精品解析： 上海市浦东新区上海师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

上师大附中2024学年第二学期期末考试 高二年级数学学科 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合，集合，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， 而， 所以. 故答案为：. 2. 已知复数，（i是虚数单位），则______． 【答案】 【解析】 【分析】直接计算可得答案. 【详解】. 故答案为：. 3. 曲线，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】由导数的定义可知：， 又，∴，. 故答案为：. 4. 已知随机变量，且，则__________. 【答案】12 【解析】 【分析】利用二项分布方差和期望的公式求解即可. 【详解】随机变量， ， ， 则. 故答案为：12 5. 盒子里有5个球，其中有2个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为__________.（用数字作答） 【答案】##0.75 【解析】 【分析】设第1次抽到白球为事件A，第2次抽到红球为事件B，求出，，利用条件概率公式求出概率. 【详解】设第1次抽到白球为事件A，第2次抽到红球为事件B， 则，， 则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为. 故答案为： 6. 某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过505克的可能性约为______．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可得结论 【详解】设每包糖果的实际质量为，则， 又， 所以， 故质量超过505克的可能性约为. 故答案为：. 7. 曲线在处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义结合直线的点斜式方程即可求得答案. 【详解】由题意得，当时，， 所以曲线在处的切线方程为，即， 故答案为：. 8. 某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为____________． 【答案】##0.6875 【解析】 【分析】设“小胡从这8题中任选1题且答对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D，利用全概率公式进行求解即可. 【详解】设“小胡从这8题中任选1题且作对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D， 则，，， ， 由全概率公式可得 . 故答案为：. 9. 函数在时有极小值0，则_______． 【答案】11 【解析】 【分析】利用导函数与函数的单调性、极值的关系求解. 【详解】因为， 所以， 因为函数在时有极小值0， 所以，① ，② 联立①②解得或， 当时，， 则函数在上单调递增，无极值，不满足题意； 当时，， 由解得或，由解得， 函数在单调递增，单调递减，单调递增， 满足函数在时有极小值， 所以， 故答案为：11. 10. 已知函数，若存在三个互不相等的实数m，n，p，使得，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求函数的导数，再求函数的极值，根据函数有3个零点，结合三次函数的单调性和极值，列式求解. 【详解】，得， ，得，，得或， 所以的增区间是，减区间是和， 函数的极小值是，极大值是， 由条件可知函数有3个零点，所以，得. 故答案为：. 11. 已知常数，集合，，若，则t的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据，得到，结合，得到，变形得到，根据几何意义得到两圆内含或内切，得到不等关系，求出答案. 【详解】设，则，解得， 因为，所以，即， 化简得到，其中， 整理得， 所以集合表示以为圆心，1为半径的圆及其内部， 而集合表示以为圆心，为半径的圆及其内部， 因为，所以，故两圆内含或内切， 故圆心距小于等于半径之差，即，解得， 即的取值范围是. 故答案为： 【点睛】以复数为载体，考查核心内容为轨迹问题，数形结合进行求解，这是复数的模长相关题目的基本思路和方法. 12. 已知集合，则集合A中满足条件“”的元素个数为_________． 【答案】130 【解析】 【分析】 由题意可得只能取0或1，且5个数值中有2个0,3个0和4个0三种情况，用组合数分别计算其值相加即可. 【详解】解：由题意可得只能取0或1， 因为，所以5个数值中有2个0,3个0和4个0三种情况： （1）有2个0：另外三个从-1,1中取共有 （2）有3个0：另外2个从-1,1中取共有 （3）有4个0：另外1个从-1,1中取共有 所以总共有 故答案为：130 【点睛】组合问题常有以下两类题型变化： （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取； （2）“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 二、选择题（13-14每题4分，15-16每题5分，共18分） 13. 已知（）是实系数一元二次方程的两根，则的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为（）是实系数一元二次方程的两个根，所以互为共轭复数，a=－1，b=2，所以实系数一元二次方程的两个根是，所以故选A. 14. 已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合有3个真子集可得中有两个不同的元素，故求出的范围后可得正确的选项. 【详解】因为有3个真子集，所以中有2个元素，故中有两个元素， 故且，则， 解得且. 故选：C. 15. 春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则吃1颗花生；若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流掷这颗骰子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束.若掷出的是这个记下的点数，则弟弟吃1颗花生；若是6，则小明吃3颗花生.任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出第一步掷骰子弟弟能吃到花生的概率为，再通过分类讨论求出第一次掷出非6，后续阶段弟弟能吃到花生的概率，二者相加即为任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率. 【详解】第一步：第一次掷骰子的概率 （1）掷出6点：概率为，弟弟直接吃1颗花生； （2）非6点：概率为，记下点数，进入后续阶段. 第二步：后续阶段的概率分析 设小明掷骰子时弟弟吃到花生的概率为，弟弟掷骰子时弟弟吃到花生的概率为， 若小明掷骰子： （1）掷出：概率为，弟弟吃1颗花生； （2）掷出：概率为，小明吃3颗花生； （3）其他点数：概率为，轮到弟弟掷骰子，此时概率为， 故有①； 若弟弟掷骰子： （1）掷出：概率为，弟弟吃1颗花生； （2）掷出：概率为，小明吃3颗花生； （3）其他点数：概率为，轮到小明掷骰子，此时概率为， 故有②； 联立①②两式，可得，即后续阶段弟弟吃到花生的概率为， 故任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为. 故选：D 16. 已知线性相关系数r是描述成对数据线性相关程度的统计量，也称为皮尔逊相关系数；一元线性回归分析是基于拟合误差Q取最小值的假设进行的，最终可得回归方程（回归直线）．现有5个数据点，小明对它们进行了一元线性回归分析，得到线性相关系数和回归方程，随后发现自己漏掉了一个数据点且恰好．重新计算6个数据点得到线性相关系数和回归方程，对于下面两个说法： ①一定小于 ②与一定重合 则（ ） A. ①正确②错误 B. ①正确②正确 C. ①错误②正确 D. ①错误②错误 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关系数的定义，以及得到回归直线方程的过程，即可判断选项. 【详解】当增加一个与回归直线完全拟合的数据点后，这个点没有产生新的拟合误差，整体数据点与回归直线的拟合程度变得更好，所以，不一定，故①错误； 回归方程是基于5个数据点通过最小二乘法（使拟合误差取最小值）得到的，当加入新的数据点，因为它在回归直线上，它不会改变原来使取得最小的直线的位置，所以与一定重合，故②正确. 故选：C 三、解答题（17-19每题14分，20-21每题18分，共78分） 17. 已知函数，其中． （1）若，求方程的解； （2）若，求不等式的解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据求，再根据对数函数的性质，解方程； （2）首先确定函数的单调性，得，再结合对数函数的性质，列式求解. 【小问1详解】 ，因为，所以， 因为，所以， 所以，即，所以， 所以方程的解为； 【小问2详解】 因为，即， 因为，所以函数在单调递减，所以， 则不等式，即， 所以，解得， 所以不等式的解为． 18. 已知函数． （1）当时，求函数的最大值； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1）0； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的最大值. （2）求出函数的导数，再分类讨论求出函数单调区间. 【小问1详解】 当时，的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减，， 所以函数的最大值为0. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，在上递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 19. 为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 （1）完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； （2）是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 （3）从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望. 【答案】（1）列联表见解析，0.35； （2）有； （3）分布列见解析，期望为. 【解析】 【分析】（1）完善列联表，求出经验概率. （2）求出的观测值，与临界值比对得解. （3）求出的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 完善列联表，如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 6 20 不是每天都整理数学错题人数 5 15 20 合计 19 21 40 每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为. 【小问2详解】 由（1）得， 所以有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”. 【小问3详解】 不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5， 的所有可能值为0，1，2，3， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望. 20. 问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数x，y满足，求的最小值； （2）若实数a，b，x，y满足，求证：； （3）求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）时，取得最小值． 【解析】 【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值； （2）利用已知，，然后由基本不等式进行放缩：，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件． （3）令，，构造，即以，即，然后利用（2）的结论可得． 【小问1详解】 因为,， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． 【小问2详解】 ， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足. 【小问3详解】 令，，由得， ， 又，所以， 构造， 由，可得，因此， 由（2）知， 取等号时，且同正， 结合，解得，即，． 所以时，取得最小值． 【点睛】本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用，考查了学生的灵活运用数学知识的能力．对学生的创新性思维要求较高，本题属于难题． 21. 设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界． （1）设，，判断函数，是否具有性质； （2）设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界； （3）设，，，若函数，具有性质，求的取值范围：当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围． 【答案】（1）不具有 （2）； （3），. 【解析】 【分析】（1）借助导数，利用“函数具有性质”的定义推理判断. （2）利用导数求出函数的单调区间及极小值，再利用“函数具有性质”的定义求解. （3）求出的导数，按分类，结合“函数具有性质”的定义求出范围，并求出最小值函数，再换元求出最小值函数的最小值即可. 【小问1详解】 函数，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，上单调递减， 于是函数在上不是单调函数，，， 函数在上的值域为， 不存在常数，使得对任意的成立， 所以函数，不具有性质H. 【小问2详解】 函数，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 由函数，具有性质H，且是该函数的一个下界，得， 当时，函数在上不单调，，， 由，即，整理得，解得或， 当时，，当时，， 因此，，则， 所以当且仅当时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界. 【小问3详解】 当时，函数， 求导得， 当时，，，函数在上单调递增，不符合题意； 当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，在上不是单调函数， ，，因此， 令，则，令， 求导得， 函数在上单调递减，， 由当变化时，总是该函数的下界，得， 所以的取值范围是，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上师大附中2024学年第二学期期末考试 高二年级数学学科 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合，集合，则____________. 2. 已知复数，（i是虚数单位），则______． 3. 曲线，则______． 4. 已知随机变量，且，则__________. 5. 盒子里有5个球，其中有2个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为__________.（用数字作答） 6. 某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过505克的可能性约为______．（精确到） 7. 曲线在处的切线方程为________． 8. 某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为____________． 9. 函数在时有极小值0，则_______． 10. 已知函数，若存在三个互不相等的实数m，n，p，使得，则实数a的取值范围是_______． 11. 已知常数，集合，，若，则t的取值范围是____________. 12. 已知集合，则集合A中满足条件“”的元素个数为_________． 二、选择题（13-14每题4分，15-16每题5分，共18分） 13. 已知（）是实系数一元二次方程的两根，则的值为 A. B. C. D. 14. 已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（ ） A. B. C. D. 15. 春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则吃1颗花生；若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流掷这颗骰子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束.若掷出的是这个记下的点数，则弟弟吃1颗花生；若是6，则小明吃3颗花生.任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为（ ）. A. B. C. D. 16. 已知线性相关系数r是描述成对数据线性相关程度的统计量，也称为皮尔逊相关系数；一元线性回归分析是基于拟合误差Q取最小值的假设进行的，最终可得回归方程（回归直线）．现有5个数据点，小明对它们进行了一元线性回归分析，得到线性相关系数和回归方程，随后发现自己漏掉了一个数据点且恰好．重新计算6个数据点得到线性相关系数和回归方程，对于下面两个说法： ①一定小于 ②与一定重合 则（ ） A. ①正确②错误 B. ①正确②正确 C. ①错误②正确 D. ①错误②错误 三、解答题（17-19每题14分，20-21每题18分，共78分） 17. 已知函数，其中． （1）若，求方程的解； （2）若，求不等式的解． 18. 已知函数． （1）当时，求函数的最大值； （2）讨论函数的单调性． 19. 为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 （1）完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； （2）是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 （3）从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望. 20. 问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数x，y满足，求的最小值； （2）若实数a，b，x，y满足，求证：； （3）求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 21. 设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界． （1）设，，判断函数，是否具有性质； （2）设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界； （3）设，，，若函数，具有性质，求的取值范围：当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $