22.2 第5课时直角三角形相似的判定方法-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(沪科版)

第5课时 直角三角形相似的判定方法（答案P21) 通基础 5.结论开放，如图所示，在正方形ABCD中，E 是边CD的中点，P是边BC上一点，要依据 知识点1直角三角形相似的判定 “两边成比例且夹角相等”判定△ABPD 1.在△ABC和△A,B1C1中，∠C=∠C1=90°， △ECP,还需添加的一个条件 AC=12,AB=15,A,C1=8,要使△ABC∽ 是 △A1B1C1,A1B1的长为() 6.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D, A.8 B.10 C.12 D.14 CE⊥AB于点E.求证：△ABD∽△CBE. 2.如图所示，已知Rt△ABC和Rt△DEF, ∠C=∠F=90°，AB=5,AC=3,DE=6,当 DF= 时，Rt△ABCORt△DEF. 3.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90, AC=3,AB=√/13，B'C=4,A'B'=2/13. 知识3”直角三角形相似在测量中的应用 求证：△ABC∽△A'B'C'. 7.(2023·滁州定远期末)如图所示，小明同学用 自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度 AB,他调整自己的位置，设法使斜边DF保持 水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知 纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm, 知识点2判断直角三角形相似的方法综合 测得边DF离地面的高度AC=1.6m,CD= 4.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， 8m,则树高AB为 m. BC=3,下列选项中按虚线剪下的三角形与 △ABC不相似的是( 第7题图 第8题图 8.如图所示，已知零件的外径为acm,现用一个 交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）测量零件 的内孔直径AB.如果OA:OC=OB:OD= 3,且量得CD=5cm,那么零件厚度x为 第4题图 第5题图 cm. 75 优产学卷误的通 通能力 13.应用意识如图所示，为测量学校围墙外直 立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处 9.如图所示，在正方形ABCD中，E 直立高3m的竹竿CD,然后退到点E处，此 是CD的中点，AE,BC的延长线 时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重 交于点F,AE的垂直平分线分别 D 合.小亮又在点C:处直立高3m的竹竿 交AE,BC于点H,G,连接EG,则 C1D,,然后退到点E,处，此时恰好看到竹竿 与△FEC相似的三角形个数 顶端D,与电线杆顶端B重合，小亮的眼睛 为() 离地面高度EF=1.5m,量得CE=2m, A.1 B.2 C.3 D.4 EC1=6m,C1E1=3m,求电线杆AB的 10.下列命题是真命题的有() 高度 ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似； ②两条直角边对应成比例的两个直角三角形 一定相似：③有一个角相等的两个直角三角 形相似：④两个等腰直角三角形是相似三 角形. A.1个B.2个C.3个 D.4个 11.如图所示，在矩形ABCD中，点E,F分别在 BC,CD边上，EF⊥AE,BH⊥AC于点H, EF与AC交于点M,BH与AE交于点N. 则下列结论错误的是( 14.如图所示，在平面直角坐标系中，点C的坐标 A.△EFC∽△AEB 为（一3,0），点A,B分别在x轴、y轴的正半 B.△ECM∽△ABN 轴上，且满足√OB2-3+|OA一1|=0. C.△CFMC∽△BEN (1)求点A,B的坐标. D.△ANH∽△EFC (2)若点P从点C出发，以每秒1个单位长度 12.探究拓展，在每个小正方形的边长为1的网 的速度沿线段CB由C向B运动，连接AP, 格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶 是否存在点P,使以点A,B,P为顶点的三 点都是格点的三角形称为格点三角形.如图 角形与△AOB相似？若存在，请求出点P的 所示，已知Rt△ABC是8X8网格图形中的 坐标；若不存在，请说明理由. 格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似 的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长 是 一九年级上用数学 76瓷 5.BP=2CP =√2 6.证明：，AD⊥BC,∠ADB=90 ∴.△ABC△CED. ,CE⊥AB,.∠CEB=90 1证期：AD=号A0÷98-号 '∠ABD=∠CBE, ∴.△ABDc∽△CBE. 7.5.6 BE-1 OE 2.OD OE B0,0B=3…A0-0B 8a15 又：∠AOB=∠DOE,∴.△AOB∽△DOE, 2 -号同理可证既-号既 DF EF 2 DF EF 9.C10.C11.D 12.10 DE2 13.解：DC⊥AE,D1C:⊥AE,BA⊥AE, AB3' .DC∥DC1∥BA, .DN FN ·△ABCO△DEF,相似比为2 .△F,DN△F1BG, BG FG 8.A9.15cm10.丙 DM FM :DC∥BA,∴△FDMn△FBG,BG-FG 1解：品瓷品 ∠A=∠A' ,EF⊥AE,EF1⊥AE,.四边形EFF,E,为矩 (2)△ABC与△A'B'C'相似，理由如下： 形，.GF:∥AE1,.DN=DM=1.5m, “品-0”AP 3 2 AB ，即 AB 8-0即awm-argi6w BD B'D' 16m. ABAB'' 00 品-京c=1a.5a ..AB=BG+GA=15 m. 00% 答：电线杆AB的高度为15m. 14.解：(1)√/OB2-3+|OA-1=0,.OB2-3=0, CD BD BC ∴C品-Bb-BC△BDCn△B'D'C, OA-1=0,∴.OB=√5，OA=1. :点A,B分别在x轴y轴的正半轴上， ∠DBC=∠D'B'C' ∴.A(1,0),B(0,3). 又-A0aMBc△MBC. (2)存在.由勾股定理，得AB=√OB+OA= 12.解：(1)△ABC∽△DEF.理由如下： √/(/3)2+1=2， :AC=√2+1=√5，AB=√4+2=25， BC=√OB+OC=√(3)2+32=23. BC=√/4+3=5，DF=√2+2=22，DE= 由勾股定理的逆定理，得AB2十CB2=2+(2√3)2= √4+4=4W2,EF=2+6=2/10, 16,AC2=[1-(-3)]=16. 部总年能-源平器 ,AB2十BC2=AC,.△ABC是直角三角形， ∠ABC=90° 存在点P,使以点A,B,P为顶点的三角形与 5- 2/104· 、△AOB相似，当△AOB∽△ABP时，即A船-， ÷-提-.AAIC△DER, 即，=3解得BP=23,则P1(-3,0) (2)答案不唯一，下面6个三角形中任意2个均可： AO BO △PPsD,△PP:F,△P:P,D,△PPsD, 当△AOB∽△PBA时，PB一AB' △P,P,Ps,△P,FD.图中连线略. 第5课时直角三角形相似的判定方法 即品一解得B印-2 3 1.B2.3.6 如图所示，过P2作P,D⊥OC于点D, 3.证明：，∠C=90°，AC=3,AB=√13， ∴.BC=√AB2-AC=√（√/13）2-32=2. 周ACPDAC0是-8品品， 滑温怒-景 23-2v3 3 PD 0胎 2√3 3 P CD P ∴.Rt△ABCC∽Rt△A'B'C', 31 即△ABC∽△A'B'C'. 4.D CD=2,P,D=23 3 21 p.(-12) :AB=AC=1,BC=+=2.:BD= 21 综上所述，点P的坐标为(-3,0)或(-1,2)。 √2 1 2 专题七相似三角形的基本模型 2 1.7 2 2.解：(1)如图所示， DP⊥AB,∠C=90°， &FC-2则CF的长度是 ∴.∠C=∠ADP=90. 8.证明：，四边形ABCD为正方形， 由勾股定理，得AC= .∠B=∠C=90°，∴.∠BEF+∠BFE=90° √AB-BC2=4. ,∠EFG=90°，∴.∠BFE+∠CFG=90°， 又：∠A=∠A, .∠BEF=∠CFG,.△EBFC∽△FCG. ∴.△APDP△ABC, 9.解：答案不唯一，如：△DMG△DBM, 品是号华 25 △AMFc∽△BGM. 16 ①证△DMG∽△DBM. 2当ACPOACA时，-器 :∠DME=∠B,∠D=∠D, ∴.△DMG△DBM. -号我-号-号或6合 ②证△AMFC∽△BGM 4 31 ,∠A+∠AMF+∠AFM=180°， CP CQ ∠AMF+∠DME+∠BMG=180°， 当△CPQc△CBA时，则 B-CA' 又，∠DME=∠A=∠B, ,.∠AFM=∠BMG,..△AMFc∽△BGM. 与-号或-行奋弃 3 41 22.3相似三角形的性质 当0到达终点后，-是爽 或=号得 第1课时相似三角形的性质定理1 1.B2.C3.D 4 4.1：25.56.B7.50 1-智或么综上所述1的值为皮得发 8.解：由题意，知EF∥AB, '.△ABC△EFC,△AHC∽△EGC, 1 3 器器0器 4证阴CE,AE=E,DE能- ,CG=20cm=0.2m,CH=12.6m,EF=22cm= 又∠AEB=∠DEC,∴.△ABEC∽△DCE. Q2n则8。AB=18.5m,即杆 5.证明：：∠BAC=∠BDC,∠AOB=∠DOC, 的高度为13.86m. .∠ABE=∠ACD. 9.C 又，∠BAC=∠DAE, 10.12 .∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠EAC, 11.解：(1)由题意，知BC⊥AB,DF⊥AD, ∴∠DAC=∠EAB,∴.△ABEC∽△ACD. ∠CBA=∠FDA=90. 6.证明：设OA=OB=BC=CD=k, 又：∠CAB=∠FAD,∴.△CAB△FAD, 'OA=OB,∠AOB=90°， ∴.OA2+OB2=2OB2=AB2, .AD_DF ·ABBC AB=√2k, 由题意，知AD=3m,AB=5m,BC=3.5cm, BC 12 AB2 小AB2=艺'BD=2 g 脂部 解得DF=2.1cm,即小视力表中相应“E”的高是 2.1cm. 又，∠ABC=∠DBA, (2)如图所示，连 接A'B',作CD⊥ ∴.△ABC△DBA. MN于点D,并延 7.解：(1)证明：，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中， 长交AB于点E, ∠BAC=∠DAE=90°， 由题意，知AB∥ '.∠B=∠C=∠E=∠ADE=45. MN∥A'B'. ,∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC, ,MN∥A'B',CD⊥MN, ∴.∠BAD=∠EDC,∠B=∠C=45, .CE⊥AB' ∴.△ABD∽△DCF. ,MN∥A'B', AB BD (2):△ABDn△DCF,CD-FC ∴.∠MNC=∠A'B'C,∠NMC=∠B'A'C, △MNCO△AgC,是 22