岱岳区二模)如图所示，山顶上有 一个信号塔AC,已知山高CD=75米，在山脚 下点B处测得塔底C的仰角∠CBD=36.9°， 塔顶A的仰角∠ABD=42.0°，则信号塔 AC= (点A,C,D在同一条竖直线 上).（参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈ 0.60,tan42.0°≈0.90) 优计学旅说的温一 易错对俯角的概念理解错误 9.如图所示，某无人机兴趣小组在操场上开展活 6.(2023·泰安岱岳区期末)如图所示，小明站在 动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机 泰山顶看到山脚下B处的西湖公园，俯角为 测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯 a,此时小明所处位置海拔1540米，则B,C之 角为45°，又经过人工测量操控者A和教学楼 间的距离为( BC距离为57米，则教学楼BC的高度为 米.（点A,B,C,D都在同一平面上， 结果保留根号) B A.1540 10.应用意识小华想利用所学知识测量自家对 B.1540tana米 tan a 面的两栋楼AB与CD的高度差.如图所示， C.1540sina米 D.1540cosa米 她站在自家阳台上发现，在阳台的点E处恰 通能力 ,9333>3>>3y>2D>》>>>>>2>93》33>> 好可经过楼CD的顶端C看到楼AB的底端 B,即点E,C,B在同一直线上此时，测得点 7.新情境》日照灯塔是日照海滨港口城市的标 志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港 B的俯角a=22°，点A的仰角3=16.7°，并测 得EF=48m,FD=50m.已知，EF⊥FB, 的船舶提供导航服务.数学小组的同学要测量 灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最 CD⊥FB,AB⊥FB,点F,D,B在同一水平 高点A的仰角∠ABD=45°，再沿BD方向前 直线上.求楼AB与CD的高度差.（参考数 进至C处测得最高点A的仰角∠ACD=60°， 据：sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16. BC=15.3m,则灯塔的高度AD大约是 7°≈0.30，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan ()(结果精确到1m,参考数据：√2≈1. 22°≈0.40) 41,3≈1.73) D C A.31mB.36mC.42m D.53m 8.几何直观综合实践课上，航模小组用航拍无 人机进行测高实践.如图所示，无人机从地面 CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测 得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F 的俯角为30°，已知博雅楼高度CE为15米，则 尚美楼高度DF为 米，（结果保留根 号) 博 尚 30.3345 、C 楼 且 第8题图 第9题图 一小年级上曲数学00 42 11.数学文化)烽燧即烽火台，是古代军情报警 通素养2992339392 的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白 天放烟称“燧”.某数学兴趣小组利用无人机 13.(2023·潍坊临胸一模)随着科技的发展，无 测量某烽燧的高度，如图所示，无人机飞至距 人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们 地面高度31.5米的A处，测得烽燧BC的顶 在高空测量距离和角度，某校“综合与实践” 部C处的俯角为50°，测得烽燧BC的底部B 活动小组的同学要测量AB,CD两座楼之间 处的俯角为65°，试根据提供的数据计算烽燧 的距离，如图所示，他们借助无人机设计了如 BC的高度. 下测量方案：无人机在AB,CD两楼之间上 (参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6， 方的点O处，点O距地面AC的高度为 tan50°≈1.2，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4， 60m,此时观测到楼AB底部点A处的俯角 tan65°≈2.1) 为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平 方向由点O飞行24m到达点F,测得点E 50 /65 处俯角为60°，其中点A,B,C,D,E,F,O均 在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼AB 与CD之间的距离AC的长.（结果精确到 1m.参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0. 34,tan70°≈2.75，√3≈1.73) 70P 360 12.抽象能力如图所示，某数学兴趣小组要测 量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为 车库，高2.5m,上面五层居住，每层高度相 等.测角仪支架离地1.5m,在A处测得五楼 顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶 部点E的仰角为30°，AB=14m,求居民楼的 高度.（结果精确到0.1m,参考数据：≈ 1.732) 2.5m 602A' 43 优学条说时避一an∠DBA-A沿-名-号 则EF=FB·tan∠EBF,即48≈FBX0.40, .FB=120.00m. 14.解：如图所示，延长DA和CB交于 E 在Rt△AHE中，EH=FB=120m,∠AEH=B= 点E, 16.7, 则∠ABE=60,∠E=30 则AH=EH·tan∠AEH≈1200.30= 在Rt△ABE中，AE=AB·tan60° 36.00(m), 303×√3=90， ..AB=AH+BH=AH+EF=36.00+48= BE=、AB 84.00(m), c0s60°=60V3, .AB-CD=84.00-28.00=56.00(m). 所以CE=BE+BC=60√5+50√3=110√3. 答：楼AB与CD的高度差约为56.00m. 在Rt△DCE中， 11.解：如图所示，过点A作AE⊥AD交BC的延长线 于点E,则BE=AD=31.5米. DC=CE·tan30=1105× 3 =110, 所以S后达彩D=SAE一SAEA= 2×110X 105-2×90×30v5=470,5. 2.5解直角三角形的应用 D 第1课时仰角、俯角的实际应用 在Rt△ABE中，BE=31.5米，∠AEB=90°， 1B29.5315米4停+ ∠BAE=65,tan∠BAE=F, 5.解：延长PD交AC于点F,延长DP交BE于点G, AE≈ 1.5 =15(米). 如图所示 2.1 GE 在R△ACE中，∠CAE=50',an∠CAEE, .CE=AEtan∠CAE-15tan50°≈15X1.2= 18(米)， D ∴.BC-BE-CE-31.5-18=13.5(米)， 答：烽燧BC的高度约为13.5米. 由题意，得PF⊥AF,DG⊥BE,AB=FG=53米， 12.解：设每层楼高为xm, AF=BG. 由题意，得MC'=MC-CC=2.5-1.5=1(m), 设AF=BG=x米， ∴.DC'=(5x+1)m,EC'=(4x+1)m. 在Rt△CDF中，∠DCF=30°，CD=16米， 在R1△DCA'中，∠DA'C=60°， DF-号CD-8米 ∴CA'=DC-3 tan 603 (5x+1)m. 在Rt△PAF中，∠PAF=45°， 在Rt△EC'B'中，∠EB'C'=30°， .PF=AF·tan45=x米. 在Rt△BPG中，∠GBP=18°， C'B'=EC' tan30=3(4x+1)m. .GP=BG·tan18°≈0.325x米， .'A'B'=C'B'-C'A'=AB=14 m, ∴.FG=PF+PG=x+0.325x=1.325x(米)， .1.325x-53,解得x-40, 5z+1D-6x+10=14 ∴.PF=40米，∴.PD=PF-DF=40-8=32(米)， ∴.该风力发电机塔杆PD的高度约为32米. 解得x≈3.18， 则居民楼的高度为5×3.18+2.5=18.4(m). 6.A7.B8.(30-53)9.(30√3-27) 10.解：如图所示，过点C作CG⊥EF于点G,过点E 13.解：延长AB,CD分别与直线OF交于点G和点 作EH⊥AB于点H. H,如图所示， 则AG=60m,GH=AC,∠AGO=∠EHO=90°. 在Rt△AGO中，∠AOG=70°， OG=AG 60 tan70≈2.751 21.8(m). :∠HFE是△OFE的一个外角， .∠OEF=∠HFE-∠FOE=30 D ∴.∠FOE=∠OEF=30°，∴.OF=EF=24m. ,EF⊥FB,CD⊥FB,AB⊥FB, 在Rt△EFH中，∠HFE=60°， .可得矩形CDFG,矩形EFBH, 1 ..CG=FD=50 m,HB=EF=48 m. ∴.FH=EF·cos60°=24X2=12(m), 在Rt△CGE中，CG=50m,∠ECG=a=22°， ..AC=GH=OG+OF+FH=21.8+24+12 则EG=CG·tan∠ECG≈50×0.40=20.00(m), 58(m), ,∴.CD=FG=EF-EG=48-20.0=28.00(m). .楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m. 在Rt△EFB中，EF=48m,∠EBF=a=22°， x=10, .AD=10海里 10>9, .渔船没有触难的危险」 12.解：(1)如图所示，过点D作DF⊥AE,垂足为 点F. 第2课时方向角的实际应用 1.D2.A3.5664.6w3+6 刘 58e 5.解：过点B作BD⊥AC于点D,如图所示，则 ∠BDC=∠ADB=90°， ·东 设BD=z nmile.. 30 :∠ABD=31°，∠CBD=61, 南 AD=BD·tan31°，CD-BD·tan61° .'AC=10 nmile, 由题意知四边形ACDF是矩形， ∴.x·tan31°+x·tan61°≈x(0.60+1.80)=10, ..DF=AC=170米. .x=BD≈4.2 nmile., 在Rt△EFD中，∠DEF=58°， 答：轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为 DF 170 .DE 4.2 nmile. sin58≈0.85 200(米)， ∴.步道DE的长度约为200米. (2)在Rt△EFD中，∠DEF=58°，DF=170米， .EF= DF170 619 am58≈1.6=106.25（米）， 在Rt△ABC中，∠BAC=60°，AC=170米， 6.解：如图所示，过点D作DF⊥AE交AE的延长线 .BC=AC·tan60°=1703（米）， 于点F, 则DF=AC=200米，AF=CD AB=170 c0s60=340(米). :BD=100米，.CD=BC+BD=(170√3+ 45 100)米. ,四边形ACDF是矩形，.AF=DC=(1705+ 100)米. 30 .AE=AF-EF=170√3十100-106.25≈ 287.9米， 根据题意，得∠DEF=45°，∠ABC=∠EAB=30°， 某人从点A出发，经过点B到达点D路程= ∴△DEF是等腰直角三角形， AB+BD=340+100=440(米)， ∴.DE=√2DF=2002米，EF=DF=200米， 某人从点A出发，经过点E到达点D路程= AE+DE=287.9+200=487.9(米). :AC=200米，∴BC AC tan∠ABC =200√3米， .440米<487.8米， 某人从点A出发，经过点B到达点D路程较近 ∴.AF=CD=BC+BD=(200W3+150)米， 13.解：(1)延长AB交 IM N 北 ∴.AE=AF-EF=(2005+150)-200 海岸线1于点D,过 D 60 (2003-50)米， 点B作BE⊥海岸 答：步道AE的长为(200√3-50)米. 线L于点E,过点A 7.C8.D9.1300-200510.18+63 作AF⊥l于点F, 5 如图所示 11.解：过点A作AD⊥BC于点D,如图所示 ,∠BEC=∠AFC=90°，∠EBC=60, 由题意，得∠ABC=90°-58°=32°，∠ACD=45°， ∠CAF=30°， BC=6海里， .∠ECB=30°，∠ACF=60° 设AD=x海里， .∠BCA=90°. 北 东 BC-12 km,AB=36x40 60 =24(km), ..AB=2BC. ∴∠BAC=30°，∠ABC=60. ∠ABC=∠BDC+∠BCD=60°， ∴.∠BDC=∠BCD=30°. 在Rt△ADC中，∠ACD=45°，∴.AD=CD=x海里， ∴.BD=BC=12km. ,BD=x十6海里 12÷36=号（小时），号小时=20分钟， 1 在Rt△ADB中，tan∠ABD=AD x BDx+6 ∴.轮船照此速度与航向航行，上午11：00到达海 0.625, 岸线. 10