第一章 集合与常用逻辑用语（复习讲义）数学人教B版2019必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语（复习讲义） 基础目标 ①集合：能复述集合与元素概念，判断元素与集合关系；掌握数集符号，用列举法、描述法表示集合；识别集合间包含关系，求子集、真子集；理解并会计算并集、交集、补集，能用Venn图表示集合关系与运算； ②常用逻辑用语：能判断命题，判断充分、必要、充要条件，识别全称、存在量词命题并否定。 进阶目标 ①集合：推导元素个数与子集关系，求解集合参数范围；综合运用运算，结合数轴、Venn图解决复杂问题，实现多语言转换； ②常用逻辑用语：根据命题真假求参数，在综合问题中判断条件关系。 拓展目标 ①集合：综合运用集合与其他知识解题，解决新定义集合问题，建立实际应用模型； ②常用逻辑用语：在复杂推理中准确论证，理解逻辑推理意义，推广命题并判断真假。 1．有限集的子集个数确定 若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 2．根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论（必须优先考虑空集的情况），做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 3．集合的运算性质 （1），，； （2），，； （3），，； （4）； 4．集合判断法判断充分条件、必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：c，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 5．根据充分、必要条件求解参数 ①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解； ②要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． 6.根据量词命题的真假求参数 根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组）求参数的取值范围. 具体如下： ①对于全称量词命题“”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数的最大值（或最小值)，即. ②对于存在量词命题“”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值（或最大值)，即 题型一 集合的元素特征 例1．（多选）由a2，a-1，1组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．2 B．1 C．-2 D．0 变式1-1．已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 变式1-2．设是实数，集合，若，则 . 变式1-3．举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 题型二 集合间的基本关系 例2．已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式2-1．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 变式2-2．已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 变式2-3．已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型三 简单的交并补运算 例3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式3-1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式3-2．已知全集，集合，则（   ） A．或 B．或 C． D． 变式3-3．已知集合，，则 . 题型四 交并补的混合运算 例4．已知全集为，集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式4-1．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 变式4-2．已知全集，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 变式4-3．（多选）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 题型五 已知集合基本运算的结果求参数或求集合 例5．已知非空集合，，，则实数a的取值范围为 . 变式5-1．已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 变式5-2．已知集合，若，则实数的取值所组成的集合是（   ） A． B． C． D． 变式5-3．已知集合，集合. (1)若，求a的取值范围； (2)已知，求a的值. 题型六 Venn图的应用 例6．已知表示集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 变式6-1．如图所示的Venn图中阴影部分所表示的集合为（      ） A． B． C． D． 变式6-2．设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 变式6-3．设全集为，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 题型七 集合的新定义运算 例7．设P，Q为两个非空实数集合，定义．若，，则中元素的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 变式7-1．设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式7-2．（多选）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 变式7-3．对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 题型八 判断充分必要条件 例8．已知集合A，B，C均为非空集合．若是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式8-1．“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式8-2．已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式8-3．若命题，命题直线与抛物线无公共点，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型九 根据充分必要条件求参数 例9．已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式9-1．已知集合，或，且是的充分条件，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式9-2．已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 变式9-3．已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 题型十 充要条件的证明 例10．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 变式10-1．证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 变式10-2．已知，求证：成立的充要条件是. 变式10-3．已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 题型十一 判断量词命题的真假及其否定 例11．下列命题中是假命题的个数为 ． （1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （3）有些实数是无限不循环小数； （4）存在一个三角形不是等腰三角形． 变式11-1．下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使 C．任意无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数，使 变式11-2．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 变式11-3．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假： (1)，； (2)存在一个六边形，其内角和不等于． 题型十二 根据量词命题的真假求参数 例12．若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式12-1．已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为 ． 变式12-2．已知命题：“，”为真命题，则的取值为 . 变式12-3．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 基础巩固通关测 一、单选题 1．若集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．0，1或 5．能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（    ） A． B． C． D． 6．已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设，下列选项正确的是（   ） A．集合的子集个数为4 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．以下是的必要条件但不是充分条件的是（    ） A．：“是分数”，：“是有理数” B．：“”，：“” C．：“”，：“” D．：“”，：“” 三、填空题 11．若，则实数的值为 ． 12．设集合，，，则的元素个数为 . 13．（ 2023·24高一上·甘肃白银·期中）若命题：，使得为假命题，则实数的取值集合是 . 四、解答题 14．指出下列各题中，是的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. (1)在中，，； (2)对于实数，，，或； (3)，. 15．已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 16．（ 2024·25高一上·福建三明·期末）设集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 17．已知命题，命题q：. (1)写出命题的否定；若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得命题和有且只有一个为真命题？若存在，求出实数的取值范围；若不存在；请说明理由. 18．已知全集为R，集合，集合或． (1)若是成立的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 能力提升进阶练 1．如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是（    ） A．图形I表示的集合为 B．图形Ⅲ表示的集合为 C．图形Ⅴ表示的集合为 D．图形Ⅷ表示的集合为 2．（ 2023·江苏南通·模拟预测）已知为的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（ 2023·24高三上·宁夏银川·期中）设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（ 2023·24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 5．（ 2023·24高一上·福建·期中）已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 6．（ 2024·25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语（复习讲义） 基础目标 ①集合：能复述集合与元素概念，判断元素与集合关系；掌握数集符号，用列举法、描述法表示集合；识别集合间包含关系，求子集、真子集；理解并会计算并集、交集、补集，能用Venn图表示集合关系与运算； ②常用逻辑用语：能判断命题，判断充分、必要、充要条件，识别全称、存在量词命题并否定。 进阶目标 ①集合：推导元素个数与子集关系，求解集合参数范围；综合运用运算，结合数轴、Venn图解决复杂问题，实现多语言转换； ②常用逻辑用语：根据命题真假求参数，在综合问题中判断条件关系。 拓展目标 ①集合：综合运用集合与其他知识解题，解决新定义集合问题，建立实际应用模型； ②常用逻辑用语：在复杂推理中准确论证，理解逻辑推理意义，推广命题并判断真假。 1．有限集的子集个数确定 若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 2．根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论（必须优先考虑空集的情况），做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 3．集合的运算性质 （1），，； （2），，； （3），，； （4）； 4．集合判断法判断充分条件、必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：c，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 5．根据充分、必要条件求解参数 ①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解； ②要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． 6.根据量词命题的真假求参数 根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组）求参数的取值范围. 具体如下： ①对于全称量词命题“”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数的最大值（或最小值)，即. ②对于存在量词命题“”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值（或最大值)，即 题型一 集合的元素特征 例1．（多选）由a2，a-1，1组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．2 B．1 C．-2 D．0 【答案】CD 【详解】由题意得,解得a≠2且a≠±1，则符合要求的只有CD. 故选：CD. 变式1-1．已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【答案】B 【详解】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 变式1-2．设是实数，集合，若，则 . 【答案】 【详解】若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则（正值舍），此时，满足； 综上，. 故答案为： 变式1-3．举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)且且且且； (2)或或. 【详解】（1）据集合中元素的互异性，可知， 即且且且且； （2）若，则或，解得：或或， 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 故或或. 题型二 集合间的基本关系 例2．已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合，非空集合，且， 所以，解得：． 故选：C． 变式2-1．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 故当时，易求； 当时，由得，或, 所以所有的取值构成的集合为， 故选：C. 变式2-2．已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【详解】因为集合满足， 所以，，， 又集合满足， 所以集合有：，，，，共有4个， 故选：A. 变式2-3．已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】集合，则集合A的真子集的个数是. 故选：C. 题型三 简单的交并补运算 例3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，， 则； 故选：B． 变式3-1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 故． 故选：C． 变式3-2．已知全集，集合，则（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】因为，集合， 则集合或. 故选：A. 变式3-3．已知集合，，则 . 【答案】 【详解】对于集合，要使根式有意义，即. 解不等式，可得，所以集合. 已知集合，集合. 根据并集的定义,所以. 故答案为：. 题型四 交并补的混合运算 例4．已知全集为，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，因为，，所以，故A不正确； 对于B选项，因为，但，得，故B不正确； 对于C选项，由，，则或， 所以，故C正确； 对于D选项，由，得， 又，所以，故D不正确. 故选：C. 变式4-1．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 因为集合，集合，所以． 所以，所以． 故选：C． 变式4-2．已知全集，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意有， 所以，所以，故A错误； ，故B错误； 因为， 所以，故C错误； 因为， 所以，故D正确. 故选：D. 变式4-3．（多选）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】集合，集合， 对于A选项：，故A正确； 对于B选项：，故B错误； 对于C、D选项：，，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD． 题型五 已知集合基本运算的结果求参数或求集合 例5．已知非空集合，，，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为A为非空集合，则， 解得；， 若，则， 则或， 解得或，又， 综上所述，实数a的取值范围为. 故答案为：. 变式5-1．已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ，故，， 若，此时，满足要求， 若，此时，不合要求， 若，此时，不合要求， 综上，. 故选：C 变式5-2．已知集合，若，则实数的取值所组成的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 当时，，符合题意； 当时，，则或，解得或. 综上所述，实数的取值所组成的集合是. 故选：D. 变式5-3．已知集合，集合. (1)若，求a的取值范围； (2)已知，求a的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知：， 因为，所以,解得. （2）由，得或，即或. 当时，矛盾； 当时，，成立. 综上，. 题型六 Venn图的应用 例6．已知表示集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题中Venn图得，阴影部分表示的集合是， 因为， 所以． 故选：A. 变式6-1．如图所示的Venn图中阴影部分所表示的集合为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意.图中阴影部分所表示的集合为. 故选：B. 变式6-2．设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】阴影在，内，而不在内，即在内，故阴影表示的集合是． 变式6-3．设全集为，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，阴影部分不在集合中，也不在集合中，因此不在集合中， 则阴影部分表示为，A正确，BCD错误. 故选：A 题型七 集合的新定义运算 例7．设P，Q为两个非空实数集合，定义．若，，则中元素的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【详解】当时，；当时，； 当时，，， 所以，共有8个元素. 故选：B 变式7-1．设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】集合的总和为： 每个子集的和应为： 列举所有和为且满足三分划条件的子集组合： 组合一：     组合二： 组合三： 共种不同的分法. 故选：D. 变式7-2．（多选）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A选项，根据题中信息可得，A对； 对于B选项，根据题意可得，故，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：ABD. 变式7-3．对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 【答案】或 【详解】，，． 故答案为：或 题型八 判断充分必要条件 例8．已知集合A，B，C均为非空集合．若是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由是的充分不必要条件，即是的真子集， 由是的充分不必要条件，即是的真子集， 所以是的真子集，即是的充分不必要条件. 故选：A 变式8-1．“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意可得， 即“”可以推得“”，满足充分性，但由“”得不出“”，不具备必要性，所以为充分不必要条件. 故选：A. 变式8-2．已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】集合， 因等价于， 即或，解得或，经检验符合题意； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 变式8-3．若命题，命题直线与抛物线无公共点，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】联立，得，由可得. 所以命题是命题的必要不充分条件. 故选：B 题型九 根据充分必要条件求参数 例9．已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，即． 变式9-1．已知集合，或，且是的充分条件，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 又是的充分条件，所以， 因为或，所以，解得， 所以的最大值为. 故选：A 变式9-2．已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）当时，集合， 所以或， 又， 所以. （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，即时，，满足是的真子集， 当时，即时， ，且不能同时取等号，解得， 综上，实数a的取值范围为或. 变式9-3．已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，可得， 则有或，解得或， 因为，则. 综上所述，实数的取值范围为或. （2）因为命题是命题的必要不充分条件，则， 当时，，解得， 当时，则，解得. 检验：当时，，合乎题意； 当时，，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 题型十 充要条件的证明 例10．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【详解】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 变式10-1．证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【答案】证明见解析 【详解】证明：充分性：若，则， 方程有两个实根，， 根据根与系数的关系得． 所以方程有两个异号实根． 必要性：若一元二次方程有两个异号实根，， 则，即． 所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 变式10-2．已知，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【详解】先证充分性：因为，所以， 所以 . 再证必要性：因为， 所以，又，所以且， 所以，所以，即. 综上可知，当时，成立的充要条件是. 变式10-3．已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【答案】证明见解析 【详解】证明：充分性： 当时，多项式可化为， 即，所以， 则，所以， 即，为等边三角形，即充分性成立； 必要性：由为等边三角形，且，所以， 则，，所以，即必要性成立． 故为等边三角形的充要条件是． 题型十一 判断量词命题的真假及其否定 例11．下列命题中是假命题的个数为 ． （1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （3）有些实数是无限不循环小数； （4）存在一个三角形不是等腰三角形． 【答案】0 【详解】（1）若一个整数的末位是0，则它可以被5整除， 故“每一个末位是0的整数都是5的倍数．”是真命题； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等， 根据线段的垂直平分线定理，可知它是真命题； （3）实数包含无理数，而无理数就是无限不循环小数， 故“有些实数是无限不循环小数”是真命题； （4）有的三角形不是等腰三角形，比如三个角分别为的直角三角形， 故“存在一个三角形不是等腰三角形”是真命题． 故假命题的个数为0. 故答案为：0 变式11-1．下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使 C．任意无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数，使 【答案】A 【详解】“有一个”和“存在一个”为存在量词， 根据全称量词命题的概念可知：至少有一个实数，使， 存在一个负数，使都不是全称量词命题，排除选项BD； 因为是无理数，而不是无理数， 所以命题：任意无理数的平方必是无理数为假命题，故选项C不合题意； 对于选项A，斜三角形的内角是锐角或钝角为全称量词命题且为真命题，符合题意． 故选：A 变式11-2．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】命题“，”为全称量词命题，该命题的否定为“，”. 故选：A. 变式11-3．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假： (1)，； (2)存在一个六边形，其内角和不等于． 【答案】(1)，，真命题； (2)任意六边形，其内角和等于，真命题． 【详解】（1）由全称量词命题的否定为存在量词命题，则原命题的否定为，， 因为时，，故为真命题； （2）由存在量词命题的否定为全称量词命题，则原命题的否定为任意六边形，其内角和等于，易知其为真命题． 题型十二 根据量词命题的真假求参数 例12．若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于“，使得”是假命题，则“，使得”是真命题， 故，则， 故选：A 变式12-1．已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】命题的否定为假命题，所以为真命题， 命题，都有，为真命题，则，即． 命题，使，为真命题，则，即． 因为命题同时为真命题，所以和同时成立，故， 故答案为： 变式12-2．已知命题：“，”为真命题，则的取值为 . 【答案】 【详解】因为命题：“，”为真命题， 即等式恒成立， 则， 解得， 故答案为：. 变式12-3．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于命题“，使”是假命题， 所以， 解得. 故选：B 基础巩固通关测 一、单选题 1．若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则. 故选：B. 2．已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，时，； 若，时，； 若，异号时，． 故选：A 3．已知集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由条件得，又因为， 所以，即有． 当，有，解得：； 当，有，解得：． 综上，实数的取值范围为：． 故选：C． 4．已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．0，1或 【答案】D 【详解】，， 由题意，当Q为空集时，，满足； 当Q不是空集时，， 由得或，解得或． 综上，a的值是0，1或. 故选：D 5．能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 6．已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 所以错误，错误， 错误，，即，正确. 故选：D. 7．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由， 判断充分性： 当时，，满足， 所以由“”可以推出“”，充分性成立． 判断必要性： 若，因为，， 所以的值可以为，也可以是其他值如， 即由“”不能推出“”，必要性不成立． 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 8．若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】命题“”是假命题， 则 是真命题， ∴， 解得：或， 即a的范围是 故选：D. 二、多选题 9．设，下列选项正确的是（   ） A．集合的子集个数为4 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】因为， 所以集合的子集个数为，故A正确； 当时，，即，故B正确； 当时，，即，故C错误； 对D，当时，，满足， 当时，，当时，，即， 当时，，当时，，即， 综上，，故D错误. 故选：AB 10．以下是的必要条件但不是充分条件的是（    ） A．：“是分数”，：“是有理数” B．：“”，：“” C．：“”，：“” D．：“”，：“” 【答案】BD 【详解】对于A，一方面若“是分数”，则必定有“是有理数”； 另一方面若“是有理数”，则不一定有“是分数”， 因为“可能是整数”， 所以“是分数”是“是有理数”的充分条件但不是必要条件，故A不符合题意； 对于B，若，则， 所以“”是“”的必要条件但不是充分条件，故B符合题意； 对于C，因为当且仅当，而当且仅当， 所以“”是“”的充要条件，故C不符合题意； 对于D，一方面设，则，但， 这说明了“”不是“”的充分条件， 另一方面若，则，这说明了“”是“”的必要条件， 结合以上两方面可知“”是“”的必要条件但不是充分条件，故D符合题意． 故选：BD. 三、填空题 11．若，则实数的值为 ． 【答案】2 【详解】， 则：或， 当时：，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时：，解得：（舍去）；或； 故答案为：2 12．设集合，，，则的元素个数为 . 【答案】 【详解】由题意，，， 故，的元素个数为. 故答案为：. 13．（ 2023·24高一上·甘肃白银·期中）若命题：，使得为假命题，则实数的取值集合是 . 【答案】 【详解】因为命题为假命题，所以命题为真命题， ，， 所以实数的取值集合为. 故答案为：. 四、解答题 14．指出下列各题中，是的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. (1)在中，，； (2)对于实数，，，或； (3)，. 【答案】(1)是的充分必要条件. (2)是的充分不必要条件. (3)是的必要不充分条件. 【详解】（1）在中，显然有，所以是的充分必要条件. （2）由，则或； 当时，满足或，但， 所以是的充分不必要条件. （3）由得或； 所以是的必要不充分条件. 15．已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【详解】（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ，即， 原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合（1）知，当或时中至多有一个元素． （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． 16．（ 2024·25高一上·福建三明·期末）设集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，由得或 所以或则 所以 （2）由得 ①若，则，解得 ②若，则或，解得或 综上，实数的取值范围是 17．已知命题，命题q：. (1)写出命题的否定；若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得命题和有且只有一个为真命题？若存在，求出实数的取值范围；若不存在；请说明理由. 【答案】(1)；； (2)存在，. 【详解】（1）由题设，则， 若命题为假命题，则为真命题，故. （2）若为真，则，可得， 由（1）知：若命题为真，则， 所以，存在实数，使得命题和有且只有一个为真命题，. 18．已知全集为R，集合，集合或． (1)若是成立的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或； (2)． 【详解】（1）因为是成立的充分不必要条件，所以是的真子集， 则或，解得或， 又因为所以或， 所以的取值范围为或； （2），且 ∴且，即 故的取值范围是． 能力提升进阶练 1．如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是（    ） A．图形I表示的集合为 B．图形Ⅲ表示的集合为 C．图形Ⅴ表示的集合为 D．图形Ⅷ表示的集合为 【答案】D 【详解】图形I表示的集合为； 图形Ⅱ表示的集合为； 图形Ⅲ表示的集合为； 图形Ⅳ表示的集合为； 图形Ⅴ表示的集合为； 图形Ⅵ表示的集合为； 图形Ⅶ表示的集合为； 图形Ⅷ表示的集合为． 故选：D. 2．（ 2023·江苏南通·模拟预测）已知为的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，如图： 对于选项A，由题意知是的真子集，故，故A不正确； 对于选项B，由是的真子集且都不是空集知，，，故B正确； 对于选项C，由是的真子集知，，故C不正确． 对于选项D，由是的真子集，故，故D不正确． 故选：B 3．（ 2023·24高三上·宁夏银川·期中）设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和为，必为的倍数， 又，，， 所以这个和为、、、， 则， 所以，，， 即这个数分别为、、、， 故这个数中最小的数为. 故选：C 4．（ 2023·24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 5．（ 2023·24高一上·福建·期中）已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题， 时，，符合题意； 当时，，且， 则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意； 当时，由，解得， 此时方程为符合题意； 由解得，此时， 则此时方程有两个负根，符合题意. 综上所述，为真命题时，的取值范围是. 若为真命题的一个必要不充分条件为， 则. 故答案为： 【点睛】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解. 6．（ 2024·25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【答案】(1)证明见解析 (2)不一定，举例见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）且为闭集知：，成立， 故而，从而命题成立. （2）取， 知不一定是闭集合. （3）若或，且均是的真子集，命题显然成立， 故不妨设存在满足，且存在满足, 取知，否则 或者而得出矛盾，故命题成立. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$