1.2集合间的基本关系教案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

优秀教案系列 1.2　集合间的基本关系 教学分析 · 教学目标 1.理解集合之间的包含与相等的含义. 2.能识别给定集合的子集,了解空集的含义. 3.能进行自然语言、图形语言(Venn图)、符号语言间的转换,提升数学抽象素养. · 评价目标 针对具体数学问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用数学的符号语言准确地刻画集合之间的包含与相等以及集合的子集、空集的含义. · 教学重难点 重点:集合间包含与相等的含义. 难点:子集、真子集概念及空集的含义. · 教法学法 引导学生通过观察、类比、思考、交流、讨论,发现集合间的基本关系. · 课时安排 1课时 · 教学准备 教师:多媒体课件 学生:教材、笔记本、练习本 教学设计 [导入新课] 实数之间有相等关系、大小关系,类比实数之间的关系,联想集合之间是否具备类似的关系. 教师:对两个实数a,b,应有a>b或a=b或a<b,而对于两个集合A,B,它们之间是否也有类似的关系呢? 学生:思考讨论. [讲授新课] 探究一　子集 分析实例 实例:观察下列两组集合,并说明两个集合之间存在怎样的关系. (1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}; (2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合,D为这个班全体学生组成的集合. 学生:在(1)中,集合A的每一个元素都是集合B的元素.(2)中的集合C与集合D也有这种关系. 教师:类似(1)(2)的两个集合之间关系的称A是B的子集,C是D的子集,那么子集怎样定义呢? 学生合作讨论、归纳子集的共性. 子集定义:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集,记作A⊆B(或B⊇A), 读作“A包含于B”(或“B包含A”). 例1　(1)若集合M={x|1<x<4,x∈Z},则M的子集个数为(　　) A.2　　　　　　　　　　B.4 C.8 D.以上都不是 (2)若集合A={1,4,a},B={a2,1},B⊆A,则满足条件的实数a的值为(　　) A.1或0 B.-2,0或2 C.0,1或2 D.-2,0,1或2 答案 (1)B　(2)B 解析 (1)因为M={x|1<x<4,x∈Z}={2,3}, 所以M的子集个数为22=4. 故选B. (2)因为A={1,4,a},B={a2,1},B⊆A, 所以a2=a,或a2=4, (ⅰ)当a2=a时,即a=1或a=0, ①当a=1时,A={1,4,1}不满足集合中元素的互异性,故a=1不成立; ②当a=0时,A={1,4,0},B={0,1}都满足集合中元素的互异性,故a=0成立; (ⅱ)当a2=4时,即a=2或a=-2, ③当a=2时,A={1,4,2},B={4,1}都满足集合中元素的互异性,故a=2成立; ④当a=-2时,A={1,4,-2},B={4,1}都满足集合中元素的互异性,故a=-2成立. 综上所述,满足条件的实数a的值为-2,0或2. 探究二　集合相等 1.观察下面两个集合,并指出它们的元素间的关系. A={x|x是有两条边相等的三角形}, B={x|x是等腰三角形}. 集合A中的元素和集合B中的元素相同. 2.定义:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B. A=B⇔ 例2　(1)若Q表示有理数集,集合X={x|x=a+b,a,b∈Q,x≠0},则集合①{2x|x∈X},②,③,④{x2|x∈X}中与X相等的集合为(　　) A.①② B.②③ C.①②④ D.①②③ (2)(多选题)给出以下几组集合,其中是相等集合的有 (　　) A.M={(-5,3)},N={-5,3} B.M={1,-3},N={-3,1} C.M={x|x2=0},N={0} D.M={x|x2-3x+2=0},N={1,2} 答案 (1)D　(2)BCD 解析 (1)对于①,集合{2x|x∈X},则2(a+b)=p+q,解得p=2a,q=2b,即a=,b=,是一一对应,所以与集合X相等. 对于②,集合,则=b+,也是一一对应,所以与集合X相等. 对于③,集合+-,也是一一对应,所以与集合X相等. 对于④,-1-∈X,但方程-1-=x2无解,则{x2|x∈X}与X不相等. (2)对于A,M={(-5,3)}是点集,N={-5,3}是数集,M≠N,故A不符合题意; 对于B,M={1,-3},N={-3,1},M=N,故B符合题意; 对于C,M={x|x2=0}={0},N={0},M=N,故C符合题意; 对于D,M={x|x2-3x+2=0}={1,2},M=N,故D符合题意.故选BCD. 探究三　真子集 教师:观察以下几组集合,并指出它们中元素间的关系. (1)A={1,3,5},B={1,2,3,4,5,6}; (2)A={四边形},B={多边形}. 学生:思考回答. 真子集的定义:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A). 例3　(1)若集合A={1,0,a,b},则集合A的非空真子集的个数为(　　) A.16 B.15 C.14 D.8 (2)(多选题)若定义集合A的真子集的非空真子集为集合A的孙集,集合A={0,1,2,3},则A的孙集可以是 (　　) A.{0} B.{1,2,3} C.{1,2} D.{0,3} 答案 (1)C　(2)ACD 解析 (1)因为集合A中有4个元素,所以集合A的子集有24=16个, 则集合A的非空真子集的个数是16-2=14.故选C. (2)因为集合A={0,1,2,3}的真子集最多有3个元素,所以孙集至少有一个元素,至多有两个元素,故选ACD. 探究四　空集 教师:因为方程x2+1=0没有实数根,所以方程x2+1=0的实数根组成的集合中没有元素. 定义:一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为⌀,并规定:空集是任何集合的子集. 问题　你还能举几个空集的例子吗? 学生:思考回答. (1)性质: ①⌀⊆A,A⊆A; ②若A⊆B,B⊆C,则A⊆C; ③若A⊆B,B⊆A,则A=B. (2)结论:若集合A中有n个元素,则集合A的子集有2n个,真子集有(2n-1)个,非空真子集有(2n-2)个. 例4　(1)下列四个集合中,是空集的是(　　) A.{x|x+3=3} B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R} C.{x|x2≤0} D.{x|x2-x+1=0,x∈R} (2)(多选题)下列四个命题中,假命题是(　　) A.{0}不是空集 B.若a∈N,则-a∉N C.集合{x|x2-4x+4=0}中只有1个元素 D.对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解 答案 (1)D　(2)BD 解析 (1)选项A,{x|x+3=3}={0}; 选项B,{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}={(0,0)}; 选项C,{x|x2≤0}={0}; 选项D,∵x2-x+1=0, ∴Δ=1-4=-3<0, ∴方程无解, ∴{x|x2-x+1=0,x∈R}=⌀.故选D. (2)对于A选项,{0}不是空集,A为真命题; 对于B选项,当a=0时,则a∈N且-a∈N,B为假命题; 对于C选项,{x|x2-4x+4=0}={2},C为真命题; 对于D选项,取a=0,b≠0,则方程ax+b=0无解,D为假命题.故选BD. 探究五　Venn图 Venn图:用平面上封闭曲线的内部代表集合的图称为Venn图.如:A⊆B(或B⊇A)可以表示成下图. 或 例5　某公司共有50人,此次组织参加社会公益活动,其中参加A项公益活动的有28人,参加B项公益活动的有33人,且A,B两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人,则只参加A项公益活动不参加B项公益活动的有(　　) A.7人　　　　　　　B.8人 C.9人 D.10人 答案 D 解析 如图所示,设A,B两项公益活动都参加的有x人, 则仅参加A项的有(28-x)人,仅参加B项的有(33-x)人, A,B两项公益活动都不参加的有x+1人, 由题意,得x+(28-x)+(33-x)+x+1=50, 解得x=18, 所以只参加A项公益活动不参加B项公益活动的有28-18=10(人).故选D. 评价反馈 1.集合A={-1,0,1},A的子集中含有元素0的子集共有(　　) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 答案 B 解析 根据题意,在集合A的子集中,含有元素0的子集有{0},{0,1},{0,-1},{-1,0,1},故选B. 2.若集合M={x|-3<x<2,x∈Z},则下列集合是集合M的子集的为(　　) A.P={-3,0,1} B.Q={-1,0,1,2} C.R={y|-π<y<-1,y∈Z} D.S={x||x|≤,x∈N} 答案 D 解析 集合M={-2,-1,0,1},集合R={-3,-2},集合S={0,1},不难发现集合P中的元素-3∉M,集合Q中的元素2∉M,集合R中的元素-3∉M,而集合S={0,1}中的任意一个元素都在集合M中,所以S⊆M.故选D. 3.下列四个关系:①0∈{0},②⌀⫋{0},③{0,1}⊆{(0,1)},④{(a,b)}={(b,a)}.其中正确的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 ①正确,0是集合{0}的元素; ②正确,⌀是任何非空集合的真子集; ③错误,集合{0,1}含两个元素0,1,而{(0,1)}含一个元素点(0,1),所以这两个集合之间没关系; ④错误,集合{(a,b)}含一个元素点(a,b),集合{(b,a)}含一个元素点(b,a),这两个元素不同,所以集合不相等.故选B. 4.已知集合A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A⊆B,则a的取值范围是(　　) A.{a|a≤2} B.{a|a≤1} C.{a|a≥1} D.{a|a≥2} 答案 D 解析 由A={x|1<x<2},B={x|x<a},A⊆B,可得{a|a≥2}. 5.已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集. 解 因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N}, 所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}. 所以A的子集有⌀,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}. 课堂小结 本节课我们主要学习了哪些内容? 1.子集的定义. 2.集合相等. 3.真子集的定义. 4.空集的定义. 5.Venn图. 布置作业 完成教材第9页习题1.2. 板书设计 1.2　集合间的基本关系 探究一　子集　　　　　　　　　　例1 探究二　集合相等 例2 探究三　真子集 例3 探究四　空集 例4 探究五　Venn图 例5 教学反思 高讲解子集、集合相等、真子集、空集等概念时,让学生认真读概念,理解概念中的关键字.通过反例深刻理解概念中关键字并记忆.同时,对概念的三种语言进行点明,概念用文字语言、符号语言及图形语言分别叙述,逐步使学生由文字语言向符号语言、图形语言过渡. 上课时还应注意将抽象概念与实例相结合,鼓励学生积极发言,举例子来理解概念,尤其是空集的例子.学生大多数举的是方程无解的例子.有的认为{0}是空集,组织学生讨论,让学生自己经过讨论后意识到它不是空集,加深学生的理解. 通过本节课的教学,有以下想法:如果重上这节课,是否可以写出本节课的几个知识点?子集、集合相等、真子集.放手让学生自学,通过例题、各小组讨论,讲解概念、关键字,得出相应的结论,同时更大限度地把课堂还给学生,充分发挥学生的主动性. 备课资源 集合论公理系统简介 集合论公理系统是集合论的一组特定的公理系统.在集合论公理系统中,集合是一个不加定义的原始概念,集合和属于关系是通过公理来刻画的,虽然每条公理都不是借助于直观而是借助于严谨的形式语言加以刻画的,然而公理的背景都是很深刻和直观的,它们来源于康托尔的集合论,是从经典集合论中整理和抽象出来的基本原则.每一个公理都刻画集合的某一个基本性质.把某些公理放在一起组成刻画集合特征的若干基本原则,就称为集合论的一个公理系统.公理系统的选择不是唯一的,但是应该遵循一些基本原则,如系统的相容性(协调性)、完备性以及独立性等要求.1908年出现了两个著名的公理系统,这就是策梅洛的公理系统和罗素的类型论,前者经斯科伦、弗伦克尔的改进与补充,成为最易于理解、影响最广的一个系统,被称为ZF系统.1925年,冯·诺伊曼又提出一个系统,后经贝尔奈斯、哥德尔修改形成GB系统(亦称NGB系统),除上述两个著名的系统外,还有奎因系统、王浩系统、阿克曼系统、莫利和斯科特系统. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$