1.2 第1课时矩形的性质-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(北师大版)

2矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质（答案P2) 通基础>2 6.如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC与 BD相交于点O,过点C作BD的平行线，过点 知识点1矩形的定义及对称性 D作AC的平行线，两线相交于点P,求证：四 1.已知平行四边形ABCD,不能判定这个平行四 边形CODP是菱形. 边形为矩形的是() A.∠A=∠B B.∠B=∠C C.AB=BC D.AB⊥BC 2.在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形， B,D两点关于原点O对称，已知点A的坐标 为（一3，一3），则点C的坐标是 知识点2矩形的边和角的性质 3.矩形具有而菱形不具有的性质是( A.对边平行 B.对边相等 C.四条边相等 D.四个角都是直角 知识点4直角三角形斜边上的中线等于斜边 4.几何直观，如图所示，矩形ABCD为一个正在 的一半 倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点 7.运算能力)(2023·西安高新区期中)如图所 为E,当水杯底面BC与水平面的夹角为27 示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， 时，∠AED的大小为( 若∠A=25°，则∠BDC=( 27 A.60 B.55° C.509 D.45° A.27 B.53 8.(2023·荆州中考)如图所示，CD为Rt△ABC C.57 D.63° 斜边AB上的中线，E为AC的中点.若AC= 知识点3矩形的对角线的性质 8,CD=5,则DE= 5.(教材P13习题1.4T2变式)如图所示，在矩形 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,已知 ∠BOC=120°，DC=3cm,则AC的长为 固对直角三角形的边的可能性把握不清 cm. 9.在直角三角形中，已知两边长分别是12和5， 0 则斜边上的中线长为() A.26 B.13 C.6.5 D.6.5或6 一九年级上饰数学的 通能力 通素养> 10.(2023·成都金牛区期中)如图所示，四边形 12.抽象能力阅读下面材料： ABCD是菱形，∠DAB=40°，对角线AC, 小明遇到这样一个问题：如图①所示，在 BD相交于点O,DH⊥AB于点H,连接 △ABC中，DE∥BC且分别交AB于点D,交 OH,则∠DHO= 度 AC于点E.已知CD⊥BE,CD=3,BE=4, 求BC十DE的值， 小明发现，过点E作EF∥DC,交BC的延长 线于点F,构造△BEF,经过推理和计算能够 11.如图所示，在矩形ABCD中，点O是AC的 使问题得到解决（如图②所示）. 中点，AC=2AB,延长AB至点G,使BG= AB,连接GO交BC于点E,延长GO交AD 于点F,连接AE,CF (1)求证：△ABC≌△AOG. (2)猜测四边形AECF的形状，并证明你的 (1)请按照上述思路解决小明遇到的这个 猜想. 问题， (2)参照小明思考问题的方法，解决问题： 如图③所示，已知口ABCD和矩形ABEF, AC与DF交于点G,AC=BF=DF,求 ∠DGC的度数. 9 优学案课时通.四边形ABCD是菱形， ∴.在Rt△BDE中. AC⊥BD, BD+DE=BE. '.MN⊥BD ∴3+r2=(6-r), 平行四边形BMDN是菱形 9 9 x= 11.解：(1)证明：：AC=CE=CB=CD, EF=2DE-2 ∠ACB=∠ECD=90°， 1 1 ∴.∠A=∠B=∠D=∠E=45. 菱形BBCF的面积=专×BC,BF=号×6×号-贸 22 在△BCF和△ECH中， 11.解：(1)证明：四边形ABCD为平行四边形， I∠B=∠E, .AB∥CD,OB=OD,∠OBE=∠ODF. BC=EC. 在△BOE和△DOF中， ∠BCF=∠ECH· ∠OBE=∠ODF, OB=OD. .△BCF2△ECH(ASA), ∠BOE=∠DOF ..CF=CH. .△BOE≌△DOF(ASA),.BE=DF. (2)当∠BCE=45时，四边形ACDM是菱形.证明： BE∥DF,.四边形DEBF是平行四边形. :∠ACB=∠DCE=90',∠BCE=45°， EF⊥BD, .∠ACE=∠DCB=45 ,四边形DEBF是菱形 :∠E=45, (2),四边形ABCD是平行四边形 .∠ACE=∠E,∴.AC∥DE,∴.∠AMH=180°-∠A=135 .AB∥CD. 又，∠A=∠D=45°，∴.∠AMH+∠D=135°+45=180°， ,AD∥EF,.四边形ADFE是平行四边形， .AM∥CD AE=DF. .四边形ACDM是平行四边形 由(1)得，四边形DEBF是菱形， :AC=CD.∴.平行四边形ACDM是菱形. .DE-DF-BE...AE-DE. 第3课时菱形的性质与判定的综合运用 AD=AE...AD=AE=DE. 1.C2.C3.162cm ∴△ADE是等边三角形， +.解：点M,N分别是边AD,CD的中点，∴MN是△ACD .∠AED=60 的中位线，MO是△ABD的中位线，·AC=2MN=12, .DE=BE. AB=2OM=10, ∠EDB=∠EBD=2∠AED=30, 0A=名AC=6.:国边形AiCD是菱形， 同理：∠FDB=∠FBD=30 .AD=AB=10,AC⊥BD.在Rt△AOD中，OD= 即题图②中四个度数为30°的角分别为∠EDB,∠EBD, √AD-OA=8,.BD=2OD=16,.菱形ABCD的面积 ∠FDB,∠FBD. 2矩形的性质与判定 为2AC·BD=2×12X16=96, 第1课时矩形的性质 5.C6.24 1.C2.(3,3)3.D4.D5.6 7.证明：(1)四边形ABCD是菱形，AB=CD,AB∥CD, 6.证明：，DP∥AC,CPBD. .∠BAE=∠DCF.在△ABE和△CDF中，AB=CD. .四边形CODP是平行四边形 ∠BAE=∠DCF.AE=CF.∴.△ABE≌△CDF(SAS). :四边形ABCD是矩形， (2)如图所示，连接BD,交AC于点O.四边形ABCD是菱 形，.BD⊥AC,AO=C),B)=DO.AE=CF,.E)= ÷BD=AC,OD=2BD.OC=号AC FO,,四边形BEDF是平行四边形. ..OD=OC. 又，BD⊥EF,,平行四边形BEDF是菱形 .平行四边形CODP是菱形 7.C8.39.D10.20 11.解：(1)证明：点O是AC的中点 AO-CO-TAC.AC=2AB.BG=AB. .AB=AO,AC=AG.在△ABC和△A(OG中， 8.B9.96 AB=AO. 10.解：(1)证明：：AB=AC,D是BC的中点， ∠BAC=∠OAG .AD⊥BC,BD=CD AC=AG DE-DE. .△ABC≌△AOG(SAS). .四边形BECF是平行四边形 (2)四边形AECF是菱形.证明：四边形ABCD是矩形， ,AD⊥BC,BD=CD, .∠ABC=90°，AD∥BC, AD是BC的垂直平分线， .∠OAF=∠(OCE,在△AOF和△COE中. ',EB=EC,四边形BECF是菱形. I∠OMF=∠OCE (2)设DE=x,则AE=BE=AD-DE=6-x. AO=CO. 易得BD-CD-号BC-3. ∠AOF=∠COE. .△AOF≌△COE(ASA)..OF=OE ,AD⊥BC,.∠BDE=90°， ,四边形AECF是平行四边形. .'△ABC≌△AOG. BECF,.∠BEH=∠CFH ,.∠AOG=∠ABC=90°， 在△BEH和△CFH中， AC⊥EF,,.平行四边形AECF是菱形 ∠BEH=∠CFH, 12.解：(1)：DE∥BC,EF∥DC,∴.四边形DCFE是平行四边 ∠BHE=∠CHF, 形，.EF=CD=3,CF=DE BH=CH. ,CD⊥BE,.EFLBE, .△BEH≌△CFH(AAS) ∴.BC+DE=BC+CF=BF=√BE+EF=5. (2)当BH一EH时，四边形BFCE是矩形.理由如下： (2)如图所示，连接AE,CE.,四边形ABCD是平行四 △BEH≌△CFH,∴，BE=CF,EH=FH.BE∥CF 边形， ,四边形BFCE是平行四边形. ,AB=DC,AB∥DC. 又：BH=EH,.BC=EF,∴四边形BFCE是矩形. :四边形ABEF是矩形 第3课时矩形的性质与判定的综合运用 AB=FE,AB∥FE,BF=AE .DC∥FE,DC=FE, 1.D2A3C4255号 ,四边形DCEF是平行四边形， 6.解：(1)证明：”△AOB为等边三角形，∴.OA=OB,:四边形 .CE∥DF,CE=DF ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD,.OA■OB AC=BF=DF,.AC=AE=CE. OC=OD,.BD=AC,.平行四边形ABCD为矩形 .△ACE是等边三角形， (2)在R1△ABC中，∠ACB=30°，AB=4, .∠ACE=60°.，CE∥DF .AC=2AB=8,.BC=√8-4=43..矩形ABCD的 .∠DGC=∠ACE=60 面积为4V3×4=16√3. 7.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，，OA=(OC= AC.OB=OD=之BD.:AE⊥BD于点E,DF⊥AC于 1 点F,.∠AEO=∠DFO=90°.在△AEO和△DFO中， ∠AEO=∠DFO.∠AOE=∠DOF,AE=DF,.△AEO≌ ADFO(AAS)..OA=OD...AC-BD. 第2课时矩形的判定 ,平行四边形ABCD是矩形， 1.D2.90 (2)由(1)，得四边形ABCD是矩形，，∠ABC=∠BAD= 3.证明：，四边形ABCD是平行四边形，，AD∥BC,∴.AD∥ 90,OA=OB,∠OAB=∠OBA.,AE⊥BD于点E, CE.:AC⊥BC,DE⊥BC,.AC∥DE,.四边形ACED是 .∠AEO=90°.∠BAE:∠EAD=2:3,∴.∠BAE=36, 平行四边形.：∠E=90°，∴.平行四边形ACED是矩形. ∴.∠OBA=∠OAB=90°-36°=54°，∴∠EAO=∠OAB 4.A5.对角线相等的平行四边形是矩形 ∠BAE=54°-36°=18， 6.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，ABCD,AB ∴.∠AOE=90°-∠EAO=90°-18°=72 CD,∠ABC=∠ECB.CE=DC, 8.A9.8 ∴.CE=AB.在△ABF和△ECF中，∠ABC=∠ECB, 10.解：(1)证明：FD∥CA,BC∥DE,.四边形ECFD为平行 ∠AFB=∠EFC,AB=CE, 四边形.又：∠C=90, ∴.△ABF≌△ECF(AAS). ,平行四边形ECFD为矩形 (2)四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC.AB∥CE, (2)过点C作CH⊥EF于点H,如图所示 AB=CE,.四边形ABEC是平行四边形. 在R△ECF中，CF=2,CE=4, ,AD=AE=BC,∴.平行四边形ABEC是矩形（对角线相等 的平行四边形是矩形)」 .EF=√CE+CF=25. 7.D :Sar=号×CF·CE 8.证明：，四边形ABCD是平行四边形， .∠BAD+∠ABC=180°， 交XEF·CH, ∠BAD+∠ADC=180°. 又，AE平分∠BAD,BF平分∠ABC .CH-CF.CE_5 EF 5· ,∠BAF十∠ABF=90°. .∠AFB=90°，.∠EFG=90°.同理可得∠AED=90°， ∠BGC=90°，.四边形EFGH是矩形 之点C到F的距商为5 1I.解：(1)：四边形ABCD是矩形，.AD=BC=8cm,AD∥ 9.A.10.C11.AC⊥BD BC,∠B=90°..BQ∥AP.当BQ=AP时，四边形ABQP 12.证明：AB=AC,AD是角平分线， 是平行四边形.又：∠B=90°，.平行四边形ABQP是 .∠B=∠ACB,AD⊥BC.AE平分∠FAC, .∠FAE=∠EAC.:∠B十∠ACB=∠FAE+∠EAC, 矩形. 此时，1=8一t,解得t=4. .∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC,.AE∥BC.又·DE∥ 容：当1=4时，四边形ABQP是矩形. AB,.四边形AEDB是平行四边形，，AE∥BD,AE=BD (2),AP=CQ=8一t,AP∥CQ,.四边形AQCP是平行四 .'AD⊥BC,AB=AC,.BD=DC,∴.AE∥DC,AE=DC 边形.当AQ=CQ时，四边形AQCP为菱形.设1秒后， ∴.四边形ADCE是平行四边形.又：∠ADC=90°，∴.平行四 边形ADCE是矩形. AQ=CQ,即/4十t=8一t时，四边形AQCP为菱形. 13.解：(1)证明：”点H是BC的中点， 解得1=3. ..BH-CH. 答：当t=3时，四边形AQCP是菱形. 3