1.1 集合的概念 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章　集合与常用逻辑用语 教材分析 本章内容包含集合与常用逻辑用语. 第一部分是集合,集合是表述一类事物的语言,是刻画一类事物的工具.通过对集合内容的学习可以帮助学生简洁、清晰地表述研究对象,能够准确地认识和把握数学对象.这部分内容呈现了集合的概念及其表示方法、集合的基本运算等知识.其中集合的基本关系与基本运算,都是运用元素与集合的关系来描述的.集合的教学,要让学生能够在现实情境或数学情境中,概括出数学对象的一般特征,并用集合语言予以表达,初步学会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达数学研究对象,并能进行转换. 教师应创设合适的教学情境,以义务教育阶段学过的数学内容为载体,引导学生用集合语言梳理、表达学过的数学内容.在梳理过程中,可以针对学生的实际情况布置不同的任务,采用自主学习与合作学习相结合的方式组织教学活动. 第二部分是常用逻辑用语,呈现了命题与量词的概念、全称量词命题与存在量词命题的否定、充分条件与必要条件等内容.按照课程标准的要求,教材将这一内容放在了第一章,作为高中数学的预备知识出现.这突出了逻辑语言在数学学习中的基础性、实用性,有助于落实数学学科核心素养,有利于培养学生的逻辑思维能力,通过数学知识的学习使思维更加理性,实现数学的育人价值.教材按照课程标准的要求突出了充分性与必要性这一逻辑重点,强化了否定这一逻辑难点,让学生更好地学会思考问题,形成重论据、有条理的思维品质,提升理解能力. 教材中不仅指出了充分条件、必要条件、充要条件的含义,而且指出了充分不必要条件、必要不充分条件等的含义.作为对理解基础知识的回应,后续各章节中都有意识地使用了全称量词命题和存在量词命题,并且大量使用充分条件、必要条件与充要条件的语言来叙述相关知识.例如立体几何部分,在讲到判定定理和性质定理的时候,都借助充分条件、必要条件与充要条件的语言来叙述,指出判定定理其实是给出了一个充分条件,性质定理其实是给出了一个必要条件.这样的处理能够培养学生的理性思维,并使他们形成使用相关逻辑语言来思考与学习的习惯. 学情分析 集合与常用逻辑用语的内容是必修第一册第一章的内容.关于本部分主题的内容与目的,课程标准中指出:以义务教育阶段数学课程内容为载体,结合集合、常用逻辑用语,为高中数学课程做好学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备,帮助学生完成初高中数学学习的过渡. 一、关于集合的内容,课程标准的要求具体如下: 在高中数学课程中,集合是刻画一类事物的语言和工具.本单元的学习,可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象,学会用数学的语言表达和交流,积累数学抽象的经验. 内容包括:集合的概念与表示、集合间的基本关系、集合的基本运算. 1.集合的概念与表示 (1)通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系. (2)针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合. (3)在具体情境中,了解全集与空集的含义. 2.集合间的基本关系 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集. (3)能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用. 二、关于常用逻辑用语的内容,课程标准的具体要求如下: 常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分,是数学表达和交流的工具,是逻辑思维的基本语言.本单元的学习,可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理,体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用,提高交流的严谨性与准确性. 内容包括:必要条件、充分条件、充要条件,全称量词与存在量词,全称量词命题与存在量词命题的否定. 1.必要条件、充分条件、充要条件 (1)通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系. (2)通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系. (3)通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系. 2.全称量词与存在量词 通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义. 3.全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定. (2)能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 需要注意的是,因为“或”“且”在数学逻辑中具有关键性作用,因此教材在呈现集合的运算时,利用集合的并集讲解了“或”的含义,利用集合的交集讲解了“且”的含义.初中阶段数学知识相对具体,高中阶段数学知识相对抽象.教师应针对这一特征帮助学生完成从初中到高中数学学习的过渡,包括知识与技能、方法与习惯、能力与态度等方面.在集合、常用逻辑用语的教学中,教师应创设合适的教学情境,以义务教育阶段学过的数学内容为载体,引导学生用集合语言和常用逻辑用语梳理、表达学过的相应数学内容.应引导学生理解属于关系是集合的基本关系,了解元素A与元素A组成的集合{A}的差异,即A∈{A},A与{A}不相同.在梳理过程中,可以针对学生的实际布置不同的任务,采用自主学习与合作学习相结合的方式组织教学活动. 重点难点 重点:理解两个集合并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.理解必要条件、充分条件、充要条件、全称量词、存在量词的含义,能正确地对全称量词命题与存在量词命题进行否定. 难点:能使用Venn图表达集合间的基本关系与集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用,能够借助常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流,体会常用逻辑用语在数学表达中的作用. 课时安排 本章教学约需8课时,具体分配如下(仅供参考): 章节名称 课时 1.1　集合的概念 1课时 1.2　集合间的基本关系 1课时 1.3　集合的基本运算 2课时 1.4　充分条件与必要条件 1课时 1.5　全称量词与存在量词 2课时 本章小结 1课时 1.1　集合的概念 教学分析 · 教学目标 1.通过实例,了解元素及集合的含义,理解元素与集合的属于关系. 2.了解集合相等的含义,了解集合中元素的确定性、互异性、无序性. 3.知道常用数集及其专用记号. 4.针对具体问题,能在自然语言基础上,用列举法和描述法刻画集合,从中感受集合语言的意义和作用,提升数学抽象素养. · 评价目标 针对具体数学问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用数学的符号语言准确地刻画集合. · 教学重难点 重点:集合的概念及特殊数集的符号表示. 难点:元素与集合的关系. · 教法学法 通过实例初步体验元素与集合的关系,从观察分析集合的元素入手正确理解集合.引导学生通过合作交流、探究,主动理解有关概念. · 课时安排 1课时 · 教学准备 教师:多媒体课件 学生:教材、记录本、练习本. 教学设计 [导入新课] 情境1　集合论是德国数学家康托尔(1845—1918)于19世纪末创立的.集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造,它的出现大大扩充了数学的研究领域,可以说,集合论是整个数学大厦的基础,它不仅影响了现代数学,而且也深深影响了现代哲学和逻辑学. 情境2　高一开学第二天,学校通知,上午8点,在学校体育馆举行军训动员大会. 问题　这个通知的对象是全体高一学生还是个别对象? 全体高一学生. 初中阶段,我们学习过哪些集合? 代数方面:自然数集合、有理数集合、实数集合、方程解的集合、不等式解的集合等; 几何方面:点的集合等. 在初中学习中,我们用集合描述过什么? 圆的概念:同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. [讲授新课] 探究一　集合的含义 1.看一看下面的例子: (1)1~10之间的所有偶数; (2)立德中学今年入学的全体高一学生; (3)所有的正方形; (4)到直线l的距离等于定长d的所有点; (5)方程x2-3x+2=0的所有实数根; (6)地球上的四大洋. 思考　上述每个例子都由若干个对象组成,每组对象的全体都能组成集合吗?我们把研究的对象统称为元素,元素分别是什么? (设计意图:通过初中所学知识及实例,让学生感知、了解,进而概括出元素与集合的含义,提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力.) 2.归纳新知 (1)集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集). (2)集合与元素的表示 通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合,用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素. (设计意图:用数学语言表示集合和元素.) 探究二　集合中元素的性质 1.所有的“高个子的男生”能否构成一个集合?由此说明什么? 提示 不能.因为组成它的元素不确定,集合中的元素是确定的. 2.由1,3,0,5,|-3|这些数组成的一个集合中有5个元素,这种说法正确吗? 提示 不正确.这个集合中只有4个不同元素1,3,0,5.集合中的元素是互异的. 3.高一(5)班的全体同学组成一个集合,调整座位后这个集合有没有变化? 提示 集合没有变化,集合中的元素是没有顺序的. 通过以上学习你能给出集合中元素的特性吗? 提示 确定性、互异性、无序性. 4.若两个集合中,元素完全一样,则称两集合相等. 练习1　判断下列元素的全体能否组成集合,并说明理由: (1)大于3小于11的偶数;(2)我国的小河流. 解 (1)能,是由4,6,8,10四个元素组成的集合. (2)不能,由集合元素的确定性知不能组成集合. (设计意图:通过具体的例子推理出元素的性质,引导学生一步步深入研究问题.) 探究三　元素与集合之间的关系 1.看下面的两个实例: (1)用A表示高一(3)班全体学生组成的集合; (2)用a表示高一(3)班的一名同学,b表示高一(4)班的一名同学. 思考　a,b与集合A分别有什么关系? 提示　a是集合A中的元素,b不是集合A中的元素. 2.元素与集合的属于关系 如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A;如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作a∉A. 常用数集及其记法:非负整数(自然数集)N、正整数集N*或N+、整数集Z、有理数集Q、实数集R. 练习2　用符号“∈”或“∉”填空. (1)2　　　　N;(2)　　　　Q;(3)0　　　　{0};(4)b　　　　{a,b,c}.  答案 (1)∈　(2)∉　(3)∈　(4)∈ (设计意图:集合是一个原始的、不定义的概念,只是对集合进行描述性说明.在刚开始接触集合的时候,主要通过实例,让学生感知、了解,进而概括出元素与集合的含义,提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力.元素、集合的字母表示,以及元素与集合的“属于”或“不属于”关系,建议在运用中逐渐熟悉.) 探究四　集合的表示方法 1.列举法 思考1　地球上的四大洋组成的集合如何表示? 提示 可以表示为{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}. 思考2　方程(x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合,如何用列举法表示呢? 提示 {-1,-2} 问题　通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的概念吗? 提示　把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 注意:(1)花括号不能缺失,元素中间用逗号隔开; (2)元素按一定的顺序列举,如:从小到大等. 思考3　a与{a}有什么区别? 提示 a是一个元素,{a}是一个集合. 例1　用列举法表示下列集合: (1)小于10的所有自然数组成的集合; (2)方程x2=x的所有实数根组成的集合. 解 (1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么B={0,1}. 注意:(1)由于元素完全相同的两个集合相等,而与列举的顺序无关,因此集合可以有不同的列举方法.例如,例1(1)的集合还可以表示为A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}; (2)用列举法表示集合时,最好按一定的顺序列举元素. 2.描述法 思考1　能否用列举法表示不等式x-7<3的解集?该集合中的元素有什么性质? 提示 不能.但是可以看出,这个集合中的元素满足性质: (1)集合中的元素都小于10; (2)集合中的元素都是实数. 这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示, 写作:{x∈R|x<10}. 思考2　所有奇数的集合怎么表示?偶数的集合怎么表示?有理数集怎么表示呢? 提示 所有奇数的集合可以表示成{x∈Z|x=2k+1,k∈Z},或{x∈Z|x=2k-1,k∈Z};所有偶数的集合可以表示成{x∈Z|x=2k,k∈Z};Q=x∈R. 问题　通过思考以上问题大家能总结归纳出描述法的概念吗? 提示　在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.设A是一个集合,把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线,写成{x∈A:P(x)}或{x∈A;P(x)}. 注意:在不引起混淆的情况下,描述法也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如,所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角形}. 例2　试分别用描述法和列举法表示下列集合: (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合A; (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B. 解 (1)设x∈A,则x是一个实数,且x2-2=0.因此,用描述法表示为A={x∈R|x2-2=0}. 方程x2-2=0有两个实数根,-,因此,用列举法表示为A={,-}. (2)设x∈B,则x是一个整数,即x∈Z,且10<x<20. 因此,用描述法表示为B={x∈Z|10<x<20}. 大于10且小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此,用列举法表示为B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}. 用自然语言、列举法和描述法表示集合时,各自的特点和适用对象如下: 自然语言描述集合简单易懂、生活化;列举法的特点是将每个元素一一列举出来,非常直观明显地表示元素,当元素有限或者元素有规律性的时候,是常采用的方法;描述法表示的集合中元素具有明显的共同特征,集合中的元素通常是无限的,也是比较常用的集合表示法. (设计意图:集合的两种主要表示法,都是学生通过对实例或问题的思考,亲身体验到的知识方法.通过教学,不仅要让学生明白列举法是集合最基本、最原始的表示方法,还要理解集合中元素的列举与元素的顺序无关.通过对问题的思考,学生认识到仅用列举法表示集合是不够的,有些集合是列举不完或者列举不出来的,由此说明学习描述法的必要性.学习描述法时,先用自然语言表示集合元素具有的共同特征,再介绍用描述法的具体形式.) 评价反馈 1.下列对象不能构成集合的是(　　) ①我国近代著名的数学家;②所有的欧盟成员国;③空气中密度大的气体. 　　　　　　　　　　　　　　 A.①② B.②③ C.①②③ D.①③ 答案 D 解析 研究一组对象能否构成集合的问题,首先要考查集合中元素的确定性.①中的“著名”没有明确的界限;②中的研究对象显然符合确定性;③中“密度大”没有明确的界限.故选D. 2.关系式①∈R,②∉Q,③0∈Z中,正确的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.0 答案 B 解析 ①正确;因为∈Q,所以②错误;③正确. 3.如果正实数a,b,c,d为集合A的四个元素,那么以a,b,c,d为边长构成的四边形可能是(　　) A.矩形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形 答案 D 解析 由于集合中的元素具有互异性,故正实数a,b,c,d互不相同,即组成四边形的四条边互不相等,因此以a,b,c,d为边长构成的四边形可能是梯形. 4.设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,则集合A用列举法表示为　　　　　.  答案 {-1,4} 解析 ∵4∈A,∴16-12+a=0,∴a=-4, ∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}. 5.用适当的方法表示下列集合: (1)方程组的解集; (2)所有的平行四边形; (3)抛物线y=x2上的所有点组成的集合. 解 (1)解方程组 故该方程组的解集用列举法表示为{(4,-2)}. (2)已知集合用描述法表示为{x|x是平行四边形},简写为{平行四边形}. (3)已知集合用描述法表示为{(x,y)|y=x2}. 课堂小结 1.集合的含义. 2.集合中元素的性质:确定性、互异性、无序性. 3.元素与集合之间的关系:属于与不属于. 4.常见数集的专用符号:N,N*(N+),Z,Q,R. 5.集合的表示方法:列举法与描述法. (设计意图:通过总结,让学生进一步巩固集合与元素的含义与性质,集合的表示方法,提高语言转换和抽象概括能力,增强用集合语言表示数学内容的意识.) 布置作业 完成教材第5页练习与第5~6页习题1.1. 板书设计 1.1　集合的概念 探究一　集合的含义 探究二　集合中元素的性质 1.确定性 2.互异性 3.无序性 探究三　元素与集合之间的关系 探究四　集合的表示方法 列举法　　　　　　　　　　　　例1 描述法　　　　　　　　　　　　例2 教学反思 高中课程只将集合作为一种语言来学习.因此,学习集合初步知识的目的主要在于能使用最基本的集合语言表示有关数学对象,发展运用数学语言进行交流的能力.能根据需要进行自然语言、图形语言、集合语言的相互转换,感受集合语言的意义和作用.在整个高中课程安排中,集合只是为后续学习做一个铺垫,最终是以工具的身份出现,理解了含义,会用即可. 备课资源 悖论的产生 1897年,福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论.两年后,康托尔发现了很相似的悖论.1902年,罗素又发现了一个悖论,它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念.罗素悖论曾被以多种形式通俗化.其中最著名的是罗素于1919年给出的,它涉及某村理发师的困境.理发师宣布了这样一条原则:他给所有不给自己刮脸的人刮脸,并且,只给村里这样的人刮脸.当人们试图回答下列疑问时,就认识到了这种情况的悖论性质:“理发师是否自己给自己刮脸?”如果他不给自己刮脸,那么他按原则就该为自己刮脸;如果他给自己刮脸,那么他就不符合他的原则. 罗素悖论的精确表述: 如果存在一个集合A={x|x∉A},那么x∈A是否成立?如果它成立,那么x∈A,不满足A的特征性质;如果它不成立,那么A就满足了特征性质. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$