专题02 圆中的重要模型之圆中的翻折模型（几何模型讲义）数学苏科版九年级上册

专题02 圆中的重要模型之圆中的翻折模型 圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 4 19 阿拉伯学者系统证明圆弧翻折后，‌折痕必垂直平分对应弦‌（即垂径定理），确立了“翻折→对称→垂直关系”的逻辑链。‌中国宋代数学学者基于弦长与圆心角关系，明确“等弧翻折得等弦”的性质，强化对称构图思想。法国数学家布里昂雄发现翻折的‌对偶性质‌：圆内折痕两侧的弧、角、弦存在对称等价关系，奠定现代模型核心原理。近代形成 ‌“弧翻折必出等腰”的定性定理‌：圆内以弦为对称轴翻折圆弧，所得两弦相等（即生成等腰三角形），成为模型的核心判定条件。 圆中的翻折模型作为几何学中处理圆内对称问题的核心工具，其历史演进脉络融合了东西方数学思想。 （2025·江苏无锡·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． （24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E，作，若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 ． 模型1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA 1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD. 由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD， ∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。 模型2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60° 2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA， ∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。 1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 例1（2025·陕西西安·一模）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（   ） A． B． C． D． 例2（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，点为的中点，将弦下方的部分沿弦翻折，使点与圆心重合．点为优弧上一点，连接、、．若，，则 ．    例3（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．如图，若点D与圆心O不重合，，则的度数为 ． 例4（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，以半圆中的一条弦（非直径）为对称轴将弧折叠后与直径交于点D，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．3 例5（2025·广东广州·二模）如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点，若，的度数为，则 ． 例6（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的内接三角形，把沿着折叠交弦于点，且点为的中点，若，则下列结论错误的是（   ） A． B．点为的中点 C． D． 例7（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿翻折交于点D，连接．(1)如图1，若点D与圆心O重合，，则的半径______，弧的长=______．(2)如图2，若点D与圆心O不重合，， ______． (3)如图3，若点D与圆心O不重合，，求的长． 例8（24-25九年级上·湖北·阶段练习）有一张半径为2的圆形纸片． (1)如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则的大小是______；在上任取一点C（异于A，B），则的大小是______；(2)如图（2），将纸片沿一条弦翻折，使其劣弧恰好经过圆心O，作出直径，则图中阴影部分的面积是______； (3)如图（3），是的直径，将劣弧沿弦翻折，交于点D，再将劣弧沿直径翻折，交于点E，若点E恰好是翻折后的劣弧的中点，求图中阴影部分的面积． 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是的直径，点A在上，将沿翻折交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在⊙中，点C为的中点，将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合．点D为优弧上一点连接．若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁大连·三模）如图，在半径为2的中，为的一条弦，将所对的劣弧沿着翻折后恰好经过圆心，连接并反向延长交于一点，则如图所示的阴影面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南·模拟预测）如图，是的弦，把沿翻折，点A在翻折后的上，点C在上．若，则的度数是（   ） A．80° B．100° C．120° D．140° 5．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（2024九年级下·浙江·专题练习）方方同学将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④．若点恰为弧的中点，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）将弧沿弦折叠，交直径于点D，若，则的长（   ） A． B．16 C． D． 8.（2025·河南·模拟预测）如图，为的直径，C为上一点，连接，将沿弦翻折，翻折后经过圆心O．若的半径为2，则图中阴影部分的面积为 ． 9.（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点，连接．若点与圆心重合，，则半径等于 ． 10．（2024·浙江绍兴·模拟预测）在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若，，则的长为 ． 11．（2025·河南漯河·三模）如图，以为直径的半圆中，，点为半圆上一点，，以为对称轴将弧折叠得到弧，点的对应点为点，连接交半圆于点，则图中阴影部分面积为 ． 12．（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）如图，已知的半径为5，点在上，将劣弧沿直线翻折，与弦交于点，那么弦的长为 ． 13．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，为的直径，且，弦于点，将沿翻折后交于点，若为中点，则 ． 14．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，已知扇形中，圆心角，半径，点为．上一点，将沿翻折后交于点，点分别为中点，过点作与翻折后的弧线交于点，则的最小值为 ． 15．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，为的一条弦，为上一点，，将劣弧沿弦翻折，翻折后的交于点，若为翻折后的中点，则的度数为 ．    16．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 17．（24-25·河北承德·九年级校考期末）如图，的直径，是弦，沿折叠劣弧，记折叠后的劣弧为．(1)如图1，当与相切于时． ①为画出所在圆的圆心，请选择你认为正确的答案 ． 甲：在上找一点，连、并分别作它们的中垂线，交点为； 乙：分别以、为圆心，以为半径作弧，除外两弧另一个交点即为圆心． A．甲正确   B．乙正确   C．甲乙都正确       D．都不正确 ②选择合适的方法做出圆心，求的长；直接写出此时的度数． (2)如图2，当经过圆心时，求的长； (3)如图3，当覆盖圆心且与直径交于点，若，直接写出的度数． 18．（24-25·江苏·九年级专题练习）（1）在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，则AB长为 cm； 请同学们进一步研究以下问题：（2）如图2，⊥弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过C的中点D，AB=10cm，求的半径；（3）如图3，的半径为4cm，劣弧AB沿弦AB折叠后与直径CD相切于点E，ED=2cm，求弦AB的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 圆中的重要模型之圆中的翻折模型 圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 4 19 阿拉伯学者系统证明圆弧翻折后，‌折痕必垂直平分对应弦‌（即垂径定理），确立了“翻折→对称→垂直关系”的逻辑链。‌中国宋代数学学者基于弦长与圆心角关系，明确“等弧翻折得等弦”的性质，强化对称构图思想。法国数学家布里昂雄发现翻折的‌对偶性质‌：圆内折痕两侧的弧、角、弦存在对称等价关系，奠定现代模型核心原理。近代形成 ‌“弧翻折必出等腰”的定性定理‌：圆内以弦为对称轴翻折圆弧，所得两弦相等（即生成等腰三角形），成为模型的核心判定条件。 圆中的翻折模型作为几何学中处理圆内对称问题的核心工具，其历史演进脉络融合了东西方数学思想。 （2025·江苏无锡·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，∵是直径，∴， ∵，∴， 根据翻折可得，，，∴， ∴．故选：C． （24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E，作，若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵、、所在的圆是等圆，、、所对的圆周角都是，∴， ∵点E恰好是翻折后的的中点，∴，∴， 又∵，∴，∴， 如图所示，连接，在上截取，连接，∴， ∵的度数为，∴∴， ∵，∴都是等腰直角三角形，∴， 设，则，∴， ∴，故答案为：． 模型1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA 1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD. 由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD， ∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。 模型2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60° 2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA， ∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。 1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 例1（2025·陕西西安·一模）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点O作，如图所示，由折叠性质可知，∴， 在中，∵，∴，∵，∴， ∵，经过圆心，∴，故选：A． 例2（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，点为的中点，将弦下方的部分沿弦翻折，使点与圆心重合．点为优弧上一点，连接、、．若，，则 ．    【答案】 【详解】如图，连接，交于点N，过点B作， 将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合． ， ，，，，， ∵在中，，即∴， ，， ∵是等边三角形，，，， ，故答案： 例3（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．如图，若点D与圆心O不重合，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：设上点D的对应点为点E，连接，如图， 由折叠性质得：，；∴，∵是直径，∴； ∵四边形是圆内接四边形，∴， ∴，故答案为：． 例4（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，以半圆中的一条弦（非直径）为对称轴将弧折叠后与直径交于点D，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】解：如图，作关于的对称线段，交半圆O于点F，连接，则，， ∵为圆O的直径，∴，即， ∴点A，C，E三点共线，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，，将弧折叠后与直径交于点D， ∴，，∴，解得：，∴， ∴．故选：B 例5（2025·广东广州·二模）如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点，若，的度数为，则 ． 【答案】 【详解】解：作点O关于的对称点，作点D关于的对称点，连接， 根据题意，得，故为所在圆的圆心， 又的度数为，故，∴，∴，∴， ∴，∴，∴的长为：，故答案为：． 例6（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的内接三角形，把沿着折叠交弦于点，且点为的中点，若，则下列结论错误的是（   ） A． B．点为的中点 C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接，过点作垂足为，过点作，垂足为，则四边形是矩形， ∵是的中点，，∴，故A选项正确， ∵，∴，故C选项正确，∴， ∵，∴，又∵，，∴是等腰直角三角形， ∴，，∴矩形是正方形，∴， 又∵，∴，∴∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∴，故D选项正确， 则无法证明点为的中点，故B选项错误，故选：B． 例7（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿翻折交于点D，连接．(1)如图1，若点D与圆心O重合，，则的半径______，弧的长=______．(2)如图2，若点D与圆心O不重合，， ______． (3)如图3，若点D与圆心O不重合，，求的长． 【答案】(1)，；(2)(3) 【详解】（1）解：如图1，过点O作于E，则， ∵翻折后点D与圆心O重合，∴， 在中，，即，解得； ∴，即，∵， ∴，∴弧的长为． （2）解：如图2，连接，∵是直径，∴ ∵，∴， 根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为， ∴，∴，∴． （3）解：如图3：过C作于G，连接、，∵，∴的半径为， 由（2）知：，∵，∴， ∴，∴，∴ 在中，， 在中，． 例8（24-25九年级上·湖北·阶段练习）有一张半径为2的圆形纸片． (1)如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则的大小是______；在上任取一点C（异于A，B），则的大小是______；(2)如图（2），将纸片沿一条弦翻折，使其劣弧恰好经过圆心O，作出直径，则图中阴影部分的面积是______； (3)如图（3），是的直径，将劣弧沿弦翻折，交于点D，再将劣弧沿直径翻折，交于点E，若点E恰好是翻折后的劣弧的中点，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)；或；(2)；(3)． 【详解】（1）解：根据折叠了2次，则， 如图（1）所示，当点C在优弧上时，， 当点C在上时，，故答案为：；或．       （2）解：如图（2）所示，作交于点E，交于点D，连接，，， 由折叠可知，，， ，，， ，和是等边三角形，， ∴弓形的面积等于弓形的面积，∴扇形的面积等于扇形的面积， ∴阴影部分的面积即为的面积；，则，， ，∴阴影部分面积，故答案为：； （3）解：如图（3），连接，过点C作于H，   ， ，，， ∵E是的中点，，，， 设，则，， 是直径，，，，， ，，，则是等腰直角三角形， ，，， ， ，∴弓形，的面积相等， ∴阴影部分面积为． 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是的直径，点A在上，将沿翻折交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设点的对称点为点，连接，则：， ∵是的直径，∴，∵，∴， ∵四边形为圆内接四边形，∴，∴；故选C． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在⊙中，点C为的中点，将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合．点D为优弧上一点连接．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，连接，交于点N，过点B作， 将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合．，垂直平分，， ，，是等边三角形，， ，， ，，，，故选：A 3．（2024·辽宁大连·三模）如图，在半径为2的中，为的一条弦，将所对的劣弧沿着翻折后恰好经过圆心，连接并反向延长交于一点，则如图所示的阴影面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，作O关于的对称点D，连接交于E，连接， 由折叠知，，，，， 即是等边三角形，且； ，，，； ，是等边三角形，，即四边形是菱形， ，；由于O是所在圆的圆心，由对折知，是所在圆的圆心，；故；故选：B． 4．（2025·河南·模拟预测）如图，是的弦，把沿翻折，点A在翻折后的上，点C在上．若，则的度数是（   ） A．80° B．100° C．120° D．140° 【答案】B 【详解】如解图， 把折叠部分展开，点A的对应点为，则四边形是的内接四边形， ∴，∴，即，故选B． 5．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：延长交于点D，过点B作于点H，连结， 和是圆周角所对的弧，，， 是直径，，， ，，， ，，，．故选：C． 6．（2024九年级下·浙江·专题练习）方方同学将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④．若点恰为弧的中点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，设圆的半径为，连接，可得：， ∴，∴， ∵，∴，∴，， ∴如图④：，∴．故选：A． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）将弧沿弦折叠，交直径于点D，若，则的长（   ） A． B．16 C． D． 【答案】A 【详解】解：设圆心O，作于H，连接、、，如图， ∵，∴，∴， ∵以半圆的一条弦为对称轴将弧折叠后与直径交于点D，∴弧与弧所在的圆为等圆， ∴，∴，∴，在中，，， ∴，在中，， ∵为直径，∴，∴．故选：A． 8.（2025·河南·模拟预测）如图，为的直径，C为上一点，连接，将沿弦翻折，翻折后经过圆心O．若的半径为2，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如解图，作点O关于弦的对称点D， 由对称性知，D在上，连接，交于点E，连接．则． 又∵，∴为等边三角形．∴． ∵，，∴．∴． ∴是等边三角形．∴．∴四边形是菱形． ∵,∴，连接， ∵，∴ ∴． ∴．故答案为：． 9.（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点，连接．若点与圆心重合，，则半径等于 ． 【答案】 【详解】解：作点关于的对称点，连接，交于点，则：垂直平分，∴， ∵点与圆心重合，为直径，∴，∴， 在中，由勾股定理，得： ，∴， ∴；即半径等于；故答案为：． 10．（2024·浙江绍兴·模拟预测）在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，过作于，连接、， 由题意得，∵，∴，∴， ∴，设的半径为x，则，， 由勾股定理得，即，整理得， 解得（舍去），在中，，，∴，∴， ∴的长为，故答案为：． 11．（2025·河南漯河·三模）如图，以为直径的半圆中，，点为半圆上一点，，以为对称轴将弧折叠得到弧，点的对应点为点，连接交半圆于点，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接，过点D作于H， ∵为半圆O的直径，∴， 由轴对称的性质可得，∴， 又∵，∴，∴， ∴，∴是等边三角形，∴， ∵，∴是等边三角形，∴， ∵和是边长相等的等边三角形，∴，， ∴，∴，∵，∴， ∴，∴，故答案为：． 12．（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）如图，已知的半径为5，点在上，将劣弧沿直线翻折，与弦交于点，那么弦的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，连接并延长交于点E，连接，过点作于点F， ∵为直径，∴，∵的半径为5，∴， ∵∴，，∴，∴，∴， ∵翻折，∴，∴，∴， ∴点E为点D关于的对称点，∴由翻折得，， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，故答案为：． 13．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，为的直径，且，弦于点，将沿翻折后交于点，若为中点，则 ． 【答案】 【详解】解：连接，为的直径，且，， 为中点，，将沿翻折后交于点， 弦于点，．故答案为：． 14．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，已知扇形中，圆心角，半径，点为．上一点，将沿翻折后交于点，点分别为中点，过点作与翻折后的弧线交于点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：作关于的对称点，在上，可得，过点作，交延长线于点，连接，， ∵是的中点，，∴，∴，， ∵，∴， ∴，∵，∴为等边三角形，∴， ∵，，∴，， ∵，∴，∴， ∴为等边三角形，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵是的中点，∴，∴， ∵在和中，∴，∴， ∵，∴最小值为．故答案为：． 15．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，为的一条弦，为上一点，，将劣弧沿弦翻折，翻折后的交于点，若为翻折后的中点，则的度数为 ．    【答案】 【详解】解：连接，，，，设，    ∵，∴，∴，∴， ∵为翻折后的中点，∴，∴，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，，， ∴，∴，在中，， ∴，∴，∴． 16．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：将还原后点的对应点为，连接、，如图所示： 则，，，； （2）由（1）得，，，， 点是翻折所得的中点，，，， ，，设，则， 在中，由三角形内角和定理得：，解得，即． 17．（24-25·河北承德·九年级校考期末）如图，的直径，是弦，沿折叠劣弧，记折叠后的劣弧为．(1)如图1，当与相切于时． ①为画出所在圆的圆心，请选择你认为正确的答案 ． 甲：在上找一点，连、并分别作它们的中垂线，交点为； 乙：分别以、为圆心，以为半径作弧，除外两弧另一个交点即为圆心． A．甲正确   B．乙正确   C．甲乙都正确       D．都不正确 ②选择合适的方法做出圆心，求的长；直接写出此时的度数． (2)如图2，当经过圆心时，求的长； (3)如图3，当覆盖圆心且与直径交于点，若，直接写出的度数． 【答案】(1)①C②，(2)(3) 【详解】（1）①甲：在上找一点，连、并分别做它们的中垂线，即做的外心，故甲正确；乙：由切线长定理可知，为切线，且，故也为的切线，易知为正方形（证明见②），故乙正确；故选：C； ②如图，连接、，∵，∴四边形为菱形，而， ∴四边形为正方形，∴，； （2）作于，交劣弧于，如图， ∵沿折叠劣弧，记折叠后的劣弧为，即∴， ∵，∴，在中，，， ∴，∴； （3）连接，作关于的对称轴点在上，并连接、，如图， ∵是的直径，∴，又∵，∴， 由圆内接四边形的性质得到， 可得：，∴ 18．（24-25·江苏·九年级专题练习）（1）在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，则AB长为 cm； 请同学们进一步研究以下问题：（2）如图2，⊥弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过C的中点D，AB=10cm，求的半径；（3）如图3，的半径为4cm，劣弧AB沿弦AB折叠后与直径CD相切于点E，ED=2cm，求弦AB的长． 【答案】（1）cm；（2） cm；（3）cm 【详解】（1）如图1，过点O1作O1F⊥AB于F，并延长O1F交虚线劣弧AB于E， ∴AB＝2AF，由折叠知，EF＝O1F＝O1E＝×4＝2（cm）， 连接O1A，在Rt△O1FA中，O1A＝4，根据勾股定理得，AF＝（cm）， ∴AB＝2AF＝（cm），故答案为：； （2）如图2，延长O2C交虚线劣弧AB于G，由折叠知，CG＝CD， ∵D是O2C的中点，∴CD＝O2D，∴CG＝CD＝O2D，设⊙O2的半径为3r cm，则O2C＝2r（cm）， ∵O2C⊥弦AB，∴AC＝AB＝5（cm），连接O2A， 在Rt△ACO2中，根据勾股定理得，（3r）2−（2r）2＝25， ∴r＝（舍去负值），∴O2A＝3r＝（cm），即⊙O2的半径为cm； （3）如图3，记实线劣弧AB所在的圆心为O，连接OE，O3A，OA，OO3，则O3A＝OA＝OE＝4（cm）， ∵折叠后与直径CD相切，∴∠OEO3＝90°，∵⊙O3的半径为4cm，∴O3A＝O3D＝4（cm）， ∵DE＝2cm，∴O3E＝O3D−DE＝2（cm）， 在Rt△OEO3中，根据勾股定理得，OO3＝（cm）， ∵AB是⊙O和⊙O3的公共弦，∴OO3⊥AB，∴AB＝2AH，O3H＝OO3＝（cm）， 在Rt△O3HA中，根据勾股定理得，AH＝（cm），∴AB＝2AH＝2（cm）． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$