01相交线 暑假培优练 2024-2025学年人教版（2024）数学七年级下册

限时练习：40min        完成时间： 月 日           天气： 作业01 相交线 一、相交线 1． 对顶角的概念：有公共顶点，两边均互为反向延长线的两个角．互为对顶角． 2． 对顶角的性质：互为对顶角的两个角相等．简称对顶角相等． 3． 邻补角的概念：有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角． 4． 邻补角的性质：互为邻补角的两个角 互补 ．简称邻补角互补． 二、垂直 1． 垂直的定义：在两条相交的直线形成的四个角中，如果其中有一个角是90°（即直角）时，则此时这两条相交的直线相互垂直．如图：表示为 AB⊥CD ． 2． 垂直的性质： （1）若AB⊥CD，则 ∠1＝90°；若∠1＝90°，则 AB⊥CD ． （2）过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 3． 垂线段的定义：从直线外一点引已知直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． 4． 垂线段的性质： （1）垂线段最短． （2）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离． 三、同位角、内错角及同旁内角 1． 同位角：两条直线m与n被第三条直线l所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．用字母“F”来判断．如∠1与∠5； ∠2与∠6；∠3与∠7；∠4与∠8  ． 2． 内错角：两条直线m与n被第三条直线l所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．用字母“Z”来判断．如：∠3与∠5； ∠2与∠8 ． 3． 两条直线m与n被第三条直线l所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．用字母“U”来判断．如：∠2与∠5； ∠3与∠8 ． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．如图，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 3．关于下图中各角的说法不正确的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是对顶角 D．与是邻补角 4．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口增加时，（    ） A．增加 B．不变 C．减少 D．增加 5．如图，直线和相交于点O，平分，，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 6．如图，四点在直线上，点在直线外，，若，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 7．如图，直线，相交于点O，射线垂直于且平分，若，则的度数是 ． 8．如图，直线，相交于点O，，平分，，则的度数为 ． 9．如图所示，与相交于点A，与相交于点B，与相交于点C． (1)指出，被所截形成的同位角、内错角； (2)指出，被所截形成的内错角、同旁内角； (3)指出，被所截形成的内错角、同旁内角． 10．如图，直线相交于点平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； 11．如图，直线交于点，已知于点平分，若，则的度数是（    ） A．71° B．72° C．73° D．74° 12．如图，C为直线上一点，平分，平分，平分．有下列结论：①与互余；②与互补；③与互补；④，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．如图，在三角形中，，D是边上的动点，则线段的最小值是 ． 14．如图，两条直线相交只有1交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，则 （1）五条直线相交最多有 个交点； （2）条直线相交最多有 个交点（，且为正整数）. 15．如图所示，将两块三角尺的直角顶点重合． （1）写出以C为顶点的相等的角； （2）若，求的度数； （3）写出与之间所具有的数量关系； （4）当三角尺不动，将三角尺的EC边与AC边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当（）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出角度的所有可能值，不用说明理由． 16．如图①，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图②，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，已知，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（    ） A． B． C． D． 17．定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为． (1)若，求的度数； (2)若恰好平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，求出与的数量关系． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 《暑假作业01 相交线-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（人教版2024）》参考答案： 1．C 【分析】根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，由此对各选项作出判断即可． 本题考查对顶角的定义，解题的关键是理解对顶角的定义． 【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有选项C是对顶角，其它都不是． 故选C． 2．A 【分析】根据垂线段最短可得答案． 【详解】解：根据垂线段最短可得：应建在A处， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，解题的关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短． 3．B 【分析】本题考查同位角、内错角、对顶角和邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握三线八角的定义及其区分．根据同位角、内错角、对顶角的定义判断即可求解． 【详解】解：A、与是同旁内角，原说法正确，故此选项不符合题意； B、与不是内错角，原说法错误，故此选项符合题意； C、与是对顶角，原说法正确，故此选项不符合题意； D、与是邻补角，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴增加时，增加， 故选：D． 5．D 【分析】根据角垂直的定义，平角的定义，平分线的定义，对顶角的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴，则， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了角的平分线即把一个角分成两个相等的角的射线，垂直的定义，对顶角的性质，熟练掌握定义和性质是解题的关键． 6．A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行解答即可，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质． 【详解】如图所示： ∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，， ∴点M到直线l的距离是垂线段的长度，为， 故选：A． 7．##度 【分析】本题主要考查角平分线定义及对顶角性质，结合已知条件求得的度数是解题的关键． 根据对顶角相等及角的和差求得的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，最后利用角的和差即可求得答案． 【详解】解：， ． ， ． 平分， ． ． 故答案为：． 8．##75度 【分析】本题考查垂直的定义，角平分线的定义．先由垂直得到，进而求得，从而求得，再由角平分线的定义即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以，， 所以． 因为平分， 所以． 故答案为：． 9．(1)同位角：和；内错角：和 (2)内错角：和，和；同旁内角：和，和； (3)内错角：和，和；同旁内角：和，和． 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义； （1）根据图，由同位角和内错角的定义，即可求解； （2）根据图，由内错角和同旁内角的定义，即可求解； （3）根据图，由内错角和同旁内角的定义，即可求解． 理解同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ，被所截形成的同位角：和；内错角：和； （2）解：由题意得 ，被所截形成的内错角：和，和；同旁内角：和，和； （3）解：由题意得 ，被所截形成的内错角：和，和；同旁内角：和，和． 10．(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，邻补角互补，对顶角相等．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． （1）由，平分，根据对顶角的性质，即可求解． （2）由，，可得，，结合对顶角相等求解即可． 【详解】（1）解：平分 ． 又 ． 又 ． （2），． 平分， ， ， 又， ． 11．D 【分析】根据垂直的定义得∠AOE=∠BOE=90°，由角平分线的定义和对顶角的性质可得∠AOD=∠BOC=2∠COF．把∠DOE=∠AOD+90°， ∠EOF=90°-∠BOF=90°-∠COF代入∠DOE=3∠EOF+5°可求出∠COF，进而可求出∠AOD的值． 【详解】解：∵， ∴∠AOE=∠BOE=90°． ∵平分， ∴∠AOD=∠BOC=2∠COF． ∵∠DOE=∠AOD+90°， ∠EOF=90°-∠BOF=90°-∠COF， ， ∴∠AOD+90°=3(90°-∠COF)+5°， ∴2∠COF+90°=270°-3∠COF+5°， ∴∠COF=37°， ∴∠AOD=2×37°=74°． 故选D． 【点睛】本题考查了角的和差，以及角平分线的定义，正确识图是解答本题的关键． 12．C 【分析】本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据角平分的定义，互为余角、互为补角的定义逐个进行判断，最后得出答案做出选择． 【详解】解：∵ ∴， ∵平分平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∴， 即：与互补；故②正确； ∵， ∴，故③错误； ∵，故④正确； 综上：正确的有3个； 故选C． 13．9.6#### 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键； 根据垂线段最短得出当时，的长度最小，再运用等面积法求解即可； 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最小，如下图． ， ， ， ． 故答案为：9.6． 14． 【分析】根据图形相邻两个图形的交点个数的差为从2开始的连续整数，然后列式计算即可得解；根据图形列出交点个数的算式，然后计算即可得解． 【详解】解：三条直线交点最多为个， 四条直线交点最多为个， 五条直线交点最多为个， 六条直线交点最多为个； …… n条直线交点最多为． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段，发现规律题，观察出相邻两个图形的交点个数的差为连续整数是解题的关键． 15．（1）；（2）30°；（3）互补；（4）的所有可能值为，，，． 【分析】（1）根据余角的定义即可得到结论； （2）根据角的和差即可得到结论； （3）根据补角的定义即可得到结论． （4）分四种情况分类讨论，①当CE⊥AD时，②当EB⊥CD时，③当BE⊥AD时，④当CB⊥AD时，再画出符合题意的图形，从而可得答案. 【详解】解：（1），，根据同角的余角相等得：∠， 由直角可得，； （2），； （3），则与互补； （4）当CE⊥AD时，∠ACE=180°-90°-∠A=180°-90°-60°=30°； 当EB⊥CD时，∠E=∠ECD=45°， ∴∠ACE=∠ACD-∠ECD=45°， 当BE⊥AD时，∠CFB=∠DFE=180°-90°-30°=60°， ∴∠BCD=180°-∠B-∠CFB=75°， ∴∠ACE=∠BCD=75°； 当CB⊥AD时，∠ACB=180°-90°-∠A=30°， ∴∠ACE=90°-∠ACB=60°； 即∠ACE角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°． 【点睛】本题考查了余角和补角，关键是熟练掌握余角的性质，角的和差关系． 16．B 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，根据，得，所以，再根据，得，即可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 17．(1)或 (2) (3)或 【分析】本题考查角平分线，余角与补角，掌握角平分线的定义，余角与补角的定义，理解“好线”的定义是正确解答的关键． （1）画出相应的图形，由角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可； （2）根据平角的定义以及角平分线的定义进行计算即可； （3）分（1）中的两种情况进行解答，分别用表示，进而答案即可． 【详解】（1）解：①如图，当在内部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当在外部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或； （2）解：若恰好平分， ∴， ∴； （3）解：或，理由如下： ①如图，， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴； ②如图，， ∵， ∴， ∴ ， ， ∴， 综上所述或． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$