1.2 第3课时矩形的性质与判定的综合运用-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(北师大版)

第3课时 矩形的性质与判定的综合运用（答案P3) 通基础 6.(教材P18习题1.6T1变式)如图所示，平行四 边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, 知识点矩形的性质与判定的综合运用 △OAB是等边三角形. 1.下列说法正确的是( (1)求证：平行四边形ABCD为矩形 A.对角线相等的四边形是矩形 (2)若AB=4,求四边形ABCD的面积. B.矩形的对角线互相垂直 C.有一个角是直角的四边形是矩形 D.矩形的对角线互相平分且相等 2.如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线 AC,BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD= 55°，则∠OCD的度数为( A.35 B.40 7.(2023·重庆云阳期中)如图所示，在平行四边 C.45 D.50 形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O. 3.如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点， AE⊥BD于点E,DF⊥AC于点F,且AE=DF DE∥AC,CE∥BD,连接OE,设AC=12, (1)求证：平行四边形ABCD是矩形 BD=16,则OE的长为( (2)若∠BAE:∠EAD=2:3,求∠AOE的 度数 A.8 B.9 C.10 D.11 4.如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线 AC,BD相交于点O,且OA=OB,∠OAD= 65°.则∠ODC= 0 5.如图所示，在矩形ABCD中，M为AD边的中 点，P为BC上一点，PE⊥MC于点E,PF⊥ MB于点F,当AB= BC时，四边形 PEMF的形状为矩形， 一九年级上量数学玉 12 通能分 通素养2%99>299>92 8.如图所示，点P是Rt△ABC斜边AC(不与 11.空间观念》如图所示，在矩形ABCD中， A,C重合)上一动点，分别作PM⊥AB于点 AB=4cm,BC=8cm,点P从点D出发向 M,作PN⊥BC于点N,若AB=6,BC=8,当 点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从 点P在AC上运动时，则MN的最小值 点B出发向点C运动，运动到点C即停止， 是() 点P,Q的速度都是1cm/s,连接PQ,AQ, A.4.8B.5 C.2.4 D.2.5 CP,设点P,Q运动的时间为t(s). (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ (2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形？ 第8题图 第9题图 9.如图所示，在矩形ABCD中，E,F分别是边 AB,AD上的动点，P是线段EF的中点， PG⊥BC,PH⊥CD,G,H为垂足，连接GH. 若AB=8,AD=6,EF=4,则GH的最小值 是 10.(2023·乐山中考)如图所示，在 Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB边上任 意一点（不与点A,B重合），过点D作DE∥ BC,DF∥AC,分别交AC,BC于点E,F,连 接EF (1)求证：四边形ECFD是矩形 (2)若CF=2,CE=4,求点C到EF的 距离 13 优学棒说的△ABC≌△AOG, BE∥CF,.∠BEH=∠CFH. .∠AOG=∠ABC=90°， 在△BEH和△CFH中， ,AC⊥EF,',平行四边形AECF是菱形 ∠BEH=∠CFH, 12.解：(1)：DE∥BC,EF∥DC,.四边形DCFE是平行四边 ∠BHE=∠CHF, 形，.EF=CD=3,CF=DE BH=CH, CD⊥BE,.EF⊥BE, .△BEH≌△CFH(AAS) ∴.BC+DE=BC+CF=BF=√BE+EFT=5. (2)当BH=EH时，四边形BFCE是矩形，理由如下： (2)如图所示，连接AE,CE.,四边形ABCD是平行四 :△BEH≌△CFH,∴BE=CF,EH=FH.:BE∥CF, 边形， .四边形BFCE是平行四边形. .AB=DC,AB∥DC 又，BH=EH,.BC=EF,.四边形BFCE是矩形 ,四边形ABEF是矩形， 第3课时矩形的性质与判定的综合运用 ∴.AB=FE,AB∥FE,BF=AE ..DC//FE,DC=FE, 1D2.A3c4255号 .四边形DCEF是平行四边形， 6.解：(1)证明：：△AOB为等边三角形，∴OA=OB,:四边形 .CE//DF,CEDF ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD,∴.OA=OB= .AC=BF=DF,..AC=AE=CE. OC=OD,.BD=AC,.平行四边形ABCD为矩形 ,△ACE是等边三角形， (2)在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=4, .∠ACE=60°.，'CE∥DF AC=2AB=8,∴BC=√8一4=4V3,∴矩形ABCD的 .∠DGC=∠ACE=60° 面积为45×4=165. 7.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC= AC,OB=OD=号BD.:AE⊥BD于点E,DFLAC于 1 点F,·∠AEO=∠DFO=90°，在△AEO和△DFO中， ∠AEO=∠DFO,∠AOE=∠DOF,AE=DF,.△AEO≌ ADFO(AAS)...OA=OD,.AC=BD, 第2课时矩形的判定 平行四边形ABCD是矩形. 1.D2.90° (2)由(1)，得四边形ABCD是矩形，∠ABC=∠BAD= 3.证朋：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,AD∥ 90,OA=OB,∴.∠OAB=∠OBA.:AE⊥BD于点E, CE.AC⊥BC,DE⊥BC,.AC∥DE,.四边形ACED是 ,∴.∠AEO=90°，∠BAEt∠EAD=2t3,.∠BAE=36° 平行四边形.：∠E=90°，∴.平行四边形ACED是矩形. .∠OBA=∠OAB=90°-36°=54°，.∠EAO=∠OAB 4.A5.对角线相等的平行四边形是矩形 ∠BAE=54°-36°=18°， 6.证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB .∠AOE=90°-∠EA0=90°-18°=72 CD,∴∠ABC=∠ECB.CE=DC, 8.A9.8 .CE=AB.在△ABF和△ECF中，∠ABC=∠ECB, 10.解：(1)证明：：FD/CA,BC∥DE,∴.四边形ECFD为平行 ∠AFB=∠EFC,AB=CE, 四边形.又：∠C=90°， ,.△ABF≌△ECF(AAS). .平行四边形ECFD为矩形 (2),四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC.,AB∥CE, (2)过点C作CH⊥EF于点H,如图所示 AB=CE,'.四边形ABEC是平行四边形. 在Rt△ECF中，CF=2,CE=4, :AD=AE=BC,.平行四边形ABEC是矩形（对角线相等 的平行四边形是矩形). ∴.EF=√CE+CF=2W5, 7.D SAR-7XCF CE- 8.证明：：四边形ABCD是平行四边形 1 ∴∠BAD+∠ABC=180°， 2XEF·CH, ∠BAD+∠ADC=180°. 又：AE平分∠BAD,BF平分∠ABC CH=CF·CE_45 EF 5 .∠BAF+∠ABF=90°， ∠AFB=90°，∠EFG=90°.同理可得∠AED=90°， ∠BGC=90°，.四边形EFGH是矩形. 点C到EF的距离为5 11.解：(1)四边形ABCD是矩形，.AD=BC=8cm,AD∥ 9.A10.C11.AC⊥BD BC,∠B=90°，∴.BQ∥AP.当BQ=AP时，四边形ABQP 12.证明：，AB=AC,AD是角平分线， 是平行四边形.又，∠B=90°，.平行四边形ABQP是 ∴∠B=∠ACB,AD⊥BC.:AE平分∠FAC, ∴∠FAE=∠EAC.:∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC, 矩形 ∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC,∴.AE∥BC.又DE∥ 此时，t=8一t,解得t=4. 答：当t=4时，四边形ABQP是矩形. AB,.四边形AEDB是平行四边形，.AE∥BD,AE=BD AD⊥BC,AB=AC,∴BD=DC,.AE∥DC,AE=DC, (2)AP=CQ=8-t,APCQ,.四边形AQCP是平行四 边形.当AQ=CQ时，四边形AQCP为菱形.设t秒后， .四边形ADCE是平行四边形.又，∠ADC=90°，.平行四 边形ADCE是矩形. AQ=CQ,即√+t=8-t时，四边形AQCP为菱形. 13.解：(1)证明：点H是BC的中点， 解得t=3. ..BH=CH. 答：当1=3时，四边形AQCP是菱形