2.6 第1课时几何图形问题与古代数学问题-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(北师大版)

6应用一元二次方程 第1课时 几何图形问题与古代数学问题（答案P11) 通基础> 一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的 价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽 知识点1一般图形问题 有x株，则符合题意的方程是() 1.应用意识》用一条长40cm的绳子围成一个 A.3(x-1)x=6210B.3(x-1)=6210 面积为64cm2的长方形.设长方形的长为 C.(3.x-1)x=6210D.3x=6210 xcm,则可列方程为() 5.(2023·宝鸡陇县三模)《田亩比类乘除捷法》 A.x(20+x)=64 B.x(20-x)=64 是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数 C.x(40+x)=64 D.x(40-x)=64 学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六 2.如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条金 十步，问长多阔几何”.意思：一块矩形田地的 色纸边，制成一幅矩形挂图，整个挂图的长为 面积为891平方步，只知道它的长与宽共 80cm,宽为50cm.如果风景画的面积是3500 60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得长 cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的 比宽多 步 方程是( 知识点3动点问题 6.如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AB= 8cm,BC=6cm.动点P,Q分别从点A,B同 80 时开始移动，点P的速度为1cm/s,点Q的速 A.(80-x)(50-x)=3500 度为2cm/s,点Q移动到点C后停止，点P也 B.(80-2x)(50-2x)=3500 随之停止运动.在下列时间中，能使△PBQ的 C.(80+x)(50+x)=3500 面积为15cm2的是( D.(80+2x)(50+2x)=3500 3.应用意识◆如图所示，某幼儿园有一道长为16 米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个 面积为120平方米的矩形草坪ABCD,该矩形 A.2秒钟 B.3秒钟 草坪BC边的长是 米。 C.4秒钟 D.5秒钟 16米 7.推理能力)如图所示，在△ABC中，∠A 90°，AB=24cm,AC=16cm,现有动点P从 点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点 C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速 知识点2古代数学问题 度是4cm/s,点Q的速度是2cm/s,它们同时 4.数学文化我国古代著作《四元玉鉴》记载“买 出发，经过 秒，△APQ的面积是 椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几 △ABC面积的一半？ 株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其 大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 6210文.如果每株橡的运费是3文，那么少拿 一九学级上用数学的 46 通能力● 户的长和宽各为多少？ (3)透进窗户的光线能达到9平方米吗？若 8.已知线段AB的长为2，以AB为边在AB的下 能，请求出这个窗户的长和宽；若不能，请说 方作正方形ACDB.取AB边上一点E,以AE 明理由 为边在AB的上方作正方形AENM.过点E作 EF⊥CD,垂足为点F,如图所示.若正方形 AENM与四边形EFDB的面积相等，则AE的 长为 9.学科融合》读诗词解题：（通过列方程式，算出 周瑜去世时的年龄)》 大江东去浪淘尽，千古风流数人物： 通素第》99n999999999999 而立之年督东吴，早逝英年两位数： 11.探究拓展如图所示，在菱形ABCD中，AC, 十位恰小个位三，个位平方与寿符： BD交于点O,AC=8cm,BD=6cm,动点 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ M从A出发沿直线AC以2cm/s的速度匀 速运动到C,动点N从B出发沿直线BD以 1cm/s的速度匀速运动到D.若点M,N同 时出发，出发后几秒时，△MON的面积为菱 形ABCD面积的2？ 10.应用意识》如图所示，用一根12米长的木材 做一个中间有一条横档的日字形窗户.设 AB=x米 (1)用含有x的代数式表示线段AC的长， (2)若使透进窗户的光线达到6平方米，则窗 47 优学案课时通·5一元二次方程的根与系数的关系 (3):实数5，t满足2s2-35-1=0,212-31-1=0,且5≠t, (课程标准变为考查内容) ∴s与：可以看作是一元二次方程2x一3x一1=0的两个不 1.A2.D3.54.D5.2 相等的实数根 6.解：(1)x1,x:是一元二次方程x2-3x一1=0的两根， 3 1 六5十t=之，m-2 x1十x:=3,x1x2=一1， x12+x22=(x1十x)2-2x1x2=32-2X(-1)=11. ∴.(s-t)2=(s+)2-4st, (2)”x1,x2是一元二次方程x2一3x一1=0的两根， -0-(经）-4x(←》 工1十x1=3x1x2=-1, +1+3 0-号 工1xgx1x 7.C8.A9.3 -=±厘 2 -13 10.解：1)由4≥0，得(2k-3)2-4(2-1)≥0，解得k≤2 ,11 (2)x1十x:=-(2k-3),x1·x1=k2-1,x+x=1- x1x2,.(x1十x2)2-x1x1=1, -I-s [-(2k-3)]2-(k2-1)=1,解得k1=1,k:=3. =-(-1) <是6=1 11.A12.D13.D ①7 2 14号或-6 1 2 15.解：(1)根据题意，得△=[一2(m+1)]一4(m+5)≥0，解 =±17 得m≥2， x1十xg=2(m+1),x1x2=m+5. 6应用一元二次方程 (x1-1)(x2-1)=28, 第1课时几何图形问题与古代数学问题 即x1x2-(x1十x:)+1=28, 1.B2.B3.124.A5.66.B7.2或12 ∴.m2+5-2(m+1)+1=28, 8.5-1 整理，得m3-2m一24=0， 9.解：设周喻去世时的年龄的个位数字为x,则十位数字 解得m1=6,m2■一4. 为x-3. m≥2，.m的值为6. 由题意得10(x一3)十x=x2,解得工1=5，xg=6. (2):x1,x:恰好是△ABC另外两边的边长，而等腰三角形 当x=5时，周瑜的年龄为25岁，非而立之年，不合题意， ABC的一边长为7， 舍去： ,①当腰长为7时，x=7必是一元二次方程 当x=6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意. x2-2(m十1)x十m2+5=0的一个根， 答：周瑜去世时的年龄为36岁. 把x=7代入方程，得49-14(m+1)十m2+5=0, 10.解：1)根据题意，得AC=12,3江米 整理，得m2一14m十40=0，解得m1=10,m2=4. 2 当m=10时，x1十x2=2(m+1)=22,解得x2=15,而7+7 (2)由题意，得x.12,3江=6，解得1=，=2， <15,故舍去. 2 当m=4时，x1十x1=2(m十1)=10，解得x2=3,则三角形 12,3江=3. 周长为3+7+7=17. 2 ②当底边长为7时，x1=x2,则△=0，即m=2,方程化为 窗户的长为3米，宽为2米 x2-6x十9=0，解得x1=x2=3.3+3<7,故舍去. (3)不能. 综上这个三角形的周长为17. 理由：根据题意，得工·12,3江=9， 2 16解：D号号 1 整理，得x24x十6=0， (2)",一元二次方程2x2一3x一1=0的两根分别为m,n, △=b2一4ac=16一24=一8<0，故此方程没有实数根， ,.透进窗户的光线不能达到9平方米， 1 1L.解：设出发后x秒时，S△0w=2S表彩D: 1 1 =n十m :S题指Am=2AC·BD=交X8×6=24(cm), mn -m十n)产-2mm SAMN=25稀Am=2cm2. ①当x≤2时，点M在线段AO上，点N在线段BO上，有 ()-2x(-》 （4-2x)(3-x)=2,解得x1=1,=4(舍去)，x=1. 1 ②当2<x≤3时，点M在线段OC上，点N在线段BO上， 13 有号(2x-403-x)=2,化简为2-5x+8=0,此时4- 一 25一32=一7<0，原方程无实数根. 11 ③当3<x≤4时，点M在线段OC上，点N在线段OD上， 解得n1=20,n:=一25（舍去）. 有2(2x-4)(x-3)=2,解得工1=1（舍去），x4=4, ∴此时n的值为20. (4)不存在，理由如下： x=4 在第n个图中，白瓷砖块数可表示为n(n十1)， 综上所述，出发后1s或4s时，S△0v=12S黄形ABcD 当黑白瓷砖块数相等时，有方程n(n+1)=(n十3)(n十2) n(n十1). 第2课时利润问题与增长率问题 整理，得n2一3n-6=0. 1.A2.(40-x)(30+6x)=2100 3.解：(1)①30-x②20+5x 解得%，-3+压3二丽 2 2 (2)根据题意，得(30一x)(20十5x)=1200,整理，得(x 由于1的值不是整数，2的值是负数，故不存在黑瓷砖与 6)(x一20)=0，解得x=20或x=6.超市要尽快减少库 白瓷砖块数相等的情形， 存，∴.每箱应降价20元 专题四一元二次方程与其他知识的综合运用 4.D5.20% 6.解：设2021年到2023年该校购书费用的年平均增长率为x, 1.B2.B32号米 则根据题意得10000(1十x)2=14400, 4.解：(1)由题意，得AP=tcm,PC=(6一t)cm,CQ=2tcm 解得x=0.2,或x=一2.2（舍去）， .2021年到2023年该校购书费用的年平均增长率为20%. 21<8,则号×24(6-)=5t<4.整理，得-6+5=0，解 7.118.D 得t1=1,t1=5(舍去).∴.当t为1时，△PCQ的面积为 9.解：(1)设该商品平均每月的价格增长率为m.依题意，得 5 cm. 50(1+m)2=72,解得m1=0.2=20%,m:=-2.2(不合题 (2)不存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积 意，舍去)， 答：该商品平均每月的价格增长率为20%， 的-半.理由：由题意：得SAx-号×AC·BC-子×6× (2)依题意，得(x一40)[188十(72一x)]=4000,整理， 得x-300x十14400=0，解得x1=60,x2=240.:商家需 8=24(cem,即2×2X(6-)=号×24，整理，得2-6十 尽快将这批商品售出，x=60.答：当x为60时，商品每月 12=0,4=(-6)一4×12=一12<0，该方程无实数根，故不 的利润可达到4000元. 存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半. 10.解：(1)设2021年到2023年该品牌足球单价平均每年降低 5.30或32 的百分率为x. 6.解：设道路的宽应为x米，根据等量关系列方程，得(50一2x)· 根据题意，得200×(1一x)2=162,解得x1=0.1=10%, (38-2x)=1260,整理，得x2一44x+160=0,解得x1=4, x:=1.9(舍去). x:=40(舍去).答：道路的宽应为4米 答：2021年到2023年该品牌足球单价平均每年降低的百分 7.A8.A 率为10%. 9.解：1)y=一20x+8 (2)买90个赠9个，再多买1个，共买91个，即可得到 100个， (2)根据题意，得u-40)(-六+8)-120=56， 在A商场购买足球需要的费用为 解得x1=90,x:=110. 162×91=14742(元). ,x≤100， 在B商场购买足球需要的费用为 x=90. 162×100x品=14580（元. 答：当年的销售单价为90元. 14742>14580. 本章综合提升 答：去B窗场购买足球更优惠： 【本章知识归纳】 第3课时利用一元二次方程解决其他问题 ax+bx十c=0ax2+bx十c=0ax2bzc直接开平方 1.C2.B3.B4.C5.C6.C7.C8.119.D10.9 完全平方式x= -b士√6-4ac 求根公式不相等相等 11.解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌 2a 根据题意，得60(1十x)2=24000. b c 解得x1=19,x4=-21(不合题意，合去). 没有0乘积一。a 【思想方法归纳】 ∴每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌。 【例1】思路分析：利用因式分解法解一元二次方程即可 (2)经过三轮培植后，得60(1+19)=60×20=480000（个）. .经过三轮培植后共有480000个有益菌】 解：3(2x-3)2=2(2x-3),3(2x-3)°-2(2x-3)=0,(2x 12.解：设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(x十3)， 3(6:-9-2)=0,2z-3=0或6r-1=0,解得=号 根据题意，得[10(x十3)十x](10x十x+3)=1300, 11 整理，得x2+3x一10=0， z:=6 解得x1=一5（不符合题意，舍去），x2=2, 【变式训练1】 .10(x+3)+x=10×(2+3)+2=52. 解：(1)(x-1)=9(2x+5)2,x-1=士3(2x十5)，x-1= 答：这个两位数为52. 13.解：(1)(n+3)(n+2) 3(2x+50或x-1=-3(2x+50,∴x1=-x,=-2. (2)y=(n+3)(n+2). 【例2】思路分析：首先分a为1与a不为1两种情况考虑，当a (3)由题意，得(n+3)(n十2)=506， 不为1，根的判别式大于等于0时，利用求根公式求出解：根的 12