1.2 第5课时相似三角形的实际应用-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(青岛版)

第5课时 相似三角形的实际应用（答案P2) 通基础 知识点2测量距离 4.如图所示，为估算某河的宽度，在河对岸选定 知识点1测量物高或影长 一个目标点A,在近岸取B,C,D三点，使得 1.应用意识》如图所示，在数学活动课上，为测 AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上，并且点 量学校旗杆的高度，小菲同学在脚下水平放置 A,E,D在同一条直线上，若测得BE=30m, 一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端 CE=10m,CD=20m,则河的宽度为() 在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗 杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面的高度为 1.6m,同时量得小菲与镜子的水平距离为 2m,镜子与旗杆的水平距离为10m,则旗杆 高度为( A.6.4mB.8m C.9.6m D.12.5m A.20m B.30m C.40m D.60m 5.数学文化)《九章算术》中记载了一种测量古 井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井 第1题图 第2题图 口A处立一垂直于井口的木杆AB,从木杆的 2.数学文化，《周髀算经》中记载了“偃矩以望 顶端B观测井水水岸D,视线BD与井口的直 高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲 径CA交于点E,若测得AB=1米，AC= 尺（即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是 1.6米，AE=0.4米，则水面以上深度CD ) 把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图所示， 为( 点A,B,Q在同一水平线上，∠ABC和 ∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.测 得AB=40cm,BD=20cm,AQ=12m,则树 高PQ= m. 3.如图所示，路灯(P点)距地面9米，身高1.5米 A.4米 B.3米 C.3.2米D.3.4米 的小云从距路灯的底部(O点)20米的A点， 6.(2023·江苏镇江中考)如图所示，用一个卡钳 沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影 (AD=BC,8品-8识-)测经某个零件的内 的长度是变长了还是变短了？变长或变短了 孔直径AB,量得CD长度为6cm,则AB等于 多少米？ cm. 一力年级上所数学0 12 通能力 10.应用意识，下表是小明填写的实践活动报告 的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算 7.数学文化)四分仪是一种十分古老的测量仪 小河的宽度。 器.古代测量员用四分仪测量一方井的深度， 题目 测量小河的宽度(AB的长) 将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望 井底点F,窥衡杆与四分仪的一边BC交于点 测量目标 示意图 H.如图所示，四分仪为正方形ABCD,方井为 矩形BEFG.若测量员从四分仪中读得AB为 相关数据 BC=1.5 m,DE=2 m,BD=4 m 1,BH为0.5，实地测得BE为2.5，则井深 BG为() 通素第》99999999999999” A.4 B.5 C.6 D.7 11.学科融合》如图所示，嘉嘉同学正在使用手 8.一种燕尾夹如图①所示，图②是在闭合状态时 电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依 的示意图，图③是在打开状态时的示意图（此 次是墙、木板和平面镜.手电筒的灯泡在点G 时AB∥CD),相关数据如图所示（单位：cm). 处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰 从图②闭合状态到图③打开状态，点B,D之 好经过木板的边缘点F,落在墙上的点E处， 间的距离减少了( 点E到地面的高度DE=3.5m,点F到地面 的高度CF=1.5m,灯泡到木板的水平距离 AC=5.4m,墙到木板的水平距离为CD= 4m.已知光在镜面反射中的反射角等于入射 1( C 2 F3 D 2 角，图中点A,B,C,D在同一水平面上.求灯 A.2 cm B.3 cm C.4cm D.5 cm 泡到地面的高度AG 9.模型观念如图所示，小明同学用自制的直角 三角形纸板DEF测量树的高度AB.他调整自 墙木板广 己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边 地面D C平面镜A DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直 角边DE=40cm,EF=20cm,且测得边DF 离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,则树 高AB= m. 13 优学案课时通(2):△ABD∽△CBA, 第4课时相似三角形的判定定理3 ..BD_BA BA BC 1.A2.B3.2,3或3,3 BD 6 6=10BD=3.6. 4.证明：，AC=√2，BC=√1+32=√/10， 13.证明：(1)：△ABC是等边三角形， AB=4,DF=√2+2=2√2， .∴.∠ACB=60 EF=√22+6=2√10，DE=8, ,∠ADE=60°，∴∠ADE=∠ACB ,∠CAD=∠DAE,∴.△ACD△ADE, 群是 是SAD=AEAC .△ABC∽△DEF. 5.B6.ACD7.B8.C9.D10.3 (2).△ACDC∽△ADE,∴∠ADC=∠AED. DE OE ,△ABC是等边三角形， 1L.证明：AB∥DE,ABOB ,.∠ABC=∠ACB=60°， :BC/EF.-0B-00 EF OE OF ∴.∠ABD=∠DCE=120°， ,'.△ABD∽△DCE. DF OF 第3课时相似三角形的判定定理2 AC//DF.AC-OC 1.B2.D3.C4.10 ·DE_EFDF 5.证明：(1)：OD=2OA,OC=2OB, 040B AB-BC-AC.六△DEF∽△ABC. OD=OC.又∠AOB=∠DOC, 12.解：(1)证明：四边形ABCD为正方形， ∴AD=AB=DC=BC,∠A=∠D=90°. ∴.△AOB∽△DOC (2)由(1)，得△AOB△DOC, AE=BD小怎 ,.∠1=∠ABO.,CA平分∠BCD, ∴.∠1=∠2.∴.∠AB0=∠2. 又，'∠BAO=∠CAB, DF-DCD .DF 1 .AO AB △AOBD△ABC,AB-AC ÷铝-E△ABEADEF. (2),四边形ABCD为正方形， 即AB2=AO·AC. ∴.ED∥BG,∴.△DEFC∽△CGF, 6C7ABC8B9.3度 10.65或115 ED、DF CG CF 11.解：(1)依题意补全图形如图 1 所示。 又：DF=4DC,正方形的边长为8， (2)△OAB与△OED相似.理由 .DF=2,ED=4,.CF=6,CG=12, 如下： ,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于 ∴.FG=√CF+CG=6√5. 点E,.∠ADC=∠BEC=90. 第5课时相似三角形的实际应用 ∠C=∠C,∴.△ADCc∽△BEC, 1.B2.6 .∠DAC=∠EBC. 3.解：身影的长度变短了， 又，∠BOD=∠AOE, 如图所示，设小云在点B时，身高为BD,在点A ∴.△BOD△AOE, 时，身高为AC. 0B1A0=0D:0E88e .'∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC-∠OMP, .△MACn△MOP,MOOP' .MA AC ,∠AOB=∠EOD,∴.△OAB∽△OED. 12.解：(1)△EOF和△ABO相似.理由： MA1.5 ,t=1,.0E=1.5厘米，OF=2厘米. 即20+MA=9,解得MA=4米. ,AB=3厘米，OB=4厘米， 同理可证△NBD∽△NOP,可求得NB=1.2米， 0E=-1,5=10F2米1 4-1.2=2.8(米). AB=3=2'B0=4=2 ∴小云身影的长度变短了，短了2.8米。 :∠EOF=∠ABO=90°， .△EOF∽△ABO. (2)在运动过程中，OE=1.5t厘米，OF=2t厘米 D--.C ,AB=3厘米，OB=4厘米， 器器 4.D5.B6.187.A8.B9.5.5 10.解：由题意，得CB⊥AB,ED⊥AD, 又，∠EOF=∠ABO=90°， ∠CBA=∠EDA=90. ∴.△EOF∽△ABO. ∠CAB=∠EAD, ∴.△ABC∽△ADE, ∴.∠EFO=∠AOB. .∠AOB+∠FOC=90°， .∠EFO+∠FOC=90°， 8器 即∠FCO=90°..EF⊥OA. 2 解得AB=12m, (AB=AD, 即小河的宽度为12m. ∠BAF=∠DAG, 11.解：由题意，得FCDE, AF=AG, BC FC △BFC∽△BED,BDDE' .△ABF≌△ADG(SAS)..BF=DG ..FD+DG=FD+BF=BD 即8C解得BC=3m 1.3相似三角形的性质 1.B2.B3.94.B5.B6.B7.8 AC=5.4m,∴.AB=5.4-3=2.4(m). 8.解：在Rt△ABC中，AB=10,AC=8,.BC=6. ,光在镜面反射中的反射角等于入射角， ·∠C=∠DEA=90°，∠A=∠A, ∴.∠FBC=∠GBA. '△ADE∽△ABC. 又，∠FCB=∠GAB '.△BGAC∽△BFC, :DE-3-=1,:SAAE1 BC-62SAANC4' 治跽9号 SAANC-2X8X6-24,.SAADE-6, 解得AG=1.2m, ∴.四边形DEBC的面积为24一6=18. 即灯泡到地面的高度AG为1.2m. 9.B10.C11.B12.√3 阶段检测一（1.1~1.2) 13.解：，在矩形EFGH中，EH∥FG,EH=GF, 1.D2.C3.C4.C5.C6.B .△AEHC∽△ABC 又AD⊥BC,,.AM⊥EH, 7.100°8.4或99.①②④ 10.解：(1)证明：，AB=AC,AD为BC边上的中线， ∴.BD=CD,AD⊥BC,∠B=∠C 腮0 DE⊥AB,.∠DEB=∠ADC, ,矩形EFGH的长与宽的比为3：2， ∴.△BDE∽△CAD. .设EH=3xcm,则MD=EF=2xcm,AM= (2)AB=AC,BD=CD,∴.AD⊥BC (12-2x)cm, 在R△ADB中，：AB=13,BD=号BC=5, 货-2解得=3 .AD=12. ∴.EH=9cm,EF=6cm, 号AD·BD-AB·DE, .矩形EFGH的周长为2×(9十6)=30(cm). 14.解：(1)证明：CF LAB,BE⊥AC, DE=器 ∴.∠AEB=∠AFC=90 '∠A=∠A,.△ABE∽△ACF. 11.解：(1)△ABC与△ADE相似.理由：BC⊥AC, 带肥福能 DE⊥AC,.DE∥BC .△ABC△ADE, 又，∠A=∠A,∴.△ABC∽△AEF. (2):△ABC△ADE, (2)(1)中的结论还成立. -能即00异 (3)在Rt△ABE中，，∠BAC=60°， BC20+21 ZABE=30福- 解得BC=19.8米， 即信号发射塔的高度为19.8米。 :a4g=1 12.解：(1)证明：由题意可得∠B=∠D=∠CFE.由 ·S△ABC =4 F是BD的中点可知BF=DF.在△DFG中， 专题一相似三角形的性质与判定 ∠D+∠DFG+∠DGF=180°，而∠DFG+ 1.D ∠CFE+∠BFH=180°， 2.解：(1)△APCc∽△PBD ∴.∠BFH=∠DGF 理由如下：PC=PD=CD, 又，∠B=∠D,.△BFH△DGF. ∴.∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°， 8源腮 ∴.∠ACP=∠BDP=120°. :∠A+∠APC=60°，∠APC+∠BPD= ,BF=DF,∴.BF2=BH·DG, ∠APB-∠CPD=120°-60°=60°， 即BH·GD=BF2. ∴.∠A=∠BPD, (2)BD .△APC∽△PBD 证明：，AGCE, (2)90 ∴.∠FAG=∠FCE,∠FGA=∠E. (3)2∠APB-∠CPD=180°. ,∠CFE=∠E,∴.∠CFE=∠FGA. 理由如下：PC=PD, ,∴.AF=AG ∠PCD=∠PDC, 根据题意可知∠BAD=∠FCE, ∴.∠PCA=∠PDB. ,.∠BAD=∠FAG .∠BAF+∠FAD=∠FAD+∠DAG. 当C品时，则有△APC△PBD, ∴.∠BAF=∠DAG. .∠A=∠DPB. 在△ABF与△ADG中， :∠APC+∠DPB=∠APB-∠CPD, ∴·∠PCD=∠PDC=∠A+∠APC=∠APB-∠CPD 在△PCD中，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°， 3