1.3 第2课时正方形的判定-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(北师大版)

第2课时 正方形的判定（答案P4) 通基础 5.(2023·十堰中考)如图所示，□ABCD的对角 线AC,BD交于点O,分别以点B,C为圆心， 知识点1正方形的判定 1.已知在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C= AC,BD长为半径画弧，两弧交于点P,连 90°，如果添加一个条件，使得该四边形成为正 接BP,CP. 方形，那么所添加的这个条件可以是( (1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由. A.∠D=909 B.AB=CD (2)请说明当□ABCD的对角线满足什么条件 C.AB=BC D.AC=BD 时，四边形BPCO是正方形？ 2.当一个四边形的两组对边分别平行，四条边都 相等，四个角都相等时，这个四边形是( A.平行四边形 B.正方形 C.菱形 D.长方形 3.推理能力如图所示，在矩形ABCD中，对角 线AC,BD相交于点O,试添加一个条 件 ,使得矩形ABCD为正方形， 4.如图所示，有4个动点P,Q,E,F分别从正方 形ABCD的4个顶点出发，沿着AB,BC, CD,DA以同样的速度向B,C,D,A各点移 动.判断四边形PQEF的形状，并说明理由. 知识点2中点四边形 6.新视野如图所示，已知点E,F,G,H分别是 菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH 是() A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形 7.顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是 正方形，则原四边形可能是() A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 一九详级上饰数学 16 通能力> 8.如图所示，在菱形ABCD中，点E,F,G,H分 11.探究拓展如图所示，在△ABC中，点O是 别是边AB,BC,CD和DA的中点，连接EF, 边AC的上一个动点，过点O作直线MN∥ FG,GH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确 BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交 的是() △BCA的外角平分线于点F. A.AB=√2EF B.AB=2EF (1)探究OE与OF的数量关系并加以证明. C.AB=/3EF D.AB=/5EF (2)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE 可能是菱形吗？若可能，请加以证明：若不可 能，则说明理由， (3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四 边形AECF是矩形，请说明理由 第8题图 第9题图 (4)在(3)问的基础上，△ABC满足什么条件 9.如图所示，菱形ABCD的边长为4，∠DAB= 时，四边形AECF是正方形？请说明理由. 60°，对角线AC,BD相交于点O,点E,F同时 从点O出发，在线段AC上以0.5cm/s的速 度反向运动（点E,F分别到达A,C两点时停 止运动)，设运动时间为ts.连接DE,DF, BE,BF,当t=s时，四边形DEBF 为正方形 10.如图所示，在四边形ABCD中，∠A=∠B= 90°，将△AED,△DCF分别沿着DE,DF翻 折，点A,C都分别与EF上的点G重合. (1)求证：四边形ABCD是正方形 (2)若AB=6,点F是BC的中点，求AE 的长 17 优学案课时通3正方形的性质与判定（课程标准变动内容） 第2课时正方形的判定 第1课时正方形的性质 L.C2.B3.AC⊥BD(答案不唯一) 1.A2.C3.B4.20°5.56.2 4.解：四边形PQEF是正方形. 7.解：(1)证明：，四边形ABCD是正方形，.AD=AB 理由：在正方形ABD中，AP=BQ=CE=DF,AB=BC= ∠DAP=∠BAP=5.在△ABP和△ADP中，AB=AD CD=DA. ∠BAP=∠DAP·AP=AP,∴.△ABP≌△ADP(SAS), ,.BP=QC=ED=FA」 ∴.BP=DP 又，∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°， (2).AB=AP,.∠ABP=∠APB ∴.△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF(SAS) 又∠BAP=45,∴.∠ABP=67.5 .FP=PQ=QE=EF,∠APF=∠PQB,.四边形PQEF 7 为菱形. 8.60或120°9.B10.2 :∠PQB+∠BPQ=90°，∠APF+∠BPQ=90, 11.解：(1)证明：在正方形ABCD中，AD⊥CD,GE⊥CD, ,.∠FPQ=90°， ∴.∠ADE=∠GEC=90°， ∴菱形PQEF为正方形， .ADGE,.∠DAG=∠ECH. 5.解：(1)四边形BPCO为平行四边形 (2)AH⊥EF,理由：连接GC交EF于点O,如图所示 :BD为正方形ABCD的对角线， 理由：四边形ABCD为平行因边形，OC=0M=号AC, ∴.∠AIDG=∠CDG=45",又，'DG DG,AD=CD..△ADG≌△CDG OB=OD=豆BD.:分别以点B.C为圆心，壹AC,专BD (SAS),.∠DAG=∠DCG.在正方形 长为半径商弧，两弧交于点P,OB=CP,BP=OC,∴四边 ABCD中，∠ECF=90°.又，GE⊥CD. 形BPCO为平行四边形. GF⊥BC,∴.四边形FCEG为矩形， (2)当AC⊥BD,AC=BD时，四边形BP)为正方形 .OE=OC',.∠OEC=∠O0CE AC⊥BD,.∠BC=90°，.平行四边形BPCO为矩形. ∴.∠DAG=∠OEC.由(1)，得∠DAG=∠EGH, 1 ,'.∠EGH=∠OEC..∠EGH+∠GEH=∠OEC+ AC=BD,0B=号BD,0C=号AC,0B=0C,矩形 ∠GEH=∠GEC=90°，∴.∠GHE=90°，.AH⊥EF BPC)为正方形 12.解：(1)证明：如图①所示，设∠1，∠2. 6.B7.D8.D9.4 ,四边形ABCD是正方形，AE⊥EF,AB=BC, 10.解：(1)证明：由翻折的性质可知： ∴.∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°， △ADE≌△GDE,△DCF≌△DGF, ∠1=∠2.点H,E分别是边AB,BC的中点 ∴.AD=DG=DC,∠A=∠DGE=90°，∠C=∠DGF= ..BH=BE=AH-CE, 180°-90°=90°. ∠B=90°，.四边形ABCD是矩形 六∠BHE=45.:∠FCG=2∠DCG=45, ·DA=DC,矩形ABCD是正方形 .∠AHE=∠ECF=135 (2)设AE=EG=x,则BE=6-x. 在△AHE和△ECF中， ,点F是BC的中点，.BF=C, ∠1=∠2. AB=BC=6.BF=FC=GF=3. AH=CE. ∴FF=x+3.BF=3.在Rt△BEF中， ∠AHE=∠ECF, .EF BE+BF, .△AHE≌△ECF(ASA), ∴.(x+3)2=(6-x)2十3，.x=2. .AE=EF .AE的长为2 11.解：(1)OE=OF 证明：，MN∥BC,∴.∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF,义 CE平分∠BCO,CF平分∠DCO,,∠OCE=∠BCE, ∠OCF=∠DCF,.∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC, .EO=CO.FO=CO...OE=OF. (2)不可能.理由：如图所示，连接BF,:CE平分∠ACB, CF平分∠ACD, (2)AE=EF仍然成立 ∴∠BCF=号∠ACB+号∠ACD=∠ACB+∠ACD) 1 1 证明：如图②所示，延长BA到点M,使AM=CE ,∠AEF=90°，∴.∠FEG十∠AEB=90, 90°，若四边形BCFE是菱形.则BF⊥EC,但在△GFC中，不 :∠BAE+∠AEB=90°， 可能存在两个角为90°，，.不存在四边形BCFE为菱形. .∠BAE=∠FEG, .∠MAE=∠CEF.:AB=BC, ∴.AB+AM=BC+CE, 即BM=BE,.∠M=45, .∠M=∠FCE. 在△AME和△ECF中， (3)当点O运动到边AC的中点时，四边形AECF是矩形。 I∠MAE=∠CEF, 理由如下：，当点O运动到AC的中点时，AO=CO AM=CE. 又，EO=FO,,四边形AECF是平行四边形.，F)=CO ∠M=∠FCE, .AO=CO=EO=FO.,∴.AO+CO=EO+FO,即AC= ∴.△AME2△ECF(ASA), EF,平行四边形AECF是矩形. ∴.AE=EF. (4)当点O运动到AC的中点，且满足△ABC是∠ACB为 直角的直角三角形的条件时，四边形AECF是正方形. ∴.∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF, 理由：由(3)知，当点O运动到AC的中点时，四边形 ,.∠EBF=∠DBC=60 AECF是矩形，已知MN∥BC,当∠ACB=90°时，则 又BE=BF, ∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，∴.AC⊥EF,. ,∴.△BEF是等边三角形， 矩形AECF是正方形. .EF=BE=BF,当BE⊥AD,即E为AD的中点时，BE有 专题一特殊平行四边形中的折叠问题 1.D2.B3.34.3+15.2或23-2 最小值V个一？=2,5，此时△BEF的面积为 ×(23)= 6.解：：将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处。 33. EG=AE. ,.△BEG的周长为EG十BE十BG=AB十BG 4B5(3,专) :四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°， 6,解：如图所示，取AB的中点E,连接OE,DE,OD.OD≤ .AB=AD,∠DAB=60, OE十DE,.当O,D,E三点共线时，点D到点O的距离最 ∴.△ABD是等边三角形，.AB=BD=2十6=8， 大，此时OD=OE+DE △BEG的周长为8+6=14. ,AB=2,BC=1, 7B8B号 OE=AE=号AB=1, 10.证明：(1)由折叠的性质，得CD=ED,BE一BC, DE=√AD+AE=+I下=2， 四边形ABCD是矩形， ∴OD的最大值为2+1. ,AD=BC,AB=CD,∠BAD=90°， M AB=DE,BE=AD」 又，BD=BD, .△ABD≌△EDB(SSS). ∠EBD=∠ADB,∴.BF=DF, (2)AD=BE.DE=AB.AE=AE. .△AED2△EAB(SSS), 7.B8.D9.C10.35-3 &∠AEB=∠EAD=I8O-∠AFE, 11.解：(1)结论：AMLBN. 证明：，四边形ABCD是正方形， 由I)知，∠EBD=∠ADB=名(180-∠BFD). ∴.AB=BC,∠ABM=∠BCN=90. BM-CN. '∠AFE=∠BFD. .△ABM≌△BCN(SAS). ∴.∠AEB=∠EBD,.AE∥BD ∴.∠BAM=∠CBN. 11.B12.60120 ∠CBN+∠ABN=90°， 13.解：(1)由折叠知BE=EM,∠B=∠EMP=90°，△AEM的 .∠ABN+∠BAM=90, 周长=AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM. ∴.∠APB=90°，.AM⊥BN. :AB=AD=4,M是AD的中点， (2)如图所示，以AB为斜边向外作 .△AEM的周长为4十2=6(cm) 等腰直角三角形AEB,∠AEB= (2)EP-AE+DP. 90°，作EF⊥PA于点F,作EG⊥ 理由如下：如图所示，取EP的中点 PB交PB的延长线于点G,连 G,连接MG,划在梯形AEPD中，MG 接EP 为中位线， :∠EFP=∠FPG=∠G=90°， AMG=号AE+PD.在R△EMP .四边形EFPG是矩形， .∠FEG=∠AEB=90°， 中，MG为斜边EP的中线，∴.MG= .∠AEF=∠BEG. 2EP.EP-AE+DP. 又，'∠EFA=∠G=90,EA=EB, .△AEF≌△BEG(AAS) 专题二特殊平行四边形中的最值问题 .EF-EG.AF-BG. 1.A2.5 .矩形EFPG是正方形，.PA十PB=PF+AF十PG一BG 3.解：(1)证明：：四边形ABCD是边长为4的菱形，BD=4, =2PF=2EF ,△ABD,△CBD都是边长为4的等边三角形. :EF≤AE.∴EF的最大值为AE=2V2, AE+CF=4,CF=4-AE-AD-AE=DE .△APB周长的最大值为4+42. 在△BDE和△BCF中， 本章综合提升 DE=CF, ∠BDE=∠C=60', 【本章知识归纳】 BDBC-4: 相等垂直垂直相等一半直角 .△BDE≌△BCF(SAS),'.BE=BF 直角相等一半相等直角相等 (2):△BDE≌△BCF,∴∠EBD=∠FBC, 直角直角相等相等垂直平分 相等垂直直角相等 5