第02讲 直线的方程（5知识点+6考点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第02讲 直线的方程 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：7大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1．了解点斜式方程的推导过程，了解截距的概念，掌握直线的点斜式与斜截式方程； 2．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程； 3．了解截距式方程的形式特征及适用范围； 4．了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般方程与二元一次方程的关系； 5．能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化． 知识点1 直线的点斜式方程 1、直线的点斜式方程的推导 一般地，如果直线经过点，斜率为，设直线上任意一点的坐标是，当点（不同于点）在直线上运动时，直线的斜率恒等于，即，故（﹡）． 因为点的坐标也满足方程（﹡），所以直线上的每个点的坐标都是方程（﹡）的解；反过来，可以验证，以方程（﹡）的解为坐标的点都在直线上．因此方程（﹡）就是过点，斜率为的直线方程． 2、点斜式方程定义：直线叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 3、两种特殊情形的直线方程 （1）垂直于轴的直线：如图，过定点，倾斜角为90°，斜率不存在，没有点斜式，其方程为或． （2）平行于轴（或与轴重合）的直线：如图，过定点，倾斜角为0°，斜率为0，其点斜式方程为． （24-25高二上·广东梅州·期末）已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 知识点2 直线的斜截式方程 1、斜截式方程的定义：定义：如图，直线的斜率为，且与轴的交点为，则直线叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 【注意】（1）直线的斜截式是直线点斜式的特例． （2）一条直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距，特别的，倾斜角为直角的直线没有斜截式方程． 2、斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 （22-23高二下·河北石家庄·期末）过点与的直线的斜截式方程是（    ） A． B． C． D． 知识点3 直线的两点式方程 1、两点式方程的定义：如图，直线经过点，（其中，），则方程叫做直线的两点式方程，简称两点式． 【注意】（1）与坐标轴垂直的直线没有两点式方程。 （2）将两点式方程变形为：，可以表示任何直线． 2、两点式方程的应用 用两点式返程写出直线的方程时，要特别注意横坐标相等或者纵坐标相等时，不能用两点式． 已知直线上的两点坐标，也可先求出斜率，再利用点斜式写出直线方程． （24-25高二上·广东·期中）写出一个过和的直线的两点式方程 . 知识点4 直线的截距式方程 1、直线的截距式方程的推导 已知直线经过两点，，其中，，则由直线的两点式方程可得，即． 【注意】截距式方程是两点式方程的一种特殊情况． 2、截距式方程的定义：方程中，称为直线在轴上的截距，称为直线在轴上的截距．这个方程由直线在轴和轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式方程轴 【注意】截距式方程只能表示在轴、轴上的截距都存在且不为0的直线． 因此截距式不能表示过原点的直线、与轴垂直的直线、与轴垂直的直线． 3、截距的概念 （1）横截距：直线与轴交点的横坐标．在直线方程中，令，解出的值即可． （2）纵截距：直线与轴交点的横坐标．在直线方程中，令，解出的值即可． （24-25高二上·江苏扬州·期中）经过点的直线在轴上的截距是（    ） A．-10 B．10 C． D． 知识点5 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程的定义：平面直角坐标系中的任意一条直线的方程都可以用关于、的二元一次方程（、不全为0）来表示；任何一个关于、的二元一次方程（、不全为0）都表示一条直线．方程（、不全为0）叫作直线的一般式方程． 2、系数的几何意义 （1）当时，（斜率），（轴上的截距） （2）当时，则（轴上的截距），此时斜率不存在． （24-25高二上·贵州黔南·月考）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 考点一：直线的点斜式方程 例1．（24-25高二上·福建泉州·期末）倾斜角为的直线过点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二下·安徽·月考）直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·云南红河·月考）过点且倾斜角为的直线方程为 . 【变式1-3】（24-25高二上·湖南长沙·期末）过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 考点二：直线的斜截式方程 例2.（24-25高二上·吉林长春·期末）直线的斜率是（    ） A．2 B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·江苏盐城·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·甘肃白银·月考）已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 【变式2-3】（24-25高二上·安徽阜阳·月考）倾斜角为，在轴上截距为的直线方程为 ． 考点三：直线的两点式方程 例3.（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）过点和点的直线的两点式方程是 ． 【变式3-1】（24-25高二上·广东中山·期中）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·新疆·月考）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·江西上饶·开学考试）经过两点的直线方程可以表示为（    ） A． B． C． D． 考点四：直线的截距式方程 例4.已知直线，则直线在轴上的截距为（    ） A． B．5 C． D．2 【变式4-1】（24-25高二上·山西阳泉·月考）若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（    ） A．2 B．1或0 C．2或1 D．2或0 【变式4-2】（24-25高二上·广东·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-3】（24-25高二上·河南许昌·期中）经过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C．或 D．或 考点五：直线的一般方程 例5.（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）直线l经过点，倾斜角为45°，则直线l的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·广东潮州·月考）若，，则直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-3】（24-25高二下·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 . 考点六：动直线过定点问题 例6.（23-24高二上·甘肃白银·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 【变式6-1】（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·福建莆田·期中）若直线恒过定点A，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二上·河北沧州·月考）已知直线（）恒过定点M，则点M的坐标为 . 一、单选题 1．（24-25高二上·河南驻马店·期末）直线：在轴上的截距为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高二上·北京朝阳·期末）经过点且倾斜角为的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·内蒙古赤峰·月考）已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江·月考）在平面直角坐标系中，直线，则直线过（    ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限 5．（24-25高二上·河北邢台·月考）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 二、多选题 6．（24-25高二上·湖北·月考）下列说法正确的是（    ） A．经过任意两个不同的点的直线都可以表示为 B．不经过原点的直线都可以用方程表示 C．直线的倾斜角越大，则其斜率越大 D．直线的倾斜角的取值范围是 7．（24-25高二上·河北沧州·月考）若直线l过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·上海·期中）下列说法中，正确的有（    ） A．直线在y轴上的截距是 B．直线经过第一、二、三象限 C．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 D．过点，且倾斜角为90°的直线方程为 三、填空题 9．（24-25高二上·北京·期中）直线l的倾斜角为，且，若l过点，则直线l的方程为 . 10．（24-25高二上·青海西宁·月考）已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为 ． 11．（24-25高二上·重庆·月考）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 . 四、解答题 12．（24-25高二上·陕西渭南·月考）根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 13．（23-24高二上·云南昭通·月考）已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. (1)若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； (2)求面积的最小值及此时直线的方程. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 直线的方程 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：7大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1．了解点斜式方程的推导过程，了解截距的概念，掌握直线的点斜式与斜截式方程； 2．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程； 3．了解截距式方程的形式特征及适用范围； 4．了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般方程与二元一次方程的关系； 5．能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化． 知识点1 直线的点斜式方程 1、直线的点斜式方程的推导 一般地，如果直线经过点，斜率为，设直线上任意一点的坐标是，当点（不同于点）在直线上运动时，直线的斜率恒等于，即，故（﹡）． 因为点的坐标也满足方程（﹡），所以直线上的每个点的坐标都是方程（﹡）的解；反过来，可以验证，以方程（﹡）的解为坐标的点都在直线上．因此方程（﹡）就是过点，斜率为的直线方程． 2、点斜式方程定义：直线叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 3、两种特殊情形的直线方程 （1）垂直于轴的直线：如图，过定点，倾斜角为90°，斜率不存在，没有点斜式，其方程为或． （2）平行于轴（或与轴重合）的直线：如图，过定点，倾斜角为0°，斜率为0，其点斜式方程为． （24-25高二上·广东梅州·期末）已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，直线的斜率为1，又经过点， 故直线的方程为，即.故选：D. 知识点2 直线的斜截式方程 1、斜截式方程的定义：定义：如图，直线的斜率为，且与轴的交点为，则直线叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 【注意】（1）直线的斜截式是直线点斜式的特例． （2）一条直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距，特别的，倾斜角为直角的直线没有斜截式方程． 2、斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 （22-23高二下·河北石家庄·期末）过点与的直线的斜截式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知：直线的斜率为，且纵截距为7， 所以直线的斜截式方程是.故选：A. 知识点3 直线的两点式方程 1、两点式方程的定义：如图，直线经过点，（其中，），则方程叫做直线的两点式方程，简称两点式． 【注意】（1）与坐标轴垂直的直线没有两点式方程。 （2）将两点式方程变形为：，可以表示任何直线． 2、两点式方程的应用 用两点式返程写出直线的方程时，要特别注意横坐标相等或者纵坐标相等时，不能用两点式． 已知直线上的两点坐标，也可先求出斜率，再利用点斜式写出直线方程． （24-25高二上·广东·期中）写出一个过和的直线的两点式方程 . 【答案】（答案不唯一，四种形式写出一种即可）. 【解析】经过点和点直线两点式方程是：或. 故答案为：（答案不唯一，四种形式写出一种即可）. 知识点4 直线的截距式方程 1、直线的截距式方程的推导 已知直线经过两点，，其中，，则由直线的两点式方程可得，即． 【注意】截距式方程是两点式方程的一种特殊情况． 2、截距式方程的定义：方程中，称为直线在轴上的截距，称为直线在轴上的截距．这个方程由直线在轴和轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式方程轴 【注意】截距式方程只能表示在轴、轴上的截距都存在且不为0的直线． 因此截距式不能表示过原点的直线、与轴垂直的直线、与轴垂直的直线． 3、截距的概念 （1）横截距：直线与轴交点的横坐标．在直线方程中，令，解出的值即可． （2）纵截距：直线与轴交点的横坐标．在直线方程中，令，解出的值即可． （24-25高二上·江苏扬州·期中）经过点的直线在轴上的截距是（    ） A．-10 B．10 C． D． 【答案】A 【解析】由两点式直线方程得：， 整理得：，再令，解得，故选：A． 知识点5 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程的定义：平面直角坐标系中的任意一条直线的方程都可以用关于、的二元一次方程（、不全为0）来表示；任何一个关于、的二元一次方程（、不全为0）都表示一条直线．方程（、不全为0）叫作直线的一般式方程． 2、系数的几何意义 （1）当时，（斜率），（轴上的截距） （2）当时，则（轴上的截距），此时斜率不存在． （24-25高二上·贵州黔南·月考）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由直线，则斜率为，即为倾斜角的正切值， 结合倾斜角的范围，知倾斜角的大小为.故选：C 考点一：直线的点斜式方程 例1．（24-25高二上·福建泉州·期末）倾斜角为的直线过点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线的倾斜角为，所以其斜率为. 根据点斜式可得直线方程为：，即.故选：D 【变式1-1】（24-25高二下·安徽·月考）直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线的倾斜角为， 所以直线的方程为，即，故选：A． 【变式1-2】（24-25高二上·云南红河·月考）过点且倾斜角为的直线方程为 . 【答案】 【解析】由于过的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以其直线方程为. 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高二上·湖南长沙·期末）过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为倾斜角为，所以， 由直线的点斜式方程得.故选：B. 考点二：直线的斜截式方程 例2.（24-25高二上·吉林长春·期末）直线的斜率是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，直线的方程为，其斜截式方程为， 其斜率.故选：D. 【变式2-1】（24-25高二上·江苏盐城·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知直线的斜率为， 设其倾斜角为，且，满足，可得.故选：B 【变式2-2】（24-25高二上·甘肃白银·月考）已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 【答案】 【解析】已知两点、，故直线的斜率， 则方程为：，整理得， 转化为直线的斜截式为． 【变式2-3】（24-25高二上·安徽阜阳·月考）倾斜角为，在轴上截距为的直线方程为 ． 【答案】 【解析】因为，所以所求直线的斜率为， 又直线在轴上的截距为， 由直线方程的斜截式得：，化为一般式得：． 考点三：直线的两点式方程 例3.（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）过点和点的直线的两点式方程是 ． 【答案】 【解析】由题意，不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件， 当直线经过时，两点式方程为：， 于是直线的两点式方程为：. 【变式3-1】（24-25高二上·广东中山·期中）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线过点，，所以直线方程为，故选：B. 【变式3-2】（24-25高二上·新疆·月考）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线经过点， 所以由方程的两点式可得直线方程为，即．故选：A 【变式3-3】（24-25高二上·江西上饶·开学考试）经过两点的直线方程可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当经过的直线不与轴、轴平行时， 所有直线均可以用表示， 由于可能相等，也可能相等， 所以只有选项C满足包括与轴、轴平行的直线．故选：C． 考点四：直线的截距式方程 例4.已知直线，则直线在轴上的截距为（    ） A． B．5 C． D．2 【答案】C 【解析】直线的方程为，即， 故直线在轴上的截距为．故选：C. 【变式4-1】（24-25高二上·山西阳泉·月考）若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（    ） A．2 B．1或0 C．2或1 D．2或0 【答案】C 【解析】由题意可知：， 令，则，解得. 令，则，解得. 因为直线在两坐标轴上的截距相等，所以. 得到.即.解得或. 故满足题意的实数或.故选：C. 【变式4-2】（24-25高二上·广东·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】当直线过原点时，直线方程为，即，在两坐标轴上的截距均为，满足题意； 当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 设直线方程为， 代入点，得，解得， 则直线方程为，即， 综上所述直线方程为或，故选：C. 【变式4-3】（24-25高二上·河南许昌·期中）经过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】当相等的截距都为0 时，直线方程为，即； 当相等的截距不为0时，设方程为，则，解得，方程为， 所以所求直线的方程为或.故选：D 考点五：直线的一般方程 例5.（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为该直线的斜率为，所以倾斜角为.故选：C. 【变式5-1】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）直线l经过点，倾斜角为45°，则直线l的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线过点，所以直线方程为，整理得.故选：B 【变式5-2】（24-25高二上·广东潮州·月考）若，，则直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由题意可知 ，故直线的方程可化为 ， 由 ， 可得 ， 由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第三象限．故选：C． 【变式5-3】（24-25高二下·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 . 【答案】 【解析】直线的斜率，，直线与轴的交点为，， 由题意可知，，解得：或. 故答案为： 考点六：动直线过定点问题 例6.（23-24高二上·甘肃白银·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 【答案】 【解析】将直线方程变形为， 由直线方程的点斜式可知直线恒过的定点是. 【变式6-1】（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，直线， 即， 令，得， 故直线必过定点.故选：B 【变式6-2】（24-25高二上·福建莆田·期中）若直线恒过定点A，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 令，解得， 则所过定点为.故选：C 【变式6-3】（24-25高二上·河北沧州·月考）已知直线（）恒过定点M，则点M的坐标为 . 【答案】 【解析】直线，即， 联立，解得， 即点M的坐标为. 一、单选题 1．（24-25高二上·河南驻马店·期末）直线：在轴上的截距为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】令，代入，得，故选：B 2．（24-25高二上·北京朝阳·期末）经过点且倾斜角为的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由直线的倾斜角为可知斜率为， 再因为直线经过点，由点斜式直线方程得：， 整理得：，故选：B. 3．（24-25高二上·内蒙古赤峰·月考）已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线，由，解得， 所以直线恒过定点.故选：C 4．（24-25高二上·浙江·月考）在平面直角坐标系中，直线，则直线过（    ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限 【答案】D 【解析】直线在x轴上截距为2，y轴上截距为－3， 所以直线l过一、三、四象限．故选：D. 5．（24-25高二上·河北邢台·月考）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【答案】C 【解析】由题意，直线经过两点，，故AD错误， 将两点式化为斜截式：，故B错误， 直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确.故选：C. 二、多选题 6．（24-25高二上·湖北·月考）下列说法正确的是（    ） A．经过任意两个不同的点的直线都可以表示为 B．不经过原点的直线都可以用方程表示 C．直线的倾斜角越大，则其斜率越大 D．直线的倾斜角的取值范围是 【答案】AD 【解析】对于A：当两个不同的点的连线不垂直于坐标轴时， 直线方程为，即， 当直线斜率为0或者斜率不存在时，也适合方程， 所以经过任意两个不同的点的直线都可以用 方程表示，故A正确； 对于B：如直线不经过原点，但是不能用方程表示，故B错误； 对于C，当倾斜角为时，斜率为，小于倾斜角为时的斜率，故C错误； 对于D：直线，即，斜率， 则，所以，故D正确；故选：AD. 7．（24-25高二上·河北沧州·月考）若直线l过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】直线l过点且在两坐标轴上的截距互为相反数， 当直线l过原点时，它们在两坐标轴上的截距都为0，互为相反数，方程为，即； 当直线l不过原点时，设其方程为，则，解得， 直线的方程为，即， 所以直线l的方程为或.故选：AD 8．（24-25高二上·上海·期中）下列说法中，正确的有（    ） A．直线在y轴上的截距是 B．直线经过第一、二、三象限 C．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 D．过点，且倾斜角为90°的直线方程为 【答案】ABD 【解析】对于A，令，求得，则直线在y轴上的截距为，故A正确； 对于B，直线 的斜率为，在y轴上的截距为， 易知直线经过第一、二、三象限，B正确； 对于C，当直线经过原点时，设，代入点，求得，此时直线方程为； 当直线截距不为0时，设方程为，代入点，求得， 此时直线方程为，故C错误； 对于D，倾斜角为的直线斜率不存在， 则过点并且倾斜角为90°的直线方程为，故D正确.故选：ABD. 三、填空题 9．（24-25高二上·北京·期中）直线l的倾斜角为，且，若l过点，则直线l的方程为 . 【答案】或 【解析】由直线l的倾斜角为，且，得，则， 因此直线l的斜率，直线l的方程为或， 所以直线l的方程为或. 10．（24-25高二上·青海西宁·月考）已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为 ． 【答案】. 【解析】设直线的倾斜角为，由题意知， 则，所以， 又直线过点，所以直线方程为， 即直线方程为. 11．（24-25高二上·重庆·月考）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 . 【答案】或. 【解析】显然直线的斜率是存在的. 若两坐标轴上截距相等且等于零，设直线方程为， 因为过点，所以，所以直线方程为； 若两坐标轴上截距相等且不等于零，设直线方程为， 因为过点，所以，故，所以直线方程为，即； 四、解答题 12．（24-25高二上·陕西渭南·月考）根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 【答案】(1)(2)；(3)或. 【解析】（1）因为直线经过点，且倾斜角为， 所以直线的斜率为，则直线方程为， 所以直线的一般方程为； （2）因为直线经过点和点， 所以直线斜率为，直线方程为， 所以直线的一般式方程为； （3）当直线在x，y轴上截距都为0时， 设直线方程为，则，得， 设直线方程为，即； 当直线在x，y轴上截距都不为0时， 由题设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的一般式方程为, 综上所述，所求直线为或. 13．（23-24高二上·云南昭通·月考）已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. (1)若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； (2)求面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)；(2)24， 【解析】（1）由题意可知直线不经过原点， 又直线在两坐标上的截距相等，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 故直线的方程为，即. （2）依题意，设直线的方程为， 则，且， 所以，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积， 即的面积的最小值为， 此时直线的方程为，即. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$