福建省福州延安中学2024—2025 学年下学期期末考试七年级数学试卷

第 1页（共 4 页） 福州延安中学 2024-2025 学年第二学期期末考试 初一数学试卷 完卷时间 120 分钟；满分 150 分 命题人：左名淼 审核人：伊国华 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂 1．下列调查中，最适合全面调查的是 A．调查某电视节目的收视率 B．调查某种品牌笔芯的使用寿命 C．了解某地区饮用水矿物质含量的情况 D．对乘坐飞机的旅客进行安检 2．若三角形的两条边长分别为 4和 9，则第三边的边长可以是 A．4 B．5 C．8 D．13 3．下列选项中， x， y的值是二元一次方程 2 3x y  的解的是 A． 1 1 x y    B． 1 1 x y     C． 0 3 x y    D． 2 0 x y    4．不等式 3﹣3x＞0的解集在数轴上表示是 A． B． C． D． 5．有 40个数据，其中最大值为 45，最小值为 11，若取组距为 5，则在列频数分布表时应 该分的组数是 A．6 B．7 C．8 D．9 6．在△ ABC中，作 BC边上的高，以下选项中正确的是 A． B． C． D． 7. 为了解某学校 4000名学生的身高情况，随机抽取了其中 300 名学生进行身高测量并统 计，下列有四种判断：①4000名学生的身高是总体；②样本容量是 4000；③300 名学生的 身高是样本；④每名学生的身高是个体.其中正确的是 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 8．如图所示，直线 a∥直线 b， 1 75  ， 2 25  ，则 3 的度数为 A．55 B．50 C．45 D．40 9．如图所示，在四边形纸片ABCD中，∠A=78°，∠B=75°，将纸片 沿着MN折叠，使C，D分别落在直线AB上的C，D 处，∠ 34AMD   则∠ BC N 等于 A．80° B．83° C．85° D．86° 10.已知关于 x、y的方程组 3 1 4 2 9 x y a x y a        得出下列结论：①当 0a  时，方程组的解也是方 3x y  的解；②当 x y 时， 35 8 a   ； ③不论 a取什么实数，9x y 的值始终不变；④不存在 a使得 9 0x y  成立；其中正确的是 A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④ 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分． 11．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面 向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的安全性．那么港珠澳大桥斜 拉索建设运用的数学原理是三角形具有__ ____． 12.如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝3， BD＝9，则AC长为__ ____． 13.如图，AE是△ABC的中线，点 D在 BE上，若 BD＝2， CD＝4，则 ADE ABC S S   的值为__ ____． （第 11题图） （第 9题图） （第 8题图） （第 12题图） （第 13题图） 第 2页（共 4 页） 14.为了研究气温对冷饮销售的影响，一家饮品店经过一段时间的统计，得到卖出的冷饮杯 数y杯与当天最高气温x℃的数据趋势图，如图所示，经研究发现：冷饮杯数y杯与当天最高 气温x℃的关系为6 20x y  ，可以预测当一天的最高气温为31℃时，饮品店卖出的冷饮为 ______杯. 15.如图， A B C D E F G       = __ ____° ． 16.定义：如果一个未知数的值使得方程和不等式（组）同时成立，那么这个未知数的值称 为该方程与不等式（组）的“关联解”．例如：已知方程 3x﹣2＝1和不等式 x+4＞0，对于 未知数 x，当 x＝1时，使得 3×1﹣2＝1，x+4＝1+4＝5＞0同时成立，则称 x＝1是方程 3x﹣2＝1与不等式 x+4＞0的“关联解”．如果 x＝m是关于 x的方程 x=2n-8与关于 x的不 等式组 � − 2� + �＞− 3 2 �+ � + � ≥− 1 的“关联解”，则 n的取值范围__ ____． 三、解答题：本题共 9 小题，共 86 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分 8 分） （1）解方程组： 4 3 1 2 5 7x y x y        ； （2）解不等式组：  2 1 3 1 2 1 2 x x x x          . 18．（本小题满分 8 分） 已知：如图，点 A、E、F、C在同一条直线上，AF＝CE，DE∥BF， ∠B＝∠D，求证：AD=CB. 19.（本小题满分 8 分） 某校为了解初一学生的阅读量情况，对初一（1）班学生一周的阅读量（单位：万字）进行 统计，并以此为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图（如图） 请结合图表信息完成下列问题： (1)a  ， c  ，补全频数分布直方图； (2)若将上述数据绘制成扇形统计图，则阅读量2 3x  的部分圆心角的度数为 ． (3)若阅读量在 3 万字及其以上为优秀，请你估计该校初一学生 1200名学生中有多少人的阅 读量为优秀？ 20.（本小题满分 8 分） 如图，点E在 BAC 的平分线上，过点E作 EF AB 于点 ,F EG CD 于点G，且 EF EG . (1)求证：CE是 ACD 的平分线； (2)求证： AC AF CG  ． （第 18题图） （第 14题图） （第 15题图） （第 20题图） 第 3页（共 4 页） 21．（本小题满分 8 分） 如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 端午节期间，某商店销售 A、B 两种品牌的粽子.某班一次购买 A 种粽子 20 个，B 种 粽子 30 个，共花费 660 元；已知 A种品牌粽子的单价比 B种品牌粽子的单价 ， 求 A、B 两种粽子的单价各是多少元？ [情境引入] 小明通过查看例题的解析发现：“设 A种品牌粽子的单价为 x元，则列出一元一次方程：  20 30 2 660x x   ”． （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是______（填序号）． ①低 2 元 ②高 2元 [迁移类比] （2）请根据上面（1）中补充的条件，用列二元一次方程方程组的方法，求 A、B两种品牌 粽子的单价． [拓展探究] （3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：该班决定再次购进 A、B两种品牌的粽子共 50个，此次刚好遇到商店“限时抢购”的活动，A种品牌的粽子单价打 8折，B种品牌的粽 子单价优惠 2元．若此次购买 A、B两种品牌粽子的总费用不超过 540 元，且购买 A种品 牌的粽子数量不多于 B种品牌的粽子数量的 8 7 ，请通过计算，设计一种符合购买要求且节 约资金的购买方案． 22．（本小题满分 10 分） 如图：四边形 ABCD， AE平分∠BAD，交BC于点E. （1）在线段 AE上求作一点 P，使点 P到边 BC和边 CD的距离相等（要求：尺规作图， 不写作法，保留作图痕迹）; （2）在第（1）题的条件下，连接 PC,若∠B=60°，∠APC=∠D，求∠D的度数. 23．（本小题满分 10 分） 在数学发展的历史长河中，多边形相关问题一直备受数学家们的关注与青睐.其中，格点多 边形的面积计算问题以及多边形的三角剖分问题，更是该领域的重要研究方向.请根据材料 完成下列问题 材料一 在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多 边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为 S，其内部的格点数记为M ，边界上的格点 数记为 N ，例如，图①是格点三角形，其中 1S  ， 0M  ， 4N  ． （1）图②是格点四边形，图中所对应的 S  ，M  ， N  ． 图③是格点五边形，图中所对应的 S  ，M  ， N  ． （2）奥地利数学家皮克发现的计算“格点多边形”的面积公式 S aM bN c   ，其中a、b、 c为常数，结合图形①,②,③，求出a、b、 c的值； 材料二 三角形是最简单的多边形，任意一个多边形都能分割成三角形,把一个多边形用连接它的不 相邻顶点的线段(这些线段不在多边形内部相交)划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖 分.瑞士数学家欧拉归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数( nD )的公式：当 3n  时， 1 64n n D D n    ，其中规定 3 1D  .例如：当 3n  时， 4 3 64 2 3 D D    ，算出 4 2D  ；当 4n  时， 5 4 6 54 4 2 D D    ，算出 5 5D  ；则根据公式八边形的三角剖分方法数 8D  ． （第 22题图） 第 4页（共 4 页） 24．（本小题满分 12 分） 对于实数 x， y定义一种新运算T，规定：  ,T x y mx ny  （其中m，n均为非零常数），这 里等式右边是通常的四则运算， 例如    1,1 1 1T m n m n         ，  1,2 1 2 2T m n m n      ． 已知  2,1 5T  ，  3, 1 7T     ． (1)求m，n的值； (2)若关于 t的不等式    , 2 2,T t t T t t P    恰好有 4个正整数解，求实数 P的取值范围． (3)在第（2）题的条件下，已知a，b，c为三个非负实数，且满足 3 3 10 a bn c am b c        ，若 3 2 2cW a b   ，求W P 的最小值． 25．（本小题满分 14 分） 已知： AB AC , AB AC , AD AE , AD AE ，连接 CD,BE. (1)如图 1，求证：∠ACD=∠ABE; (2)如图 2，连接 BD,CE, AM CD 于点 M, AN BE 于点 N, BF AD 于点 F,CG AE 于点 G,连接 GM,FN. ①求证： ABD ACES S  ; ②求证:GM,FN垂直且相等. （图 1） （图 2）