专题03 函数与导数（辽宁专用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题03 函数与导数 题型概览 题型01函数及其性质 题型02指对幂函数 题型03导数及其应用 题型04函数的零点、极值、最值问题 ( 题型01 ) 函数及其性质 1．（2025·辽宁沈阳·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（   ） A． B． C．0 D．1 3．（2025·辽宁辽阳·二模）已知是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 4．（2025·辽宁·二模）函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁·二模）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁辽阳·二模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．在上单调递减 ( 题型0 2 ) 指对幂函数 1．（2025·辽宁·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁鞍山·二模）已知、是函数的图象上两个不同的点，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． ( 题型0 3 ) 导数及其应用 1．（2025·辽宁·二模）已知函数.则为（   ） A．偶函数且为增函数 B．偶函数且为减函数 C．奇函数且为增函数 D．奇函数且为减函数 2．（2025·辽宁·二模）设函数与函数，当，曲线与交于一点，则（   ） A． B． C．1 D．2 3．（2025·辽宁·二模）已知函数，若、，，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．当，时， 4．（2025·辽宁·二模）（多选）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，对于数列，若，下列说法不正确的是（   ） A．存在的等比数列，使得为等比数列 B．，均存在等差数列，使得为等差数列 C．，均不存在等比数列，使得为等差数列 D．若存在等差数列，使得为等比数列，且，则的最小值为 5．（2025·辽宁·二模）设函数．若在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 6．（2025·辽宁·二模）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 7．（2025·辽宁辽阳·二模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围． ( 题型0 4 )函数的零点、极值、最值问题 1．（2025·辽宁·二模）已知函数满足，则（    ） A． B． C．函数有1个零点 D．函数有1个零点 2．（2025·辽宁·二模）（多选）已知函数，则（   ） A．有三个零点 B．，使得点为曲线的对称中心 C．既有极大值又有极小值 D．，， 3．（2025·辽宁鞍山·二模）（多选）已知函数满足，，则（   ） A． B．对于任意，有三个零点 C．对于任意，有两个极值点 D．存在，使得点为曲线对称中心 4．（2025·辽宁·二模）已知函数为的导函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若的两个极值点分别为和，且. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 5．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数． (1)若存在，使成立，求k的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求k的最小值． 6．（2025·辽宁锦州·二模）已知． (1)若在上单调递增，求a的取值范围； (2)若的图像在处的切线为，求a与b的值，并证明时，． 7．（2025·辽宁·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极大值，且极大值大于，求实数的取值范围． 8．（2025·辽宁鞍山·二模）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若存在极大值，且极大值大于0，求的取值范围. 9．（2025·辽宁·二模）已知为锐角三角形的三个内角，角所对的边分别为. (1)求证：； (2)若，且，求实数的取值范围，使得对任意实数和任意角，恒有； (3)求的最小值. 10．（2025·辽宁·二模）已知函数． (1)当时，证明：在上单调递增； (2)当，时，求的零点； (3)当，时，若在上有2个零点，求b的取值范围． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数与导数 题型概览 题型01函数及其性质 题型02指对幂函数 题型03导数及其应用 题型04函数的零点、极值、最值问题 ( 题型01 ) 函数及其性质 1．（2025·辽宁沈阳·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由换元法求得函数的解析式，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】令，则，所以，即， 则 故选：D． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】由函数的图象关于点中心对称可知具有对称轴，再由得，再根据为上的偶函数且具有对称轴可得答案. 【详解】由函数的图象关于点中心对称可知， ，即， 可得，因此函数具有对称轴， 由，可得， 由为上的偶函数且具有对称轴，可得． 故选：B． 3．（2025·辽宁辽阳·二模）已知是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】先利用的解析式以及奇函数的性质求出时的解析式即可. 【详解】当时，，则， 因为是奇函数，所以， 即时，，则． 故选：D 4．（2025·辽宁·二模）函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象可知，函数在上单调递增，且，进而结合特例判断ACD；结合导数判断B. 【详解】由图象可知，函数在上单调递增，且. 对于A，由，则，， 显然，不符合题意； 对于B，，，则， 所以函数在上单调递增， 且时，；时，；时，，符合题意； 对于C，由，则，， 显然，不满足题意； 对于D，由，则， 下面证明：，即证明， 即证明，即证明，显然成立， 所以，不符合题意. 故选：B. 5．（2025·辽宁·二模）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得函数的定义域，判断奇偶性，再单调性的定义判断函数的单调性，进而求解不等式. 【详解】由，解得，即函数的定义域为， 由，则， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，函数， 由于函数在上单调递增， 且，则， 对于任意的、，且，即， 所以，，所以，，即, 所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 由，则， 解得，即不等式的解集为. 故选：A. 6．（2025·辽宁辽阳·二模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．在上单调递减 【答案】BCD 【分析】A.由分式函数的定义域求解判断；B.由正弦函数的值域判断；C.由函数奇偶性的定义判断；D.由复合函数的单调性判断. 【详解】的定义域为，值域为，A错误，B正确． 是奇函数，C正确． 当时，，函数在上单调递减， 函数在上单调递增，所以在上单调递减，D正确． 故选：BCD ( 题型0 2 ) 指对幂函数 1．（2025·辽宁·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数与指数函数的单调性比较指数幂的大小即可. 【详解】对于，由于在单调递增，所以， 对于，由于单调递减，故. 所以. 故选：D 2．（2025·辽宁鞍山·二模）已知、是函数的图象上两个不同的点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式求出，再利用对数函数的单调性及对数的运算即可求解. 【详解】根据已知条件有，，所以， 因为、是函数的图象上两个不同的点， 所以，所以，即， 因为为上的增函数， 所以， 所以 故选：B 3．（2025·辽宁·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，构造函数，利用导数分析其单调性，可得函数在上单调递增，结合可得，进而得到，再通过比较和的大小得到，进而得出选项. 【详解】， 设， 则， 设，则， 令，得， 所以函数在上单调递减，又， 所以当时，，则， 此时函数在上单调递增，又， 所以，则，即； 又，，则， 所以. 故选：D. ( 题型0 3 ) 导数及其应用 1．（2025·辽宁·二模）已知函数.则为（   ） A．偶函数且为增函数 B．偶函数且为减函数 C．奇函数且为增函数 D．奇函数且为减函数 【答案】C 【分析】先检验与的关系，判断奇偶性，然后对求导，判断的正负性，从而得到函数的单调性. 【详解】由题意得，定义域为， 则， 则函数为奇函数； ， 因为，且对成立，故，即函数为增函数， 综上，函数为奇函数且为增函数. 故选：C. 2．（2025·辽宁·二模）设函数与函数，当，曲线与交于一点，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由题意得，即，构造函数，则，求出单调区间和最值，再利用其单调性可求得结果. 【详解】由题意得，即， 所以， 所以， 令，则， ， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以， 所以当时，，当时，， 当时，，所以， 所以，所以， 因为在上递增，所以，所以. 故选：D 3．（2025·辽宁·二模）已知函数，若、，，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．当，时， 【答案】D 【分析】利用特殊值法可判断AC选项；利用导数分析函数在上的单调性，可判断C选项；设，结合零点存在定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，取，，则，， 此时，，， 此时，，A错； 对于B选项，当时，，则， 由可得，由可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 若时，，则， 即函数在区间上单调递减，不合乎题意，B错； 对于C选项，因为，此时取，，则，C错； 对于D选项，令， 若，则，此时，， 令，则，即函数在上为增函数， 因为，，所以，函数在区间上存在一个零点， 若，则，则， 令，其中，则， 则函数在上单调递增，且，， 所以，函数在区间上存在唯一零点， 又因为，所以，函数有且只有三个零点， 一个零点在区间，一个零点为，一个零点在区间内， 若当，时，必有，D对. 故选：D. 4．（2025·辽宁·二模）（多选）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，对于数列，若，下列说法不正确的是（   ） A．存在的等比数列，使得为等比数列 B．，均存在等差数列，使得为等差数列 C．，均不存在等比数列，使得为等差数列 D．若存在等差数列，使得为等比数列，且，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】A、B先假设给定描述正确，利用等差、等比数列的性质得到无解、等差数列的公差判断；C根据等差、等比数列的性质有，再应用导数研究方程是否有解判断；D令，可得，讨论研究与的大小关系判断. 【详解】A：若的等比数列，使， 由且，若，则，若，则， 则①， 不妨令，，则， 故，且，仅当时等号成立， 若，方程①中左式恒大于右式，同理，即，结论相同，错； B：若存在等差数列，使得为等差数列，则且， 所以，则， 设等差数列的公差为，则，即， 显然不满足，错； C：若存在等比数列且公比为，使得为等差数列，则， 不妨设，，只需，只需， 则，令，则， 令，则，且， 则在上单调递增，又，故都有， 令，则， 即在上单调递增， 令，且， 则，故在上单调递减，则， 所以无解，对； D：若存在等差数列，使得为等比数列， 令，则， 所以，而， 所以，即， 当时，， 当时，， 当时，， 故的最小值不为，错. 故选：ABD 5．（2025·辽宁·二模）设函数．若在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分类讨论，当时，，再讨论的范围得出；当时，讨论的范围，由导数求得，即可求解． 【详解】①当时，，对称轴为， 当时，，则； 当时，，则； 所以当时，若在上恒成立，则； ②当时，，则， 当时，，则在上单调递增，当时，，不合题意； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，解得， 所以当时，若在上恒成立，则； 综上所述，， 故答案为：． 6．（2025·辽宁·二模）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性和符号，进而可得单调区间； （2）构建，利用导数可证，结合题意可得在定义域内恒成立，构建，利用导数求其最值即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为， 若，则，， 构建，则， 可知在定义域内单调递减，且， 当时，，即；当时，，即； 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则，即， 若恒成立，则在定义域内恒成立， 可得在定义域内恒成立， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则，可得， 所以实数的取值范围为. 7．（2025·辽宁辽阳·二模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，得出切线方程； （2）分离参数后，利用导数判断函数的单调性，据此求出最值即可得解. 【详解】（1）当时，， ． 故曲线在点处的切线方程为． （2）因为，所以． 令，则， 所以在上单调递减，， 所以，即的取值范围为． ( 题型0 4 )函数的零点、极值、最值问题 1．（2025·辽宁·二模）已知函数满足，则（    ） A． B． C．函数有1个零点 D．函数有1个零点 【答案】D 【分析】根据给定条件，确定函数的奇偶性并求出，再逐项判断得解. 【详解】函数的定义域为R，由，得， 函数是R上的偶函数，即，则，， 对于AB，，AB错误； 对于C，当时，，当时，令， 求导得，函数在上单调递增，， 函数无零点，C错误； 对于D，函数有唯一零点0，D正确. 故选：D 2．（2025·辽宁·二模）（多选）已知函数，则（   ） A．有三个零点 B．，使得点为曲线的对称中心 C．既有极大值又有极小值 D．，， 【答案】BCD 【分析】结合零点的定义分析可得当时，函数只有2个零点，即可判断A；利用检验判断B；求导，分析函数的单调性即可判断C；举特例判断D. 【详解】对于B，对于A，令，解得或， 当时，函数只有2个零点，故A错误； 对于B，， 则 ， 又， 要使点为曲线的对称中心， 则对，， 此时， 所以当时，点为曲线的对称中心，故B正确； 对于C，由，则， 由于， 则方程有两个不相等的实数根，设， 则或时，；时，， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 则函数在取得极大值，在取得极小值，故C正确； 对于D，当时，， 此时，，故D正确. 故选：BCD. 3．（2025·辽宁鞍山·二模）（多选）已知函数满足，，则（   ） A． B．对于任意，有三个零点 C．对于任意，有两个极值点 D．存在，使得点为曲线对称中心 【答案】AB 【分析】根据，即可判断A；由A选项知，，利用导数求出函数的单调区间，再根据零点的存在性定理即可判断B；举出反例，结合极值点的定义即可判断C；要使点为曲线对称中心，则为定值，由此即可判断D. 【详解】对于A，由，， 可得，即，故A正确； 对于B，由A选项可得， 则，则， 当时，令，则， 令，则或， 令，则， 所以函数在上单调递增， 在上单调递减， 由，可得， 而，所以， 又当时，，当时，， 所以函数在和都存在一个零点， 所以对于任意，有三个零点，故B正确； 对于C，当时， ，则， 由， 得恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以函数无极值点，故C错误； 对于D，要使点为曲线对称中心， 则为定值， 而 ， 因为为定值， 所以，解得， 所以不存在，使得点为曲线对称中心，故D错误. 4．（2025·辽宁·二模）已知函数为的导函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若的两个极值点分别为和，且. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义结合题意求解即可； （2）（i）由题意得是方程的两个正根，进一步转化为与有两个不同的交点，然后利用导数求出的单调区间和极值分析求解即可；（ii）由（i）可知，由得，则可得，令，利用导数求出其单调区间和最值，从而可证得结论. 【详解】（1）当时，，则， ，求导得，则， 所以曲线在处的切线方程为； （2）（i），且定义域. 因为若有两个极值点，所以是方程的两个正根， 即 令，则， 所以，当时，；当时，， 因此，当时，单调递减；当时，单调递增， 所以当时，有最小值， 当时，， 又因为当时，，当时，， 所以当时，，当时，， 所以当时，的图象与直线有两个不同的交点， 所以； （ii）由（i）可知，且时，， 又，所以， 令， 单调递增， 且，所以时，时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 即 ， 又因为，所以， 所以，即. 5．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数． (1)若存在，使成立，求k的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求k的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）转化为存在，使成立，令，利用导数求出的最大值可得答案； （2）转化为在上恒成立，令，利用导数求出可得答案． 【详解】（1）由得， 可得存在，使成立， 令，，令得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 若存在，使成立，则； （2）， 若在上恒成立， 则在上恒成立， 令，则， 令，则（舍）或， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 则，则k的最小值为． 6．（2025·辽宁锦州·二模）已知． (1)若在上单调递增，求a的取值范围； (2)若的图像在处的切线为，求a与b的值，并证明时，． 【答案】(1) (2)，，证明见解析 【分析】（1）若在上单调递增，则对恒成立，通过构造函数转化为求最值问题可解； （2）由已知，利用导数的几何意义求得a与b的值，得到，则，问题转化为证明 .（法一）利用导数先证明，再证明，可得结果；（法二）设，利用导数证明当时，即可. 【详解】（1）若在上单调递增， 则对恒成立， 设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， 所以只需，即，所以a的取值范围是. （2）因为，， 所以在处切线方程为， 根据题意，该切线为，所以，解得，， 所以，因为，所以， 下面证明：， （法一）先证，即， 令，，则， 所以在是增函数，所以，即，① 再证，即， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上是减函数，在上是增函数， 所以，即，所以，② 由①②得，综上，在上成立． （法二）设，则， 因为两个函数均在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，， 所以使，所以，即， 当时，，时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 当且仅当时等号成立， 因为，所以，即， 所以在上成立. 7．（2025·辽宁·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极大值，且极大值大于，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出、的值，利用的导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，求出其极大值，可得出，令，利用导数分析函数的单调性，结合其单调性可求出的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，且， 当时，，则，，故． 曲线在点处的切线方程为，即． （2）因为，所以. ①当时，，则在单调递减，无极值； ②当时，由可得，由可得. 函数的增区间为，减区间为 所以取极大值， 所以， 设，则，则在单调递增， 又，由可得， 故实数的取值范围是. 8．（2025·辽宁鞍山·二模）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若存在极大值，且极大值大于0，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求导后分析单调性，得到最大值即可； （2）求导后，分和讨论单调性和极值，当时，构造函数，由导数分析单调性解抽象函数不等式可得. 【详解】（1）时，，， 时，；时，， 所以在区间上单调递增，上单调递减， 所以. （2）， 时，，在上单调递增，无极值； 时，时，；时，， 所以在区间上单调递增，上单调递减， 所以的极大值为， 令，则， 所以在区间上单调递增，由已知， 所以，解得， 综上，. 9．（2025·辽宁·二模）已知为锐角三角形的三个内角，角所对的边分别为. (1)求证：； (2)若，且，求实数的取值范围，使得对任意实数和任意角，恒有； (3)求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换将用的形式表达，借助不等式性质与不等式得，进而同理得的不等关系，由内角和定理即可得证； （2）结合正、余弦定理化简求得，利用锐角三角形求范围，进而构造齐次式化弦为切可得的范围，整体换元令，将问题转化为不等式对任意，的双变量恒成立问题逐步求解可得； （3）由两角和正切公式化，再整体换元，令，进一步令，转化为求的最值，再利用基本不等式与导数求解最值即可. 【详解】（1）因为 ， 由，则，故，所以， 设， 则， 故在上单调递增， 故当时，，即. 由为锐角，则，所以有， 同理，， 所以，. （2）由题意，且， 则根据余弦定理可得， 化简得，由正弦定理得， 得，由均为锐角，且， 则且， 解得， 则 ， 令，则，， 不等式， 即不等式对任意，恒成立. 所以对任意恒成立， 则， 化简得， 则不等式对任意恒成立， 其否定为：存在，使不等式. 即存在，成立. 即关于的不等式在有解. 由可得，且； ，且，且当时，； 又， 则要使不等式在有解， 则， 故当，或时，不等式对任意恒成立. 综上所述，实数的取值范围为. （3）在锐角中，， 由，则， 令，则， 故， 令，则， 则 ， 当且仅当时等号成立. 令， 则， 令， 则，令，解得， 则当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 又， 故在有且仅有一个根，设为，且， 发现，故， 故，由，则，， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故， 所以有， 当且仅当，即时，取到最小值，且最小值为. 此时， 综上可得，的最小值为. 10．（2025·辽宁·二模）已知函数． (1)当时，证明：在上单调递增； (2)当，时，求的零点； (3)当，时，若在上有2个零点，求b的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)0； (3). 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，结合不等式及余弦函数性质推理得证. （2）把代入，利用导数求出函数的最大值点即可. （3）把代入，求出函数的导数，按分段讨论，结合函数零点存在性质定理确定零点个数即可得解. 【详解】（1）当时，，求导得， 函数在上单调递减，，因此， 所以在上单调递增. （2）当，时，的定义域为，，即0是的零点， 求导得，令，求导得， 当时，，，函数在上单调递减， ，函数在上单调递增，当时，， ，函数在上单调递减，因此， 所以函数有唯一零点0. （3）当，时，，函数， 求导得，令，求导得， 当时，，则， 当时，，则，当时，， 函数在上单调递减，当时，， 存在，使得，当时，当时， 函数在上单调递增，在上单调递减，而，则函数在上有唯一零点； ，若，即时，在上有唯一零点， 因此函数在上有2个零点； 若，即，在上没有零点，函数在上有1个零点； 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 则，当且仅当时取等号，函数在上有1个零； 当时，，，且， 又，则存在唯一零点，当时，， 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 而，即函数在上有唯一零点， 又当从大于的方向趋近于时，函数的值趋近于负无穷大，， 因此函数在上有1个零点，此时函数在上有2个零点， 所以函数在上有2个零点，的取值范围是. 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$