21.2.3 二次函数表达式的确定-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(沪科版)

3.二次函数表达式的确定（答案3） 通惠础992990999997399397nn 5.已知抛物线的顶点坐标是(1，一3)，与y轴的 交点是(0，一2)，求抛物线的函数表达式。 知识点1用一般式求二次函数的表达式 1.抛物线y=ax2十bx十c经过点(1,0)， (-1,一6)，(2,6)，则该抛物线的表达式 为 2.已知二次函数的图象经过点A(0,一3)， B(2,-3),C(-1,0). (1)求此二次函数的表达式. 知识点3用交点式求二次函数的表达式 (2)求此二次函数图象的顶点坐标. 6.如图所示是一条抛物线，则其函数表达式 为() A.y=x-2x十3 B.y=x-2x-3 C.y=x2+2.x+3 D.y=x+2.x-3 7.已知二次函数的图象过点(1,0)，(5,0)，顶点 知识点2用顶点式求二次函数的表达式 的纵坐标是号，求这个二次函数的表达式 3.几何直观已知某二次函数的图象如图所示， 则这个二次函数的表达式为( A.y=-3(x-1)2+3B.y=3(x-1)2+3 C.y=-3(x+1)2+3D.y=3(x+1)+3 4.顶点为（一2,0），开口方向、形状与函数y= 通能力9992929999 8.在平面直角坐标系中，抛物线y=(x十5)(x一3) 2x的图象相同的抛物线所对应的函数表达 经变换后得到抛物线y=(x十3)(x一5)，则这个 式是() 变换可以是( 2(x-2) A.y= B.y=2x+2) A.向左平移2个单位长度 B.向右平移2个单位长度 Cy=-2x=2)9 D.y=- (x+2) C.向左平移8个单位长度 D.向右平移8个单位长度 13 忧学系课时温 9.已知某二次函数y=ax2+bx+c的图象如图 (2)将抛物线向上平移个单位长度，使平移 所示，则这个二次函数的表达式可能是( 后的抛物线的顶点落在△OCD的内部（不包 A.y=-x2+2x+3 括△OCD的边界)，直接写出m的取值范围. B.y=-x2-2.x-3 C.y=-x2-2.x+3 D.y=x2+2x+3 10.(2023·阜阳太和期中)把抛物线y=一3(.x+ 2)2一1沿y轴翻折所得新抛物线的表达式 为 11.函数y=x2+bx一c的图象经过点(1,2)，则 b一c的值为 12.已知抛物线y=一ax2+bx十2的对称轴为直 线x=1,且抛物线经过点（一1,0），则抛物线 通素养3092>292329>222292 的函数表达式为 13.如图所示，已知抛物线经过两点A(一3,0)， 15.探究拓展》已知二次函数y=a.x2十(a十 B(0,3),且其对称轴为直线x=一1. 1)x+a-4. (1)求此抛物线的函数表达式. (1)若此函数图象过点(1,3)，求这个二次函 (2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动 数的表达式 点（不包括点A,点B),求△PAB的面积的 (2)若(x1,y1),(x2,y2)为此二次函数图象 最大值，并求出此时点P的坐标 上两个不同点，当x1十x2=2时，y1=y,求 a的值. (3)若点（一1,1）在此二次函数图象上 ①直接用含a的代数式表示t: ②当x≥一1时y随x的增大而增大，求t的 取值范围. 14.如图所示，在平面直角坐标系中，O是坐标原 点，抛物线y=x2一bx+c的对称轴是直线 x=2,与y轴交于点C(0,一5).过点C作 CD∥x轴，交抛物线y=x2一b.x+c于另 点D.连接OD (1)求抛物线的表达式 一九年塑上的数学1 1414.解：(1)把(2,0)代入y=a(x-4)2+2,得9.解：(1)图象如图所示. a(2-4)2+2=0, 3 Y 解得a=-子。的值为-子 1 (2y=-2-x+2 (2)由(1)可知抛物线的函数表达式为 2x+1)2+2,平移后图象 1 y=一乞红一4)+2，心对称轴为直线x=4, 所对应的函数表达式为y= .C(4,0).令x=0,得y=一6， 2x-2)2+2 .B(0,-6).A(2,0),∴.AC=4-2=2, 10.A11.D12.D13.A L-- 1 14.6 SAAm-2X2X6-6. 15.y=一x2十4x(答案不唯一) 15.解：(1)认同，理由如下： 16.解：(1)二次函数y=x2十ax十a十1的图象经过 “y=-4红-3m)+3-3m, 1 点P(-2,3), .3=(-2)2十a×(-2)+a+1,解得a=2, ∴.抛物线的顶点坐标为(3m,3-3m), ∴.y=x2+2x+3=(x+1)2+2, :3m+3-3m=3, .该函数图象的顶点坐标是（一1,2） ..(3m,3-3m)在y=-x十3上， (2)①：点Q(m,n)在该二次函数的图象上，m= ∴.当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在 2,y=x2+2x+3,.n=22+2×2+3=11. 一条直线上运动. ②：y=x2十2x十3=(x+1)2+2, (2)证明：，A(a一5，c),B(6m十4，c)都在该二次 该函数图象开口向上，当x=一1时取得最小值 函数图象上， 2.:当m≤x≤m十3时，该二次函数有最小值11， .A,B关于直线x=3m对称， 分情况讨论如下： :a-5+6m+4=3m,解得a=1, 当m>-1时，即m2+2m+3=11,解得m1=一4 2 (舍去)，m2=2； ∴.A(-4,c), 当m<一1<m十3时，该函数的最小值为2，不符 合题意； c=- 4(-4-3m)2+3-3m=- 4m2-9m 当m十3<-1，即m<-4时，(m+3)2十 2(m十3)+3=11，得m,=-1(舍去)，m4=-7. 1= (m2+9m+o9)+9-1=-(侵m+3)°+8 由上可得，m的值是2或一7. -1<0,c≤8. 17.(1)(2,4)(2)(1,1)解析：(1)由题意令y=0, 1 16.解：(1)由数值转换器，得 y=- 2x2十x十4=0.x=-2或x=4, y=4x+m(0≤x≤4)， 3 A(-2,0),B(4,0) (x-6)8+n(x>4). 又令x=0,y=4,.C(0,4). 当x=0时，y=m=3:当x=4时，y=3+3=6,即 又：抛物线为y三2x2十x十4 B(4,6). ,,对称轴为直线x=1. 将B点坐标代入y=(x一6)2十n,得4十n=6,解 :点C关于抛物线对称轴的对称点为P, 得n=2.当x=6时，y最小值=n=2. .P(2,4). 3 2)当y=5时，x+3=5,解得x=3 (2)点M在PC的垂直平分线上，M在第一象限， .可设M(1,m)(m>0). 当y=5时，(x一6)2+2=5，解得x1=6+√3， :△BPM是等腰三角形，∴分以下三种情形. x2=6-5. 由点M,B,P的坐标，得MB2=9十m2,BP2=4十 8 16=20,MP2=1+(m-4)2, 综上可得，x的值为3或6十5或6一5. 当BM=BP时，MP为斜边，即9十m2=20且 第4课时二次函数y=ar2十brx十c的图象和性质 MP2=1十(m一4)2=20×2，方程无解； 1.C2.C3.44.155.2 当BM=PM时，则BP为斜边，9十m2=1十(m一 6.解：二次函数y=mx”+(m一1)x十m一1有最大 4)2且9十m2+1+(m-4)2=20,解得m=1,即点 值0， M(1,1); m0, 当BP=MP时，则BM为斜边，即20=1+(m一 4mm-1）-(m-1)'=0,解得m,=- 4)2且9+m2=20+1十(m-4)2,方程无解. 3 综上所述，点M的坐标为(1,1). Am 3.二次函数表达式的确定 1 m=1(舍去)，m=一3 1.y=x8+3x-4 7.C解析：抛物线y=x2向右平移2个单位长度可 2.解：(1)设二次函数表达式为y=ax2+bx+c. c=一3， 得到抛物线y=(x一2)2，再向下平移1个单位长度 根据题意，得4a十2b十c=-3, 即可得到抛物线y=(x一2)2-1. a-b+c=0, 故平移过程为先向右平移2个单位长度，再向下平 移1个单位长度. a=1, 解得b=一2， 8.B c=-3, 二次函数的表达式为y=x2-2x-3. 将y=一5代人抛物线的表达式，得xD=4, (2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 故点D坐标为(4，一5). .此二次函数图象的顶点坐标为(1，一4)， 3.A4.B 直线0D的函数表达式为y=一。 5.解：由抛物线顶点坐标为(1，一3)，设其函数表达式 又，抛物线的顶点坐标为(2，一9)， 为y=a(x-1)2-3. 过点(2，一9)作y轴的平行线，与CD和OD分别 将(0，-2)代人y=a(x-1)2-3,得 交于点M,N,如图所示， a一3=-2，解得a=1, 则点M的坐标为(2，一5) 则抛物线的函数表达式为y=(x一1)-3. 6.B 将=2代入y=-,得y=-×2= 2则 7.解：，二次函数的图象过点(1,0)，(5,0)，∴.设这个 二次函数的表达式为y=a(x一1)(x-5), 点N坐标为，-） 即y=ax2-6a.x+5a. 由题意，得20a2-36a "a≠0，a= 9 9 又：-5-(-9)=4，-5-（-9)=13 2 4a 8 y 9 -8x-10(x-5), m的取值范围是4长m<品 即y=一8x2十x45 4x一 8 8.B9.C 10.y=-3(x-2)2-111.1 2y=-号+台+2 13.解：(1)由题意，得抛物线与x轴的另一个交点为 (1,0).设y=a(x-1)(x+3),把(0,3)代人，得 15.解：(1)将(1,3)代人y=ax2+(a+1)x十a一4，得 3=-3a, 3=a+a+1+a-4,∴.a=2, .a=一1，∴.抛物线的函数表达式为 .这个二次函数的表达式为y=2x十3x-2. y=-(x-1)(x+3),即y=-x-2x十3. (2)y1=y2,这两个点关于x轴对称， (2)设直线AB的函数表达式为y=kx十b(k≠0)， 将(-30)，(0,3)代入，得3十6=0，解得k=1, 治 2a21 .直线AB的函数表达式为y=x十3. 7+=2出 =1,.a= 1 3 如图所示，作PQ⊥x轴于点Q,交直线AB于 (3)①，点(-1，t)在二次函数图象上， 点M. ∴.t=a-a-1+a-4=a-5. ②：当x≥一1时y随x的增大而增大， 当a>0时，有-2%≤-1.∴.0<a≤1， .-5<t≤-4： 当a<0时，不符合题意舍去.∴.一5<t≤一4. 专题一二次函数表达式的求解策略 设P(x,-x2-2x+3)(-3<x<0),则M(x,x+3), 1 1.2 ∴.PM=-x2-2x+3-(x+3)=-x2-3x, 一2 s-(2-)x8-(+2》+号 2.(1)y=x2-4x+5(2)> 3.解：：点B(4,m)在直线y=x十1上， m=4+1=5,.B(4,5). 当x=- 时，S大=8' 27 2 把A,B,C三点坐标分别代入抛物线的函数表达 式，得 y=-(-》”-2x(-2)+3-5 a一b十c=0, a=-1, 16a+4b+c=5,解得b=4, :△PAB的面积的最大值为智，此时点P坐标为 25a+5b+c=0, c=5. ∴.抛物线的函数表达式为y=一x2十4x十5. (-2) 4.解：(1)：二次函数y=x2十bx十c的图象经过点 A(1,-2)和B(0,-5). 14.解：(1)，抛物线的对称轴是直线x=2, ÷-2=2,解得6=4 ÷6:2.舞得化2 lc=-5, .二次函数的表达式为y=x2+2x一5. 又，抛物线与y轴交于点C(0,一5)， (2)x的取值范围是-3≤x≤1. .c=-5. 5.D6.B7.y=(x-2)8-1 .抛物线的表达式为y=x2一4x一5. 8.解：(1)直线x=-1 (2)CD∥x轴，yp=yc=-5. (2)y=ax2+2ax+3a2-4=a(x+1)2+3a2-