圆锥曲线中“手电筒模型”的十二个定点定值 讲义-2026届高三数学一轮复习

87.圆锥曲线中“手电筒模型”的十二个定点定值 1． 基本原理[1] 鉴于篇幅，上述定点定值的证明过程从略（其实有个印象就行，很大程度上是记不住的），需要了解证明详情的可以参考本文的参考文献 二． 典例分析 例1.已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． （1）求l的斜率； （2）若，求的面积． 解析：（1）解法1：设点解点 设直线的方程为，与双曲线的方程联立，消去得到，根据韦达定理，得 ，故，从而.因为直线的斜率之和为，所以直线的方程为，同理，可得：，. 所以直线的斜率为 解法2：不联立的艺术 设，由点都在双曲线上，得 ，，所以，结合斜率公式，相减后变形，可得： ，.因为直线的斜率之和为，即，所以， 由得. ② 由得. ③ 由②-③，得，从而，即的斜率为. 解法3：设而不求，韦达定理 将点代入双曲线方程得，化简得，，故双曲线方程为，由题显然直线的斜率存在，设，设，，，则联立双曲线得：，故，，， 化简得：， 故， 即，当时，直线过点A，不合题意，舍去.,故. 方法4.同构双斜率 设过点的直线方程为，直线的方程为，联立解得 ，代入双曲线的方程中，整理得，这是关于的一元二次方程，方程的两根分别为直线的斜率. 因为直线的斜率之和为，即，所以，整理后分解得.因为直线不经过点，所以，从而，即的斜率为. 方法5：齐次化联立 双曲线方程为，设， ∵AP,AQ的斜率之和为0，∴， 故将双曲线方程为变形为：， 且设直线， 由式有： ,（两边同除以）， 即，而是此方程的两根. ∴，故直线斜率为−1. 方法6：曲线系 点处的切线方程为，设直线的方程为，的方程为 ，的方程，则过这四条直线交点的二次曲线方程为 又因为双曲线过这些交点，比较的系数得. 又由，所以. （2）不妨设直线的倾斜角为，因为，所以， 由（1）知，，当均在双曲线左支时，，所以， 即，解得（负值舍去）此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；当均在双曲线右支时，因为，所以，即，即，解得（负值舍去），于是，直线，直线， 联立可得，，因为方程有一个根为，所以，，同理可得，，． 所以，，故的面积为． 例2. 已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 解析：（1）由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：. （2）方法1.设线解点 由题意，设直线的方程为，代入椭圆方程，可得 .解得. 所以.因为，将代替上面的，可得.故. 所以直线的方程为. 化简，得.即直线恒过定点. 方法2：韦达定理 （2）设点，若直线斜率存在时，设直线的方程为：， 代入椭圆方程：消去并整理得：， 可得，，因为，所以，即，根据,代入整理可得： ，         所以，整理化简得，因为不在直线上，所以， 故，于是的方程为，所以直线过定点直线过定点.当直线的斜率不存在时，可得，由得：，得，结合可得：， 解得：或（舍）.此时直线过点. 令为的中点，即，若与不重合，则由题设知是的斜边，故，若与重合，则，故存在点，使得为定值. 方法3.齐次化 （2）将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为．将直线方程与椭圆方程联立得，即，化简得，即． 设，因为则，即． 代入直线方程中得．则在新坐标系下直线过定点，则在原坐标系下直线过定点．又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得． 方法4. 不联立，不韦达 （2）设，依题意知， 因为，所以， 整理得 同理得 相减可得即直线恒过定点. 又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得． 方法5.曲线系 （2）A点处的切线方程为，即．设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．由题意得．则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线可表示为（其中为系数）． 用直线及点A处的切线可表示为（其中为系数）． 即． 对比项、x项及y项系数得，将①代入②③，消去并化简得，即．故直线的方程为，直线过定点．又，D在以为直径的圆上．中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得． 例3．已知椭圆，四点，，中恰有三点在椭圆上． （1）求椭圆的方程： （2）设直线不经过点且与椭圆交于两点，若直线的斜率之和为，证明：过定点． 解析：（1）由条件知不在椭圆上，易得椭圆方程为． （2）①当直线的斜率不存在时，设 ，得， 此时直线过椭圆右顶点，无两个交点，故不满足． ②当直线斜率存在时，设 因为 所以 所以 又，此时，存在使得 所以直线的方程为，． 例4. 已知为抛物线上的一点，为的焦点，为坐标原点． （1）求的面积； （2）若为上的两个动点，直线与的斜率之积恒等于，作，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 解析：（1）因为在抛物线上，所以，解得，    所以，. （2）由（1）可知的方程为，由题意可知直线不与轴平行，    设直线的方程为，则，联立方程得整理可得，则，且①，②， ，同理可得．由题意得，即，将①②代入可得，即，故直线的方程可化为，即，所以直线过定点， 因为于点，所以点在以为直径的圆上，故存在的中点，即，使得为定值． 例5 ．已知动点到直线的距离比到点的距离大1． （1）求动点所在的曲线的方程； （2）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值； 解析：（1）已知动点到直线的距离比到点的距离大，等价于动点到直线的距离和到点的距离相等，由抛物线的定义可得：动点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，可得，抛物线开口向右，∴曲线的方程为． （2）设直线的斜率为，∵直线的斜率与直线的斜率互为相反数，∴直线的斜率为，设，，联立方程组，整理得，即，或（舍），可得， 联立方程组，整理得，即，或（舍），可得，则，即直线的斜率为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 87.圆锥曲线中“手电筒模型”的十二个定点定值 1． 基本原理[1] 鉴于篇幅，上述定点定值的证明过程从略（其实有个印象就行，很大程度上是记不住的）， 二． 典例分析 例1.已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． （1）求l的斜率； （2）若，求的面积． 例2. 已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 例3．已知椭圆，四点，，中恰有三点在椭圆上． （1）求椭圆的方程： （2）设直线不经过点且与椭圆交于两点，若直线的斜率之和为，证明：过定点． 例4. 已知为抛物线上的一点，为的焦点，为坐标原点． （1）求的面积； （2）若为上的两个动点，直线与的斜率之积恒等于，作，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 例5 ．已知动点到直线的距离比到点的距离大1． （1）求动点所在的曲线的方程； （2）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值 学科网（北京）股份有限公司 $$