24.3 一元二次方程根与系数的关系-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(冀教版)

24.3一元二次方程根与系数的关系答案7) (课程标准变动内容) 通基础》w999999999999999 (2)当m=2时，方程的根为x1,x2,求代数式 (x+2x1)(x+4x2+2)的值. 知识点围一元二次方程根与系数的关系 1.新视野若x1,x2是方程x2一6x一7=0的两 个根，则() A.x1十x2=6 B.x1十x2=-6 7 C.x1x2=6 D.x1x2=7 2.运算能力，一元二次方程x2十3x一1=0的两 根为工1x,则上+的值为( ) 愚稻固混淆一元二次方程根与系数的关系，造 成错解 A.2 B.-3 C.3 D.- 8.已知关于x的一元二次方程x2一8x一k2=0 3.(2023·邯郸月考)关于x的一元二次方程 (为常数). x2+bx十c=0的两个实数根分别为1和一1， (1)求证：方程有两个不相等的实数根. 则b2-c2的值为( (2)设x1,x2为方程的两个实数根，且x1十 A.-1B.1 C.2 D.-2 2x2=7,试求出方程的两个实数根和及的值. 4.(2023·保定莲池区期末)已知关于x的一元 二次方程x2一3x十2=0有两个不相等的实数 根x1,x2,则x子十x的值是( ) A.-7B.7 C.5 D.-5 5.(2023·石家庄裕华区期中)若m,n是方程 x2+2x一3=0的两个实数根，则代数式m2+ 3m十n= 6.若关于x的方程x2十(k一2)x十k2=0的两根 互为倒数，求的值. 9.已知x1,x2是关于x的方程x2+bx一3=0的 两根，且满足x1十x2一3x1x2=4,那么b的值 为() A.5 B.-5 C.4 D.-4 7.已知关于x的一元二次方程x2十(2m一1)x十 10.若a,b是一元二次方程x2+3x一6=0的两 m2一3=0有实数根， 个不相等的实数根，则a一3b的值是() (1)求实数m的取值范围. A.3 B.-15C.-3 D.15 一力九年级上州数学山 34 11.已知等腰三角形的三边长分别为a,b,4,且 通素养 a,b是关于x的一元二次方程x2-12x+ m十2-0的两根，则m的值是() 17.阅读理解阅读材料： A.34 B.30 材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx十 C.30或34 D.30或36 c=0(a≠0)的两个实数根x1,x2和系数a, 12.(2023·唐山路北区期中)已知一元二次方程 6,c有如下关系：西十x4=-6 :=a x2一4x十m=0的一个根为x1=1,则另一个 材料2：已知一元二次方程x2一x一1=0的 根x2一 两个实数根分别为m,n,求m2n十mn2的值. 13.(2023·承德月考)非零实数m,n(m≠n)满 解：，m,n是一元二次方程x2-x一1=0的 足m2-m-2=0,m2-n-2=0,则1+1- 两个实数根， .m十n=1,mn=一1. 14.已知关于x的方程x2一6x+k=0的两个根 则m2n十mn2=mn(m+n)=-1×1=-1. 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列 分别是工1，x2,且满足上十】=3，则k的 问题： 值是 (1)应用：一元二次方程2x2+3x一1=0的两 15.(2023·保定期末)已知关于x的一元二次方 个实数根为x1,x2,则x1十x2=, 程x2+(2m-1)x+m2-1=0. x1x2= (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围. (2)类比：已知一元二次方程2x2十3x一1=0 (2)若方程两实数根分别为x1,x2,且满足 的两个实数根为m,n,求m2十n2的值. x1十x号=9，求实数m的值. (3)提升：已知实数s,t满足2s2+3s一1=0， 22+36-1=0,且5≠4，求}-1的值. 16.若x1,x2是关于x的一元二次方程x2+ 2x+2m=0的两个根，是否存在m使x子十 x=0?若存在，求出m的值；若不存在，请 说明理由 635 优学案课时通一0.整理，得(7-4x)(8x-11)=0..7-4x=0,或 方，得x-2=土√5，x=2士√3.∴x1=2十√3，x2= 7 11 8x-11=0.x1=4x4=8 2-3 (3)原方程可化为(y一1)2-2y(y-1)=0,(y (4)移项，得x2-6x+9=0,则(x-3)2=0, 1)(y-1-2y)=0,(y-1)(-y-1)=0,得y-1= x1=x2=3. 0,或-y-1=0.∴.y1=1,y2=-1. 6.x1=2,x2=-7 13.解：(1)证明：(k-2)2-4k×(-2)=(k+2)2≥0， 7.A8.A9.C10.D11.4.8 不论飞为何值，这个方程都有两个实数根 12.解：(1)二 (2)kx2+(k-2)x-2=0(k≠0)， (2)3x(3x-1)=-(3x-1), 2 3x(3x-1)+(3x-1)=0, (kx一2)(x十1)=0，解得x=友x=-1. (3x-1)(3x+1)=0, 3x-1=0或3x+1=0, “该方程的两根均为整数，号为整数。 所以一方 1 ∴整数为士1或士2. 14.解：(1)①③ 13.解：(1)x2+8x=9, (2)证明：，一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0) x2+8x-9=0, 为“和谐方程”，∴.b=a十c, (x+9)(x-1)=0, .b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0， x十9=0或x-1=0, “和谐方程”总有实数根 解得x1=一9，x2=1. (3):一元二次方程a.x2+bx十c=0(a≠0)为“和 (2)3x2-5.x=2, 谐方程”，∴b=a十c. 3x8-5x-2=0, ,和谐方程ax2十bx+c=0(a≠0)有两个相等的 (3x+1)(x-2)=0, 实数根，.b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2=0, 3x十1=0或x-2=0, ∴a=c. 1 解得工1=一3x=2. 15.解：(1)a-3a-1=0(a≠0) (2)设x2+2x=y,原方程化为y2一y一6=0，解得 14.解：(1)小林的解法不正确.理由：小林在方程两边 y1=3,y2=-2.当y=3时，即x2十2x=3,解得 同除以含有未知数的代数式4x一1时，认定了 x=1或x=-3:当y=-2时，即x2+2x=-2, 4x一1≠0，忽视了4x一1=0的情况，所以漏掉了 x2+2x十2=0，b2-4ac=4-8=-4<0,无解.综 x=这个解。 上所述，原方程的解为x1=1,x2=一3. 24.3一元二次方程根与系数的关系 (2)移项，得(2y-1)2-3(1-2y)=0, (课程标准变动内容) 即(2y-1)2+3(2y-1)=0. 1.A2.C3.A4.C5.1 .(2y-1)(2y-1+3)=0. .2y-1=0或2y+2=0. 6.解：，x1x2=2,两根互为倒数，.k2=1.解得k=1 或-1. 1 y1=2y=-1. :方程有两个实数根，.(k一2)2一4k2≥0. 当k=1时，(k-2)2-4k2<0,应舍去， 阶段检测一（24.1~24.2)】 故k的值为-1. 1.B2.C3.B4.B5.B6.B 7.解：(1)由题意，得(2m-1)2-4(m2-3)≥0， 7.a≥48.149.010.k<4.5 11.解：，m是方程x2一x一2=0的一个实数根， 解得m<号 ∴.n2-m-2=0,.m2-m=2,m3-2=m, (2)当m=2时，方程为x2+3x十1=0， m-ma品+)小=2xm2+=2x x1十x2=一3，x1x2=1.方程的根为x1,x1, .x+3x1+1=0,x+3x2+1=0,.(x1+2x1)· (g+1-2×1+1)=4. (x+4x2+2)=(x+2x1十x1-x1)(x2+3x2十 x2+2)=(-1-x1)(-1+x2+2)=(-1-x1)· 12.解：(1)这里a=2,b=-4,c=-5. (x2十1)=-xg-x1x2-1-x1=-x2-x1-2= b2-4ac=(-4)2-4×2×(-5)=56>0. 3-2=1. 4±√56_4±2√/14_2±√/14 .x= 8.解：(1)证明：，b2-4ac=(-8)2-4×1×(-k2)= 2X2 4 2 64十4>0，.方程有两个不相等的实数根。 2+42-14 (2)由题意，得x1十x2=8,且x1十2x:=7, x1= 2 2 解得x1=9,x2=一1.将x2=一1代人原方程， (2)配方，得x2-4x+4=3,即(x一2)2=3.两边开平 得(-1)2-8×(-1)-k2=0,解得k=士3. 9.A10.D11.A12.313.-24.2 m2-1. x十x员+x1x2-17=(x1十x2)2-x1x2-17= 15.解：(1)方程有实数根， [-(2m+1)]2-(m2-1)-17=0, (2m-1)-4X1X(m2-1D≥0，解得m<号 5 解得m:=3m:=一3（不合题意，舍去）， (2),方程两实数根分别为x1,x2, x1十x2=-2m十1，x1·x2=m2-1. :m的值为 5 :x+x=9,.(x1十x2)2-2x1x2=9, 7.解：(1)证明：，一元二次方程x2十(2-m)x十 即(-2m+1)2-2(m-1)=9. 1-m=0,.b2-4ac=(2-m)2-4(1-m)=m2 解得m=3或m=一1. 4m十4-4十4m=m2. nst.im--1 m2≥0，该方程总有两个实数根 (2)一元二次方程x2十(2-m)x+1一m=0, 16.解：不存在.理由：：x1,x2是关于x的一元二次方 解方程，得x1=一1，xg=m一1. 程x2+2x十2m=0的两个根，.x1+x2=一2， m<0,.一1>m一1. x1·x2=2m,x十x=(x1十x2)2-2x1·x2=0, 该方程的两个实数根的差为3， .(-2)2-2·2m=0,解得m=1.当m=1时， .-1-(m-1)=3.∴.m=-3. b2一4ac=22-4×1×2=一4<0，此时方程无解， 8.-39.A 即不存在m使x十x=0. 10.解：(2c)2-4(a+b)(a+b)=4c8-4(a+b)2= 4(c十a十b)(c-a一b).,a,b,c分别是三角形的 17解：61)-名-号 三边长，∴.a十b>c,.c十a+b>0,c-a-b<0, (2),一元二次方程2x+3x一1=0的两根分别 .b2一4ac<0,∴.方程没有实数根. 11.解：(1)证明：b2-4ac=[-(m+2)]-4×2m= 为m,n,m十n=-3 1 2mn=-2 (m一2)≥0，.不论m为何值，该方程总有两个实 4+1=13 数根. 六m+2=(m十)2-2mn= 41 (2),AB,AC的长是该方程的两个实数根， (3),实数s,t满足2s2+3s-1=0,212+3t-1= .AB+AC=m+2,AB·AC=2m.,△ABC是 0,且s≠t, 直角三角形，∴.AB2十AC2=BC2,.(AB十 ∴.s,t是一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实 AC)2-2AB·AC=BC2,即(m+2)2-2×2m= 数根s十4=一多=一号 3,解得m=士5.又：AB·AC=2m,.m为正 数，m的值为5. -=u+0-4知=（引-4× 12.B 13解：，一次函数y=kx十b的图像不经过第二象 (》-只-=士四 限，.k>0,b≤0.在x2十kx十b=0中， 2 b2-4ac=k2-4b>0, 方程有两个不相等的实数根。 “11 ￥7 2 14.解：，一次函数y=kx十b的图像经过第一、二、四 =土√17. s t 1 象限，∴k<0,b>0,∴b<0. 又，b2-4ac=(-2√3)2-4×(kb+3)=-4kb> 专题二根的判别式的应用 0,'.关于x的一元二次方程x2一2√3x十kb十3=0 1.C 有两个不相等的实数根. 2.解：(1)当k=0时，方程为x2一3x十2=0，则(x 24.4一元二次方程的应用 1)·(x-2)=0,.x-1=0或x-2=0,解得x1= 第1课时面积问题 1,xg=2. 5 (2)证明：，b2-4ac=[-(k+3)]2-4×1×(2k+ 1.C2.80m3.C4B5.2cm6.C7.8 2)=k2+6k+9-8k-8=k2-2k+1=(k-1)≥8.59.A10.C11.D12.1m 0,∴无论k取任何实数，方程总有两个实数根 13.解：(1)设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC= 3.C4.A5.D 70-2x+2=(72-2x)m. 6.解：(1)根据题意，得(2m+1)2一4(m2-1)>0, 根据题意，得x(72-2x)=640. .4m2+4m+1-4m2+4>0, 化简，得x2-36x+320=0. 4m>-5im>-是 解得x1=16,x2=20. 当x=16时，72-2x=72-32=40, (2)根据题意，得x:十xg=一(2m十1)，x1x2= 当x=20时，72-2x=72-40=32.