2.1 锐角三角比-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(青岛版)

第2章解直角三角形 大单元建构 依据 直角三角形 正弦、余弦、正切 锐角a的 三角比 边角关系 解直角 三角形 已知一边和一锐角 309,45.60 解直角三角形 角的三角比 特殊角的 解直角 的两种类型】 已知两边 三角比 三角形 依据 角 仰角、俯角问题 解直角三角 用计算器求 形的应用 坡度、坡角问题 锐角三角比 应用 方向角问题 应用 本章核心素养 学科核心素养 具体内容 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角 几何直观 三角比解直角三角形 从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，构造直角三角形的模型，利用解直角三角形解决简单 模型观念 的实际问题，培养学生解决实际问题的能力 抽象能力 利用解直角三角形解决实际问题时，善于从实际问题中抽象出直角三角形，利用所学知识解答 利用特殊角的锐角三角比进行运算，会使用计算器由已知锐角求它的三角比，由已知三角比求它 运算能力 的对应锐角，利用解直角三角形的知识求有关问题 应用意识 利用解直角三角形的知识，解决航空、测量，建筑，修坝等实际问题 9 优十学播课的准一 2.1锐角三角比（答案P6) 通基础> 7.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,cosA= 知识点1正弦的定义 ,那么AB的长为 1.(2023·聊城临清月考)在Rt△ABC中， 知识点3正切的定义 ∠C=90°，AB=6,AC=3,则sinB的值8.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC= 为( 4,则tanA的值为( A.5 R司 c号 A B c 2.如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上 9.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB= 的高，∠A≠45°，则下列比值不等于sinA的 10,BC=8,则tanB的值为( 是() A.5 B c 0.3 4 8 霜 第9题图 第10题图 C.CB CD D.CB 10.如图所示，点A(1,4)在第一象限，OA与x轴 3.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=5,BC= 所夹的锐角为a,ana=3,则1的值为 12,则sinA的值为 知识原4锐角三角比 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A 11.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠B,∠C的对边，若2a=√3c,则∠A的正弦值等 tanA=2,则sinB=( 于 知识点2余弦的定义 5.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3,BC=4,则 cosB的值为( A n A.2 B.2 c D.5 播误认为锐角三角比与三角形的大小 6.(2023·静坊诸城月考)在正方形网格图中， 有关 △ABC的位置如图所示，则cosB的值为( 12.(2023·潍坊诸城月考)如果Rt△ABC中各 边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角∠A 的三角比的值( A.都扩大到原来的2倍 B.都缩小到原来的一半 AB竖c号 C.没有变化 D.不能确定 一九洋缘上带数学Q0 30 通能力> 13.几何直观由小正方形组成的网格如图所示， 17.探究拓展净如图所示，在Rt△ABC中，∠C= A,B,C三点都在格点上，则∠ABC的正切 90°，BC,AC,AB三边的长分别为a,b,c, 值为() snA=2,osA=名anA=8 (1)试根据定义并结合勾股定理探究sinA, cosA,tanA之间存在的一般关系，并说明 理由 (2)利用上面探索的结论解答下面问题： c 0. ①若∠A为锐角，且mA=号求cosA 14.(2023·游坊高密月考)如图所示，已知CD 的值。 是Rt△ABC斜边上的高线，且AB=10.若 ②已知∠A为锐角，且tanA=3,求 BC=8,则cos∠ACD= A十细的收 15.推理能力，如图所示，在R1△ABC中， ∠BAC=90°，AD⊥BC,垂足为D.给出下列 四个结论：①sina=sinB:②sin3=sinC: ③sinB=cosC;④sina=cosB.其中正确的 结论有 B 16.如图所示，在R△ABC中，∠C=90°，BC 6anA=2求AB的长和nB的值 31 优十学播课的准一又因为AB∥CD, .∠1=∠2. 所以∠FBA=∠FCD,∠FAB=∠D, 又：BE平分∠DBC, 所以△FBAO△FCD, .∠1=∠6， 所以S△a ∠3=∠6， SAFCD 0)-()- .∠6+∠5=90°， 所以S△FBA= 6×Sam=16×2= ∠BFC=90°，即BF⊥AC 8 (2)与△OBF相似的三角形有△ECF,△BAF, 理由如下： 所以S四边后AE=S△FCE一S△FBA=1- 17 88 '∠1=∠3，∠EFC=∠OFB, 【变式训练3】 ∴.△ECFc∽△OBF. 解：甲的加工方法符合要求。 :∠3=∠4， 设图①加工桌面长xm, .∠1=∠4， FD∥BC,∴.Rt△AFD∽Rt△ACB, 又，∠BFA=∠OFB, ..AF:AC=FD:CB, .∴.△BAFC∽△OBF 12 (3)由(2)知，△ECF△OBF. 即(4-x):4=x:3,解得x=7: ·EFCF 设图②加工桌面长ym,过点C作CM⊥AB,垂足是 OFBF' M,与GF相交于点N,如图所示. GF∥DE,∴.△CGFD△CAB, 号-脚8cF=2Br, ..CN:CM=GF:AB, .3(CF+OF)=3CF+9=2BF+9, ..(CM-y):CM=y:AB. ,.3OC=2BF+9, AB-C ..3OA=2BF+9① 由(2)知，△BAF∽△OBF, 由面积相等可求得CM=2.4, 60 器肥 故此可求得y=37 .BF2=OF·AF, 很明显x>y,故x2>y2, ∴.BF=3(OA+3)② 甲的加工方法符合要求 联立①②，可得BF=1+√I9(负值舍去)， .DE=BE=2+1+19=3+√19. 第2章 解直角三角形 2.1锐角三角比 3 1.B2.D3.4.g5.A6.B7.88B 【通模拟】 9.C10.311.C12.C13.C14.5 1.C2.C3.B4.B5.D6.AC 15.①②③④ 7.98.9 9.证明：(1)，四边形ABCD为菱形，∴.ABCD, 16.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6,tanA= BC 1 ∴·∠BAE=∠G. ,∠BAE=∠DAF,∴∠G=∠DAF. AC2· ,∠ADG=∠FDA,∴.△AGD∽△FAD. ..AC=12, (2)四边形ABCD为菱形，∴.ABCD, ∴.AB=√JAC+BC=/12+6=6√5， ∴.∠ABD=∠GDB,∠BAG=∠G, AH BH ..sin B= AC-12-25 △ABHD△GDH,心GHDH' AB655· 17.解：(1)存在的一般关系：sinA+cos2A=1 ∴.AH·DH=BH·GH. 【通中考】 tan A=sin A 10.18.211.1312.4√2π cos A b 13.证明：BE=BC,∴.∠C=∠CEB. 理由：sinA=2,cosA=6,a2+b2=c2, ,∠CEB=∠AED,∴.∠C=∠AED. ,AD⊥BE,∴∠D=∠ABC=90°， .sinA+cos'A ∴.△ADE∽△ABC. 14.解：(1)证明：如图所示 0 D cosA=,tnAb、 4 tan A=sin A cos A 在矩形ABCD中，OD=OC,∠BCD=90°，ABCD, (2)①：∠A为锐角，.cosA>0. ∴.∠2=∠3=∠4，∠3+∠5=90° .DE=BE, sA--万--T 6 3cos A 2sin A ,在Rt△ACH中， Cos A Cos A 32tan A ②原式= 6cos A sin A 6-tan A sin A=CH C COs A COs A ∴.CH=AC·sinA= 3+2×3=3. 9×sin48°≈6.69. 6-3 (2),在Rt△ACH中， 2.230°，45°，60°角的三角比 Cos A=AH C· 1.A2.-4 3.2+43 ∴.AH=AC·cosA=9Xcos48. CH 4解：a)原式=份)+-（图}+图》 &在R△BCH中，anB=时ABE马 9×sin48 =1+3-1+3 8-9Xc0s48≈3.382. 4224 .∠B≈7332 =1+ 阶段检测二（2.12.3) 2+2 1.B2.B3.A4.C5.ACD6.A 四限款-g 758159.5-1 2 w5×13 5.B6.A7.C8.60° 10解：1um60co30-3sr46=后×复-3xX 9解：sina+15)=号，且(a十15的是锐角，a十 -2-sx-是是 133 15°=60°..a=45°. 3 (2)2c0s45°-2tan30°，cos30+sim260°=2× ∴8-4eosa-(x-3.14)°+ane+(得） 2反-4x号-1+1+8-8 22 11.解：在△ABC中，∠C=180°-54°-36°=90°， 10.D11.C12.B13.A C在Rt△ABC中，sinA=S, 14.6-2 .BC=AB·sinA=2.1Xsin54°≈2.1X0.81= 4 15.2-516.(W2+1,1) 1.701(m), 17.解：)sina·co930- .CD=BC-BD=1.701-0.9= 4 0.801≈0.8(m). sin。,目=6 所以铁板BC边被掩埋部分CD的长为O.8m. 24 12.解：：四边形ABCD是矩形， .AB=CD,∠D=90. sin a= 2a=45 ,且由折叠知CF=BC, (2)2tana-√2cosa=2tan45°-√2cos45°=2X 1E×9-2-1=L 设CD=2x(x>0),则CF-3x, tan45°+tan30° 18.解：tan75°=tan(45+30)=1-an45·tan30 在Rt△CDF中， DF=√CF-CD-√5x. 1+9 DF_5x_5 3+√5(3+√3) 1-1x53-5(3-3)(3+5) =2+3. ∴tan∠DCF=CD=2x2 13.解：(1)锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角 3 的余弦值随着角度的增大而减小. 2.3 用计算器求锐角三角比 (2)sin18°<sin34°<sin50°<sin62<sin88°， cos88°<cos62°<cos50°<cos34°<cos18°. 1.D2.A (3)=<> 3.(1)0.7314(2)0.9041(3)1.0000 (4)sin10°<cos70°<sin50°<cos30°. 4.5612180 5.解：(1)，sinA=0.75,∴.∠A≈4835' 2.4解直角三角形 (2)c0sB=0.8889,.∠B≈2716'. 第1课时解直角三角形 (3)tanC=45.43,.∠C≈8844'. 1.B 6.< 2.解：在直角三角形ABC中， 7.tan46°>cos1>sin88 b=√c2-a7=82-4=4V5. 8.D9.C10.60 11.解：(1)过点C作AB边上的高CH,垂足为点H, sin A=2=41 c=8=2 如图所示. ∠A=30°，.∠B=90°-∠A=60.