19.1 平方根与立方根 教案 2025--2026学年沪教版（五四学制）八年级数学上册

第1讲 平方根与立方根 【教学目标】 1.理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根，掌握用平方运算求某些数的平方根的方法； 2.理解算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法，理解并掌握平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别； 3.了解一个数的立方根概念，并会用根号表示一个数的立方根，理解开立方的概念； 4.明确立方根数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别； 【教学重点】 1．平方根的概念及求某些数的平方根的方法； 2．立方根的概念及求某些数的立方根的方法； 【教学难点】 1． 理解并掌握平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别 【 知识梳理 】 知识点一：算术平方根 1.定义：一般地，如果一个正数 的平方等于,即, 那么这个正数 叫作的算术平方根.如：,所以9的算术平方根是3. 2.表示方法：的算术平方根记为,读作“根号”.叫作被开方数.(被开方数一定是非负数) 如：3的算术平方根记为 ,3是被开方数. 因为0的平方是0,所以规定0的算术平方根是0,记为 注意：(1)算术平方根是它本身的数有0和1. (2)一个正数的算术平方根只有1个. (3)具有双重非负性：①被开方数一定是非负数，即; ② 其本身非负，即 (4)实际省略了 中的根指数2,因此也读作“二次根号”. 总结 求一个非负数的算术平方根的方法 先找出哪一个非负数的平方等于已知的数，然后用数学式子表示出来. 例1．求下列各数的算术平方根： (1); (2) (3) 练习1．求下列各数的算术平方根 (1) (2) (3） 例2.化简 (2) 3.被开方数与其算术平方根的小数点移动规律 一个数扩大为原来的100倍，它的算术平方根就扩大为原来的10倍.一个数缩小为原来的,它的算术平方根就缩小为原来的即被开方数的小数点向右或者向左 移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 例 3 化简： （1) (2) (3) 练习2.化简 （1) （2) (3) 知识点二：平方根 1.平方根 (1)平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于, 即, 那么这个数叫作 的平方根，也称为二次方根.叫作被开方数.如(±3)²=9,所以9的平方根是±3. (2)平方根的表示方法：正数 的两个平方根可以用符号“”表示.其中， “” 表示的正的平方根，即的算术平方根；“” 表示的负的平方根，读作“负根号”.0的平方根记为“" “=0 (3)平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数.如25的平方根是±5; ②0的平方根是0; ③负数没有平方根.如-9没有平方根. 2.开平方：求一个数的平方根的运算叫作开平方.是非负数 例如，求64的平方根，就是要对64进行开平方运算，64是被开方数. 注意：(1)平方根是数，是开平方的结果；开平方是一种运算，是求平方根的运算. (2)平方与开平方互为逆运算. 平方根与算术平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区别 个数不同 正数的算术平方根只有1个 正数的平方根有2个 表示方法不同 正数a的算术平方根表示为 正数a的平方根表示为 取值范围不同 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根一正一负，互为 相反数 联系 具有包含关系 平方根包含算术平方根 存在的条件相同 只有非负数才有平方根和算术平方根 — — 0的平方根与算术平方根均为0 例 4.求下列各数的平方根： (1); ② (3). （4） 例5．求下列各式的值． （1）= （2）= （3）= （4） = （5）= （6）（是实数）= 练习3.下列说法中正确的有（ ）． ①只有正数才有平方根． ②是4的平方根． ③的平方根是． ④的算术平方根是． ⑤的平方根是． ⑥ ． A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个 练习4.已知是最大的负整数，的算术平方根是它本身，求是________． 练习5.平方根等于本身的数是 ； 算术平均数等于本身的数是 练习6.81的平方根是 ;= ； = 练习7．求下列各式中的值． （1） ； （2）； （3）． 例6．（1） 一个正数的两个平方根为，求这个数． （2）是一个正数的平方根，求这个数． 练习8．（1）某个正数的两个平方根为和，则的值为________； （2）和是某个正数的平方根，则这个正数为________． 知识点三 立方根和开立方 （1）如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，用“”表示，读作“三次根号”，中的叫做被开方数，3叫做根指数． 求一个数的立方根的运算叫做开立方． （2）正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零． 正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零． 任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根． 例7． 1．求下列各式的值 （1） （2） （3） 2．求下列各数的立方根 （1）； （2）； （3）； （4） 3．求下列各式中的值 （1） （2） （3） 练习9． 1．下列说法正确的是 （ ） A．只有正数有平方根 B．一个数的奇次方根不是正数就是负数 C．负数没有立方根 D．任何一个数的立方根都只有一个 2．下列命题中，错误的有 （ ） ①不带根号的数一定是有理数；②有理数和数轴上的点一一对应；③无理数包括正无理数，0，负无理数；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列说法正确的是 （ ） A． B． C． D． 4．下列等式不一定成立的是 （ ） A． B． C． D． 5．在实数范围内，下列判断正确的是 （ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 平方根、算术平方根、立方根的区别与联系 区别：（1）用根号表示平方根时，根指数2可省略不写，而用根号表示立方根时，根指数3 不能省略； （2）平方根只有非负数才有，即被开方数大于等于0；开立方时，被开方数可以是任 意实数． 正数 0 负数 平方根 有两个平方根 0 没有平方根 立方根 一个正的立方根 0 一个负的立方根 联系：（1）都与相应的乘方运算互为逆运算． （2）都可归纳为非负数来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也转化为正数的立方根来求得． （3）0的平方根、算术平方根和立方根都是0． 被开方数与立方根的小数点移动规律 将被开方数扩大为原来的1000倍，它的立方根就扩大为原来的10倍.将被开方数 缩小为原来的，它的立方根就缩小为原来的，即被开方数的小数点向右移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 例8 化简 (1) ; (2）; (3). 练习10.已知 , , , , . (1)求 的值； (2)若 , 求 的值； (3)若 , 求 的值 【巩固练习】 1 、当 x 取何值时，下列各式有意义： （1） （2） ； （3） ； （4） （5） 2 ； （6） ． 2. 已知求的值． 3.已知2是的立方根，且，求的值。 4.若互为相反数，则的值为（   ） 5.．甲同学利用计算器探索一个数的平方，并将数据记录如表： 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 根据表求得282.24的平方根是______． 6. 若，，则______ 7. 已知三角形三边分别为、、，其中、满足，那么的取值范围是______ 类比平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方根的定义： ①如果，那么叫做的四次方根； ②如果，那么叫做的五次方根； 请根据以上两个定义并结合有关数学知识回答问题： (1)81的四次方根为____________；-32的五次方根为____________； (2) 若有意义，则a的取值范围是____________； 8..如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求的值； (2)在数轴上还有两点分别表示实数和，且与互为相反数，求的平方根． 【回家作业】 一 、选择题 1 下列说法中正确的是( ) A.一个数的平方根有两个，它们互为相反数 B.一个数的立方根不是正数就是负数 C.负数没有立方根 D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是-1或0或1 2. 下列说法中正确的是( ) A.6是36的算术平方根，即 B.6 是(-6)²的算术平方根，即 C. ±7是49的平方根，即 D. ±2 是4的平方根，即 3. 如果没有平方根，那么可以是( ) A.-3² B.3 C.(-3)² D.-(-3) 二、填空题 4. 已知, 则 = 5.关于的方程的解是______． 6.已知的算术平方根是3，的立方根是﹣2，则＝___． 7.把一个长、宽、高分别为的长方体铁块锻造成一个立方体铁 块，则锻造成的立方体铁块的棱长为 . 三、解答题 11.求下列各数的平方根： (1); (2) (3); (4) (5) 12.求下列各式的值： (2) (3)()³. 13. 已知的立方根是3 ,的算术平方根是 . (1) 求 的值； (2) 求的平方根. 14. 已知和和是一个正数的平方根，求这个正数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$