1.3 第1课时正方形的性质-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(北师大版)

3 正方形的性质与判定（课程标准变动内容） 第1课时 正方形的性质（答案P4) 通基础> 6.(2023·宁夏中考)如图所示，在边长为2的正 方形ABCD中，点E在AD上，连接EB,EC, 知识点正方形的性质 则图中阴影部分的面积是 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质 是() A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 7.(教材P21随堂练习T2变式)如图所示，在正 D.对角线互相垂直平分 方形ABCD中，P是对角线AC上的点，连接 2.(2023·自贡中考)如图所示，边长为3的正方 BP,DP. 形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的 (1)求证：BP=DP 坐标是() (2)如果AB=AP,求∠ABP的度数. A.(3,-3) B.(-3,3) C.(3,3) D.(-3,-3) 0 B 第2题图 第3题图 3.如图所示，O为正方形ABCD对角线AC的中 点，△ACE为等边三角形.若AB=2,则OE 的长度为( ) A B.√6 C.2√2 D.23 4.如图所示，将三个同样的正方形的一个顶点重 合放置，那么∠1的度数为 5.如图所示，点E在正方形ABCD的边CD上. 若△ABE的面积为8，CE=3,则线段BE的 长为 易帽臣对点的位置考虑不全面 8.在正方形ABCD中，点E为直线BC上一点， 若AE=2BE,则∠DAE= 一九详级上用数学的 通能力● 9.(2023·河北中考)如图所示，在Rt△ABC中，12.推理能力如图所示，四边形ABCD是正方 AB=4,点M是斜边BC的中点，以AM为边作 形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且 正方形AMEF.若SE形MEr=16,则S△ABc= EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分 () 线CF于点F. A4/5B.83 C.12 D.16 (1)如图①所示，取AB的中点H,连接HE. 求证：AE=EF, (2)如图②所示，若点E是BC延长线上（除 C点外)的任意一点，其他条件不变，结论 “AE=EF”仍然成立吗？如果成立，写出证 第9题图 第10题图 明过程；如果不成立，请说明理由. 10.(2023·枣庄中考)如图所示，在正方形 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,E 为BC上一点，CE=7,F为DE的中点，若 △CEF的周长为32，则OF的长 为 11.(2023·绍兴中考)如图所示，在正方形ABCD 中，G是对角线BD上的一点（与点B,D不 重合)，GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂 足.连接EF,AG,并延长AG交EF于点H. (1)求证：∠DAG=∠EGH (2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由. 6 t15 优学案课时通3正方形的性质与判定（课程标准变动内容） 第2课时正方形的判定 第1课时正方形的性质 1.C2.B3.AC⊥BD(答案不唯一) 1.A2.C3.B4.20°5.56.2 4.解：四边形PQEF是正方形. 7.解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，.AD=AB, 理由：在正方形ABCD中，AP=BQ=CE=DF,AB=BC= ∠DAP=∠BAP=45°.在△ABP和△ADP中，AB=AD, CD=DA, ∠BAP=∠DAP,AP=AP,.△ABP≌△ADP(SAS), ∴，BP=QC=ED=FA ∴.BP=DP 又：∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°， (2)AB=AP,.∠ABP=∠APB ,∴.△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF(SAS) 又∠BAP=45°，∠ABP=67.5 ∴.FP=PQ=QE=EF,∠APF=∠PQB,∴.四边形PQEF 7 为菱形. 8.60或120°9.B10.2 :∠PQB+∠BPQ-90,.∠APF+∠BPQ=90°， 11.解：(1)证明：在正方形ABCD中，AD⊥CD,GE⊥CD, ∠FPQ=90°， ∴.∠ADE=∠GEC=90°， ∴菱形PQEF为正方形 .AD∥GE,.∠DAG=∠EGH 5.解：(1)四边形BPCO为平行四边形 (2)AH⊥EF,理由：连接GC交EF于点O,如图所示 BD为正方形ABCD的对角线， 理由：四边形ACD为平行因边形，0C=0A=AC, .∠ADG=∠CDG=45°.又，DG G DG,AD=CD,.△ADG≌△CDG OB=0D=-BD.:分别以点B,C为圆心，2AC,2BD (SAS),.∠DAG=∠DCG.在正方形 长为半径画弧，两弧交于点P,∴OB=CP,BP=OC,∴.四边 ABCD中，∠ECF=90°.又，GE⊥CD, 形BPCO为平行四边形. GF⊥BC,.四边形FCEG为矩形， (2)当AC⊥BD,AC=BD时，四边形BPCO为正方形 .OE=OC,∴.∠OEC=∠OCE, :AC⊥BD,∴∠BOC=90°，平行四边形BPCO为矩形. .∠DAG=∠OEC.由(1)，得∠DAG=∠EGH, ∴∠EGH=∠OEC,∠EGH+∠GEH=∠OEC+ AC=BD,0B-号BD,0C-号AC,i0B=0C,∴矩形 ∠GEH=∠GEC=90°，∴.∠GHE=90°，.AH⊥EF BPCO为正方形 12.解：(1)证明：如图①所示，设∠1，∠2. 6.B7.D8.D9.4 ,四边形ABCD是正方形，AE⊥EF,AB=BC 10.解：(1)证明：由翻折的性质可知： ,∠1十∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°， △ADE≌△GDE,△DCF≌△DGF, ∠1=∠2.点H,E分别是边AB,BC的中点， ∴.AD=DG=DC,∠A=∠DGE=90°，∠C=∠DGF= ..BH=BE=AH=CE, 180°-90°=90 ,∠B=90°，∴.四边形ABCD是矩形. 六∠BHE=45.“∠FCG=Z∠DCG=45, ,DA=DC,.矩形ABCD是正方形 ∴.∠AHE=∠ECF=135 (2)设AE=EG=x,则BE=6一x. 在△AHE和△ECF中， 点F是BC的中点，.BF=FC. ∠1=∠2， AB=BC=6,..BF=FC=GF=3, AH=CE. .EF=x+3,BF=3.在Rt△BEF中， ∠AHE=∠ECF, EF=BE+BF '.△AHE≌△ECF(ASA) (x十3)2=(6-x)2+32,.x=2, ..AE=EF .AE的长为2. 11.解：(1)OE=OF 证明：，MN∥BC,'.∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF.又 CE平分∠BCO,CF平分∠DCO,.∠OCE=∠BCE, ∠OCF=∠DCF,∴.∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC, .EO=CO,FO=CO...OE=OF (2)不可能.理由：如图所示，连接BF.'CE平分∠ACB, CF平分∠ACD (2)AE=EF仍然成立 证明：如图②所示，廷长BA到点M,使AM=CE, ∴∠BCF-∠ACB+号∠ACD=(LACB+∠ACD) ∠AEF=90°，.∠FEG+∠AEB=90. 90°.若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC,但在△GFC中，不 '∠BAE+∠AEB=90°， 可能存在两个角为90°，.不存在四边形BCFE为菱形. ∴.∠BAE=∠FEG, ∠MAE=∠CEF.'AB=BC, .AB十AM=BC+CE, 即BM=BE,.∠M=45, ∴∠M=∠FCE. D 在△AME和△ECF中， (3)当点O运动到边AC的中点时，四边形AECF是矩形. I∠MAE=∠CEF, 理由如下：：当点O运动到AC的中点时，AO=CO. AM=CE, 又，EO=FO,.四边形AECF是平行四边形.，FO=CO, ∠M=∠FCE, ∴.AO=CO=EO=FO,.AO+CO=EO+FO,即AC △AME≌△ECF(ASA), EF,.平行四边形AECF是矩形. ..AE=EF. (4)当点O运动到AC的中点，且满足△ABC是∠ACB为