1.2 第2课时矩形的判定-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(北师大版)

第2课时 矩形的判定（答案P3) 通基础 6.如图所示，延长平行四边形ABCD的边DC到 点E,使CE=DC,连接AE交BC于点F,连 知识流1有一个角是直角的平行四边形是 接AC,BE. 矩形 (1)求证：△ABF≌△ECF. 1.如图所示，四边形ABCD的对角线互相平分， (2)若AD=AE,求证：四边形ABEC是矩形. 要使它成为矩形，需要添加的条件是( A.AB//CD B.AD=BC C.∠AOB=45 D.∠ABC=90 第1题图 第2题图 2.如图所示是一个平行四边形的活动框架，对角 线是两根橡皮筋.若改变框架的形状，则∠α也 随之变化，两条对角线长度也在发生改变.当 知识点3有三个角是直角的四边形是矩形 ∠a= 时，活动框架是矩形， 7.模型观念》在数学活动课上，老师要求同学们 3.如图所示，在口ABCD中，对角线AC⊥BC,过 判断一个四边形的门框是否为矩形，下面是某 点D作DE⊥BC于点E. 合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正 求证：四边形ACED是矩形 确的是() A.测量对角线是否互相平分 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量对角线是否互相垂直 D.测量其内角是否有三个直角 8.如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别 相交于点E,F,G,H.求证：四边形EFGH是 知识点2对角线相等的平行四边形是矩形 矩形 4.(2023·保定清苑区月考)如 图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC,BD相交于点 B O,OA=2.若要使平行四边形ABCD为矩形， 则BD的长应该为( A.4 B.3 C.2 D.1 5.应用意识工人师傅在做门窗或矩形零件时， 不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还 要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图 形是矩形.这依据的道理是 一九年级上量数学玉 10 通能分● 通素养2%92999% 9.如图所示，在平行四边形ABCD中，M,N是 13.抽象能力》如图所示，在四边形ABCD中，点 BD上两点，BM=DN,连接AM,MC,CN, H是BC的中点，作射线AH,在线段AH及 NA,添加一个条件，使四边形AMCN是矩形， 其延长线上分别取点E,F,连接BE,CF. 这个条件是( (1)当BECF时，求证：△BEH2△CFH. (2)连接BF,CE,在(1)的条件下，当BH与 EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？ 请说明理由. A.OM-2AC B.MB=MO C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND 10.如图所示，直线EF∥MN,PQ交EF,MN于 A,C两点，AB,CB,CD,AD分别是∠EAC, ∠MCA,∠ACN,∠CAF的角平分线，则四 边形ABCD是() A.菱形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定 第10题图 第11题图 11.如图所示，连接四边形ABCD各边中点，得 到四边形EFGH,还要添加 条件，才 能保证四边形EFGH是矩形 12.如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD是角 平分线，F为BA延长线上的一点，AE平分 ∠FAC,DE∥BA交AE于点E.求证：四边 形ADCE是矩形. 11 优学棒课时温一△ABC≌△AOG, BE∥CF,.∠BEH=∠CFH. .∠AOG=∠ABC=90°， 在△BEH和△CFH中， ,AC⊥EF,',平行四边形AECF是菱形 ∠BEH=∠CFH, 12.解：(1)：DE∥BC,EF∥DC,.四边形DCFE是平行四边 ∠BHE=∠CHF, 形，.EF=CD=3,CF=DE BH=CH, CD⊥BE,.EF⊥BE, .△BEH≌△CFH(AAS) ∴.BC+DE=BC+CF=BF=√BE+EFT=5. (2)当BH=EH时，四边形BFCE是矩形，理由如下： (2)如图所示，连接AE,CE.,四边形ABCD是平行四 :△BEH≌△CFH,∴BE=CF,EH=FH.:BE∥CF, 边形， .四边形BFCE是平行四边形. .AB=DC,AB∥DC 又，BH=EH,.BC=EF,.四边形BFCE是矩形 ,四边形ABEF是矩形， 第3课时矩形的性质与判定的综合运用 ∴.AB=FE,AB∥FE,BF=AE ..DC//FE,DC=FE, 1D2.A3c4255号 .四边形DCEF是平行四边形， 6.解：(1)证明：：△AOB为等边三角形，∴OA=OB,:四边形 .CE//DF,CEDF ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD,∴.OA=OB= .AC=BF=DF,..AC=AE=CE. OC=OD,.BD=AC,.平行四边形ABCD为矩形 ,△ACE是等边三角形， (2)在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=4, .∠ACE=60°.，'CE∥DF AC=2AB=8,∴BC=√8一4=4V3,∴矩形ABCD的 .∠DGC=∠ACE=60° 面积为45×4=165. 7.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC= AC,OB=OD=号BD.:AE⊥BD于点E,DFLAC于 1 点F,·∠AEO=∠DFO=90°，在△AEO和△DFO中， ∠AEO=∠DFO,∠AOE=∠DOF,AE=DF,.△AEO≌ ADFO(AAS)...OA=OD,.AC=BD, 第2课时矩形的判定 平行四边形ABCD是矩形. 1.D2.90° (2)由(1)，得四边形ABCD是矩形，∠ABC=∠BAD= 3.证朋：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,AD∥ 90,OA=OB,∴.∠OAB=∠OBA.:AE⊥BD于点E, CE.AC⊥BC,DE⊥BC,.AC∥DE,.四边形ACED是 ,∴.∠AEO=90°，∠BAEt∠EAD=2t3,.∠BAE=36° 平行四边形.：∠E=90°，∴.平行四边形ACED是矩形. .∠OBA=∠OAB=90°-36°=54°，.∠EAO=∠OAB 4.A5.对角线相等的平行四边形是矩形 ∠BAE=54°-36°=18°， 6.证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB .∠AOE=90°-∠EA0=90°-18°=72 CD,∴∠ABC=∠ECB.CE=DC, 8.A9.8 .CE=AB.在△ABF和△ECF中，∠ABC=∠ECB, 10.解：(1)证明：：FD/CA,BC∥DE,∴.四边形ECFD为平行 ∠AFB=∠EFC,AB=CE, 四边形.又：∠C=90°， ,.△ABF≌△ECF(AAS). .平行四边形ECFD为矩形 (2),四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC.,AB∥CE, (2)过点C作CH⊥EF于点H,如图所示 AB=CE,'.四边形ABEC是平行四边形. 在Rt△ECF中，CF=2,CE=4, :AD=AE=BC,.平行四边形ABEC是矩形（对角线相等 的平行四边形是矩形). ∴.EF=√CE+CF=2W5, 7.D SAR-7XCF CE- 8.证明：：四边形ABCD是平行四边形 1 ∴∠BAD+∠ABC=180°， 2XEF·CH, ∠BAD+∠ADC=180°. 又：AE平分∠BAD,BF平分∠ABC CH=CF·CE_45 EF 5 .∠BAF+∠ABF=90°， ∠AFB=90°，∠EFG=90°.同理可得∠AED=90°， ∠BGC=90°，.四边形EFGH是矩形. 点C到EF的距离为5 11.解：(1)四边形ABCD是矩形，.AD=BC=8cm,AD∥ 9.A10.C11.AC⊥BD BC,∠B=90°，∴.BQ∥AP.当BQ=AP时，四边形ABQP 12.证明：，AB=AC,AD是角平分线， 是平行四边形.又，∠B=90°，.平行四边形ABQP是 ∴∠B=∠ACB,AD⊥BC.:AE平分∠FAC, ∴∠FAE=∠EAC.:∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC, 矩形 ∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC,∴.AE∥BC.又DE∥ 此时，t=8一t,解得t=4. 答：当t=4时，四边形ABQP是矩形. AB,.四边形AEDB是平行四边形，.AE∥BD,AE=BD AD⊥BC,AB=AC,∴BD=DC,.AE∥DC,AE=DC, (2)AP=CQ=8-t,APCQ,.四边形AQCP是平行四 边形.当AQ=CQ时，四边形AQCP为菱形.设t秒后， .四边形ADCE是平行四边形.又，∠ADC=90°，.平行四 边形ADCE是矩形. AQ=CQ,即√+t=8-t时，四边形AQCP为菱形. 13.解：(1)证明：点H是BC的中点， 解得t=3. ..BH=CH. 答：当1=3时，四边形AQCP是菱形