专题02 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理）（几何模型讲义）数学北师大版九年级上册

专题02 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 4 10 “瓜豆原理”的名称源自中国传统文化，其数学模型则源于现代几何学对动点轨迹规律的总结，“瓜豆原理”直接借用了中国古代农谚“种瓜得瓜，种豆得豆”的因果关联意象，强调从动点（豆）轨迹与主动点（瓜）轨迹的相似性：即主动点沿直线运动则从动点轨迹亦为直线；主动点沿圆周运动则从动点轨迹亦为圆。 21世纪初中数学教育者将此类主从联动轨迹问题命名为“瓜豆原理”，借农谚的通俗性帮助学生理解几何变换（旋转、位似）的抽象规律。典型案例包括动点最值、路径相似性证明等。如今瓜豆原理成为解决动点最值、路径证明等中考几何问题的核心工具，典型案例如求线段最小值、轨迹长度比例关系等。 （2025·广西南宁·三模）如图，正方形的边长为2，点E在边上运动，连接并绕点D逆时针旋转得到，点E运动过程中，的最小值为 ． （24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，D在延长线上，作平行四边形，则的最小值为 ． 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下方法进行确定： ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；②某动点所在与某直线所成夹角为定值时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；⑤若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例2（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点D为x轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 例3（24-25九年级上陕西西安阶段练习）如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ．    例4（2025九年级下·江苏·专题练习）如图，矩形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为 ． 例5（2025·陕西西安·模拟预测）如图，线段长为6，点C是线段上一动点（不与A，B重合），分别以和为斜边，在的同侧作等腰直角三角形，，连接，点P是的中点．连接，则的最小值为 ． 例6（24-25九年级下·河南南阳·期中）如图，菱形的边长为，，对角线，相交于点，为线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，则线段的长的最小值为 ，最大值为 ． 1．（2025·安徽合肥·三模）如图，矩形中，，点在线段上运动（含，两点），连接，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（　　） A．6 B．9 C．5 D．9 2．（2025·安徽芜湖·三模）如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上一动点，作平行四边形，当取最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2024上·广东广州·九年级校考期中）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于（　　）    A． B． C． D． 4．（2025·湖北校考一模）如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点不与重合，以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（        ） A． B． C． D． 5．（24-25上·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，已知，B为上一点，于A，四边形为正方形，P为射线上一动点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得，连接，若，则的最小值为 ．    6．（24-25下·江苏泰州·八年级校考期中）如图，线段的长为12，点在上（不与端点重合），以为边向上作等边，过作与垂直的射线，点是上一动点（不与点重合），以、为边作矩形，对角线与交于点，连接，则线段的最小值为 ．    7．（2025·山东济宁·一模）如图，已知是线段上的动点（不与点A，重合），，分别以，为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为；连接，当动点从点A运动到点时，则的最小值是 ． 8．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，点N在直线上运动，以为边向的右侧作菱形，且，M为中点，连接，则点N在运动过程中，的最小值为 ． 9.（2025·四川南充·二模）如图，矩形的对角线交于点，．是线段上的动点，以为边作等边三角形，点分别位于两侧．在点运动的全过程中，的最大值为，的最小值为．则 ． 10．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，正方形的边长等于3，点在边上，且，是边上任意一点，以为边作菱形，且顶点恰好落在射线上，连接，则的最小值 ． 11．（2023江苏徐州模拟预测）等边边长为6，D是中点，E在上运动，连接，在下方作等边，则周长的最小值为 ． 12．（2025广东二模）如图，正方形的边长为，E为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ．    13．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，正方形的边长为6，点E为射线上的动点，连接，作，且，连接，则的最小值为 ． 14．（2025·四川绵阳·二模）如图，在中，，，，D为边上一动点，将线段绕点C按逆时针方向旋转得到线段，连接，则的最小值为 ． 15．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，点是中点，是直线上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接、，则的最小值 ． 16．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，平行四边形中，，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是 17．（2025·山东烟台·一模）在中，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接．取的中点为点，连接． 【问题探究】（1）如图，已知是等腰直角三角形，，，，延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ； 【类比迁移】（2）如图，已知是等腰三角形，，，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论； 【变式拓广】（3）如图，已知在中，，，，．延长至，使，连接．在点的运动过程中，求线段长度的最小值． 18．（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，对角线．点在边上，点在边上，且，连结交于点，以为底边作等腰直角三角形，使点在直线的同侧．(1)求证：．(2)求五边形面积的最小值．(3)连结，直接写出的最小值．(4)连结，当点在内部，且点到的某条边的距离等于的最小值时，直接写出的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 4 10 “瓜豆原理”的名称源自中国传统文化，其数学模型则源于现代几何学对动点轨迹规律的总结，“瓜豆原理”直接借用了中国古代农谚“种瓜得瓜，种豆得豆”的因果关联意象，强调从动点（豆）轨迹与主动点（瓜）轨迹的相似性：即主动点沿直线运动则从动点轨迹亦为直线；主动点沿圆周运动则从动点轨迹亦为圆。 21世纪初中数学教育者将此类主从联动轨迹问题命名为“瓜豆原理”，借农谚的通俗性帮助学生理解几何变换（旋转、位似）的抽象规律。典型案例包括动点最值、路径相似性证明等。如今瓜豆原理成为解决动点最值、路径证明等中考几何问题的核心工具，典型案例如求线段最小值、轨迹长度比例关系等。 （2025·广西南宁·三模）如图，正方形的边长为2，点E在边上运动，连接并绕点D逆时针旋转得到，点E运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：延长到，使，连接， ∵绕点D逆时针旋转得到，∴,， ∵四边形是正方形，∴∴， ∴，∴点在直线上运动，当时，最小， ∵四边形是正方形，∴，， ∴，∴，∴， ∵∴当时，是等腰直角三角形， ∴．故答案为： （24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，D在延长线上，作平行四边形，则的最小值为 ． 【答案】13 【详解】解：如图，作于，∵四边形是平行四边形，∴，， ∴在平行于且与距离为的直线上运动， 作关于直线的对称点，连接，，则，、、三点共线， ， ∵，∴，∴，当且仅当，，，依次共线时取等号， 在中，，∴的最小值为，故答案为：． 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下方法进行确定： ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；②某动点所在与某直线所成夹角为定值时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；⑤若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、， 由旋转的性质得到，，，， ，即，，， 菱形的边长为4，，，， E是的中点，，，， ，， 点在过点且与夹角为的直线上运动， 当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，则， 的最小值为，即的最小值为．故选：A． 例2（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点D为x轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】解：如图，作轴于H，连接． ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴， ∴点在的角平分线所在直线上运动，作于M，则是等腰直角三角形， ∵正方形，，∴，∴，即的最小值为，故选：B． 注意：该题也可以先设出点D的坐标，再在平面直角坐标中表示出点E的坐标，从而证明点E在定直线上运动，最后运用点到线的距离求出最值。 例3（24-25九年级上陕西西安阶段练习）如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动，将绕点旋转，使与重合，得到，       ∴，，， ∵是等边三角形，∴，∴为等边三角形， ∴，，点在垂直于的直线上，过点作， 则即为的最小值，过点作，则四边形为矩形， ∴，∴，∴， 则，故的最小值为．故答案为：． 例4（2025九年级下·江苏·专题练习）如图，矩形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点的运动轨迹是本题的关键．过点作于，过点作，由“”可证，可得，可得点在平行且到距离为1的直线上运动，则当与重合时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，过点作， 四边形是矩形，，，，，，，， ，，，， 在和中，，，， 点在平行且到距离为的直线上运动， 当与重合时，有最小值，此时， 的最小值，故答案为：． 例5（2025·陕西西安·模拟预测）如图，线段长为6，点C是线段上一动点（不与A，B重合），分别以和为斜边，在的同侧作等腰直角三角形，，连接，点P是的中点．连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴，， 延长交于点，连接，则，如图， ∴，∴四边形是矩形，∴交于点， 当点重合时，点为的中点，当点重合时，点为的中点， ∴点的运动轨迹是的中位线， 作点关于直线的对称点，连接，则，连接，则有， 当三点共线时，最小，最小值为，即的最小值为， 作于点，则,∴， 在中，．即的最小值为，故答案为：． 例6（24-25九年级下·河南南阳·期中）如图，菱形的边长为，，对角线，相交于点，为线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，则线段的长的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图1，在上取一点，使，连接． ∵四边形是菱形，，边长为， ∴，，，， ∴，，， 由旋转知，，∴， ∴，∴，∴．由点为定点，为线段上的一个动点， ∴当时，有最小值，此时， ∵，∴，∴最小值为，∴的最小值为； 如图2，当点P运动到点B时，最大，即有最大值， ∵，∴，∴， 此时Q，C，D三点共线，过点B作．∵，，∴，， ∴，∴， ∴有最大值，最大值为，∴的最大值为．故答案为：；． 1．（2025·安徽合肥·三模）如图，矩形中，，点在线段上运动（含，两点），连接，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（　　） A．6 B．9 C．5 D．9 【答案】B 【详解】解；如图所示，作等边，连接，设直线交于T， ∵四边形是矩形，∴， ∵是等边三角形，∴，∴； 由旋转的性质可得，∴， ∴，∴，∵点G是定点，∴点F在直线上运动， ∴当时，有最小值，∴此时有，∴， 在中，，∴， 在中，，∴的最小值为9，故选：B． 2．（2025·安徽芜湖·三模）如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上一动点，作平行四边形，当取最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，点是轴上一动点，四边形是平行四边形， 根据平移的性质得，点是直线上的动点， 作关于直线的对称点，连接、，则， 四边形是平行四边形，，， 当、、三点共线时，最小，最小值为， 设直线的表达式为，代入得，，直线的表达式为， 令，则，解得：，点的坐标为，故选：A． 3．（2024上·广东广州·九年级校考期中）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，在上截取，使，连接，过点D作于点H，如图所示：    ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，，∴， ∵，∴，在和中， ∴，∴， ∴点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小， ∵，，∴，故选：B． 4．（2025·湖北校考一模）如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点不与重合，以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵P是边AD的中点，AD=6，∴AP=3，如图，连接AM， ∵等边，是边的中点，∴AM平分∠EAF， ∴在点运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，∴当AM⊥PM时，PM取得最小值， ∵是等边的边的中点，∴PM⊥AM， ∠EAM=30°， ∴∠PAM=60°，∴PM=AP=，故选：C． 5．（24-25上·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，已知，B为上一点，于A，四边形为正方形，P为射线上一动点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得，连接，若，则的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】解：如图，连接，    由题意可得，∴ ， 在和中，，  ∴，∴， 当时，最短，此时也最短， ∵， ，∴，∴ ∴， ∴当时， ，∴的最小值为．故答案为：． 6．（24-25下·江苏泰州·八年级校考期中）如图，线段的长为12，点在上（不与端点重合），以为边向上作等边，过作与垂直的射线，点是上一动点（不与点重合），以、为边作矩形，对角线与交于点，连接，则线段的最小值为 ．    【答案】6 【详解】解：如图，连接，    因为等边，矩形，所以， 所以，所以，所以，所以平分， 因为是定角，所以的角平分线是唯一确定的射线，所以点O在定直线上，所以， 过点B作于点E，因为，所以，故答案为：6． 7．（2025·山东济宁·一模）如图，已知是线段上的动点（不与点A，重合），，分别以，为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为；连接，当动点从点A运动到点时，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，分别延长、交于点H， ∵，分别是等边三角形，∴， ∴，是等边三角形，∴四边形为平行四边形，∴与互相平分． ∵G为的中点，∴G正好为中点，即在P的运动过程中，G始终为的中点，所以G的运行轨迹为的中位线，∴，，当P在中点时，，的值最小， ∵是等边三角形，∴，∴， ∴∴的最小值时，故答案为． 8．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，点N在直线上运动，以为边向的右侧作菱形，且，M为中点，连接，则点N在运动过程中，的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：设Q是的中点，连接， ∵四边形是菱形，且，∴，∴， ∴，即， ∵，M为中点，Q是的中点，∴， 在和中，，∴，∴， ∵点N在直线上运动，∴当时，最小， ∵是等腰三角形，，∴， ∵，∴，∴线段的最小值是为．故答案为：． 9.（2025·四川南充·二模）如图，矩形的对角线交于点，．是线段上的动点，以为边作等边三角形，点分别位于两侧．在点运动的全过程中，的最大值为，的最小值为．则 ． 【答案】 【详解】解：∵矩形的对角线交于点，． ∴，∴是等边三角形∴， ∵是线段上的动点，以为边作等边三角形，∴， ∴∴ ∴∴， ∵是线段上的动点，∴当点E运动到点O时，取得最大值，此时取得最大值，即的长度， ∴的最大值；∵∴ ∴∴是的角平分线，即点F在的角平分线上运动 ∵∴ 如图所示，延长交于点G ∴∴当点F和点G重合时，取得最小值，即的长度 ∴的最小值∴．故答案为：． 10．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，正方形的边长等于3，点在边上，且，是边上任意一点，以为边作菱形，且顶点恰好落在射线上，连接，则的最小值 ． 【答案】1 【详解】过作交延长线于，延长，交于， 四边形为正方形，， ，四边形为菱形，， ，，， 又，，，，即到的距离为， 过作直线，则在直线上运动，当时，最小（垂线段最短），此时， 当与重合时，最小（垂线段最短），即最小为．故答案为：1 11．（2023江苏徐州模拟预测）等边边长为6，D是中点，E在上运动，连接，在下方作等边，则周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，∵都是等边三角形，∴，， ，∴， ∴，∴，∴， 如图，作点D关于的对称点G，连接，则，， ∴当B，F，G在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小， ∴，∴． ∴周长：．故答案为：． 12．（2025广东二模）如图，正方形的边长为，E为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】将绕点旋转，使与重合，得到，    ∴，∴为等边三角形，，， 则有点在垂直于的直线上， 过作，当与点重合时即即为的最小值，如图， 过作，易得四边形为矩形，∴，， ∵四边形为正方形，∴，∴， ∴，∴，  ∴，故答案为：． 13．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，正方形的边长为6，点E为射线上的动点，连接，作，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，四边形是正方形， ，，，，， ，，， 又，（），， ，在直线上，时，的值最小， 与重合时，的值最小，此时，故答案为：． 14．（2025·四川绵阳·二模）如图，在中，，，，D为边上一动点，将线段绕点C按逆时针方向旋转得到线段，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，过点C作于点K，将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，延长交的延长线于点J， ∵将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，∴， ∵，∴， 又∵，在和中，，∴， ∴，∴， ∴四边形是正方形，∴， ∴点E在直线上运动，当点E与点J重合时，的值最小， 在中，，，， ∴，，，∴， ∴，即的最小值为．故答案为：． 15．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，点是中点，是直线上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接、，则的最小值 ． 【答案】 【详解】解：在中，，∴， 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形，∴，，∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到，∴，，∴， 在中，∴，∴， ∴在上运动，延长交于点，又∵，∴是等边三角形， ∴，，∴， 作关于的对称点，则，过点作于点，交于点，过点作于点，则四边形是矩形，则，， ∴,，在中，，，，∴，∵， 在中，，， ∴，则， ∴， ∴，∵是上的点， ∴，当在上时，取得最小值，最小值为的长，即． 故答案为：． 16．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，平行四边形中，，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是 【答案】 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵为中点，∴为的中位线，∴，∴点在射线上运动， 当时，的值最小，如图， 设与相交于点，∵，为的中点，∴， ∵，∴，又∵，∴为等边三角形， ∴，，∴，∵四边形是平行四边形， ∴，，∴，， ∴，∴，∵，， ∴，，∴，， ∴四边形是矩形，∴，∴， ∴的最小值是，故答案为：． 17．（2025·山东烟台·一模）在中，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接．取的中点为点，连接． 【问题探究】（1）如图，已知是等腰直角三角形，，，，延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ； 【类比迁移】（2）如图，已知是等腰三角形，，，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论； 【变式拓广】（3）如图，已知在中，，，，．延长至，使，连接．在点的运动过程中，求线段长度的最小值． 【答案】（1），；（2），证明见解析；（3）线段长度的最小值为． 【详解】解：（1）依题得：，，， ，，，，， 即，， 在和中，，，， ，，是的中位线，，故答案为：，； （2）如下图，，证明如下： 延长至点，使得 ，连接，，， ，，，由旋转得，， ，，， 在和中，，，， ，，是的中位线，，； （3）如下图，取的中点，连接，作于， 依题得：，，，， ，， 在和中，，，， 点在与成的定直线上运动，当点在处时，最小， ，，又，， 的最小值为． 18．（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，对角线．点在边上，点在边上，且，连结交于点，以为底边作等腰直角三角形，使点在直线的同侧．(1)求证：．(2)求五边形面积的最小值．(3)连结，直接写出的最小值．(4)连结，当点在内部，且点到的某条边的距离等于的最小值时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析(2)五边形的面积最小值为(3)的最小值为(4)或 【详解】（1）证明：∵在中，∴，∴，， 又∵，∴，∴； （2）如图2，∵，∴，， ∴，即， ∵在中，，对角线． ∴，，，∴， ∵等腰直角三角形，，∴，∴， ∴五边形面积， ∴当时，最小，五边形面积面积最小；此时， ∵，，∴，∴， ∴当时，五边形面积面积最小，最小值． （3）如图3，过点作，垂足为，交于，在上取点、，使，连接，由（2）可知：，， 由作法可知：和都是等腰直角三角形， ∴，，∴，， ∵等腰直角三角形，，∴，，∴， ∴，∴，∴， ∴点在过的垂直于的线段上运动，当，即点在点时，最小，最小值为，∴∴四边形是矩形， ∴，，∴， ∴点在点时，最小，最小值为， （4）如图4，过点作，垂足为，交于， ∵，，，∴，， ∴，∴，∴，， 由（3）可知，的最小值为， ①点到的边的距离等于的最小值时，如图4， 即当时，∴，∴，由（1）可得， ②点到的边的距离等于的最小值时，如图5，过点作，垂足为，连接，，当时，∵，∴， ∴，设，∴，， 由（3）得，∴，由，可得： ，，∴，∴， 综上所述：或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$