2.1 认识一元二次方程-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(北师大版)

第二章一元二次方程 大单元建构 解及近似解 (项及系数 一股形式 定文 认识元 一次方程 h法 (两根之和 元一次 根与系数 (公式达， 的大系 〔根之积 方程的法 (因式分鲜法 几问图形问题 一元二次方程 连续增长阿题 4ne>0 人 利润问邀 数位阿题 b2-4a=0 根的 判别式 应用 动点间题 b分-4ac<0 步蓉一审一设一→列一解→验一→答 本章核心素养 学科核心素养 具体内容 经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有 抽象能力 效数学模型 利用几何图形面积公式探究出一元二次方程概念的过程，借助几何直观可以把复杂的数学问题 几何直观 变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路 运用几何图形面积公式探究出一元二次方程.在探究的过程中，感受数学知识之间的联系，形成 推理能力 有依据，有条理、合平逻辑的思维习惯，进一步提高逻辑推理能力 运算能力 掌握一元二次方程的解法，进行解一元二次方程的运算 应用意识 通过熟悉各数量间关系，建立一元二次方程的关系式，联系实际解决具体问题 通过丰富的实例，让学生合作探讨，提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该 模型观念 模型解决实际问题 27 优学棒课时温一 1认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程（答案P7) 通基础》9 圖错围忽略一元二次方程中的隐含条件“a≠0” 7.(2023·常州期中)已知关于x的一元二次方 知识点1一元二次方程的定义 程(a一1)x2+x十a一1=0的常数项是0，则 1.下列方程是一元二次方程的是( a的值为( A.x2-1=2 B.x(x-1)=x2+1 A.1 B.2 C.-1 D.1或-1 C.5.x2-6y-2=0 D.x(x-1)=0 通能力 3y3213223>》333》2>>2>>79》>>>>2>>7 2.方程(a一2)x+ax十b=0是关于x的一元二 8.若关于x的一元二次方程(3a一6)x2+(a2 次方程，则a的取值范围是( 4)x+a+9=0没有一次项，则a的值 A.a≠0 B.a≠2 为( C.a=2 D.a=0 A.2 B.-2 C.±2 D.±3 知识点2一元二次方程的一般形式 9.几何直观》如图所示，小明同 3.方程2x2十1=3.x的二次项系数和一次项系数 学用一张长11cm,宽7cm的 分别为() 矩形纸板制作一个底面积为 A.2和3 B.2和一3 21cm2的无盖长方体纸盒.他将纸板的四个角 C.2和-1 D.2和1 各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折 4.(2023·沈阳铁西区期中)若关于x的一元二 叠即可（损耗不计）.设剪去的正方形边长为 次方程(a十2)x2-3a.x十a-6=0的常数项为 xcm,则可列出关于x的方程为 0,则a的值为 10.已知方程(m-3)x-7+(m-2)x十5=0. 知识点3根据实际问题列一元二次方程 (1)当m为何值时，方程是一元二次方程？ 5.(2023·哈尔滨中考)为了改善居民生活环境， (2)当m为何值时，方程是一元一次方程？ 某小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的 长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空 地的长为x米，根据题意，所列方程正确的 是( 通素养 A.x(x-6)=720 11.试证明：关于x的方程(a2一8a+20)x2+ B.x(x+6)=720 2a.x十1=0无论a取何值，该方程都是一元 C.x(x-6)=360 二次方程。 D.x(x+6)=360 6.抽象能力某校截止到2022年底，校园绿化面 积为1000平方米.为美化环境，该校计划 2024年底绿化面积达到1440平方米.利用方 程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为 x,则依题意列方程为 一九年级·上暗数学正 28 第2课时 一元二次方程的解的估算（答案7） 通基础> 通能力 翅识点1一元二次方程的解 7.根据下表可知，方程x2十3x一5=0的一个近 1.以一2为根的一元二次方程是( 似解为( ) A.x2-x+2=0 B.x2-x-2=0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 C.x2十x+2=0 D.x2+x-2=0 x2+3x-5 -1-0.490.040.591.16 2.(2023·镇江中考)若x=1是关于x的一元二次 A.1.1 B.1.2 C.1.3 D.1.4 方程x十mx一6=0的一个根，则m 8.我们知道，若关于x的一元二次方程a.x2十 3.关于x的一元二次方程(a一1)x+5.x十a2 b.x十c=0(a≠0)有一个根是x=1,则a十b十 1=0的一个根是0，求a的值. c=0.若9a+c=3b,则方程a.x2+bx+c=0 的另一根为 9.若a是关于x的一元二次方程x2=3.x十4的 根，求代数式(a+4)(a一4)-3(a一1)的值. 知识点2一元二次方程的近似解 通素养 4.根据表格对应值： 10.阅读与思考： 1.1 1.2 1.3 1.4 下面是小华求一元二次方程的近似解的过 ax2+bx+c -0.59 0.84 2.29 3.76 程.关于x的方程(8一2x)(6一2x)=12,整 理得x2一7x十9-0.下面是他的探紫过程. 判断关于x的方程ax2+bx十c=3的一个解 第一步： x的范围是( A.1.1<x<1.2 B.1.2<x<1.3 中 -1 0 2 C.1.3<x<1.4 D.无法判断 x2-7x+9 17 9 5.根据下表提供的信息，下列数中最接近方程 因此，方程的近似解： x x2一3x一5=0的解的是 第二步： 2 1.5 1.6 1.7 1.8 x2-3x-5 5 x2-7x+9 0.75 0.36 -0.01 -0.36 精固忽略二次项系数α≠0的前提条件 因此，方程的近似解： KI< (1)请你帮助小华完成表格中未完成的部分， 6.关于x的一元二次方程(m十2).x2十x十m2 并写出x的范围 4=0有一根为0，则m的值为() (2)通过以上探索，请直接估计出x的值 A.2 B.-2 C.2或-2D.2 为 ,(结果保留一位小数) 29 优学嫌说的温(2)在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B=60°， (2)(m-3)x2-1+(m-2)x+5=0是一元一次方程， BC=6,△BCD为等边三角形，，AD=DB=CD=6, ∴①当m3-7=1时，m=土22，此时 ,∴.AB=12,由勾股定理得AC=6√3. m一3≠0，m一2≠0，m一3十m一2≠0，符合题意 ,四边形DBCE是平行四边形，.DE=BC=6. ②当m一3=0且m一2≠0时，解得m=3. S兼形ADCE AC·ED_63X6=183. 故当m为3或士2√2时，方程是一元一次方程. 2 2 11.解：(1)证明：，四边形ABCD是正方形， 11.证明：：a2-8a十20=(a-4)°+4≥4，.无论a取何值， ∴.AD=BC,∠DBC=∠ADB=45. a2一8a十20≥4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都 ,CG∥AP,.∠BGC=∠BFP. 不会等于0，.关于x的方程(a2一8a十20)x十2ax+1= ∠BFP=∠AFD,∴，∠AFD=∠BGC 0,无论a取何值，该方程都是一元二次方程. ∠AFD=∠BGC, 第2课时一元二次方程的解的估算 在△ADF和△CBG中， ∠ADB=∠CBD, 1.D2.5 AD-BC, 3.解：当x=0时，a-1=0,解得a1=-1,a2=1. ∴.△ADF≌△CBG(AAS). 又原方程为一元二次方程，a≠1，.a=一1. (2)四边形AGCF是菱形.理由如下： 4.C5.x=46.A7.B8.x=-3 连接AC,设AC与BD交于点O,如图所示. 9.解：根据题意知a2=3a十4，∴a2-3a=4,则 D (a+4)(a-4)-3(a-1)=a2-16-3a+3=a2-3a-13= 4-13=-9. 10.(1)3-1121.61.7 (2)1.7 2用配方法求解一元二次方程 :四边形ABCD是正方形， 第1课时用配方法求解简单的一元二次方程 .OA=OC,OB=OD,AC⊥BD 由(1)知△ADF2△CBG, 1.B2.A3.-54.4或-2 ..DF=BG,..OB-BG=OD-FD. 5.解：(1)两边开平方，得x一1=6或x一1=一6， OG=OF..OG=OF.OA=OC. 解得x1=7,x2=一5. ∴四边形AGCF为平行四边形. (2)两边同除以2，得(x一1)2=8. :AC⊥FG,.平行四边形AGCF是菱形. 两边开平方，得x一1=土2√2， 【通中考】 x1=1+22,x1=1-22. 12.C13.2514.2 (3)移项，得(2y-3)2=64. 15.证明：(1)∠ABO=∠DC0=90°，∴AB/CD,∴∠A=∠D. 两边开平方，得2y一3=士8， 在△AOB与△DOC中， 即2y-3=8或2y一3=-8， I∠A=∠D, …y1=5.5,y=-2.5. ∠ABO=∠DCO 6.C7.D8.(x-4)2=99.13 OB=CO. ,.△AOB≌△DOC(AAS), 10.解：(1)移项，得x2一6x=15, ∴.A0=DO. 配方，得x2-6x十9=15十9，(x-3)2=24, 点E,F分别是AO,DO的中点， 开方，得x一3=±26， ∴0E=20A,0F=20D,∴0E=0F, x1=3+26,x1=3-26. (2)移项，得x+2x=3, (2)OB=OC,OE=OF,四边形BECF是平行四边形. 配方，得x2+2x十1=3十1，(x十1)2=4， :∠A=30,0B=20A=0E.0E=0F,0B=0C, 开方，得x十1=士2， ∴BC=EF,∴平行四边形BECF是矩形. x1=1,x2=-3. 第二章一元二次方程 11.±612.D13.C 14.1或-315.2 1认识一元二次方程 16.解：(1)整理，得(y十2)2=12， 第1课时一元二次方程 两边开平方，得y十2=土23， 1.D2.B3.B4.65.A 6.1000(1+x)2=1440 y1=23-2,y2=-25-2. 7.C8.B 移项得一号-1 9.(11-2x)(7-2x)=21 10.解：(1)(m-3)x1+(m-2)x+5=0是一元二次方 配方得-号+（信）-1+（传）八， 程，∴.m2一7=2且m-3≠0，解得m=-3. 故当m为一3时，方程是一元二次方程. (-3）广-品