专题05 三角函数与解三角形（辽宁专用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题05 三角函数与解三角形 题型概览 题型01三角函数的概念与性质 题型02三角恒等变换 题型03解三角形 ( 题型01 ) 三角函数的概念与性质 1．（2025·辽宁·二模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁辽阳·二模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．在上单调递减 3．（2025·辽宁鞍山·二模）（多选）对于函数和，下列说法中正确的是（   ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最小值 C．函数的图象与的图象有相同的对称轴 D．的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 4．（2025·辽宁·二模）（多选）如图是因不慎丢失部分图象后，函数的局部图象，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．是图象的一个对称中心 C．图象的对称轴方程为 D．的图象是由函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的函数图象向右平移个单位长度得到的 5．（2025·辽宁沈阳·二模）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递增 C．函数的图象的对称轴方程为 D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 6．（2025·辽宁·二模）已知，则 . ( 题型0 2 ) 三角恒等变换 1．（2025·辽宁辽阳·二模）已知为第一象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁·二模）（多选）已知函数，若，且，则下列说法正确的是（    ） A．函数为偶函数 B．函数为偶函数 C． D．在区间上单调递减 3．（2025·辽宁·二模）已知均为锐角，，，则 ， ． 4．（2025·辽宁鞍山·二模）若且，则 . ( 题型0 3 ) 解三角形 1．（2025·辽宁·二模）在等边三角形中，D、E、F分别在边上，且．则三角形面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁·二模）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求A； (2)若，求的面积. 3．（2025·辽宁沈阳·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，求的最大值． 4．（2025·辽宁辽阳·二模）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若的周长为，证明：为等边三角形． 5．（2025·辽宁·二模）已知锐角，角、、所对的边分别为、、，且，． (1)求； (2)求的取值范围． 6．（2025·辽宁·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A的大小； (2)若，的平分线交于点D，且，求的面积． 7．（2025·辽宁鞍山·二模）中，角的对边分别为已知. (1)求； (2)若，，求的面积. 8．（2025·辽宁·二模）已知为锐角三角形的三个内角，角所对的边分别为. (1)求证：； (2)若，且，求实数的取值范围，使得对任意实数和任意角，恒有； (3)求的最小值. 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角函数与解三角形 题型概览 题型01三角函数的概念与性质 题型02三角恒等变换 题型03解三角形 ( 题型01 ) 三角函数的概念与性质 1．（2025·辽宁·二模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平移伸缩得到函数的解析式，再根据在上有两个零点列出不等式组，解出取值范围即可． 【详解】由题可知，， 当时，， 因为函数在上有两个零点， 所以，解得， 故选：A． 2．（2025·辽宁辽阳·二模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．在上单调递减 【答案】BCD 【分析】A.由分式函数的定义域求解判断；B.由正弦函数的值域判断；C.由函数奇偶性的定义判断；D.由复合函数的单调性判断. 【详解】的定义域为，值域为，A错误，B正确． 是奇函数，C正确． 当时，，函数在上单调递减， 函数在上单调递增，所以在上单调递减，D正确． 故选：BCD 3．（2025·辽宁鞍山·二模）（多选）对于函数和，下列说法中正确的是（   ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最小值 C．函数的图象与的图象有相同的对称轴 D．的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 【答案】BD 【分析】举反例令代入可得A错误；由正余弦函数的值域可得B正确；由余弦函数的对称轴方程代入正弦函数可得C错误；由函数平行的性质可得D正确. 【详解】对于A，令中，可得， 但，故A错误； 对于B，由正余弦函数的值域可得两函数具有相同的最小值为，故B正确； 对于C，函数的对称轴方程为，即， 所以，故C错误； 对于D，的图象向左平移个单位得到，故D正确； 故选：BD 4．（2025·辽宁·二模）（多选）如图是因不慎丢失部分图象后，函数的局部图象，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．是图象的一个对称中心 C．图象的对称轴方程为 D．的图象是由函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的函数图象向右平移个单位长度得到的 【答案】AC 【分析】结合函数图像求出的解析式即可判断A；代入检验判断B；结合正切函数的性质判断C；根据函数图象的伸缩变换及平移判断D. 【详解】由图象可知的最小正周期为，故A正确； 由，则，即， 由图象的对称性可知为函数的一个对称中心，且在函数图象上， 所以，因为，所以， 则， 当时，， 所以不是图象的一个对称中心，故B错误； 令，解得， 所以函数的对称中心为， 则图象的对称轴方程为，故C正确； 由函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）， 得到， 再向右平移个单位长度， 得到，故D错误. 故选：AC. 5．（2025·辽宁沈阳·二模）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递增 C．函数的图象的对称轴方程为 D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 【答案】AC 【分析】求出函数的周期可判断A；求出的单调增区间可判断B；求出函数的图象的对称轴方程可判断C；根据图象平移规律可判断D． 【详解】对于A，函数的周期为，故A正确； 对于B，由，得， 所以的单调增区间为，故B错误； 对于C，令，则， 所以函数的图象的对称轴方程，故C正确； 对于D，函数向右平移个单位长度得到 ，故D错误． 故选：AC． 6．（2025·辽宁·二模）已知，则 . 【答案】2 【分析】根据题意结合同角三角关系可得，即可得结果. 【详解】因为， 所以, 故答案为：2. ( 题型0 2 ) 三角恒等变换 1．（2025·辽宁辽阳·二模）已知为第一象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平方，利用平方关系化简，再开方求解. 【详解】． 因为为第一象限角，所以． 故选：C 2．（2025·辽宁·二模）（多选）已知函数，若，且，则下列说法正确的是（    ） A．函数为偶函数 B．函数为偶函数 C． D．在区间上单调递减 【答案】BCD 【分析】利用辅助角公式可得，为锐角，且，，利用余弦型函数的奇偶性可判断AB选项；利用正弦型函数的最值可判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项. 【详解】由辅助角公式可得， 为锐角，且，， 因为，则，可得， 所以，，因为，故， 对于A选项，， 且，故， 即函数不是偶函数，A错； 对于B选项，， 即函数为偶函数，B对； 对于C选项，， 所以，，C对； 对于D选项，因为，且当时，， 由于，故函数在区间上单调递减，D对. 故选：BCD. 3．（2025·辽宁·二模）已知均为锐角，，，则 ， ． 【答案】 【分析】根据平方关系可求解；结合及两角和的余弦公式求出，，进而可得，再根据二倍角公式求解即可. 【详解】因为均为锐角，所以，则， 所以； 由，则， 又， 所以，， 则， 所以. 故答案为：；. 4．（2025·辽宁鞍山·二模）若且，则 . 【答案】/ 【分析】先由两角和的正切公式算得，再利用两角和的余弦公式即可算得. 【详解】由两角和的正切公式可得，所以， 由两角和的余弦公式可得 ， 解得. 故答案为：. ( 题型0 3 ) 解三角形 1．（2025·辽宁·二模）在等边三角形中，D、E、F分别在边上，且．则三角形面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合已知，引入来表达，且据勾股定理可求出，则在和中，分别用正弦定理可表达，即可表达面积，从而分析最值. 【详解】设， ， ， ， 在中，，即， ， 同理，在中，， 的边长， 其中， 时，取得最大值为， . 故选：A. 2．（2025·辽宁·二模）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求A； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）整理可得，结合余弦定理运算求解即可； （2）利用正弦定理可得，即可得，进而可得面积. 【详解】（1）因为，则即为， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，所以. （2）由正弦定理可得，则， 可得，即， 由（1）可得，则， 即，可得， 所以的面积. 3．（2025·辽宁沈阳·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理、正弦定理可得答案； （2）由余弦定理、基本不等式可得答案. 【详解】（1）因为， 由余弦定理得， 再由正弦定理得， 又 ，所以， 在中，所以，， 所以，所以，又，所以； （2）由余弦定理可得， 即， 所以，， 所以， 当且仅当时“”成立. 4．（2025·辽宁辽阳·二模）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若的周长为，证明：为等边三角形． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由正弦定理转化为三角函数即可得解； （2）由余弦定理及三角形周长化简可得证. 【详解】（1）由及正弦定理，得． 因为，所以，则，得． （2）证明：由余弦定理得． 因为的周长为，即， 所以，即， 所以，故为等边三角形． 5．（2025·辽宁·二模）已知锐角，角、、所对的边分别为、、，且，． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由为锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换求出的取值范围，令，结合导数可求出的取值范围，即为所求. 【详解】（1）因为，，则， 由正弦定理得， ，所以，， 因为、，则， 所以，，即． （2）在锐角中，由，可得， 则， 又，则， 所以，的取值范围为， 又，设，设，其中， ， 由可得，由可得， 所以，在上递减，在上递增， 所以，， 又因为，，故的取值范围为， 即的取值范围为. 6．（2025·辽宁·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A的大小； (2)若，的平分线交于点D，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简求解. （2）利用三角形面积公式，结合给定的角平分线得，再利用余弦定理及三角形面积公式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 则， 整理得，而，则，又， 所以. （2）由的平分线交于点D，，且， 得，整理得， 由余弦定理得，解得（负值舍）， 所以的面积. 7．（2025·辽宁鞍山·二模）中，角的对边分别为已知. (1)求； (2)若，，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理将边转化成角，再根据三角恒等变换即可求解； （2）利用二倍角公式进行化简，求得，再利用正弦定理结合三角形面积公式求解. 【详解】（1）由正弦定理可得, 因为，，, 所以， 所以整理得，因为，所以. （2）因为， 所以，因为，所以，， 又因为，，所以，又， 所以. 8．（2025·辽宁·二模）已知为锐角三角形的三个内角，角所对的边分别为. (1)求证：； (2)若，且，求实数的取值范围，使得对任意实数和任意角，恒有； (3)求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换将用的形式表达，借助不等式性质与不等式得，进而同理得的不等关系，由内角和定理即可得证； （2）结合正、余弦定理化简求得，利用锐角三角形求范围，进而构造齐次式化弦为切可得的范围，整体换元令，将问题转化为不等式对任意，的双变量恒成立问题逐步求解可得； （3）由两角和正切公式化，再整体换元，令，进一步令，转化为求的最值，再利用基本不等式与导数求解最值即可. 【详解】（1）因为 ， 由，则，故，所以， 设， 则， 故在上单调递增， 故当时，，即. 由为锐角，则，所以有， 同理，， 所以，. （2）由题意，且， 则根据余弦定理可得， 化简得，由正弦定理得， 得，由均为锐角，且， 则且， 解得， 则 ， 令，则，， 不等式， 即不等式对任意，恒成立. 所以对任意恒成立， 则， 化简得， 则不等式对任意恒成立， 其否定为：存在，使不等式. 即存在，成立. 即关于的不等式在有解. 由可得，且； ，且，且当时，； 又， 则要使不等式在有解， 则， 故当，或时，不等式对任意恒成立. 综上所述，实数的取值范围为. （3）在锐角中，， 由，则， 令，则， 故， 令，则， 则 ， 当且仅当时等号成立. 令， 则， 令， 则，令，解得， 则当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 又， 故在有且仅有一个根，设为，且， 发现，故， 故，由，则，， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故， 所以有， 当且仅当，即时，取到最小值，且最小值为. 此时， 综上可得，的最小值为. 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$