2. 动量定理（高效培优讲义）物理人教版2019选择性必修第一册

2. 动量定理 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 冲量 1 题型2 动量定理 4 题型3 动量定理的应用 7 【能力培优练】 10 【链接高考】 16 【重难题型讲解】 题型1 冲量 1、冲量的定义：力与力的作用时间的乘积。 （1）定义式：I＝FΔt。 （2）物理意义：冲量是反映力的作用对时间的累积效应的物理量，力越大，作用时间越长，冲量就越大。 （3）单位：在国际单位制中，冲量的单位是牛秒，符号为N·s。 （4）矢量性：如果力的方向恒定，则冲量的方向与力的方向相同；如果力的方向是变化的，则冲量的方向与相应时间内物体动量变化量的方向相同。 ★特别提醒 1、冲量的性质 （1）过程量：冲量描述的是力的作用对时间的积累效应，取决于力和时间这两个因素，所以求冲量时一定要明确所求的是哪一个力在哪一段时间内的冲量。 （2）矢量性：冲量的方向与力的方向相同，与相应时间内物体动量变化量的方向相同。 2、对冲量表达式的理解 （1）只要有力就有冲量。（因为时间一定在累积） （2）冲量的大小与物体的运动情况无关。即使水平运动的物体，重力的冲量也不位零。 2、冲量的计算 （1）求某个恒力的冲量：用该力和力的作用时间的乘积。 （2）求合冲量的两种方法：可分别求每一个力的冲量，再求各冲量的矢量和；另外，如果各个力的作用时间相同，也可以先求合力，再用公式I合＝F合Δt求解。 3、求变力的冲量 （1）方向不变的变力的冲量，若力的大小随时间均匀变化，即力为时间的一次函数，则力F在某段时间t内的冲量I＝t，其中F1、F2为该段时间内初、末两时刻力的大小。 （2）作出F­t变化图线，图线与t轴所夹的面积即为变力的冲量。如图所示。 （3）对于易确定始、末时刻动量的情况，可用动量定理求解，即通过求Δp间接求出冲量。 ★特别提醒 1、对于变力的冲量计算，定义式不再适用，要根据题目条件选择合适的方法进行计算。 2、求合冲量的两种方法 （1）可分别求每一个力的冲量，再求各冲量的矢量和。 （2）另外，如果各个力的作用时间相同，也可以先求合力，再用公式Ⅰ合=F合Δt求解。 【归纳总结】冲量定义为力与作用时间的乘积，是矢量，公式为 I=Ft。变力冲量不能直接用此公式，需通过微元法将变力视为多个小段恒力，积分求总和，或利用动量定理，通过物体动量变化量求解，这是处理变力冲量的关键方法。 【典例1-1】如图所示为某款运动跑鞋宣传图，图片显示：“该款鞋鞋底采用EVA材料，能够有效吸收行走或运动时的冲击力，保护双脚免受伤害”。对于该款鞋，下列说法正确的是（　　） A．缩短双脚与鞋底的冲击时间，从而减小合力对双脚的冲量 B．延长双脚与鞋底的冲击时间，从而减小合力对双脚的冲量 C．延长双脚与鞋底的冲击时间，从而减小鞋底对双脚的平均冲击力 D．缩短双脚与鞋底的冲击时间，从而减小鞋底对双脚的平均冲击力 【典例1-2】（多选）如图甲所示，一只蜗牛黏在竖直的葡萄杆上不动。现保持葡萄杆的下端不动，将其上端沿顺时针方向缓慢转动，其简化模型如图乙所示，杆与竖直方向夹角在0~90°的转动过程中，下列分析正确的是（　　） A．初态葡萄杆竖直时蜗牛对葡萄杆的作用效果沿杆方向 B．葡萄杆对蜗牛的作用力保持不变 C．葡萄杆对蜗牛的作用力小于蜗牛对葡萄杆的作用力 D．蜗牛所受重力的冲量等于零 【典例1-3】如图所示，一个质量的物体放在水平地面上。对物体施加一个的拉力，使物体做初速度为零的匀加速直线运动。已知拉力与水平方向的夹角，物体与水平地面间的动摩擦因数，，，取重力加速度。 (1)求物体运动的加速度大小； (2)求物体在2.0s末的速度大小； (3)求前2.0s地面对物体的作用力的冲量多大。 跟踪训练1 物体受到如图所示的恒力F的作用，在光滑的水平面上做直线运动，则时间t内（    ） A．拉力的冲量大小为 B．拉力的冲量大小为 C．重力的冲量大小为0 D．合力的冲量大小为 跟踪训练2 （多选）如图所示，质量为m的物块静止在倾角为的斜面上，在与斜面夹角为的恒力F拉动下沿斜面向上运动，经过时间t运动过程中（　　） A．物块重力的冲量为0 B．物块所受拉力的冲量为 C．物块的动量一定增大 D．物块受到合力的冲量为 跟踪训练3 蹦床是一项运动员利用蹦床反弹到空中进行杂技技巧表现的竞技运动，它属于体操运动的一种，有“空中芭蕾”之称。一位蹦床运动员表演开始前站在蹦床上不动，运动时仅在竖直方向上运动，蹦床对运动员的弹力F随时间t的变化规律通过传感器用计算机绘制出来如图所示，不计空气阻力，取重力加速度，试结合图像，求： (1)运动员的质量； (2)内弹力F的冲量。 题型2 动量定理 1、动量定理 （1）内容：物体在一个运动过程中始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量。 （2）公式：mv′－mv＝F(t′－t)或p′－p＝I。 ★特别提醒 1、动量、动量的变化量、冲量、力都是矢量，解题时，先要规定正方向，与正方向相反的，要取负值。 2、恒力的冲量用恒力与力的作用时间的乘积表示，变力的冲量计算，要看题目条件确定；如果力随时间均匀变化，可取平均力代入公式求出；力不随时间均匀变化，就用I表示这个力的冲量，用其它方法间接求出。 3、只要涉及了力F和力的作用时间t，用牛顿第二定律能解答的问题、用动量定理也能解答，而用动量定理解题，更简捷。 2、用动量概念表示牛顿第二定律：由mv-mv0=Ft，得到，所以物体动量的变化率等于它受到的力，即，这是牛顿第二定律的动量表述。 【探究归纳】动量定理指合外力的冲量等于物体动量的变化量，公式为I =Δp或F合t = mv' - mv。它反映力对时间的累积效应，适用于恒力、变力及多过程问题，可用于求冲量、动量变化或力等，是动力学与运动学的重要桥梁。 【典例2-1】篮球比赛开始前，裁判一般会用反弹测试法测试篮球的充气情况．在某次测试中，裁判让一篮球从1.8m高处自由下落，经1.2s后篮球反弹到最高点，最高点的高度为1.25m，篮球的质量kg，重力加速度取10m/s²，不计空气阻力．则篮球对地面的平均作用力大小为（    ） A．12N B．60N C．66N D．72N 【典例2-2】（多选）一颗子弹以水平初速度射向在光滑水平面上以水平速度迎面滑来的木块，射穿后二者运动方向均不变。设子弹与木块间相互作用力恒定，木块最后动量为，则（　　） A．越大，木块最后的动量越大 B．越小，木块最后的动量越大 C．子弹质量越大，木块最后的动量越大 D．木块质量越小，木块最后的动量p越大 【典例2-3】如图（a）所示，质量为的物体静止在水平地面上，时刻，对物体施加一个水平向右的作用力，作用力随时间的变化关系如图（b）所示。已知物体与地面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小。求 (1)0~4s内力F做的功； (2)物体运动速度最大的时刻及最大速度的大小。 跟踪训练1 从2023年起，每年的4月23日将被命名为世界乒乓球日。关于乒乓球运动，下列说法正确的是（    ） A．球拍将飞来的乒乓球以原速率反向击出的过程，乒乓球的动能保持不变，动量变化 B．乒乓球被球拍击打出的过程，球拍对乒乓球的冲量方向与乒乓球末动量方向相反 C．一次击球过程中，球拍对乒乓球的冲量大小小于乒乓球对球拍的冲量大小 D．球拍对乒乓球的弹力越大，乒乓球的动量变化一定越大 跟踪训练2 （多选）一粒钢珠从静止状态开始自由下落，然后陷入泥潭中。若把在空中下落的过程称为过程Ⅰ，进入泥潭直到停止的过程称为过程Ⅱ，不计空气阻力，则（　　） A．过程I中钢珠的动量的改变量等于重力的冲量 B．过程Ⅱ中阻力的冲量的大小等于过程I中重力的冲量的大小 C．I、Ⅱ两个过程中合外力的总冲量等于零 D．过程Ⅱ中钢珠的动量的改变量等于零 跟踪训练3 质量为1kg的物块，置于水平地面上。在水平力F的作用下由静止开始运动，F与时间t的关系如图所示。已知物块与地面间的动摩擦因数为0.1，最大静摩擦力大小与滑动摩擦力大小相等，重力加速度大小g取10m/s2。求： (1)前4s内物块所受合外力的冲量； (2)前4s内，合外力对物块所做的功。 题型3 动量定理的应用 1、定性分析有关现象 （1）物体的动量变化量一定时，力的作用时间越短，力就越大；力的作用时间越长，力就越小。 （2）作用力一定时，力的作用时间越长，动量变化量越大；力的作用时间越短，动量变化量越小。 2、应用动量定理定量计算的一般步骤 （1）选定研究对象，明确运动过程。 （2）进行受力分析和运动的初、末状态分析。 （3）选定正方向，根据动量定理列方程求解。 3、两类柱状模型 （1）流体类柱状模型 流体及 其特点 通常液体流、气体流等被广义地视为“流体”，质量具有连续性，通常已知密度ρ 分 析 步 骤 1 建立“柱状模型”，沿流速v的方向选取一段柱形流体，其横截面积为S 2 微元研究，作用时间Δt内的一段柱形流体的长度为Δl，对应的质量为Δm＝ρSvΔt 3 建立方程，应用动量定理研究这段柱状流体 （2）微粒类柱状模型 微粒及 其特点 通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积内粒子数n 分 析 步 骤 1 建立“柱状模型”，沿运动的方向选取一段微元，柱体的横截面积为S 2 微元研究，作用时间Δt内一段柱形流体的长度为Δl，对应的体积为ΔV＝Sv0Δt，则微元内的粒子数N＝nv0SΔt 3 先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘以N计算 ★特别提醒 1、对于流体冲击类的问题，常用的解题思路是：取微元→计算动量变化→列方程。 2、一个解题技巧是：设出时间Δt，利用时间Δt构建方程，最后往往可以把Δt消掉。 【归纳总结】动量定理应用中，流体类柱状模型取Δt内流体为研究对象，用密度、流速等算质量，求动量变化得作用力，如水流冲击；微粒类柱状模型选Δt内微粒群，按动量定理求碰撞平均力，像气体分子撞击器壁，均需选柱体微元分析。 【典例3-1】浙江安吉云上草原景区推出“窝囊版”蹦极，很多网友纷纷前往景区打卡。为了研究蹦极过程，做以下简化：忽略阻力，将游客视为质点，运动始终沿竖直方向，游客从O点自由下落，至A点弹性绳自然伸直，经过合力为零的B点到达最低点C，然后弹起，整个过程中弹性绳始终在弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．在O→B过程和在B→C过程中蹦极者动量的变化量相等 B．在O→A→B→C过程中蹦极者受到的重力冲量等于弹性绳弹力冲量 C．在A→B→C过程中任意一段时间内，蹦极者受到合力的冲量方向始终向上 D．在O→A过程中蹦极者受到的重力冲量等于动量的改变量 【典例3-2】（多选）如图所示，静止在光滑水平面上的小车质量M=20kg。从水枪（位置固定不动）中喷出的水柱的横截面积S=10cm2，水的密度ρ=1.0×103kg/m3。若用水枪喷出的水从车后沿水平方向冲击小车的前壁，且冲击到小车前壁的水全部沿前壁流进小车中，当有质量m=5kg的水进入小车时，小车获得速度v=2m/s，以下正确的是（　　） A．水枪喷出水柱的速度大小为10m/s B．水枪喷出水柱的速度大小为8m/s C．此时小车的加速度大小为2.56m/s2 D．此时小车的加速度大小为3.2m/s2 【典例3-3】上海中心大厦现为中国第一高楼、世界第三高楼，其建筑高度为632米。上海中心在建造时，为确保施工安全，一旦风速超过12m/s，就必须停止施工。假设风速为，空气的密度，建筑工人的高度，平均宽度，风遇到建筑工人后的速度可认为是零，由此估算大风对建筑工人的冲击力大小为多少？ 跟踪训练1 水切割又称水刀，即高压水射流切割技术，现已逐渐成为工业切割技术方面的主流切割方式。已知水流为柱状，水流以速度v垂直射到被切割的钢板上，之后垂直钢板的速度减为零，水的密度为ρ，则水流对钢板的压强大小为（　　） A． B．ρv C．ρv2 D．ρv3 跟踪训练2 （多选）将一枚鸡蛋从离地面3.2m处由静止释放，分别落到海绵垫和水泥地上，鸡蛋与两者撞击后速度均变为零，不计空气阻力，重力加速度取，下列说法正确的是（　　） A．鸡蛋即将落到水泥地时的速度为8m/s B．鸡蛋落到水泥地上容易破碎，是因为水泥地对鸡蛋的冲量大 C．鸡蛋落到水泥地上容易破碎，是因为鸡蛋落在水泥地的动量变化大 D．鸡蛋落到海绵垫不容易破碎，是因为鸡蛋落在海绵垫上的动量变化率小 跟踪训练3 古人云：“绳锯木断、水滴石穿”，最早出自东汉·班固《汉书·枚乘传》。该成语的意思是指水滴不断地滴，可以滴穿石头；比喻坚持不懈，集细微的力量也能成就难能的功劳。请你根据下面所提供的信息，估算水对石头冲击力的大小。已知某小瀑布落差为h＝20m，水流量为，水的密度。假设水在最高点的速度为零，落到大石头上竖直溅起最大高度为。水与石头相互作用过程中不计水的重力，取重力加速度。 【能力培优练】 1．历史上关于运动量度的争论，一种观点认为应该用物理量来量度运动的“强弱”，代表人物是笛卡儿：另一种观点认为应该用物理量来量度运动的“强弱”，代表人物是莱布尼兹。经过半个多世纪的争论，人们终于认识到动量和能量在运动学中的重要性。关于这两种观点争论，下列说法正确的是（　　） A．用来量度运动的“强弱”是正确的，用物理量来量度运动的“强弱”错误的。 B．用来量度运动的“强弱”是错误的，用物理量来量度运动的“强弱”正确的。 C．两种观点实际是从不同角度量度运动的“强弱”，观点一是从动量角度来描述物体在力阻碍下能运动多长时间，即力可表示为： D．两种观点实际是从不同角度量度运动的“强弱”，观点二是从动能角度来描述物体在力阻碍下能运动多长距离，即力可表示为： 2．如图所示，某学生练习用头颠球。某一次足球静止自由下落80cm，被重新顶起，离开头部后竖直上升的最大高度仍为80cm。已知足球与头部的作用时间为0.1s，足球的质量为0.4kg，重力加速度g取10，不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．足球下落到与头部刚接触时动量大小为16kg·m/s B．足球与头部作用过程中动量变化量大小为0 C．足球从最高点下落至重新回到最高点的过程中重力的冲量大小为3.2N·s D．头部对足球的平均作用力为36N 3．如图所示，质量为的物块放到水平木板上，用手托住木板使物块和木板一起在竖直平面内以大小为的速度做匀速圆周运动，从最低点到最高点所用时间为，在此过程中，木板始终保持水平，下列说法正确的是（　　） A．支持力的冲量大小为 B．摩擦力的冲量大小为零 C．合力的冲量为零 D．木板对物块的作用力冲量大小为 4．近来看了世界杯亚洲区预选赛，同学们纷纷表示要刻苦训练。如图所示，校队足球运动员训练罚点球，足球放置在球门中央的正前方点，两次射门，足球分别水平垂直打在水平横梁上的点和竖直梁上的点后原速率弹回，到达、两点瞬间速度大小为、，从射出到打到、两点的时间是、，两次撞击的平均作用力是、，不计空气作用力，两次撞击时间近似相等，则（　　） A． B． C． D． 5．如图（a）所示，质量为的小球放在光滑的水平面上，在界线的左侧始终只受到水平向右的恒力作用，在的右侧始终只受到水平向左的恒力作用。小球从点由静止开始运动，取向右为正方向，运动的图像如图（b）所示，由图可知，下列说法正确的是（　　） A． B．到的过程中，的冲量大小等于的冲量大小 C．到的过程中，小球的动量变化为0 D．到的过程中，的冲量大于的冲量 6．如图所示，用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层，设水柱直径为D，水流速度大小为v，方向水平向右。水柱垂直煤层表面，水柱冲击煤层后水的速度变为零，水的密度为ρ，高压水枪的重力不可忽略，手持高压水枪操作，下列说法正确的是（　　） A．水枪单位时间内喷出水的质量为 B．高压水枪的喷水功率为 C．水柱对煤层的平均冲击力大小为 D．为使高压水枪保持静止，手对高压水枪的作用力方向为斜向左上方 7．下列物理量中属于矢量且用国际单位制中的基本单位表示正确的是（　　） A．磁感应强度 B．冲量 C．电流强度 D．磁通量 8．比亚迪作为全球新能源汽车的领军企业，其车型在安全性能上持续创新。如图甲所示，在比亚迪某款车型的安全气囊性能测试中，可视为质点的头锤从距气囊上表面高 处由静止释放，与正下方的气囊发生碰撞。以头锤到气囊上表面为计时起点，气囊对头锤竖直方向作用力 F随时间 t的变化规律可近似用图乙所示的图像描述。已知头锤质量 ，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．头锤落到气囊上表面时的速度大小为4m/s B．碰撞过程中F的冲量大小为 C．碰撞结束后头锤上升的最大高度为1.8m D．碰撞过程中系统损失的机械能为30J 9．（多选）一质量为的物块在合外力F的作用下从静止开始沿直线运动。F随时间t变化的图线如图所示，则（　　） A．时物块的速率为 B．时物块动量大小为 C．到力F冲量的大小为 D．前动量的变化量为 10．（多选）滑草场由一条倾斜直轨道和一条水平轨道平滑连接组成，简化图如图所示．游客坐滑草车从轨道顶端由静止出发，经时间t到达斜面底端，到达底端时速度大小为v，游客和滑草车总质量为m，下滑过程中所受摩擦力不变，重力加速度为g，则从斜面顶端下滑到底端过程中，游客和滑草车（    ） A．动量变化量的大小为 B．所受重力的冲量大小为 C．所受摩擦力的冲量大小为 D．机械能减少了 11．（多选）如图所示，一轻弹簧原长为，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道的底端A处，轨道长为，B为中点。在轨道的右侧有一高为的水平桌面。用质量为的小物块从B点开始缓慢压缩弹簧，当压缩量达到时撤去外力，小物块从C点飞出后恰好从D点沿水平方向滑上桌面。已知小物块与直轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度大小为，，，则（　　） A．C点与桌面左端D点的水平距离为 B．小物块运动到C点时重力的瞬时功率为 C．弹簧的最大弹性势能为 D．小物块从C点运动到D点的过程中动量变化量的大小为 12．（多选）如图，容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度为h，在圆筒侧壁开一个小孔P，筒内的水从小孔水平射出，设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为x，小孔P到水面的距离为y。短时间内筒内水面高度几乎不变，且可以认为小水滴从水面处运动至小孔P的过程中机械能守恒。重力加速度为g，不计空气阻力，在这段时间内，下列说法错误的是（　　） A．水从小孔P射出的速度大小为 B．y越小，小孔出水的速度v越小，则x越小 C．从小孔喷出的小水滴在空中运动的过程中，动量变化率不是定值 D．从小孔喷出但未落地的水的总质量m与y有关，当时，m有最大值 13．（多选）如图为一个简单无序系统模型，质量为的小球M和质量为m的小球N用两根长度均为l的轻质细杆a、b连接，a杆一端可绕固定点O自由转动，b杆可绕小球M自由转动。开始时，两球与O点在同一高度且a、b两杆在同一直线上。时刻，将两球同时由静止释放，两球将在竖直面内做无序运动。时刻。a杆与竖直方向的夹角，小球N恰好到达与O点等高处且速度方向水平向右。已知重力加速度为g，不计摩擦和空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．时刻，小球M的速度为零 B．时刻，小球N的速度大小为 C．0~内，a、b两杆对小球M做功之和为 D．0~内，b杆对小球N的冲量大小为 14．跳台滑雪是冬季奥运会最具观赏性的项目之一。图为简化的跳台滑雪的雪道示意图，现有运动员穿专用滑雪板从助滑道上滑下后，从跳台A处沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆。已知运动员（含装备）的质量m = 80 kg，测得AB间的距离L = 40 m，斜坡与水平方向的夹角θ = 30°，取重力加速度g = 10 m/s2，不计空气阻力。求运动员（含装备） (1)从A处运动到B处所用时间t； (2)从A处运动到B处过程中，动量变化量Δp的大小和方向； (3)在B处着陆前瞬间的动能Ek。 15．生活中经常出现手机滑落而导致损坏的现象，手机套能有效的保护手机。现有一部质量为的手机（包括手机套），从离地面高处无初速度下落，落到地面后，反弹的高度为，由于手机套的缓冲作用，手机与地面的作用时间为。不计空气阻力，取，求： (1)手机在下落过程中重力冲量的大小； (2)地面对手机平均作用力的大小。 16．如图，相距的两平台位于同一水平面内，二者之间用传送带相接。传送带向右匀速运动，其速度的大小可以由驱动系统根据需要设定。质量的载物箱（可视为质点），以初速度自左侧平台滑上传送带。载物箱与传送带间的动摩擦因数，重力加速度取。 (1)若，求载物箱通过传送带所需的时间； (2)若，载物箱滑上传送带后，传送带速度突然变为零。求载物箱从左侧平台向右侧平台运动的过程中，传送带对它的冲量。 【链接高考】 1．（2025·湖北·高考真题）一个宽为L的双轨推拉门由两扇宽为的门板组成。门处于关闭状态，其俯视图如图（a）所示。某同学用与门板平行的水平恒定拉力作用在一门板上，一段时间后撤去拉力，该门板完全运动到另一边，且恰好不与门框发生碰撞，其俯视图如图（b）所示。门板在运动过程中受到的阻力与其重力大小之比为，重力加速度大小为g。若要门板的整个运动过程用时尽量短，则所用时间趋近于（　　） A． B． C． D． 2．（2025·广东·高考真题）（多选）如图所示，无人机在空中作业时，受到一个方向不变、大小随时间变化的拉力。无人机经飞控系统实时调控，在拉力、空气作用力和重力作用下沿水平方向做匀速直线运动。已知拉力与水平面成30°角，其大小F随时间t的变化关系为F = F0－kt（F ≠ 0，F0、k均为大于0的常量），无人机的质量为m，重力加速度为g。关于该无人机在0到T时间段内（T是满足F > 0的任一时刻），下列说法正确的有（   ） A．受到空气作用力的方向会变化 B．受到拉力的冲量大小为 C．受到重力和拉力的合力的冲量大小为 D．T时刻受到空气作用力的大小为 3．（2024·安徽·高考真题）（多选）一倾角为足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图（1）所示。从开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力和，其大小与时间t的关系如图（2）所示。已知物块的质量为1.2kg，重力加速度g取，不计空气阻力。则（    ） A．物块始终做匀变速曲线运动 B．时，物块的y坐标值为2.5m C．时，物块的加速度大小为 D．时，物块的速度大小为 4．（2025·广西·高考真题）图甲为某智能分装系统工作原理示意图，每个散货经倾斜传送带由底端A运动到顶端B后水平抛出，撞击冲量式传感器使其输出一个脉冲信号，随后竖直掉入以与水平传送带共速度的货箱中，此系统利用传感器探测散货的质量，自动调节水平传送带的速度，实现按规格分装。倾斜传送带与水平地面夹角为，以速度匀速运行。若以相同的时间间隔将散货以几乎为0的速度放置在倾斜传送带底端A，从放置某个散货时开始计数，当放置第10个散货时，第1个散货恰好被水平抛出。散货与倾斜传送带间的动摩擦因数，到达顶端前已与传送带共速。设散货与传感器撞击时间极短，撞击后竖直方向速度不变，水平速度变为0。每个长度为d的货箱装总质为M的一批散货。若货箱之间无间隔，重力加速度为g。分装系统稳定运行后，连续装货，某段时间传感器输出的每个脉冲信号与横轴所围面积为I如图乙，求这段时间内： (1)单个散货的质量。 (2)水平传送带的平均传送速度大小。 (3)倾斜传送带的平均输出功率。 5．（2025·河北·高考真题）如图，一长为2m的平台，距水平地面高度为1.8m。质量为0.01kg的小物块以3m/s的初速度从平台左端水平向右运动。物块与平台、地面间的动摩擦因数均为0.2。物块视为质点，不考虑空气阻力，重力加速度g取10m/s2。 (1)求物块第一次落到地面时距平台右端的水平距离。 (2)若物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，物块从离开平台到弹起至最大高度所用时间共计1s。求物块第一次与地面接触过程中，所受弹力冲量的大小，以及物块弹离地面时水平速度的大小。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2. 动量定理 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 冲量 1 题型2 动量定理 6 题型3 动量定理的应用 10 【能力培优练】 15 【链接高考】 31 【重难题型讲解】 题型1 冲量 1、冲量的定义：力与力的作用时间的乘积。 （1）定义式：I＝FΔt。 （2）物理意义：冲量是反映力的作用对时间的累积效应的物理量，力越大，作用时间越长，冲量就越大。 （3）单位：在国际单位制中，冲量的单位是牛秒，符号为N·s。 （4）矢量性：如果力的方向恒定，则冲量的方向与力的方向相同；如果力的方向是变化的，则冲量的方向与相应时间内物体动量变化量的方向相同。 ★特别提醒 1、冲量的性质 （1）过程量：冲量描述的是力的作用对时间的积累效应，取决于力和时间这两个因素，所以求冲量时一定要明确所求的是哪一个力在哪一段时间内的冲量。 （2）矢量性：冲量的方向与力的方向相同，与相应时间内物体动量变化量的方向相同。 2、对冲量表达式的理解 （1）只要有力就有冲量。（因为时间一定在累积） （2）冲量的大小与物体的运动情况无关。即使水平运动的物体，重力的冲量也不位零。 2、冲量的计算 （1）求某个恒力的冲量：用该力和力的作用时间的乘积。 （2）求合冲量的两种方法：可分别求每一个力的冲量，再求各冲量的矢量和；另外，如果各个力的作用时间相同，也可以先求合力，再用公式I合＝F合Δt求解。 3、求变力的冲量 （1）方向不变的变力的冲量，若力的大小随时间均匀变化，即力为时间的一次函数，则力F在某段时间t内的冲量I＝t，其中F1、F2为该段时间内初、末两时刻力的大小。 （2）作出F­t变化图线，图线与t轴所夹的面积即为变力的冲量。如图所示。 （3）对于易确定始、末时刻动量的情况，可用动量定理求解，即通过求Δp间接求出冲量。 ★特别提醒 1、对于变力的冲量计算，定义式不再适用，要根据题目条件选择合适的方法进行计算。 2、求合冲量的两种方法 （1）可分别求每一个力的冲量，再求各冲量的矢量和。 （2）另外，如果各个力的作用时间相同，也可以先求合力，再用公式Ⅰ合=F合Δt求解。 【归纳总结】冲量定义为力与作用时间的乘积，是矢量，公式为 I=Ft。变力冲量不能直接用此公式，需通过微元法将变力视为多个小段恒力，积分求总和，或利用动量定理，通过物体动量变化量求解，这是处理变力冲量的关键方法。 【典例1-1】如图所示为某款运动跑鞋宣传图，图片显示：“该款鞋鞋底采用EVA材料，能够有效吸收行走或运动时的冲击力，保护双脚免受伤害”。对于该款鞋，下列说法正确的是（　　） A．缩短双脚与鞋底的冲击时间，从而减小合力对双脚的冲量 B．延长双脚与鞋底的冲击时间，从而减小合力对双脚的冲量 C．延长双脚与鞋底的冲击时间，从而减小鞋底对双脚的平均冲击力 D．缩短双脚与鞋底的冲击时间，从而减小鞋底对双脚的平均冲击力 【答案】C 【详解】AB．由动量定理可知，无论是缩短还是延长双脚与鞋底的冲击时间，合力对双脚的冲量都保持不变。故AB错误； CD．由可知，延长双脚与鞋底的冲击时间，可以减小鞋底对双脚的平均冲击力。故C正确，D错误。 故选C。 【典例1-2】（多选）如图甲所示，一只蜗牛黏在竖直的葡萄杆上不动。现保持葡萄杆的下端不动，将其上端沿顺时针方向缓慢转动，其简化模型如图乙所示，杆与竖直方向夹角在0~90°的转动过程中，下列分析正确的是（　　） A．初态葡萄杆竖直时蜗牛对葡萄杆的作用效果沿杆方向 B．葡萄杆对蜗牛的作用力保持不变 C．葡萄杆对蜗牛的作用力小于蜗牛对葡萄杆的作用力 D．蜗牛所受重力的冲量等于零 【答案】AB 【详解】A．初态蜗牛受到竖直向下的重力与葡萄杆对蜗牛的作用力等大反向，所以蜗牛对葡萄杆的作用效果沿杆向下，故A正确； B．由平衡条件可知，葡萄杆对蜗牛的作用力与蜗牛的重力等大反向，故葡萄杆对蜗牛的作用力保持不变，故B正确； C．根据牛顿第三定律，葡萄杆对蜗牛的作用力与蜗牛对葡萄杆的作用力大小相等，方向相反，故C错误； D．蜗牛受到的重力的冲量 故D错误。 故选AB。 【典例1-3】如图所示，一个质量的物体放在水平地面上。对物体施加一个的拉力，使物体做初速度为零的匀加速直线运动。已知拉力与水平方向的夹角，物体与水平地面间的动摩擦因数，，，取重力加速度。 (1)求物体运动的加速度大小； (2)求物体在2.0s末的速度大小； (3)求前2.0s地面对物体的作用力的冲量多大。 【答案】(1) (2)1.0m/s (3) 【详解】（1）对物体进行受力分析，如图所示 以向右为正方向，根据牛顿第二定律以及平衡条件可以得到，水平方向 竖直方向 根据摩擦力公式 联立代入数据可以得到 （2）根据速度与时间的关系可以得到 （3）前2.0s地面对物体的作用力大小 由冲量定义式，可得地面对物体作用力的冲量大小为 跟踪训练1 物体受到如图所示的恒力F的作用，在光滑的水平面上做直线运动，则时间t内（    ） A．拉力的冲量大小为 B．拉力的冲量大小为 C．重力的冲量大小为0 D．合力的冲量大小为 【答案】D 【详解】A B.根据冲量的定义可得，拉力的冲量为Ft，故AB错误； C.根据冲量的定义可得，重力的冲量为，故C错误； D.物体的合力水平向右，大小为，故合力的冲量为，D正确。 故选D。 跟踪训练2 （多选）如图所示，质量为m的物块静止在倾角为的斜面上，在与斜面夹角为的恒力F拉动下沿斜面向上运动，经过时间t运动过程中（　　） A．物块重力的冲量为0 B．物块所受拉力的冲量为 C．物块的动量一定增大 D．物块受到合力的冲量为 【答案】BC 【详解】A．根据冲量的计算公式可知，物块所受重力的冲量为mgt，故A错误； B．根据冲量的计算公式可知，物块所受拉力的冲量为，故B正确； C．由于物体从静止开始向上运动，一定做加速运动，速度不断增大，因此动量不断增大，故C正确； D．物块受到合力的冲量应为拉力、重力、可能受摩擦力在斜面方向冲量的合冲量，不为，故D错误。 故选BC。 跟踪训练3 蹦床是一项运动员利用蹦床反弹到空中进行杂技技巧表现的竞技运动，它属于体操运动的一种，有“空中芭蕾”之称。一位蹦床运动员表演开始前站在蹦床上不动，运动时仅在竖直方向上运动，蹦床对运动员的弹力F随时间t的变化规律通过传感器用计算机绘制出来如图所示，不计空气阻力，取重力加速度，试结合图像，求： (1)运动员的质量； (2)内弹力F的冲量。 【答案】(1)50kg (2) 【详解】（1）由图可知，前3s内，运动员静止，蹦床对运动员的支持力为500N，根据二力平衡 解得 （2）前3s内，运动员静止，蹦床对运动员的支持力一直为500N ，故3.0s内弹力F的冲量 方向竖直向上。 题型2 动量定理 1、动量定理 （1）内容：物体在一个运动过程中始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量。 （2）公式：mv′－mv＝F(t′－t)或p′－p＝I。 ★特别提醒 1、动量、动量的变化量、冲量、力都是矢量，解题时，先要规定正方向，与正方向相反的，要取负值。 2、恒力的冲量用恒力与力的作用时间的乘积表示，变力的冲量计算，要看题目条件确定；如果力随时间均匀变化，可取平均力代入公式求出；力不随时间均匀变化，就用I表示这个力的冲量，用其它方法间接求出。 3、只要涉及了力F和力的作用时间t，用牛顿第二定律能解答的问题、用动量定理也能解答，而用动量定理解题，更简捷。 2、用动量概念表示牛顿第二定律：由mv-mv0=Ft，得到，所以物体动量的变化率等于它受到的力，即，这是牛顿第二定律的动量表述。 【探究归纳】动量定理指合外力的冲量等于物体动量的变化量，公式为I =Δp或F合t = mv' - mv。它反映力对时间的累积效应，适用于恒力、变力及多过程问题，可用于求冲量、动量变化或力等，是动力学与运动学的重要桥梁。 【典例2-1】篮球比赛开始前，裁判一般会用反弹测试法测试篮球的充气情况．在某次测试中，裁判让一篮球从1.8m高处自由下落，经1.2s后篮球反弹到最高点，最高点的高度为1.25m，篮球的质量kg，重力加速度取10m/s²，不计空气阻力．则篮球对地面的平均作用力大小为（    ） A．12N B．60N C．66N D．72N 【答案】D 【详解】根据位移—时间公式可得， 解得s，s 则可知篮球与地面作用的时间为s 根据速度—时间公式可得， 根据动量定理，取向上为正方向，可得 代入数据解得N 根据牛顿第三定律可知，篮球对地面的平均作用力大小为72N。 故选D。 【典例2-2】（多选）一颗子弹以水平初速度射向在光滑水平面上以水平速度迎面滑来的木块，射穿后二者运动方向均不变。设子弹与木块间相互作用力恒定，木块最后动量为，则（　　） A．越大，木块最后的动量越大 B．越小，木块最后的动量越大 C．子弹质量越大，木块最后的动量越大 D．木块质量越小，木块最后的动量p越大 【答案】AC 【详解】AB．由于子弹和木块间的作用力恒定，以木块的初速度方向为正方向，由动量定理可得，木块最后的动量满足 解得 二者均做减速运动，根据牛顿第二定律则有 木块和子弹相对位移即为木块的长度，则有 故子弹的初速度越大，作用时间越短，木块最后动量越大，子弹的初速度越小，作用时间越长，木块最后动量越小，A正确，B错误； CD．对于木块而言，其最后动量满足 在作用力大小不变的情况下，子弹的质量越大，子弹的加速度就越小，结合上述分析可知，作用时间越短，木块最后的动量越大，同理，木块的质量越小，木块的加速度就越大，作用时间越长，木块最后的动量越小， C正确，D错误。 故选AC。 【典例2-3】如图（a）所示，质量为的物体静止在水平地面上，时刻，对物体施加一个水平向右的作用力，作用力随时间的变化关系如图（b）所示。已知物体与地面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小。求 (1)0~4s内力F做的功； (2)物体运动速度最大的时刻及最大速度的大小。 【答案】(1) (2)t=7s， 【详解】（1）前4s内，根据牛顿第二定律有 根据位移—时间公式有 力F做功 解得 （2）当 时物体的加速度为0，速度最大，则时F=f，此时速度最大，根据图像与时间轴围成的面积表示力F的冲量，0~7s内有 设向右为正方向，0~7s根据动量定理有 其中，解得最大速度 跟踪训练1 从2023年起，每年的4月23日将被命名为世界乒乓球日。关于乒乓球运动，下列说法正确的是（    ） A．球拍将飞来的乒乓球以原速率反向击出的过程，乒乓球的动能保持不变，动量变化 B．乒乓球被球拍击打出的过程，球拍对乒乓球的冲量方向与乒乓球末动量方向相反 C．一次击球过程中，球拍对乒乓球的冲量大小小于乒乓球对球拍的冲量大小 D．球拍对乒乓球的弹力越大，乒乓球的动量变化一定越大 【答案】A 【详解】A．动量是矢量，既有大小又有方向，当球拍以原速率反向击出的过程，乒乓球的速率不变，但是方向发生了改变，因此乒乓球的动量发生了改变，故A正确； B．击球过程中，球拍对乒乓球的冲量方向与拍面对乒乓球的弹力同向，与乒乓球末动量方向相同，故B错误； C．用球拍打击球时，球拍对乒乓球的力与乒乓球对球拍的力是一对相互作用力，大小相等、作用时间相同、冲量大小相等，故C错误； D．由动量定理可知，乒乓球的动量变化量等于合外力的冲量，则乒乓球的动量变化量除了与力的大小方向有关，还与力的作用时间有关，故D错误。 故选A。 跟踪训练2 （多选）一粒钢珠从静止状态开始自由下落，然后陷入泥潭中。若把在空中下落的过程称为过程Ⅰ，进入泥潭直到停止的过程称为过程Ⅱ，不计空气阻力，则（　　） A．过程I中钢珠的动量的改变量等于重力的冲量 B．过程Ⅱ中阻力的冲量的大小等于过程I中重力的冲量的大小 C．I、Ⅱ两个过程中合外力的总冲量等于零 D．过程Ⅱ中钢珠的动量的改变量等于零 【答案】AC 【详解】A．根据动量定理可知，在过程I中，钢珠从静止状态自由下落，不计空气阻力，小球所受的合外力即为重力，因此钢珠的动量的改变量等于重力的冲量，故A正确； B．根据动量定理可知，过程Ⅱ中阻力的冲量的大小等于过程I中重力的冲量的大小与过程Ⅱ中重力的冲量的大小之和，故B错误； CD．在I、Ⅱ两个过程中，钢珠动量的改变量各不为零，且它们大小相等、方向相反，但从整体看，钢珠动量的改变量为零，故合外力的总冲量等于零，故C正确，D错误。 故选AC。 跟踪训练3 质量为1kg的物块，置于水平地面上。在水平力F的作用下由静止开始运动，F与时间t的关系如图所示。已知物块与地面间的动摩擦因数为0.1，最大静摩擦力大小与滑动摩擦力大小相等，重力加速度大小g取10m/s2。求： (1)前4s内物块所受合外力的冲量； (2)前4s内，合外力对物块所做的功。 【答案】(1)0.5N⋅s (2)0.125J 【详解】（1）物块所受的最大摩擦力为 由受力分析可知，物块在0~1s内静止，在1~3s内加速，在3~4减速，所以3s末时，物块的速度最大，1~4s内，由动量定理可得 其中， 解得， （2）由动能定理可得 解得 题型3 动量定理的应用 1、定性分析有关现象 （1）物体的动量变化量一定时，力的作用时间越短，力就越大；力的作用时间越长，力就越小。 （2）作用力一定时，力的作用时间越长，动量变化量越大；力的作用时间越短，动量变化量越小。 2、应用动量定理定量计算的一般步骤 （1）选定研究对象，明确运动过程。 （2）进行受力分析和运动的初、末状态分析。 （3）选定正方向，根据动量定理列方程求解。 3、两类柱状模型 （1）流体类柱状模型 流体及 其特点 通常液体流、气体流等被广义地视为“流体”，质量具有连续性，通常已知密度ρ 分 析 步 骤 1 建立“柱状模型”，沿流速v的方向选取一段柱形流体，其横截面积为S 2 微元研究，作用时间Δt内的一段柱形流体的长度为Δl，对应的质量为Δm＝ρSvΔt 3 建立方程，应用动量定理研究这段柱状流体 （2）微粒类柱状模型 微粒及 其特点 通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积内粒子数n 分 析 步 骤 1 建立“柱状模型”，沿运动的方向选取一段微元，柱体的横截面积为S 2 微元研究，作用时间Δt内一段柱形流体的长度为Δl，对应的体积为ΔV＝Sv0Δt，则微元内的粒子数N＝nv0SΔt 3 先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘以N计算 ★特别提醒 1、对于流体冲击类的问题，常用的解题思路是：取微元→计算动量变化→列方程。 2、一个解题技巧是：设出时间Δt，利用时间Δt构建方程，最后往往可以把Δt消掉。 【归纳总结】动量定理应用中，流体类柱状模型取Δt内流体为研究对象，用密度、流速等算质量，求动量变化得作用力，如水流冲击；微粒类柱状模型选Δt内微粒群，按动量定理求碰撞平均力，像气体分子撞击器壁，均需选柱体微元分析。 【典例3-1】浙江安吉云上草原景区推出“窝囊版”蹦极，很多网友纷纷前往景区打卡。为了研究蹦极过程，做以下简化：忽略阻力，将游客视为质点，运动始终沿竖直方向，游客从O点自由下落，至A点弹性绳自然伸直，经过合力为零的B点到达最低点C，然后弹起，整个过程中弹性绳始终在弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．在O→B过程和在B→C过程中蹦极者动量的变化量相等 B．在O→A→B→C过程中蹦极者受到的重力冲量等于弹性绳弹力冲量 C．在A→B→C过程中任意一段时间内，蹦极者受到合力的冲量方向始终向上 D．在O→A过程中蹦极者受到的重力冲量等于动量的改变量 【答案】D 【详解】A．在O→B过程和在B→C过程中蹦极者动量的变化量大小相等，但方向相反，故A错误； B．在O→A→B→C过程中蹦极者受到的重力冲量于弹性绳弹力冲量大小相等，方向相反，故B错误； C．在A→B过程中，蹦极者受到合力的冲量方向竖直向下，在B→C过程中，蹦极者受到合力的冲量方向竖直向上，故C错误； D．在O→A过程中，蹦极者只受到的重力，无弹力，则重力冲量等于动量的改变量，故D正确。 故选D。 【典例3-2】（多选）如图所示，静止在光滑水平面上的小车质量M=20kg。从水枪（位置固定不动）中喷出的水柱的横截面积S=10cm2，水的密度ρ=1.0×103kg/m3。若用水枪喷出的水从车后沿水平方向冲击小车的前壁，且冲击到小车前壁的水全部沿前壁流进小车中，当有质量m=5kg的水进入小车时，小车获得速度v=2m/s，以下正确的是（　　） A．水枪喷出水柱的速度大小为10m/s B．水枪喷出水柱的速度大小为8m/s C．此时小车的加速度大小为2.56m/s2 D．此时小车的加速度大小为3.2m/s2 【答案】AC 【详解】AB．流进小车的水与小车组成的系统动量守恒，设当进入质量为m的水后，水柱速度为v0，则 即，故A正确，B错误； CD．质量为m的水流进小车后，在极短的时间Δt内，冲击小车的水的质量 设此时水对车的冲击力为F，则车对水的作用力为−F，由动量定理有 得 小车的加速度，故C正确，D错误。 故选AC。 【典例3-3】上海中心大厦现为中国第一高楼、世界第三高楼，其建筑高度为632米。上海中心在建造时，为确保施工安全，一旦风速超过12m/s，就必须停止施工。假设风速为，空气的密度，建筑工人的高度，平均宽度，风遇到建筑工人后的速度可认为是零，由此估算大风对建筑工人的冲击力大小为多少？ 【答案】 【详解】单位时间撞击建筑工人的大风的质量为 其中 根据动量定理 解得大风对建筑工人的冲击力大小为 跟踪训练1 水切割又称水刀，即高压水射流切割技术，现已逐渐成为工业切割技术方面的主流切割方式。已知水流为柱状，水流以速度v垂直射到被切割的钢板上，之后垂直钢板的速度减为零，水的密度为ρ，则水流对钢板的压强大小为（　　） A． B．ρv C．ρv2 D．ρv3 【答案】C 【详解】设在选取的极短时间内，水刀喷出水的质量为，水柱的截面积为S，则有 以内打在钢板表面质量为的这部分水作为研究对象，取水的初速度方向为正方向，由动量定理得 联立解得 根据牛顿第三定律知，钢板表面受到的压力 水流对钢板的压强 联立可得 故选C。 跟踪训练2 （多选）将一枚鸡蛋从离地面3.2m处由静止释放，分别落到海绵垫和水泥地上，鸡蛋与两者撞击后速度均变为零，不计空气阻力，重力加速度取，下列说法正确的是（　　） A．鸡蛋即将落到水泥地时的速度为8m/s B．鸡蛋落到水泥地上容易破碎，是因为水泥地对鸡蛋的冲量大 C．鸡蛋落到水泥地上容易破碎，是因为鸡蛋落在水泥地的动量变化大 D．鸡蛋落到海绵垫不容易破碎，是因为鸡蛋落在海绵垫上的动量变化率小 【答案】AD 【详解】A．鸡蛋即将落到水泥地时的速度为 选项A正确； BCD．鸡蛋落到水泥地上，鸡蛋动量的变化量是一定的，即受到水泥地的冲量是一定的，落到水泥地上时作用时间较短，根据动量定理可知，鸡蛋的动量变化率较大，即鸡蛋和水泥地的作用力较大，则容易破碎；同理可知，鸡蛋落到海绵垫不容易破碎，是因为鸡蛋落在海绵垫上时动量变化量一定，作用时间较长，作用力较小，即动量变化率小，选项D正确，BC错误。 故选AD。 跟踪训练3 古人云：“绳锯木断、水滴石穿”，最早出自东汉·班固《汉书·枚乘传》。该成语的意思是指水滴不断地滴，可以滴穿石头；比喻坚持不懈，集细微的力量也能成就难能的功劳。请你根据下面所提供的信息，估算水对石头冲击力的大小。已知某小瀑布落差为h＝20m，水流量为，水的密度。假设水在最高点的速度为零，落到大石头上竖直溅起最大高度为。水与石头相互作用过程中不计水的重力，取重力加速度。 【答案】 【详解】由水流量可知：时间内流下的水的质量为 水下落的过程为自由落体运动，则水冲击石头前的速度为 （方向竖直向下） 水溅起的过程为竖直上抛运动，则水冲击石头后的速度为 （方向竖直向上） 以竖直向下为正方向，对水冲击石头的过程运用动量定理 代入数据解得 【能力培优练】 1．历史上关于运动量度的争论，一种观点认为应该用物理量来量度运动的“强弱”，代表人物是笛卡儿：另一种观点认为应该用物理量来量度运动的“强弱”，代表人物是莱布尼兹。经过半个多世纪的争论，人们终于认识到动量和能量在运动学中的重要性。关于这两种观点争论，下列说法正确的是（　　） A．用来量度运动的“强弱”是正确的，用物理量来量度运动的“强弱”错误的。 B．用来量度运动的“强弱”是错误的，用物理量来量度运动的“强弱”正确的。 C．两种观点实际是从不同角度量度运动的“强弱”，观点一是从动量角度来描述物体在力阻碍下能运动多长时间，即力可表示为： D．两种观点实际是从不同角度量度运动的“强弱”，观点二是从动能角度来描述物体在力阻碍下能运动多长距离，即力可表示为： 【答案】C 【详解】两种观点实际是从不同角度量度运动的“强弱”，观点一是从动量角度来描述物体在力阻碍下能运动多长时间，即力可表示为： 观点二是从动能角度来描述物体在力阻碍下能运动多长距离，即力可表示为： 故选C。 2．如图所示，某学生练习用头颠球。某一次足球静止自由下落80cm，被重新顶起，离开头部后竖直上升的最大高度仍为80cm。已知足球与头部的作用时间为0.1s，足球的质量为0.4kg，重力加速度g取10，不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．足球下落到与头部刚接触时动量大小为16kg·m/s B．足球与头部作用过程中动量变化量大小为0 C．足球从最高点下落至重新回到最高点的过程中重力的冲量大小为3.2N·s D．头部对足球的平均作用力为36N 【答案】D 【详解】A．足球静止自由下落的高度为 由 可得与头部刚接触时的速度为 足球下落到与头部刚接触时动量大小为 故A错误； B．足球离开头部后竖直上升的最大高度仍为 则足球离开头部的速度大小也为，方向向上；以向上为正方向，则足球与头部作用过程中动量变化量大小为 故B错误； C．根据对称性可知，足球下落和上升所用时间相等，由 解得 即足球下落和上升所用时间都为0.4s，则足球从最高点下落至重新回到最高点的过程中重力的冲量大小为 故C错误； D．足球与头部作用过程，以向上为正方向，根据动量定理可得 代入数据解得头部对足球的平均作用力为 故D正确。 故选D。 3．如图所示，质量为的物块放到水平木板上，用手托住木板使物块和木板一起在竖直平面内以大小为的速度做匀速圆周运动，从最低点到最高点所用时间为，在此过程中，木板始终保持水平，下列说法正确的是（　　） A．支持力的冲量大小为 B．摩擦力的冲量大小为零 C．合力的冲量为零 D．木板对物块的作用力冲量大小为 【答案】A 【详解】A．在竖直方向上，以竖直向下为正方向，根据动量定理有 解得支持力的冲量大小为，故A正确； B． 在水平方向上，以末速度方向为正方向，根据动量定理，故B错误； C．根据动量定理有，故C错误； D．木板对物块的冲量为摩擦力和支持力冲量的矢量和，则木板对物块的作用力冲量大小为，故D错误。 故选A。 4．近来看了世界杯亚洲区预选赛，同学们纷纷表示要刻苦训练。如图所示，校队足球运动员训练罚点球，足球放置在球门中央的正前方点，两次射门，足球分别水平垂直打在水平横梁上的点和竖直梁上的点后原速率弹回，到达、两点瞬间速度大小为、，从射出到打到、两点的时间是、，两次撞击的平均作用力是、，不计空气作用力，两次撞击时间近似相等，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设球门宽度为x1，足球到球门的距离为x2，根据逆向思维法可知，足球做平抛运动，当足球打到a点时，有， 当足球打到b点时，有， 由于 则， 根据动量定理有 可知 故选A。 5．如图（a）所示，质量为的小球放在光滑的水平面上，在界线的左侧始终只受到水平向右的恒力作用，在的右侧始终只受到水平向左的恒力作用。小球从点由静止开始运动，取向右为正方向，运动的图像如图（b）所示，由图可知，下列说法正确的是（　　） A． B．到的过程中，的冲量大小等于的冲量大小 C．到的过程中，小球的动量变化为0 D．到的过程中，的冲量大于的冲量 【答案】B 【详解】A．根据图像，水平向右的恒力作用下物体的加速度的大小大于水平向左的恒力作用下物体的加速度的大小，根据牛顿第二定律可知，A错误； B．研究0~5s的过程，根据动量定理可知，合外力的冲量等于小球动量的变化，该过程初末速度为0，则合力的冲量为0，即与的冲量大小相等，B正确； C．研究0~2s的过程，初动量为0，末动量为，则动量变化 C错误； D．到的过程中，初动量为0，末动量为，则动量变化 的冲量小于的冲量，D错误。 故选B。 6．如图所示，用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层，设水柱直径为D，水流速度大小为v，方向水平向右。水柱垂直煤层表面，水柱冲击煤层后水的速度变为零，水的密度为ρ，高压水枪的重力不可忽略，手持高压水枪操作，下列说法正确的是（　　） A．水枪单位时间内喷出水的质量为 B．高压水枪的喷水功率为 C．水柱对煤层的平均冲击力大小为 D．为使高压水枪保持静止，手对高压水枪的作用力方向为斜向左上方 【答案】B 【详解】A．高压水枪的流量为 水枪单位时间内喷出水的质量为 故A错误； B．水枪单位时间内做功转化为水柱的动能为 故水枪的功率为 故B正确； C．研究单位时间内喷出的水，由动量定理得 解得 根据牛顿第三定律知，水柱对煤层的平均冲击力大小为，故C错误； D．水对高压水枪的作用力水平向左，则手对高压水枪的作用力有水平向右的分力，还有竖直向上的分力（与重力平衡），所以手对高压水枪的作用力斜向右上方，故D错误。 故选B。 7．下列物理量中属于矢量且用国际单位制中的基本单位表示正确的是（　　） A．磁感应强度 B．冲量 C．电流强度 D．磁通量 【答案】B 【详解】A．磁感应强度为矢量，磁感应强度 可得磁感应强度的单位用用基本单位表示为 故A错误； B．冲量为矢量，冲量 可得冲量的单位用用基本单位表示为 故B正确； C．电流强度为标量，国际单位制中的基本单位表示为A，故C错误； D．磁通量为标量，磁通量 可得磁通量的单位用用基本单位表示为 故D错误。 故选B。 8．比亚迪作为全球新能源汽车的领军企业，其车型在安全性能上持续创新。如图甲所示，在比亚迪某款车型的安全气囊性能测试中，可视为质点的头锤从距气囊上表面高 处由静止释放，与正下方的气囊发生碰撞。以头锤到气囊上表面为计时起点，气囊对头锤竖直方向作用力 F随时间 t的变化规律可近似用图乙所示的图像描述。已知头锤质量 ，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．头锤落到气囊上表面时的速度大小为4m/s B．碰撞过程中F的冲量大小为 C．碰撞结束后头锤上升的最大高度为1.8m D．碰撞过程中系统损失的机械能为30J 【答案】D 【详解】A．头锤落到气囊上表面时的速度大小为，选项A错误； B．根据F-t图像的面积等于F的冲量可知，碰撞过程中F的冲量大小为 ，选项B错误； C．向上为正方向，碰撞过程由动量定理 解得 可得碰撞结束后头锤上升的最大高度为，选项C错误； D．碰撞过程中系统损失的机械能为，选项D正确。 故选D。 9．（多选）一质量为的物块在合外力F的作用下从静止开始沿直线运动。F随时间t变化的图线如图所示，则（　　） A．时物块的速率为 B．时物块动量大小为 C．到力F冲量的大小为 D．前动量的变化量为 【答案】BC 【详解】A．根据动量定理 解得 A错误； B．根据动量定理可知 B正确； C．根据图像面积代表冲量，可知到内力F的冲量为 C正确； D．根据图像可知，前3s内的冲量为 根据动量定理可知，前动量的变化量为，D错误。 故选BC。 10．（多选）滑草场由一条倾斜直轨道和一条水平轨道平滑连接组成，简化图如图所示．游客坐滑草车从轨道顶端由静止出发，经时间t到达斜面底端，到达底端时速度大小为v，游客和滑草车总质量为m，下滑过程中所受摩擦力不变，重力加速度为g，则从斜面顶端下滑到底端过程中，游客和滑草车（    ） A．动量变化量的大小为 B．所受重力的冲量大小为 C．所受摩擦力的冲量大小为 D．机械能减少了 【答案】CD 【详解】A．游客和滑草车的动量变化量大小为 故A错误； B．游客和滑草车所受重力的冲量大小为 故B错误； C．以沿斜面向下为正方向，游客和滑草车下滑的过程，根据动量定理有 得 则游客和滑草车所受摩擦力的冲量大小为 故C正确； D．游客和滑草车沿倾斜直轨道运动的位移大小为 以水平轨道所在水平面为零势能面，初始位置游客和滑草车的机械能为 末位置游客和滑草车的机械能为 机械能的减少量为 故D正确。 故选CD。 11．（多选）如图所示，一轻弹簧原长为，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道的底端A处，轨道长为，B为中点。在轨道的右侧有一高为的水平桌面。用质量为的小物块从B点开始缓慢压缩弹簧，当压缩量达到时撤去外力，小物块从C点飞出后恰好从D点沿水平方向滑上桌面。已知小物块与直轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度大小为，，，则（　　） A．C点与桌面左端D点的水平距离为 B．小物块运动到C点时重力的瞬时功率为 C．弹簧的最大弹性势能为 D．小物块从C点运动到D点的过程中动量变化量的大小为 【答案】CD 【详解】A．将小物块从C到D过程，根据逆向思维将小物块看成从DC到做平抛运动，竖直方向有 解得 在C点有 解得 C点与桌面左端D点的水平距离为 故A错误； B．小物块运动到C点时重力的瞬时功率为 故B错误； D．小物块从C点运动到D点的过程中，根据动量定理可得 可知动量变化量的大小为，故D正确； C．设弹簧的最大弹性势能为，小物块从释放到C点过程，根据功能关系可得 其中 ， 联立解得 故C正确。 故选CD。 12．（多选）如图，容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度为h，在圆筒侧壁开一个小孔P，筒内的水从小孔水平射出，设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为x，小孔P到水面的距离为y。短时间内筒内水面高度几乎不变，且可以认为小水滴从水面处运动至小孔P的过程中机械能守恒。重力加速度为g，不计空气阻力，在这段时间内，下列说法错误的是（　　） A．水从小孔P射出的速度大小为 B．y越小，小孔出水的速度v越小，则x越小 C．从小孔喷出的小水滴在空中运动的过程中，动量变化率不是定值 D．从小孔喷出但未落地的水的总质量m与y有关，当时，m有最大值 【答案】BC 【详解】A．根据机械能守恒可得 解得水从小孔射出的速度大小为 故A正确； B．水从小孔射出后做平抛运动，则 联立解得 所以当时，有最大值，故B错误； C．根据动量定理可知，动量变化率等于合外力，水滴在空中运动过程中，只受重力，所以动量变化率为定值，故C错误； D．从小孔喷出但未落地的水长度为 又因为当时，有最大值，即此时取最大值，故D正确； 故选BC。 13．（多选）如图为一个简单无序系统模型，质量为的小球M和质量为m的小球N用两根长度均为l的轻质细杆a、b连接，a杆一端可绕固定点O自由转动，b杆可绕小球M自由转动。开始时，两球与O点在同一高度且a、b两杆在同一直线上。时刻，将两球同时由静止释放，两球将在竖直面内做无序运动。时刻。a杆与竖直方向的夹角，小球N恰好到达与O点等高处且速度方向水平向右。已知重力加速度为g，不计摩擦和空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．时刻，小球M的速度为零 B．时刻，小球N的速度大小为 C．0~内，a、b两杆对小球M做功之和为 D．0~内，b杆对小球N的冲量大小为 【答案】CD 【详解】AB．杆可绕固定点自由转动，则的速度方向始终与杆垂直，且M和N两个小球沿杆方向的速度相等所以 由系统机械能守恒有 解得 所以时M的速度不为0，A错误，B错误； C．0~内，对M球根据动能定理 解得 C正确； D．0~内，对N根据水平方向动量定理 在竖直方向上列动量定理 解得 D正确。 故选CD。 14．跳台滑雪是冬季奥运会最具观赏性的项目之一。图为简化的跳台滑雪的雪道示意图，现有运动员穿专用滑雪板从助滑道上滑下后，从跳台A处沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆。已知运动员（含装备）的质量m = 80 kg，测得AB间的距离L = 40 m，斜坡与水平方向的夹角θ = 30°，取重力加速度g = 10 m/s2，不计空气阻力。求运动员（含装备） (1)从A处运动到B处所用时间t； (2)从A处运动到B处过程中，动量变化量Δp的大小和方向； (3)在B处着陆前瞬间的动能Ek。 【答案】(1)2 s (2)1600 kg⋅m/s，竖直向下 (3)2.8 × 104 J 【详解】（1）从A到B，运动员做平抛运动，水平方向 竖直方向 解得 （2）从A处运动到B处过程中，根据动量定理，动量变化量等于重力的冲量 方向竖直向下。 （3）根据机械能守恒定律可知，在B处着陆前瞬间的动能 15．生活中经常出现手机滑落而导致损坏的现象，手机套能有效的保护手机。现有一部质量为的手机（包括手机套），从离地面高处无初速度下落，落到地面后，反弹的高度为，由于手机套的缓冲作用，手机与地面的作用时间为。不计空气阻力，取，求： (1)手机在下落过程中重力冲量的大小； (2)地面对手机平均作用力的大小。 【答案】(1) (2)10N 【详解】（1）手机在下落过程中做自由落体运动，则有 解得 则手机在下落过程中重力冲量的大小为 （2）手机落地时速度 从地面反弹速度 手机与地面作用过程中，以竖直向上为正方向，根据动量定理可得 解得手机对地面的平均作用力大小为 16．如图，相距的两平台位于同一水平面内，二者之间用传送带相接。传送带向右匀速运动，其速度的大小可以由驱动系统根据需要设定。质量的载物箱（可视为质点），以初速度自左侧平台滑上传送带。载物箱与传送带间的动摩擦因数，重力加速度取。 (1)若，求载物箱通过传送带所需的时间； (2)若，载物箱滑上传送带后，传送带速度突然变为零。求载物箱从左侧平台向右侧平台运动的过程中，传送带对它的冲量。 【答案】(1) (2)  ，方向竖直向上 【详解】（1）传送带的速度为时，载物箱在传送带上先做匀减速运动，设其加速度为，由牛顿第二定律有 设载物箱滑上传送带后匀减速运动的距离为， 由运动学公式有 联立各式，代入题给数据得 因此，载物箱在到达右侧平台前，速度先减小至，然后开始做匀速运动，设载物箱从滑上传送带到离开传送带所用的时间为、做匀减速运动所用的时间为，由运动学公式有 联立各式并代入题给数据有 （2）当载物箱滑上传送带后一直做匀减速运动时，到达右侧平台时的速度最小，设为，当载物箱滑上传送带后一直做匀加速运动时，到达右侧平台时的速度最大，设为，由动能定理有 由各式并代入题给条件得 ， 传送带的速度为时，由于，载物箱先做匀加速运动，加速度大小仍，设载物箱做匀加速运动通过的距离为，所用时间为，由运动学公式有 联立各式并代入题给数据得 ， 因此载物箱加速运动、向右运动时，达到与传送带相同的速度。此后载物箱与传送带共同匀速运动的时间后，传送带突然停止，设载物箱匀速运动通过的距离为有 由式可知 即载物箱运动到右侧平台时速度大于零，设为，由运动学公式有 则 减速运动时间 设载物箱通过传送带的过程中，传送带在水平方向上和竖直方向上对它的冲量分别为、。由动量定理有 ，方向竖直向上 则在整个过程中，传送带给载物箱的冲量 ，方向竖直向上。 【链接高考】 1．（2025·湖北·高考真题）一个宽为L的双轨推拉门由两扇宽为的门板组成。门处于关闭状态，其俯视图如图（a）所示。某同学用与门板平行的水平恒定拉力作用在一门板上，一段时间后撤去拉力，该门板完全运动到另一边，且恰好不与门框发生碰撞，其俯视图如图（b）所示。门板在运动过程中受到的阻力与其重力大小之比为，重力加速度大小为g。若要门板的整个运动过程用时尽量短，则所用时间趋近于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设拉力为，作用时间为，撤去外力后运动的时间为，运动过程的最大速度为，则由动量定理，有 得 撤销拉力后，有 得 对于全过程，有 得 对于全过程有 故运动的总时间 可知当越大时，越小，当时，取最小值。 则 则 故选B。 2．（2025·广东·高考真题）（多选）如图所示，无人机在空中作业时，受到一个方向不变、大小随时间变化的拉力。无人机经飞控系统实时调控，在拉力、空气作用力和重力作用下沿水平方向做匀速直线运动。已知拉力与水平面成30°角，其大小F随时间t的变化关系为F = F0－kt（F ≠ 0，F0、k均为大于0的常量），无人机的质量为m，重力加速度为g。关于该无人机在0到T时间段内（T是满足F > 0的任一时刻），下列说法正确的有（   ） A．受到空气作用力的方向会变化 B．受到拉力的冲量大小为 C．受到重力和拉力的合力的冲量大小为 D．T时刻受到空气作用力的大小为 【答案】AB 【详解】AD．无人机经飞控系统实时调控，在拉力、空气作用力和重力作用下沿水平方向做匀速直线运动，则无人机受到空气作用力与重力和拉力的合力等大反向，随着F的减小重力和拉力的合力如图 可知无人机受到空气作用力的大小和方向均会改变，在T时刻有，F = F0－kT 解得 故A正确、D错误； B．由于拉力F随时间t均匀变化，则无人机在0到T时间段内受到拉力的冲量大小为F—t图像与坐标轴围成的面积为，故B正确； C．将拉力分解为水平和竖直方向，则无人机受重力和拉力的合力在水平方向有 无人机受重力和拉力的合力在竖直方向有 0到T时间段内无人机受重力和拉力的合力在水平方向的冲量为 0到T时间段内无人机受重力和拉力的合力在竖直方向的冲量为 则0到T时间段内无人机受到重力和拉力的合力的冲量大小为 故C错误。 故选AB。 3．（2024·安徽·高考真题）（多选）一倾角为足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图（1）所示。从开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力和，其大小与时间t的关系如图（2）所示。已知物块的质量为1.2kg，重力加速度g取，不计空气阻力。则（    ） A．物块始终做匀变速曲线运动 B．时，物块的y坐标值为2.5m C．时，物块的加速度大小为 D．时，物块的速度大小为 【答案】BD 【详解】A．根据图像可得，，故两力的合力为 物块在y轴方向受到的力不变为，x轴方向的力在改变，合力在改变，故物块做的不是匀变速曲线运动，故A错误； B．在y轴方向的加速度为 故时，物块的y坐标值为 故B正确； C．时，，故此时加速度大小为 故C错误； D．对x轴正方向，对物块根据动量定理 由于F与时间t成线性关系故可得 解得 此时y轴方向速度为 故此时物块的速度大小为 故D正确。 故选BD。 4．（2025·广西·高考真题）图甲为某智能分装系统工作原理示意图，每个散货经倾斜传送带由底端A运动到顶端B后水平抛出，撞击冲量式传感器使其输出一个脉冲信号，随后竖直掉入以与水平传送带共速度的货箱中，此系统利用传感器探测散货的质量，自动调节水平传送带的速度，实现按规格分装。倾斜传送带与水平地面夹角为，以速度匀速运行。若以相同的时间间隔将散货以几乎为0的速度放置在倾斜传送带底端A，从放置某个散货时开始计数，当放置第10个散货时，第1个散货恰好被水平抛出。散货与倾斜传送带间的动摩擦因数，到达顶端前已与传送带共速。设散货与传感器撞击时间极短，撞击后竖直方向速度不变，水平速度变为0。每个长度为d的货箱装总质为M的一批散货。若货箱之间无间隔，重力加速度为g。分装系统稳定运行后，连续装货，某段时间传感器输出的每个脉冲信号与横轴所围面积为I如图乙，求这段时间内： (1)单个散货的质量。 (2)水平传送带的平均传送速度大小。 (3)倾斜传送带的平均输出功率。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对单个散货水平方向由动量定理 解得单个散货的质量为 （2）落入货箱中散货的个数为 则水平传送带的平均传送速度大小为 （3）设倾斜传送带的长度为L，其中散货在加速阶段，由牛顿第二定律 解得 加速时间 加速位移 设匀速时间为 其中 则匀速位移为 故传送带的长度为 在加速阶段散货与传送带发生的相对位移为 在时间内传送带额外多做的功为 其中，，， 联立可得倾斜传送带的平均输出功率为 5．（2025·河北·高考真题）如图，一长为2m的平台，距水平地面高度为1.8m。质量为0.01kg的小物块以3m/s的初速度从平台左端水平向右运动。物块与平台、地面间的动摩擦因数均为0.2。物块视为质点，不考虑空气阻力，重力加速度g取10m/s2。 (1)求物块第一次落到地面时距平台右端的水平距离。 (2)若物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，物块从离开平台到弹起至最大高度所用时间共计1s。求物块第一次与地面接触过程中，所受弹力冲量的大小，以及物块弹离地面时水平速度的大小。 【答案】(1)0.6m (2)IN = 0.1N·s；vx′ = 0 【详解】（1）小物块在平台做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律有a = μg 则小物块从开始运动到离开平台有 小物块从平台飞出后做平抛运动有，x = vxt1 联立解得x = 0.6m （2）物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，则物块弹起至最大高度所用时间和弹起的初速度有，vy2 = gt2 则物块与地面接触的时间Δt = t－t1－t2 = 0.1s 物块与地面接触的过程中根据动量定理，取竖直向上为正，在竖直方向有IN－mgΔt = mvy2－m(－vy1)，vy1 = gt1 解得IN = 0.1N·s 取水平向右为正，在水平方向有－μNΔt = vx′－vx，IN = NΔt 解得vx′ = －1m/s 但由于vx′减小为0将无相对运动和相对运动的趋势，故vx′ = 0 / 学科网（北京）股份有限公司 $$