专题02 勾股定理相关【重难点培优：知识梳理+七大题型+压轴真题】-2024-2025学年八年级数学下册人教版

专题02 勾股定理相关知识梳理 蚂蚁爬行最短路径经典模型： 1、基础模型——圆柱 已知：在底面半径为r，高为h圆柱中，求蚂蚁从点P沿圆柱外表面螺旋爬行到点Q的最短路径。 爬行路线 侧面展开图 口诀 同侧全周长 异侧半周长 结论 最短路径PQ= 最短路径PQ= 2、基础模型——长方体 已知：在一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体中，一只蚂蚁沿着长方体的表面爬行，求蚂蚁从点P到点Q的最短路径。 爬行路线 侧面展开图 结论 PQ= = PQ= = PQ= = 总结 长方体中最短路径PQ= 正方体中最短路径PQ== 重难点题型分类 【题型1：勾股定理的证明】 【题型2：勾股定理中的面积问题】 【题型3：勾股定理与折叠问题】 【题型4：勾股定理中动点问题】 【题型5：勾股定理的最值问题】 【题型6：勾股定理与逆定理的综合】 【题型7：压轴真题】 勾股定理的证明题型1 1. 勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一．下列图形中可以证明勾股定理的有（    ）    A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 2．如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是证明了勾股定理和对勾股算术算法进行了推广．书中的证明方法是将4个三边长分别为，，的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线，用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图2，延长交_____①_____于点． 用两种不同的方法表示五边形的面积： 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则_____②_____． 方法二：将五边形看成是由_____③_____，正方形，，拼成，则． 根据面积相等可以得到_____④_____，即．         　 则下列说法错误的是（    ） A．①代表 B．②代表 C．③代表正方形 D．④代表 4．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容． 把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点、、在同一条直线上，利用此图的面积表示式证明勾股定理． 请结合图①，写出完整的证明过程； 勾股定理中的面积问题题型2 1．如图，在中，，，，以三角形各边为直径作半圆，其中两半圆交于点，阴影部分面积分别记作和，则，之间应满足的等式是 ． 2．如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、，的面积，若，，则的值为 ． 3．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，则图中阴影部分的面积为 ． 4．如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点落在上，若，空白部分面积为，则图中阴影部分的面积是 ． 5．如图，已知在中，，，，分别以，、为直径作半圆，则阴影部分的面积等于 ． 勾股定理与折叠问题题型3 1．如图，在中，，，点为线段上的一个动点，将沿直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，若的某一直角边等于斜边长度的一半时，则的长为 ． 2．如图，在，，，，，点是边上一动点． 连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，的长度是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为 ． 4．如图，在中，，点D是上一点，连接，将沿折叠至．连接，若，，平分交于点E，且，则的长为 ． 5．如图，在中，，，点在边上运动，点在边上运动．将沿折叠，当点的对应点恰好落在边的三等分点处，此时 ． 6．如图，在中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的长等于 ． 7．如图，在中，，，，点D在边上，把沿直线折叠，使得点B的对应点落在的延长线上，则 ． 8．如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点，且D，F，G三点共线．已知，，则 ． 9．如图，在直角三角形纸片中，，，，沿将纸片折叠，使点落在边上的点处，再折叠纸片，使点与点重合，折痕分别与，交于点，，连接，则的长为 ． 10．如图，在长方形ABCD中，AB = 5，AD = 3，点E是BC边上一点，沿AE将△ABE折叠，点B的对称点恰好落在CD边上的点F处，再作∠DAF的平分线交CD边于点H，连接EH，则△EFH的面积是 11．一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． (1)若，，如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标． (2)在（1）的条件下如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于E点，求的面积． (3)若，，当为等腰三角形时，求点P的坐标． 勾股定理中动点问题题型4 1．如图，在中，，点M在上，，过点A作射线（与在同侧），若动点P从点A出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点P的运动时间为， (1)当_______时，． (2)在（1）的条件下，求证：． (3)连接，是否存在某个t的值，使得是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，在中，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于Q．以为边作等边三角形，且点C、E在的同侧．设点P的运动时间为与重合部分的图形面积为． (1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）； (2)当点E与点C重合时，求t的值； (3)求S关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围． 3．如图，中，，，，若动点M从点C出发，沿着的三条边顺时针走一圈回到C点，且速度为每秒，设出发的时间为t秒． (1)当t＝ 时，平分； (2)求t为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点N，从点C开始，沿着的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒，若M、N两点同时出发，当M、N中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 s时，直线把的周长分成相等的两部分？ 4．如图，已知△ABC中，，，，P，Q分别是边上的两动点，点P从点B开始沿方向运动，速度为每秒，到达A点后停止；点Q从A开始沿的方向运动，速度为每秒，到达B点后停止，它们同时出发，设出发时间为秒． (1)__________，边上的高__________，当点Q在边上运动时，用含t的代数式表示的长度为__________． (2)当t为何值时，点P恰好在边的垂直平分线上？并求出此时的长度． (3)当点Q在边上运动时，直接写出为等腰三角形时t的值． 勾股定理的最值问题题型5 1．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和4的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，均为正数，且．则的最小值是（） A． B． C． D．6 2．如图，是边长为的等边三角形，为的角平分线，点E在边上，且，点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．如图由边长为正方形组成的的方格阵，点、、、都在格点上〔即行和列的交点处），、分别是、上的动点，则周长的最小值是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，M是延长线上一点，，P是边上一动点，连接，作与关于对称（点D与点B对应），连结，则长的最小值是（   ） A．0.5 B．0.6 C． D． 5. 2024年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），则装饰带的长度最短为（    ）    A． B． C． D． 6. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（     ）（杯壁厚度不计）． A． B． C． D． 7. 如图是一个房间的立体图形，其中，，，点M在棱上，且，N是的中点，已知壁虎要沿着墙壁，地面从点M爬行到N，则它需要爬行的最短路程为（   ）． A． B． C． D．10 8．如图是某个楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在B处发现E处有一块碎面包，则这只蚂蚁吃到这块碎面包所走的最短路程为（   ） A． B． C． D． 9．如图，四边形是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高，一只蚂蚱从点A爬到点C，则它至少要走（  ） A． B． C． D． 10．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 11．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 12．如图，在平面直角坐标系中，依已知，，． (1)作出关于轴对称的； (2)求的面积； (3)若点在轴上，求的最小值． 13．一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． (1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由． (2)如图1，如果蚂蚁要从边长为的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的 　　 （A）（B） （C） （D） 这样的最短路径有 　　条． (3)如果将正方体换成长，宽，高的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明） 14．【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．- 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 勾股定理与逆定理的综合题型6 1. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法： ①；②；③；④，其中正确的说法是（　　）    A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 2．如图，在中，，，为中点，，分别是，两边上的动点，且，下列结论：①；②的周长不变；③；④，分别表示和的面积，则．其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接．有下列结论①，②垂直平分，③，④平分，⑤．则下列结论正确的个数有（    ） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 4. 综合与实践：小嵊与小州两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”，展开了课后探究． 【情景再现】 已知，如图1，在和中，，，． 下面是用“构造法”证明两个直角三角形全等的部分过程． 证明：如图1，延长至D，使，连接． 因为（已知），， 所以 所以（全等三角形的对应边相等）． … 所以 所以 【实践解决】 (1)请结合“情景再现”的证明过程，把“…”的部分补充完整； (2)小嵊进行了如下的思考：如图2，和都是等腰直角三角形，且．连接，若，，，求的长； (3)小州结合“构造法“进行进一步探究：如图3，是等腰直角三角形，，P是外一点，，，，求线段的长． 5. 如图，在中，，作的中点，过作，分别交、于、，我们称为等腰的“内接直角三角形”．设，． (1)如图①，当时，若，时，求内接直角三角形的斜边的长； (2)如图②，当时，若、分别在、的延长线上，则内接直角三角形的斜边满足：　 ；（用含a，b的式子表示） (3)拓展延伸：如图③，当时，与a，b还满足（2）的关系式吗？若满足，证明你的结论；若不满足，请探索与a，b满足的数量关系式，并证明你的结论． 压轴真题题型7 1．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，在中，，，，点，，分别在边，，上，连结，．已知点和点关于直线对称．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，，连接，C是上一点，，连接交于D点，若，则的值为（　　） A．5 B． C． D． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上．已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（   ） A． B． C． D．2 5．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，，，以为边在上方作一个等边，将四边形折叠，使点与点重合，折痕为，则点到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 9．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 cm 10．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在四边形中，对角线，F为上一点，连接交于点E，，已知，且． （1）则的长是 ； （2）若，且，则 ． 11．（23-24八年级上·浙江温州·期中）图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理．如图2，小明连结后发现． （1） ； （2）当四边形的面积为22时，正方形的面积为 ． 12．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，斜边的长为c，作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上.若，四边形与面积之和为13.5，则正方形的面积为 . 13．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）如图，中，，，垂足为，在下列说法中： ①为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ②为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ③以为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形； ④，，为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形； 其中正确的说法有 ．（填写正确说法的序号） 14．（24-25八年级上·河南郑州·期中）探究一：如图，均为正方形． 问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________； （）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形． 探究二：图形变化： （）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由； （）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 15．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】由于由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． （1）【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【拓展运用】请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内， ①画出顶点在格点的，其中， ②直接写出的面积=___________，点C到边的距离为___________． （2）【拓展运用】①在图3中，设轴，轴，于点C，则______________________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式， ②图4中，平面直角坐标系中有两点为x轴上任一点，则的最小值为___________； ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最大值为：___________． 15．（2023·江西九江·模拟预测）已知，点是平面内任意一点（不与点，，重合），若点与，，中的某两点的连线的夹角为直角，则称点为的一个“勾股点”． (1)如图（1），若点是内一点，，，，试说明点是的一个“勾股点”； (2)如图（2），已知点是的一个“勾股点”，，且，若，，求的长； (3)如图（3），在中，，，点为外一点，，，，点能否是的“勾股点”，若能，求出的长；若不能，请说明理由． 16．（24-25八年级上·山东青岛·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积： S梯形ABCD＝ 　 　，S△EBC＝ 　 　 ，S四边形AECD＝ 　 　， 再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 　 　，化简后，可得到勾股定理． 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 　 　米． 【知识迁移】 借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式的最小值＝ 　 　． 17．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ 18．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）回顾旧知 （1）如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中，据此，在l上任取一点，作点A关于l的对称点，与直线l相交于点C．连接，易知 ，从而有．这样，在中，根据“ ”可知与l的交点P即为所求． 解决问题 （2）如图②，在中，，E，F为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究 （3）如图③，在中，，点D，E分别为上的动点，且，请直接写出的最小值．                1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理相关重难点题型分类 【题型1：勾股定理的证明】 【题型2：勾股定理中的面积问题】 【题型3：勾股定理与折叠问题】 【题型4：勾股定理中动点问题】 【题型5：勾股定理的最值问题】 【题型6：勾股定理与逆定理的综合】 【题型7：压轴真题】 勾股定理的证明题型1 1. 勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一．下列图形中可以证明勾股定理的有（    ）    A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【详解】解：①，， ∴， 整理得， 故①满足题意； ④或， ∴， ∴， 故④满足题意； ②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意； ③无法证明直角三角三边关系，故③不符合题意；故选：D 2．如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：由勾股定理得：， 由题意得：， 故①，②，③，④正确， 故选：D． 3．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是证明了勾股定理和对勾股算术算法进行了推广．书中的证明方法是将4个三边长分别为，，的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线，用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图2，延长交_____①_____于点． 用两种不同的方法表示五边形的面积： 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则_____②_____． 方法二：将五边形看成是由_____③_____，正方形，，拼成，则． 根据面积相等可以得到_____④_____，即．         　 则下列说法错误的是（    ） A．①代表 B．②代表 C．③代表正方形 D．④代表 【详解】解：如图所示，延长交于G， 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则； 方法二：将五边形看成是由正方形，正方形，，拼成，则 ， 根据面积相等可以得到，即， 故选：C． 4．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容． 把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点、、在同一条直线上，利用此图的面积表示式证明勾股定理． 请结合图①，写出完整的证明过程； 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴=， ∴． 勾股定理中的面积问题题型2 1．如图，在中，，，，以三角形各边为直径作半圆，其中两半圆交于点，阴影部分面积分别记作和，则，之间应满足的等式是 ． 【详解】解：中，， ， ， ， 故答案为：． 2．如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、，的面积，若，，则的值为 ． 【详解】解：设的三边分别为，则， 观察图形可得：， 即， ， ， ， 故答案为：8． 3．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【详解】解：在中，，， ∴， 则阴影部分的面积 ， 故答案为：12． 4．如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点落在上，若，空白部分面积为，则图中阴影部分的面积是 ． 【详解】解：如图， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ∵，即， ， 在中，， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积和三个正方形面积三角形面积倍空白部分面积 ． 故答案为：． 5．如图，已知在中，，，，分别以，、为直径作半圆，则阴影部分的面积等于 ． 【详解】解：∵， ∴， ∴直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积 ， 故答案为：24． 勾股定理与折叠问题题型3 1．如图，在中，，，点为线段上的一个动点，将沿直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，若的某一直角边等于斜边长度的一半时，则的长为 ． 【详解】解：由翻折得，，分三种情况： ①当点在边上，且（即）时， ， 由勾股定理得，， 即， ， ， ； ②当点在的延长线上，且（即）时，同理得， ， ； ③当点在的延长线上，且（即）时， 由勾股定理得，， 即， ， ， ， ， ，此时点不在边上，不符合题意，舍去， 综上，当的某一直角边等于斜边长度的一半时，的长度为，． 故答案为：，． 2．如图，在，，，，，点是边上一动点． 连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，的长度是 ． 【详解】解：在，，，，， ∴，， ∴， 如图所示，时，是直角三角形， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 如图所示，，是直角三角形， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长度为或， 故答案为：或 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为 ． 【详解】解：，，， ，， ， 由折叠得，， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 4．如图，在中，，点D是上一点，连接，将沿折叠至．连接，若，，平分交于点E，且，则的长为 ． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴在中，；在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，在中，，，点在边上运动，点在边上运动．将沿折叠，当点的对应点恰好落在边的三等分点处，此时 ． 【详解】解：如图，当时， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：，即， 如图，当时， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：，即， 综上：为或， 故答案为：或． 6．如图，在中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的长等于 ． 【详解】解：设，则， 由折叠可得：， ∵， ∴，则， 解得：， ∴． 故答案为：． 7．如图，在中，，，，点D在边上，把沿直线折叠，使得点B的对应点落在的延长线上，则 ． 【详解】解：在中，，，， ∴ 由折叠得，，， ∴ 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴． 故答案为：3． 8．如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点，且D，F，G三点共线．已知，，则 ． 【详解】解：，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点， ，，，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得， 即的长为 故答案为： 9．如图，在直角三角形纸片中，，，，沿将纸片折叠，使点落在边上的点处，再折叠纸片，使点与点重合，折痕分别与，交于点，，连接，则的长为 ． 【详解】解析：解：沿将纸片折叠，使点落在边上的点处， ，． 折叠纸片，使点与点重合， ，． ， ， ， ， ， 设，则． ， 解得， ， 故答案为：． 10．如图，在长方形ABCD中，AB = 5，AD = 3，点E是BC边上一点，沿AE将△ABE折叠，点B的对称点恰好落在CD边上的点F处，再作∠DAF的平分线交CD边于点H，连接EH，则△EFH的面积是 【详解】解： 长方形ABCD，折叠， 设 则 即 如图，过作于 而平分 经检验符合题意； 故答案为：． 11．一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． (1)若，，如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标． (2)在（1）的条件下如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于E点，求的面积． (3)若，，当为等腰三角形时，求点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵将沿折叠，点C落在点处， ∴，，， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵， ∴， ∵沿将折叠得， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积； （3）解：①如图，当时，连接，则点在线段垂直平分线上，也在线段垂直平分线上，    ∴， 由折叠得，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴点P的坐标为； ②如图，当时，连接， 由折叠得，，， ∴， 在中，， ∴（不合题意）， 故这种情况不存在； ③如图，当时，    由折叠得，，， ∴， ∴点落在上的中点处， 此时，， ∴， ∴ ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，当为等腰三角形时，点P的坐标为或． 故答案为：或． 勾股定理中动点问题题型4 1．如图，在中，，点M在上，，过点A作射线（与在同侧），若动点P从点A出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点P的运动时间为， (1)当_______时，． (2)在（1）的条件下，求证：． (3)连接，是否存在某个t的值，使得是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴当时， ∵ ∴根据题意 ∴； （2）证明：， ， 而， ， ， ． （3）解：存在． 在中，， ， ． 过点作于点H，则． ①当时，是等腰三角形， ∴； ②当时，是等腰三角形， 则， ， ③当时，是等腰三角形， 则， ， 在中， ， ， 解得． 综上所述，当t为10s或12s或时，是等腰三角形． 2．如图，在中，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于Q．以为边作等边三角形，且点C、E在的同侧．设点P的运动时间为与重合部分的图形面积为． (1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）； (2)当点E与点C重合时，求t的值； (3)求S关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围． 【详解】（1）解：过点作于点，如图： 由题意得：， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，， ∴； ∴； （2）解：如图： ∵为等边三角形， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点在上，点在上，重合部分为，过点作于点， 如图： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 由（2）知，当点E与点C重合时，， ∴ ； 当点在上，点在延长线上时，记与交于点，此时重合部分为四边形，如图： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时，在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，； 当点在上，重合部分为，如图： ∵，， 即可得， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点与点重合时，， 解得：， ∴ ， 综上所述：． 3．如图，中，，，，若动点M从点C出发，沿着的三条边顺时针走一圈回到C点，且速度为每秒，设出发的时间为t秒． (1)当t＝ 时，平分； (2)求t为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点N，从点C开始，沿着的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒，若M、N两点同时出发，当M、N中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 s时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【详解】（1）解：过点M作于D， 则， 平分， ， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 设，则， 在中， ， 解得：， ， 即当t为3时，平分； （2）解:①当点M在上，如图，时，， 则； ②当点M在上，时，过点C作于D， ， ， 在中，， ，为边上的高， ， ， ， 则， 当时，， ， ， 当时， ，， ， ， ， ③当点M在边上时，不能构成三角形； 综上所述，当或或12或13时，为等腰三角形； （3）解：分两种情况： ①M、N相遇前，当M点在上，N在上，如图所示： 则， ； ②在M、N相遇后，当M点在上，N在上，如图所示： 则， ； 为4或12时，直线把的周长分成相等的两部分．故答案为：4或12． 4．如图，已知△ABC中，，，，P，Q分别是边上的两动点，点P从点B开始沿方向运动，速度为每秒，到达A点后停止；点Q从A开始沿的方向运动，速度为每秒，到达B点后停止，它们同时出发，设出发时间为秒． (1)__________，边上的高__________，当点Q在边上运动时，用含t的代数式表示的长度为__________． (2)当t为何值时，点P恰好在边的垂直平分线上？并求出此时的长度． (3)当点Q在边上运动时，直接写出为等腰三角形时t的值． 【详解】（1）解：，，， ． ∵，或， ∴，即， ∴． 当点Q在边上运动时，． 故答案为：，， （2）解：∵点在边的垂直平分线上，取的中点，作，交于，连接， ∴，，， ∵， ∴在中，，即， 解得：． 此时，此时走了； ， ∴点在边上， ． （3）解：分三种情况讨论： ①当时， ，解得； ②当时， ， ， ， ， ， ∴，解得； ③当时， 由（1）可知边上的高， ∴在中，． ， ∴，解得； 综上所述：当为6秒或秒或秒时，为等腰三角形． 勾股定理的最值问题题型5 1．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和4的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，均为正数，且．则的最小值是（） A． B． C． D．6 【详解】解：如图： 可以看作两直角边分别是和的的斜边长，可以看作两直角边分别是和的的斜边长，故问题转化为求的最小值， 连接，当， ，共线时，的最小值为， ∵， ∴的最小值为 故选：C． 2．如图，是边长为的等边三角形，为的角平分线，点E在边上，且，点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：连接，，取的中点，连接， ∵是边长为12的等边三角形，是边上的高，点是边的中点， ∴垂直平分，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当，，三点共线时最小，最小值即为的长， 在中，， 在中，， ∴的最小值为， 故选：D． 3．如图由边长为正方形组成的的方格阵，点、、、都在格点上〔即行和列的交点处），、分别是、上的动点，则周长的最小值是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：如图，分别作点关于、的对称点、，连接交于，交于， ， 则，， ∵周长， ∴周长的最小值 ∴周长的最小值为， 故选：B． 4．如图，在中，，，，M是延长线上一点，，P是边上一动点，连接，作与关于对称（点D与点B对应），连结，则长的最小值是（   ） A．0.5 B．0.6 C． D． 【详解】解：如图，过点A作于点E，连接， ∵ 当点A在上时的值最小，如图， ∵，， ∴， 由折叠得：， ∵， ∴∠， 又∵， ∴， 在中中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选C． 5. 2024年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），则装饰带的长度最短为（    ）    A． B． C． D． 【详解】解：根据题意，该圆柱的侧面展开图如图所示：    可转化为下图求解：    则，， ∴， ∴装饰带的最短长度为， 故选：D． 6. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（     ）（杯壁厚度不计）． A． B． C． D． 【详解】解：如图： 将杯子侧面展开，作关于的对称点， 连接，交于点F，此时点、 、在同一条直线上， 则为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离，即的长度， 依题意，， 此时． 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为， 故选：C． 7. 如图是一个房间的立体图形，其中，，，点M在棱上，且，N是的中点，已知壁虎要沿着墙壁，地面从点M爬行到N，则它需要爬行的最短路程为（   ）． A． B． C． D．10 【详解】解：将长方体侧面展开如图所示， ，， ， 是中点， ， ， ； 如图，过点作于点， 则，， ， ， ， 它需要爬行的最短路程为， 故选：D． 8．如图是某个楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在B处发现E处有一块碎面包，则这只蚂蚁吃到这块碎面包所走的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：将台阶展开，如图， ∵，， ∴根据勾股定理可得：， ∴， 故选：C． 9．如图，四边形是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高，一只蚂蚱从点A爬到点C，则它至少要走（  ） A． B． C． D． 【详解】解：如图所示： 将图展开，图形长度增加， 原图长度增加2米，则， 如图：连接， ∵四边形是长方形，，宽， ∴， ∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故选：A． 10．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是25，故答案为：25. 11．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，图形长度增加半圆周长， 原图长度增加， 则， 连接， ， 故答案为：． 12．如图，在平面直角坐标系中，依已知，，． (1)作出关于轴对称的； (2)求的面积； (3)若点在轴上，求的最小值． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）的面积为：； （3）解：如图，连接， ∴的最小值即为的长， 由勾股定理得，， ∴的最小值为． 13．一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． (1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由． (2)如图1，如果蚂蚁要从边长为的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的 　　 （A）（B） （C） （D） 这样的最短路径有 　　条． (3)如果将正方体换成长，宽，高的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明） 【详解】（1）解：沿线段爬行；理由如下： 如图所示，根据两点之间线段最短，沿线段爬行即可； （2）解：如图所示： 最短路径的长度为， ，即， 如图所示： ∴路线有6条， 故选：D；6； （3）解：蚂蚁爬行的最短路线是沿面和面展开后所连接的线段；理由如下： 如图2.1和图2.2所示作图，分别连接， 图2.1中； 图2.2中； ， 图2.2中的路径最短． 14．【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．- 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 勾股定理与逆定理的综合题型6 1. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法： ①；②；③；④，其中正确的说法是（　　）    A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【详解】解：如图所示， ∵正方形的面积为49， ∴，    ∵是直角三角形， ∴根据勾股定理得：，故①正确； ∵正方形的面积为4， ∴， ∴，故②正确； 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为， 即，故③错误； 由，得， 又∵， 两式相加得：， 整理得：， ，故④错误； 故正确的是①②． 故选：A． 2．如图，在中，，，为中点，，分别是，两边上的动点，且，下列结论：①；②的周长不变；③；④，分别表示和的面积，则．其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【详解】解：∵，，为中点，， ∴， ，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点是边上的动点， ∴的长度是变化的， ∴的值是变化， ∴的周长是变化的，故结论②错误； ∵， ， ∴，故结论③正确； ∵的面积， 当时，的值最小， 此时，， 当点与或重合时，最大为， ∴，故结论④正确； ∴正确的结论有①③④． 故选：C． 3．如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接．有下列结论①，②垂直平分，③，④平分，⑤．则下列结论正确的个数有（    ） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 【详解】解：由作图过程可知， 射线平分， 平分， 故④正确； 在中，， ， ， ，， ， ，， 故①正确； ， ， ， ， 垂直平分， 故②错误； ， 故③正确； ， ， ， ， ， 故⑤正确； 综上所述，结论正确的个数有①③④⑤， 故选：B． 4. 综合与实践：小嵊与小州两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”，展开了课后探究． 【情景再现】 已知，如图1，在和中，，，． 下面是用“构造法”证明两个直角三角形全等的部分过程． 证明：如图1，延长至D，使，连接． 因为（已知），， 所以 所以（全等三角形的对应边相等）． … 所以 所以 【实践解决】 (1)请结合“情景再现”的证明过程，把“…”的部分补充完整； (2)小嵊进行了如下的思考：如图2，和都是等腰直角三角形，且．连接，若，，，求的长； (3)小州结合“构造法“进行进一步探究：如图3，是等腰直角三角形，，P是外一点，，，，求线段的长． 【详解】（1）证明：如图，延长至D，使，连接． ∵（已知），， ∴ ∴（全等三角形的对应边相等）． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 所以； （2）解：和都是等腰直角三角形，， ，，， 即， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ∴的长为3； （3）解：如图，以为直角边在的下面作等腰直角三角形，使，，连接交于点， ，， ，， ，， ， ， ， 即， 同理， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 线段的长为． 5. 如图，在中，，作的中点，过作，分别交、于、，我们称为等腰的“内接直角三角形”．设，． (1)如图①，当时，若，时，求内接直角三角形的斜边的长； (2)如图②，当时，若、分别在、的延长线上，则内接直角三角形的斜边满足：　 ；（用含a，b的式子表示） (3)拓展延伸：如图③，当时，与a，b还满足（2）的关系式吗？若满足，证明你的结论；若不满足，请探索与a，b满足的数量关系式，并证明你的结论． 【详解】（1）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； （2）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 即， 故答案为：； （3）解：与a，b不满足（2）的关系式，存在新的数量关系式为：， 证明：如图，过点作的平行线交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，，， ∴，， ∴， 在中，， 即． 压轴真题题型7 1．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，在中，，，，点，，分别在边，，上，连结，．已知点和点关于直线对称．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵点和点关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，，连接，C是上一点，，连接交于D点，若，则的值为（　　） A．5 B． C． D． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 如图，延长交的延长线于， ∴， ∴， 如图，将绕着点逆时针旋转到，连接， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上．已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【详解】如图，过作于点，作于点， ∴，， 由折叠性质可知，，， ∴， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， 设，点到得距离为，则， ∴，， ∴，，即，， ∴， 解得：， ∴， 故选：． 4．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（   ） A． B． C． D．2 【详解】解：如图，延长交于点,作,垂足为， 在中，, ， 为的中点， , ， ,解得， 由翻折的性质可知, ,， ， ， ， ， , , , 为直角三角形， ， 故选：． 5．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，，，以为边在上方作一个等边，将四边形折叠，使点与点重合，折痕为，则点到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 【详解】解：如图所示，作交的延长线于，作交于， 由翻折的性质可得：， 为等边三角形， ， ， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ， 设，则，，， 在中，， ， 解得：， ， ， ∴， ，， 设点H到的距离为h， ∵， ∴， 故选A． 6．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（   ） A． B． C． D． 【详解】解：如图是侧面展开图的一半，作点关于的对称点，连接，作交的延长线于点，由题意可知，为所求 高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜 ，，， 故选：D． 7．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：把上面展开到左侧面上，连接，如图1， ； 把上面展开到正面上，连接，如图2， ； 把侧面展开到正面上，连接，如图3， ． ∵． 所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为． 故选：D． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 cm 【详解】 如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形，四边形是平行四边形， ∴，，，， 此时最小， ∵点是中点， ∴cm， ∴cm，cm， 在中，cm， ∴cm， 故答案为：16． 9．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在四边形中，对角线，F为上一点，连接交于点E，，已知，且． （1）则的长是 ； （2）若，且，则 ． 【详解】解：（1）延长交的延长线于点H， ， ， ， ∴， ，即是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， 在中，， 即， ； 故答案为：10； （2），， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ． 故答案为：6． 10．（23-24八年级上·浙江温州·期中）图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理．如图2，小明连结后发现． （1） ； （2）当四边形的面积为22时，正方形的面积为 ． 【详解】（1）过点H作于点M， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴． ∵四边形，四边形，四边形都是正方形， ∴，，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． （2）根据（1），设，则，， 根据 ∴， ∴，， ∵四边形的面积为22， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：40． 11．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，斜边的长为c，作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上.若，四边形与面积之和为13.5，则正方形的面积为 . 【详解】解：如图，作于点，则， 四边形、四边形、四边形都是正方形， ，，， ， ， ，， ，，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ①， ， ②， 由①②得， ， ， 故答案为：36． 12．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）如图，中，，，垂足为，在下列说法中： ①为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ②为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ③以为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形； ④，，为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形； 其中正确的说法有 ．（填写正确说法的序号） 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴ ∴以为长度的线段首尾相连不能够组成一个三角形，故①错误； ∵， ∴， ∴以为长度的线段首尾相连不能够组成一个三角形，故②错误； ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴以为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形，故③正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴以，，为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形，故④正确； 综上，正确的说法有③④， 故答案为：③④． 13．（24-25八年级上·河南郑州·期中）探究一：如图，均为正方形． 问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________； （）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形． 探究二：图形变化： （）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由； （）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 【详解】解：（）由题意得，， ∴， 故答案为：； （）∵的面积为，的面积为，同时的面积为， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （），理由如下： 设直角三角形的三边分别为， 则，，， ∵， ∴； （）由图②可得，． 14．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】由于由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． （1）【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【拓展运用】请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内， ①画出顶点在格点的，其中， ②直接写出的面积=___________，点C到边的距离为___________． （2）【拓展运用】①在图3中，设轴，轴，于点C，则______________________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式， ②图4中，平面直角坐标系中有两点为x轴上任一点，则的最小值为___________； ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最大值为：___________． 【详解】解：（1）①如图所示，即为所求； ②， ， 的面积， 设点到边的距离， 的面积， 点到边的距离， 故答案为：2，； （2）①轴，轴，， ，， 故答案为：，； ②如图，作点关于轴对称的点，连接，直线与轴的交点即为所求的点． ∵， ∴， ， ， 即的最小值为， 故答案为：； ③把式看成点到两点和的距离之差，即， 点在直线上，且在点右边时，，有最大值， 最大值为：， 故答案为：． 15．（2023·江西九江·模拟预测）已知，点是平面内任意一点（不与点，，重合），若点与，，中的某两点的连线的夹角为直角，则称点为的一个“勾股点”． (1)如图（1），若点是内一点，，，，试说明点是的一个“勾股点”； (2)如图（2），已知点是的一个“勾股点”，，且，若，，求的长； (3)如图（3），在中，，，点为外一点，，，，点能否是的“勾股点”，若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点P是的一个“勾股点”； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在中，， ∴在中，； （3）解：点D可以是的“勾股点”． 由题意可知，分三种情况讨论． ①当时，点D是的“勾股点”．如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为点E，F． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 又∵在中，， ∴， ∴， ∴； ②当时，点D是的“勾股点”． 由题可知， ∴． 又∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴此种情况不成立． ③当时，点D是的“勾股点”． ∵在中，， ∴是锐角， ∴此种情况不成立． 综上，点D可以是的“勾股点”，的长是． 16．（24-25八年级上·山东青岛·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积： S梯形ABCD＝ 　 　，S△EBC＝ 　 　 ，S四边形AECD＝ 　 　， 再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 　 　，化简后，可得到勾股定理． 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 　 　米． 【知识迁移】 借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式的最小值＝ 　 　． 【详解】解：（小试牛刀） 由图形可得 化简可得 故答案为：，，，； （知识运用）作点关于的对称点，连接，如下图： 由题意可得： ，则的最小值，即为的最小值 由三角形三边关系可得：，当三点共线时 ∴的最小值为，米 故答案为米； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则， 由上可得当三点共线时，距离最小，最小为， 故答案为 17．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ 【详解】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点． 故选：A； （2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． 圆柱底面的周长，圆柱的高， 该长度最短的金属丝的长为． （3）解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍： ． 18．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）回顾旧知 （1）如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中，据此，在l上任取一点，作点A关于l的对称点，与直线l相交于点C．连接，易知 ，从而有．这样，在中，根据“ ”可知与l的交点P即为所求． 解决问题 （2）如图②，在中，，E，F为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究 （3）如图③，在中，，点D，E分别为上的动点，且，请直接写出的最小值．               【详解】解：（1）由对称可知：， 在中，根据两点之间，线段最短可知与的交点即为所求， 故答案为：；两点之间，线段最短； （2）作，使得，连接交于点，连接，如图所示； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的最小值为； （3）作，使得，作于点G，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$