26.4 第3课时与坡度、坡角有关的实际问题-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(冀教版)

第3课时与坡度、坡角有关的实际问题（答案P24) 通基础> 通能力 知识点与坡度、坡角有关的实际问题 5.抽象能力》如图所示，某商场准备将自动扶梯 1.如图所示，河堤的横断面迎 改造成斜坡式.已知商场的层高AB为6m, 水坡AB的坡比是1：2，堤 ∠ACB为45°，改造后扶梯AD的坡比是 高BC=6m,则坡面AB的 1:2,则改造后扶梯AD相比改造前AC增加 长度是() 的长度是( A.10m B.12√2m C.65m D.6√2m 2.(2023·保定月考)某人沿着坡度为1：2的山 坡前进了100√5米，则此人所在的位置升高 A.6 m B.(12-62)m 了() C.(6√2-43)m D.(6√5-6√2)m A.100米 B.505米 6.新情境)雪上项目有自由式滑雪、越野滑雪、 C.50米 n0g5米 跳台滑雪、无舵雪橇、有舵雪橇、高山滑雪等。 某滑雪运动员在坡度为5：12的雪道上下滑 3.某人沿着山坡走到山顶共走了1000米，他 65m,则该滑雪运动员沿竖直方向下降的高度 上升的高度为500米，则山坡的坡度为 为() 坡角为 A.13m B.25mC.3mD.156m 播固不理解坡度的概念，出现错解 7.为积极宣传国家相关政策，某村在一山坡顶端 4.如图所示，已知某水库大坝的横断面是梯形 的平地上竖立一块宣传牌AB.如图所示，为测 ABCD,坝顶宽AD是6米，坝高24米，背水坡 得宣传牌的高度，小明站在山脚C处测得宣传 AB的坡度为1：3，迎水坡CD的坡度为 牌的顶端A的仰角为36.9°，已知山坡CD的 12. 坡度i=1:2,AB的高度为4米，山坡顶端D (1)求背水坡AB的长度， 与宣传牌底端B的水平距离为2米，求斜坡 (2)求坝底BC的长度， CD的长度.（精确到1米）（参考数据： 1:3 1:2 sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈ 0.75,5≈2.24) D 491=12 101 优学案课阴道 通素养 9.探究拓展如图所示，有两个长度相同的滑梯 (即BC=EF),左边滑梯的高度AC与右边滑 8.自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健 梯水平方向的长度DF相等， 身的人越来越多.为方便群众步行健身，某地 (1)求证：△ABC≌△DEF 政府决定对一段如图①所示的坡路进行改造. (2)若滑梯的长度BC=10米，DE=8米，分别 如图②所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度 求出滑梯BC与EF的坡度， 为1：√3.将斜坡AB的高度AE降低AC= (3)在(2)的条件下，由于EF太陡，在保持EF 20米后，斜坡AB改造为斜坡CD,其坡度为 长不变的情况下，现在将点E沿ED方向向下 1:4,求斜坡CD的长.（结果保留根号） 移动，点F随之向右移动.在移动的过程中，直 接写出△DEF面积的最大值. ① 2 一九年级上饰数学 102.AB=CF=CE-EF=390-207.6=182.4(m), ∴.隧道AB的长度约为182.4m. 第2课时与方向角有关的实际问题 1.C2.D3.D 4.解：(1)线段BQ与PQ相等.理由如下：由题意，得 D ∠PQB=90°-41°=49°，∠BPQ=90°-24.5°= 依题意，得∠BAC=15°，∠ABC=135°， 65.5,.∠PBQ=180°-49°-65.5°=65.5°， .∠ACB=30°，∠ABD=45°， ∴∠BPQ=∠PBQ,∴.BQ=PQ. 在Rt△ADC中，∠D=90°，∠ACB=30°， (2)连接AB.∠AQB=180°-49°-41°=90°， ∠PQA=90°-49°=41°， AD-AC-30/km.tan 30 ·AQ= PQ2400 c0s4≈0.75 =3200(m). ∴.CD=30/6km. 在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠ABD=45°， 又，BQ=PQ=2400m, ∠BAD=45°，.∠BAD=∠ABD, .AB2=AQ2+BQ=32002+24002, .AB=4000m,故A,B间的距离为4000m. ∴.AD=BD=30√2km,AB=√2AD=60km, 5.1006.(5√3+5) ∴.BC=(30√6-30√2)km, 7.解：(1)60 第一组用时：60÷40=1.5(h): (2)由题意，得∠CAB=65°-20°=45°，∠ACB= 第二组用时：(30√6-30√2)÷30=√6一√2≈ 60°，AB=60海里.如图所示，过点B作BE⊥AC于 2.449-1.414=1.035(h). 点E,∠AEB=∠CEB=90 .1.035<1.5, ∴第二组学生先到达目的地。 第3课时与坡度、坡角有关的实际问题 1.C2.A3.1:√330 4.解：(1)如图所示，分别过点A,D作AM⊥BC, DN⊥BC,垂足分别为点M,N.根据题意，可知 AM=DN=24米，MN=AD=6米. 在Rt△ABE中，∠ABE=45°， ∴，△ABE是等腰直角三角形， 在Rt△ABM中，A=子，二BM=72米. 六AE=BE=AB·sn45°=60x .AB2=AM2+BM2, 2=302(海里). ∴.AB=√24+722=2410（米）， 在Rt△CBE中，∠ACB=60°， 即背水坡AB的长度为24√10米. tn/ACB-8器. (2)在Rt△DNC中CN=2,CN=48米， .BC=72+6+48=126(米)， .CE= BE 302 tan60°- =10√6（海里）， √3 即坝底BC的长度为126米. AD .AC=AE十CE=30W2+10√6≈66.9（海里）. 1:3 2 即A,C两港之间的距离约为66.9海里. 8.解：(1)由题意，得∠PAB=30°，∠PBD=60°， B MN ∴∠APB=∠PBD-∠PAB=30. 5.D6.B (2)由(1)可知∠APB=∠PAB=30°， 7.解：如图所示，延长AB交CE于点E,过点D作 .PB=AB=40(海里). DF⊥CE于点F,则四边形BDFE是矩形， 如图所示，过点P作PD⊥AB于点D, ∴.BD=EF=2米，BE=DF. 在Rt△CDF中， 在Rt△PBD中，PD-BPsin60°=20√3（海里）. 山坡CD的坡度i=1:2, 20√3>30， ∴设DF=x米，则CF=2x米， ∴海监船继续向正东方向航行是安全的， .CE=CF+EF=(2x+2)米，AE=AB+BE= (4+x)米. 0 在R1△ACE中，an∠ACE-E-=an36.gr 0.75, 9.解：第二组学生先到达目的地.理由：如图所示，过点 A作AD⊥BC交CB的延长线于点D. .44x 2x+2-0.75,解得x-5, 24 ∴.DF=5米，CF=10米， ∴.CE=BF=AB+AF=170+21.9= ∴.CD=52+10=55≈11（米）， 191.9≈192(cm). 即斜坡CD的长度约为11米 即花洒顶端C到地面的距离CE约为 192cm. 170 2.解：过点C作CE⊥地面于点E,如图 D B 所示. ,两楼水平距离为15米， F E 且AB=2米，CD=4米， 8.解：斜坡AB的坡度为1：√3， .BE=15-2-4=9(米). .tan∠ABE= 13 53∠ABE=30 在R1△BCE中，cos30°=B C' 1 在Rt△AEB中，AB=200米， ∴.BC=BE· c0s30°=9X 2=63(米). AE=2AB=100米. 答：斜坡BC的长度为63米 AC=20米，.CE=AE-AC=80米. “答披CD的装度为114，是-，即2-子 甲 ○ 15米 解得DE=320米，∴.CD=√CE2+DE= D √802+320=80√17（米）. 7 AB 即斜坡CD的长是80√17米。 3.解：(1)如图所示，过点C作CD⊥AB交AB的延长 9.解：(1)证明：在Rt△ABC与Rt△DEF中， 线于点D,则∠CDB=90. .BC=EF,AC=DF, 由题意可知AC=600米，∠CAD=90°一60°=30°， ∴.Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). ∠BCD=45°， (2)Rt△ABC≌Rt△DEF,.AB=DE=8米. 由勾股定理，得AC=√BC一AB7=6米， CD=号AC=号×60=0（米），△BCD是等腰 1 ∴.DF=AC=6米， 直角三角形， 滑楼BC的旋度为6-是 .BD=CD=300米， .BC=√2CD=3002≈300X1.414=424.2≈ DE 4 滑梯EF的坡度为DF=3 424(米)， 答：菜鸟驿站C与超市B的距离约为424米. (3)设EF的中点为G,连接DG,如图所示. (2)小南上美术网课会迟到.理由如下： :△DEF为直角三角形，DG=号EF=5米。 AD-tan30°=3 在Rt△ACD中，tan∠CAD=CD ,△DEF在变化的过程中，EF始终为定值，若使 △DEF的面积最大，则点D到EF的距离最大， .AD=√3CD=300√3（米）， ∴.当DG⊥EF时，点D到EF的距离最大，即 ∴.AB=AD-BD=300√3-300≈219.6（米）， △DEF的面积最大， ∴.BC+AB≈424.2+219.6≈644（米）. ∴.△DEF面积的最大值为 ,644÷80≈8.05（分钟），8.05>7， ×10×5=25(平方米). 2 ∴小南上美术网课会迟到 北 C 451 :60P 专题六构造直角三角形解决实际问题 B D 1.解：如图所示，过点C作CF⊥AB于点F, 4.解：(1)作DH⊥AE于点H,如图所示 则∠AFC=90°. 在R△ADH中，AH-2' DH 1 在Rt△ACF中，AC=30cm,∠CAF=43°. ∠CF-C, ..AH=2DH. AH2+DH:=AD*, ∴.AF=AC·cos∠CAF≈30×0.73=21.9(cm), .(2DH)2+DH=(35)2,解得DH=3米. 25