专题04 立体几何与空间向量（辽宁专用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题04 立体几何与空间向量 题型概览 题型01空间几何体 题型02点、直线、平面之间的位置关系 题型03向量法求线面角 题型04向量法求二面角 ( 题型01 ) 空间几何体 1．（2025·辽宁沈阳·二模）已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁·二模）在正四棱台中，，E，F，G，H分别为，，，的中点，将该正四棱台截取四个三棱锥，，，后得到多面体，则该多面体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D．    3．（2025·辽宁鞍山·二模）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则圆锥母线与底面所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁辽阳·二模）如图，在棱长为6的正四面体中，点满足，则四面体的外接球的表面积为 ． 5．（2025·辽宁锦州·二模）已知球O的体积为，正四面体的顶点B，C，D都在球O的表面上，球心O为的外心，棱与球面交于点P，若平面，平面，平面，平面，平行且与之间的距离为同一定值，棱，分别与交于点Q，R，则的周长为 ． 6．（2025·辽宁·二模）我国古代《九章算术》中将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童，关于“刍童”的体积计算曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知刍童的外接球（球心在该刍童体内）半径为5，且，则该刍童的体积是 .   7．（2025·辽宁·二模）图1所示几何体是一个星形正多面体，称为星形十二面体，是由对（个）平行五角星面组成的，每对平行五角星面角度关系如图2所示．一个星形十二面体有 个星芒（凸起的正五棱锥），将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比是 ．（参考数据：） 8．（2025·辽宁·二模）我们规定：在四面体中，取其异面的两条棱的中点连线称为的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”，如左图.    如右图，在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，为其下焦点，经过的直线与交于两点，为平面下方一点，若为垂棱四面体，则其外接球表面积是的函数. （1）的定义域是 ；（2）的最小值是 . 9．（2025·辽宁·二模）如图，四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，其中，.. (1)若平面内有一经过点的曲线，该曲线上的任一动点都满足与所成角的大小恰等于与所成角.试判断曲线的形状并说明理由； (2)在平面内，设点Q是（1）中的曲线E在直角梯形内部（包括边界）的一段曲线上的动点，其中G为曲线E和的交点,以B为圆心，为半径的圆分别与梯形的边交于两点.当点在曲线段上运动时，求四面体体积的取值范围. ( 题型0 2 ) 点、直线、平面之间的位置关系 1．（2025·辽宁·二模）如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁·二模）（多选）如图，四棱锥的外接球球心为点O，且底面为正方形，平面．若点M为上靠近点D的三等分点，点P，Q分别为线段与平面上的点，则最小时，下列说法正确的是（    ） A． B．点P为线段的中点 C．平面截四棱锥所得的截面是直角梯形 D．三棱锥的体积为 3．（2025·辽宁·二模）如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点.现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点. (1)求证：； (2)若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正切值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由. ( 题型0 3 ) 向量法求线面角 1．（2025·辽宁·二模）如图1在梯形ABCD中，，且为AB中点，为BC上一点，且．现将该梯形沿AC折起，使得点折叠至点的位置（如图2），且二面角的平面角大小为. (1)求证：； (2)求直线CE与平面PEF所成角的正弦值. 2．（2025·辽宁·二模）如图，四棱锥的体积为，底面为平行四边形，底面，的面积为． (1)求点到平面的距离； (2)设，二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 3．（2025·辽宁·二模）如图①，在矩形中，，，M为的中点，将沿折起，使A到处，平面平面，连接，（如图②）．    (1)证明：平面； (2)已知Q是线段上的动点，且，直线与平面所成角的正弦值为，求． ( 题型0 4 ) 向量法求二面角 1．（2025·辽宁·二模）如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），，，分别为，，上的点，，，分别记二面角，，的平面角为，，，则（   ） A．<< B．<< C．<< D．<< 2．（2025·辽宁辽阳·二模）在矩形中，为上两个不同的三等分点，如图1．将和分别沿向上翻折，使得点重合，记重合后的点为，如图2．已知，四棱锥的体积为． (1)求； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）斜三棱柱各棱长为4，，D为棱上的一点． (1)求证：； (2)若平面平面ABC，且二面角的余弦值为，求BD的长． 4．（2025·辽宁锦州·二模）如图，在三棱锥中，，，． (1)证明平面平面； (2)若E，F分别为棱，的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 5．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，斜三棱柱中，，点在底面的射影恰好是的中点，.    (1)证明：； (2)将沿翻折至，使得点在平面上，求平面与平面所成角的余弦值. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 立体几何与空间向量 题型概览 题型01空间几何体 题型02点、直线、平面之间的位置关系 题型03向量法求线面角 题型04向量法求二面角 ( 题型01 ) 空间几何体 1．（2025·辽宁沈阳·二模）已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆台的侧面积公式可得答案. 【详解】圆台的侧面积为. 故选：B． 2．（2025·辽宁·二模）在正四棱台中，，E，F，G，H分别为，，，的中点，将该正四棱台截取四个三棱锥，，，后得到多面体，则该多面体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过正四棱台的特点，结合图形关系找出多面体的球心和半径，进而求解即可. 【详解】如图，连接，设， 由，可知四边形为边长为的正方形， 将正四棱台补形成正四棱锥，易知， 所以，设， 易知为的中点，连接，则，可得， 又，， 所以，则， 又，所以，同理， 易知为正方形的中心， 设多面体外接球的半径为， 又， 则为多面体外接球的球心，且， 则其外接球的表面积为. 故选：B.    3．（2025·辽宁鞍山·二模）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则圆锥母线与底面所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用题干条件求得圆锥母线与高的关系，结合三角函数定义即可求得圆锥母线与底面所成角的大小. 【详解】设圆锥底面的半径为，母线长为，高为，则由题意得，解得， 设圆锥母线与底面所成角为，则， 所以圆锥母线与底面所成角的大小为. 故选：A. 4．（2025·辽宁辽阳·二模）如图，在棱长为6的正四面体中，点满足，则四面体的外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】利用正四面体的空间几何特征得到点在平面上，再结合几何特征求解出建立空间直角坐标系外接球的半径为，则利用外接球的几何特征求得外接球的半径.从而求出外接球的体积. 【详解】在正四面体中，取的中点为，连接． 易知平面． 设四面体的外接球的球心为，则点在平面上． 设在平面上的射影分别为，显然为的重心， 则． 在中，， 则． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则． 设，外接球的半径为，则， 即， 即解得即， 则所求外接球的表面积． 5．（2025·辽宁锦州·二模）已知球O的体积为，正四面体的顶点B，C，D都在球O的表面上，球心O为的外心，棱与球面交于点P，若平面，平面，平面，平面，平行且与之间的距离为同一定值，棱，分别与交于点Q，R，则的周长为 ． 【答案】 【分析】结合球的体积公式，根据正三角形外接圆的性质求得边长，利用三点共线及数量积的运算律求得，然后利用平行平面的性质求得，，再利用余弦定理求得，即可求解的周长. 【详解】 由已知，连接， 设与之间的距离为d，设球O的半径为R， 因为球O的体积为，则，解得， 所以，所以， 即正四面体的棱长为3，所以， 因为球心O为的外心，则在正四面体中，平面， 又平面，则， 由A，P，B三点共线，故存在实数使得， 所以， 所以，即， 解得，所以，所以，所以， 又且与之间的距离为d， 则，，所以，， 所以，，则，则， 在中，， 则由余弦定理，， 所以的周长为. 故答案为：. 6．（2025·辽宁·二模）我国古代《九章算术》中将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童，关于“刍童”的体积计算曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知刍童的外接球（球心在该刍童体内）半径为5，且，则该刍童的体积是 . 【答案】 【分析】根据外接球的性质，结合勾股定理可得刍童的高，进而根据所给的计算方法即可求解体积. 【详解】取上下底面的中心为,外接球的球心为，连接, 由于，所以, 所以, 故， 因此, 故答案为：    7．（2025·辽宁·二模）图1所示几何体是一个星形正多面体，称为星形十二面体，是由对（个）平行五角星面组成的，每对平行五角星面角度关系如图2所示．一个星形十二面体有 个星芒（凸起的正五棱锥），将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比是 ．（参考数据：） 【答案】 【分析】结合图形可判断出星芒的个数；将每个正五棱锥沿着侧面展开与底面在同一个平面上，形成一个正五角星，计算出正五棱锥侧面积和底面积之比即可. 【详解】由图可知，每个星形十二面体有个星芒， 将每个正五棱锥沿着侧面展开与底面在同一个平面上，形成一个正五角星， 则这个正五角星的五个顶点在圆上，连接，则垂直平分，设， 正五棱锥的侧面积等于，底面积等于， 正五边形的每个内角为，则，故， 则，所以，，， 设，则，则， ，则， 所以，将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比为 ， 故答案为：；. 8．（2025·辽宁·二模）我们规定：在四面体中，取其异面的两条棱的中点连线称为的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”，如左图.    如右图，在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，为其下焦点，经过的直线与交于两点，为平面下方一点，若为垂棱四面体，则其外接球表面积是的函数. （1）的定义域是 ；（2）的最小值是 . 【答案】 【分析】根据题设新定义证明“垂棱四面体”可补为长方体，将补成长方体，设长宽高分别为，则，设，且联立直线且与椭圆方程，应用韦达定理及两点距离的坐标表示得到，进而求出定义域及其最小值. 【详解】如图，连接，    由题知，平行且等于，平行且等于， 所以，，故为平行四边形， 所以对角线，则是的中点， 同理也是的中点，故“垂棱四面体”的三条内棱交于一点， 由三条内棱两两垂直，易知为菱形，则， 显然，故，同理， 所以“垂棱四面体”可补为如下图示的长方体，    综上，题设右图可将补成长方体，设长宽高分别为， 则外接球半径为该长方体的体对角线长的一半，为， 所以， 显然，，，则， 设，因直线过椭圆焦点，所以， 联立，得，则， 所以，则，又，，， 所以， 则，即， 由为某长方体的三个顶点，结合题设新定义，易知中为锐角， 所以只需角为锐角，即，则，可得， 由， 所以最大时，最小， 令，则， 由在上单调递增，故， 所以. 故答案为：，. 9．（2025·辽宁·二模）如图，四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，其中，.. (1)若平面内有一经过点的曲线，该曲线上的任一动点都满足与所成角的大小恰等于与所成角.试判断曲线的形状并说明理由； (2)在平面内，设点Q是（1）中的曲线E在直角梯形内部（包括边界）的一段曲线上的动点，其中G为曲线E和的交点,以B为圆心，为半径的圆分别与梯形的边交于两点.当点在曲线段上运动时，求四面体体积的取值范围. 【答案】(1)双曲线 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得与所成的角为，再设，由求解； （2）设，直线CD的方程为：，与双曲线方程联立，根据直线CD与双曲线E交于点C求得G的坐标，设为双曲线的动点，由，以及要使圆B与AB、BC都有交点，得到圆B的半径取值范围，然后根据平面DMN，得到P-BMN体积为，设，则，转化为的面积范围求解. 【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 设与所成的角为， 则 ，所以， 设， 则， 所以，即， 化简得，故曲线是平面ABCD内的双曲线； （2）由（1）知：， 设，则， 所以直线CD的方程为：，代入双曲线方程化简得， 因为直线CD与双曲线E交于点C， 所以，故，则， 则， 故双曲线E在直角梯形ABCD内部的区域满足， 设为双曲线的动点， 则， 当时，，当时，， 而要使圆B与AB、BC都有交点，则， 故满足题意的圆的半径取值范围是， 因为平面DMN，所以P-BMN体积为：， 故问题可以转化为研究的面积，且， 设，则， 所以，则， 所以. ( 题型0 2 ) 点、直线、平面之间的位置关系 1．（2025·辽宁·二模）如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的图象与性质结合函数图象求解即可. 【详解】如图，因为的最小正周期，所以， 又，， 所以折成直二面角时，因为轴，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以，解得（负值已舍去）， 所以，又， 因为，所以或， 又因为函数在轴右侧附近单调递减，所以． 故选：C. 2．（2025·辽宁·二模）（多选）如图，四棱锥的外接球球心为点O，且底面为正方形，平面．若点M为上靠近点D的三等分点，点P，Q分别为线段与平面上的点，则最小时，下列说法正确的是（    ） A． B．点P为线段的中点 C．平面截四棱锥所得的截面是直角梯形 D．三棱锥的体积为 【答案】AC 【分析】对于A，根据线面垂直，可得线线垂直，结合直角三角形的外接圆，可得其正误；对于B，根据点到平面距离以及旋转，将问题转化为平面问题，结合图象，可得其正误；对于C，平行的传递性，结合平行线的比例以及线面垂直的性质，可得其正误；对于D，根据三棱锥的体积公式，结合直角三角形面积计算以及等积变换，可得其正误. 【详解】对于A，连接，如下图： 因为平面，且平面， 所以，，， 因为在正方形中，，且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 同理可得， 因为为的斜边， 所以的中点到的距离都等于的一半， 则球心就是的中点，如下图： 在正方形中，， 在中，， 在中，， 则，， 由，则易知，则， 故A正确； 对于B，由平面，则当平面时，最短， 因为平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 将绕旋转到的位置，使得平面， 在平面中，过作，垂足为，如下图： 易知，，由图可知， 在正方形中，由，则， 在中，，则， 易知，所以，， 在中，， 易知为的三等分点，如下图： 故B错误； 对于C，由B可知，易知， 在中，过作，交于，连接，如下图： 易知，，即，，即， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以，故C正确； 对于D，由题意可作图如下： 由C易知平面，由，则， 在中，， 因为平面，平面，所以， 在中，，， 所以三棱锥的体积，故D错误. 故选：AC. 3．（2025·辽宁·二模）如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点.现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点. (1)求证：； (2)若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正切值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且三棱锥的体积为 【分析】（1）证明出平面，结合可得出平面，可得出，推导出，利用线面垂直的判定定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）分析可知二面角的平面角为，即，取的中点，连接，推导出平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可得出关于的等式，解出的值，再利用锥体的体积公式可得出的值. 【详解】（1）在图①中，由题意可知，四边形为正方形，且， 在②中，，，且，、平面， 所以平面， 因为，所以平面，因为平面，所以， 因为，为的中点，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）由（1）知，平面， 因为平面，所以平面平面， 因为、平面，所以，， 所以，二面角的平面角为，即， 因为，所以为等边三角形，所以， 取的中点，连接，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，且， 设为的中点，则可以以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 则，，，， 设，则， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得， 记直线与平面所成角为，则， 由可得， 则， 即，， 因为，解得，故， 所以. ( 题型0 3 ) 向量法求线面角 1．（2025·辽宁·二模）如图1在梯形ABCD中，，且为AB中点，为BC上一点，且．现将该梯形沿AC折起，使得点折叠至点的位置（如图2），且二面角的平面角大小为. (1)求证：； (2)求直线CE与平面PEF所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在图1中，连接，交于点，连接，即可证明四边形是菱形，从而得到，即可得到，从而证明平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）图1中，连接，交于点，连接， 为AB中点，， 又，，四边形是菱形， ， 所以在图2中，，又平面，， 平面， 又平面，； （2）以中点为坐标原点，为轴，为轴，过点做垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系． 则， 所以，，， 设平面的法向量， 由，有，， 令，则， 设与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为； 2．（2025·辽宁·二模）如图，四棱锥的体积为，底面为平行四边形，底面，的面积为． (1)求点到平面的距离； (2)设，二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算出三棱锥的体积，利用等体积法可求得点到平面的距离； （2）取的中点E，连接，推导出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）四棱锥的体积为，底面为平行四边形，底面， 则， 所以，， 在四棱锥中，设点到平面的距离为． 则，解得， 所以点到平面的距离为. （2）如图，取的中点，连接， 因为，所以， 又二面角为，所以平面平面， 因为平面平面，，平面， 所以，平面， 因为平面，所以，， 因为四边形为平行四边形，则，所以，， 因为平面，平面，所以，， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 由（1）得， 因为，，则， 因为为的中点，则，故， ，可得， 故， 则、、、、， 则，，， 设平面的一个法向量，则， 取，可得， 设与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 3．（2025·辽宁·二模）如图①，在矩形中，，，M为的中点，将沿折起，使A到处，平面平面，连接，（如图②）．    (1)证明：平面； (2)已知Q是线段上的动点，且，直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在矩形中，分析图形关系易得，在四棱锥中，由平面平面可得平面，可得，进而求证即可； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）在矩形中，，， 易得，则，即， 在四棱锥中，平面平面， 且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，且，平面， 所以平面. （2）取的中点为，连接， 由，则， 又平面平面， 且平面平面，平面， 所以平面， 以为原点，以的方向为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设，由，得，即， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，又，则.    ( 题型0 4 ) 向量法求二面角 1．（2025·辽宁·二模）如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），，，分别为，，上的点，，，分别记二面角，，的平面角为，，，则（   ） A．<< B．<< C．<< D．<< 【答案】B 【分析】设为三角形中心，过作，，，得到，，，再以为原点建立直角坐标系，得到直线，直线，直线的方程，利用点到直线的距离，求得点O到直线的距离判断. 【详解】设为三角形中心，过作于，于，于， 由平面，得，平面，则平面， 又平面，于是是二面角的平面角， 因此，同理，， 以为原点建立直角坐标系，如图2，不妨设，则， 由，，得，， 则直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为， 于是，，，，， 而，，为锐角，所以. 故选：B 2．（2025·辽宁辽阳·二模）在矩形中，为上两个不同的三等分点，如图1．将和分别沿向上翻折，使得点重合，记重合后的点为，如图2．已知，四棱锥的体积为． (1)求； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出所求线段，根据勾股定理以及余弦定理，表示出四棱锥的高，结合四棱锥的体积公式，可得答案. （2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案. 【详解】（1）取的中点分别为，连接， 过点作，垂足为， 设，则， 为等边三角形，， 在中，， 在中，， ， 又梯形的面积， 所以四棱锥的体积为， 解得（舍去），即； （2）由（1）可得． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以．． 设平面的法向量为，则 取，得． 设平面的法向量为，则 取，得． 所以，， 所以平面与平面所成角的正弦值为． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）斜三棱柱各棱长为4，，D为棱上的一点． (1)求证：； (2)若平面平面ABC，且二面角的余弦值为，求BD的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【【分析】（1）取中点，连接，易得，结合题设关系得，进而得到平面，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，设，求平面法向量及平面的法向量，再利用空间向量求解即可. 【详解】（1）取AB中点O，在中，，O为AB中点，所以，在中，，，，由余弦定理可得， 所以有，即，所以， 又因为，平面，平面， 平面，又因为平面，所以； （2）由（1）知且平面平面，平面平面，平面，所以平面， 则，如图以OA，OC，两两垂直，以O为坐标原点，以OA，OC，方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系． ，，，， 设，， ，， 设平面法向量为， ，， 可取， 平面的法向量为， 所以有，化简得， 所以有（舍）或者，所以． 4．（2025·辽宁锦州·二模）如图，在三棱锥中，，，． (1)证明平面平面； (2)若E，F分别为棱，的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由余弦定理可得，再由勾股定理可得，结合线面垂直的判定定理可得平面，即可证明面面垂直； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）证明：因为在中，， 又，所以， 如图， 过点D作于点O，连接，则， 因为，，所以，所以且， 又，所以，所以， 又，平面ABC，所以平面， 平面，所以平面平面. （2）因为，，两两垂直，如图，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，的一个方向向量， 轴，所以的一个方向向量， 设平面的法向量，则， 令可得，平面的一个法向量， 又平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则. 5．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，斜三棱柱中，，点在底面的射影恰好是的中点，.    (1)证明：； (2)将沿翻折至，使得点在平面上，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用空间垂直关系结合菱形对角线垂直来进行线面垂直的证明，再证明线线垂直; （2）利用空间直角坐标系的向量运算来求空间角即可. 【详解】（1）由已知平面，所以， 因为，所以，又，平面， 所以平面，所以 因为，所以平行四边形为菱形，所以 又，平面，所以平面，所以 （2）因为，由（1）平面，所以平面， 所以,由已知，直线、和均在平面内, 所以、、三点共线, 因为，所以为的中点    取中点，连接，因为是的中点，所以 所以面，所以，，且平面 分别以直线、、为轴、轴、如图所示空间平面直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 所以， 设平面的法向量为， 因为，所以，令， 可得平面的一个法向量为； 设平面的法向量为， 因为，所以，令， 可得平面的一个法向量为； 因为 所以平面与平面所成角的余弦值为. 19 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$