专题01 圆中的重要模型之四点共圆模型（几何模型讲义）数学苏科版九年级上册

专题01 圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 6 模型2.定边对双直角共圆模型 8 模型3.定边对定角共圆模型 11 模型4.对角互补共圆模型 14 17 汉代数学家张丘建在《九章算术》中首次提出四点共圆的理论雏形，宋代数学家基于《九章算术》进一步研究，明确“对角互补的四边形必共圆”的判定条件，与阿拉伯研究形成互补。托勒密在《天文学大成》中提出‌托勒密定理‌：若凸四边形内接于圆，则两对角线乘积等于两组对边乘积之和，并给出严谨证明。该定理首次将四点共圆与定量关系结合，成为后世判定核心依据之一。四点共圆模型从东西方独立的定性认知起步，历经托勒密的定量跨越，最终在近现代整合为系统化工具，成为解决圆相关几何问题的通用模型。其发展体现了数学思想从经验到逻辑、从孤立到互联的演进本质。初中几何体系将四点共圆判定归纳为四大核心模型。 （24-25九年级上·北京·期中）如图，中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到交于点交于点N，给出下面三个结论： ①；②点A，C，E，B四点共圆；③连接，则．上述结论中所有正确结论的序号是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ （24-25九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上． 【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，，则（依据）；∵，∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点， 都在点，，所确定的上（依据）；∴点，，，四点在同一个圆上； 【反思归纳】圆内接四边形对角互补；对角互补的四边形四个顶点共圆； 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；同圆中，同弧所对的圆周角相等； （）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ． （从框内选一个选项，直接填序号） （） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ； 【拓展探究】（）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，． 求证：，，，四点共圆；若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 1.定点定长共圆模型（圆的定义） 若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 证明：∵OA=OB=OC=OD ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 图1 图2（同侧型） 图3（ 异侧型） 2.定边对双直角共圆模型 定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：如图2，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：如图3，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。 证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED， ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 3.定边对定角共圆模型 定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。 4.对角互补共圆模型 条件：如图3，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图4，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 证明：∵，∴，又∵，。∴， ∵，∴，∴A、B、C、D四点共圆。 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 例1（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，点D在上，且，点E是上的动点，连线，点F，G分别是和的中点，连结，当时，线段长为（　　）    A． B． C． D．4 例2（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，点O为线段的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接，．则下面结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D．若，则 例3（2025·重庆·校考一模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．证明是等边三角形； 模型2.定边对双直角共圆模型 例1（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，等边的边长为，D是边上的动点，连接，以为斜边向上作等腰．连接，则长的最小值是 ． 例2（2024·陕西西安·模拟预测）如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ． 例3（24-25·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中，， 是 的中点， 是 的中点，若 ，，，则 的长为（     ）    A． B． C． D． 模型3.定边对定角共圆模型 例1（24-25九年级上·浙江·专题练习）如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．求证：A，，，四点共圆． 例2（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，对角线平分，，且．(1)证明：；(2)若，，求的长．    例3（24-25九年级上·广东江门·期末）【综合与实践】九年级同学小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”的数学活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．继续探究如下： 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究证明过程展示：如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则（依据1）． ∵，∴，∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（依据2）， ∴点B，D在点A，C，E所确定的上．∴点A，B，C，D四点在同一个圆上． 【反思归纳】（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2“分别是指什么？ 依据1： ；依据2： ． 【拓展延伸】（2）如图3，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，旋转角为，连接交于点D，连接．小明发现，旋转过程中，点D始终为的中点，为验证这结论，判断A，D，B，C四点共圆后可得出结论． 请你帮小明完成探究过程：①证明：A，D，B，C四点共圆；②证明： 模型4.对角互补共圆模型 例1（2024九年级上·广东·专题练习）如图，中，，，在边上，延长，与的外接圆分别交于，两点．求证：D，E，Q，P四点共圆； 例2（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图 ，，，点 在内部且，则 的最大值是    例3（2024·河南·校考一模）综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．    特殊情况分析：(1)如图1，正方形中，点为对角线上一个动点，连接，将射线绕点顺时针旋转的度数，交直线于点． 小明的思考如下： 连接，∵，，∴，（依据1） ∵，∴，∴点共圆， ∴，，（依据2）；∴，∴．（依据3） 填空：①依据1应为___________，②依据2应为___________，③依据3应为___________； 一般结论探究：(2)将图1中的正方形改为菱形，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，若成立，请仅以图2的形式证明，若不成立，请说明理由； 结论拓展延伸：(3)如图2，若，，当为直角三角形时，请直接写出线段的长． 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，为等边的外心，四边形为正方形．现有以下结论:是的外心；是的外心；；设，则；若点，分别在线段，上运动（不含端点），随着点运动到每一个确定位置时，的周长都有最小值，，其中所有正确结论的序号是（   ）    A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤ 2．（24-25·安徽·模拟预测）如图，在中，的边经过点，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在长方形中，，，垂足为，延长交于，表示面积，则给出的下列命题：①；②；③；④．其中正确命题的代号是 ． 4.（2024•连云港九年级期中）如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是　 　． 5．（2020·黑龙江大庆·中考真题）如图，等边中，，点，点分别是边，上的动点，且，连接、交于点，当点从点运动到点时，则点的运动路径的长度为 ． 6．（2024·四川成都·一模）如图，已知四边形是矩形，，点E是线段上一个动点，分别以、为边向线段的下方作正方形、正方形，连接，过点B作直线的垂线，垂足是J，连接，求点E运动过程中，线段的最大值是 ． 7．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，，，点E、F分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为 ． 9．（2025·浙江宁波·一模）如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是 ． 10．（24-25·广东九年级课时练习）如图所示，正方形中，为对角线，点为上一点，过作，交于，求证：. 11．（24-25·浙江九年级课时练习）在正方形中，是边上一点，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）如图1，求证：；（2）如图2，若点，，三点共线，求证：，，，四点共圆； （3）若点，，三点共线，且，求的长． 12．（2023·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，其中点与点对应，点与点对应． (1)画出．(2)直线与直线相交于点，证明：A，，，四点共圆． 13．（24-25·山东九年级课时练习）如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．（1）求证：ME=MF．（2）若∠A=50°，求∠FME的度数． 14．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）请阅读下列材料，完成相应任务．我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图①，C，D是线段同侧两点，且．求证：A，B，C，D四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点D在外或在内． 如图②，若点D在外，设与交于点E，连接，则（依据1） 又，（依据2）所以． 所以．这与已知条件“”矛盾，故点D在外不成立． 如图③，若点D在内，…… 综上所述，作的外接圆，点D在上，即A，B，C，D四点共圆． 任务：(1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别指什么？ 依据1：______；依据2：______． (2)请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分． 15．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】（1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】（2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】（3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 16．（24-25九年级上·福建·期末）综合与实践：数学活动课上，兴趣小组开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示：设是的外接圆；如图2，假设点在内，延长交于点，连接 点在上，∴（_____） 在中， 这与已知条件矛盾；点不在内 如图3，假设点在外，； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】（1）上述探究过程中的括号内填的依据是_____； （2）如图3，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】（3）如图4，已知四边形中，，若，平分，记，的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． 17．（2024·陕西渭南·一模）【结论理解】“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． (1)【问题探究】如图1，在矩形中，点E为上一点，将沿翻折，点C的对应点F恰好落在边上，做经过F、E、C三点的圆，请根据以上结论判断点B点______（填“在”或“不在”）该圆上； (2)如图2，四边形是的内接四边形，， ，，求四边形的面积．(3)【问题解决】如图3，四边形是某公园的一块空地，现计划在空地中修建与两条小路，（小路宽度不计），将这块空地分成四部分，记两条小路的交点为P，其中与空地中种植草坪，与空地中分别种植郁金香和牡丹花．已知，且点C到的距离是，求种植牡丹花的地块的面积比种植郁金香的地块的面积多多少？ 18．（24-25九年级下·广西·开学考试）综合与实践 【问题提出】在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题： 如图1，中，，．点是边上的一动点（点不与，重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接． 【初步感知】（1）求证：A，，，四点共圆； 【深入探究】（2）如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线； 【延伸探究】（3）已知，，点是边的中点，此时是四边形的外接圆，求出圆心与点距离的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 6 模型2.定边对双直角共圆模型 8 模型3.定边对定角共圆模型 11 模型4.对角互补共圆模型 14 17 汉代数学家张丘建在《九章算术》中首次提出四点共圆的理论雏形，宋代数学家基于《九章算术》进一步研究，明确“对角互补的四边形必共圆”的判定条件，与阿拉伯研究形成互补。托勒密在《天文学大成》中提出‌托勒密定理‌：若凸四边形内接于圆，则两对角线乘积等于两组对边乘积之和，并给出严谨证明。该定理首次将四点共圆与定量关系结合，成为后世判定核心依据之一。四点共圆模型从东西方独立的定性认知起步，历经托勒密的定量跨越，最终在近现代整合为系统化工具，成为解决圆相关几何问题的通用模型。其发展体现了数学思想从经验到逻辑、从孤立到互联的演进本质。初中几何体系将四点共圆判定归纳为四大核心模型。 （24-25九年级上·北京·期中）如图，中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到交于点交于点N，给出下面三个结论： ①；②点A，C，E，B四点共圆；③连接，则．上述结论中所有正确结论的序号是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【详解】解：①连接、，如图所示：    ∵中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到， ∴和为等腰直角三角形，根据旋转可知：，， ∵O为、的中点，∴，，，，，，∴，， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∴，故①正确； ②∵，，∴， ∴点A，C，E，B在以点O为圆心，以为圆心的圆上，∴点A，C，E，B四点共圆，故②正确； ③∵，∴A、D、E在以为圆心的圆上，∴， ∴，故③错误；综上分析可知：正确的有①②．故选：A． （24-25九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上． 【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，，则（依据）；∵，∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点， 都在点，，所确定的上（依据）；∴点，，，四点在同一个圆上； 【反思归纳】圆内接四边形对角互补；对角互补的四边形四个顶点共圆； 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；同圆中，同弧所对的圆周角相等； （）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ． （从框内选一个选项，直接填序号） （） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ； 【拓展探究】（）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，． 求证：，，，四点共圆；若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】（），；（）；（）证明见解析；． 【详解】（）解：如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补） ∵，∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点，在点，，所确定的上（过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆） ∴点，，，四点在同一个圆上，故答案为：，； （）解：∵在线段同侧有两点，，，∴，，，四点共圆， ∵，∴，故答案为：； （）证明：∵，∴， ∵点与点关于对称，∴，∴，∴，，，四点共圆； 解：，理由如下，如图，∵，，，四点共圆，∴， ∵，关于对称，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴，∵，∴． 1.定点定长共圆模型（圆的定义） 若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 证明：∵OA=OB=OC=OD ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 图1 图2（同侧型） 图3（ 异侧型） 2.定边对双直角共圆模型 定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：如图2，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：如图3，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。 证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED， ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 3.定边对定角共圆模型 定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。 4.对角互补共圆模型 条件：如图3，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图4，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 证明：∵，∴，又∵，。∴， ∵，∴，∴A、B、C、D四点共圆。 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 例1（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，点D在上，且，点E是上的动点，连线，点F，G分别是和的中点，连结，当时，线段长为（　　）    A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】解：连接，    在中，，∴， ∵点G是的中点，点F是的中点， ∴，∴， ∵，∴=AG，∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径 ∴是直角三角形，且，∵， ∴，∴，∴，∴， ∴，故选：C． 例2（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，点O为线段的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接，．则下面结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】D 【详解】∵点O为线段的中点，点B，C，D到点O的距离相等，∴， 故点A，B，C，D都在以点O为圆心，为半径的圆上，且是直径，∴，故A正确； 四边形是圆的内接四边形，∴，故B正确； 根据同弧上的圆周角相等，得到，故C正确； 作的平分线，交圆于点E，则， 又，∴，∴， ∵，∴．故D错误，故选D． 例3（2025·重庆·校考一模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．证明是等边三角形； 【答案】迁移应用：①详见解析；②结论：；拓展延伸：详见解析； 【详解】迁移应用：①证明：如图2 ∵，∴， 在和中，，∴， ②解：结论：．理由：如图中，作于． ∵，∴，在中，， ∵，，∴，∴； 拓展延伸：证明：如图3中，连接，∵四边形是菱形，， ∴是等边三角形，∴， ∵E、C关于对称，∴， ∴A、D、E、C四点共圆，∴，∴，∴是等边三角形； 模型2.定边对双直角共圆模型 例1（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，等边的边长为，D是边上的动点，连接，以为斜边向上作等腰．连接，则长的最小值是 ． 【答案】2 【详解】解：如图，过点B作于点H，作射线， 是等腰直角三角形，，， 是等边三角形，边长为，，， ，点B，E，H，D四点共圆，， ，点E在的角平分线上运动， 当时，的长度有最小值，此时是等腰直角三角形， ，，故答案为：2． 例2（2024·陕西西安·模拟预测）如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：以为斜边构造等腰直角和直角， ，，，，，，共圆， ，，，平分， 平分，为的内心，， ，， ，，当为该圆直径时，最大， 的最小值为，故答案为：． 例3（24-25·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中，， 是 的中点， 是 的中点，若 ，，，则 的长为（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，，如图，∵且为中点，∴，，∴，        ∵为中点，∴，∵∠，∴，，，四点共圆， ∵，，∴，∴， ∴，∴，在中，，， ∴，∴，由勾股定理得：， ∴，∴，故选：． 模型3.定边对定角共圆模型 例1（24-25九年级上·浙江·专题练习）如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．求证：A，，，四点共圆． 【答案】见解析 【详解】解：如图，连接， ，为等腰三角形，， 又∵，∴为中点，∴垂直平分，，∴，， 又，为等腰三角形，，∴，∴A，，，四点共圆． 例2（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，对角线平分，，且．(1)证明：；(2)若，，求的长．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证：∵，∴， ∵，∴， ∴、、、四点共圆，∴； （2）解：∵，∴， ∵，平分，∴， ∴在中，， ∵，∴，， ∵、、、四点共圆，∴， ∴在中，，∴． 例3（24-25九年级上·广东江门·期末）【综合与实践】九年级同学小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”的数学活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．继续探究如下： 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究证明过程展示：如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则（依据1）． ∵，∴，∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（依据2）， ∴点B，D在点A，C，E所确定的上．∴点A，B，C，D四点在同一个圆上． 【反思归纳】（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2“分别是指什么？ 依据1： ；依据2： ． 【拓展延伸】（2）如图3，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，旋转角为，连接交于点D，连接．小明发现，旋转过程中，点D始终为的中点，为验证这结论，判断A，D，B，C四点共圆后可得出结论． 请你帮小明完成探究过程：①证明：A，D，B，C四点共圆；②证明： 【答案】（1）圆内接四边形的对角互补，过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆 （2）①详见解析②详见解析 【详解】（1）解：依据1：圆内接四边形的对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；故答案为：圆内接四边形的对角互补，过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； （2）①证明：设交于点O．由旋转变换的性质可知， ，，∴点A，C，B，D四点共圆； ②证明：∵点A，C，B，D四点共圆，， ，，，，． 模型4.对角互补共圆模型 例1（2024九年级上·广东·专题练习）如图，中，，，在边上，延长，与的外接圆分别交于，两点．求证：D，E，Q，P四点共圆； 【答案】见解析 【详解】证明：连接，如图，∵所对的圆周角是,所对的圆周角是， ，，，，， ，，， ，，，，，四点共圆； 例2（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图 ，，，点 在内部且，则 的最大值是    【答案】 【详解】如图，连接、，在上取一点，使得，    ，，，、、、四点共圆， ，，是等边三角形，， ，是等边三角形，，，， ，，，， 四边形的周长为， ，当最大时，四边形的周长最大，则最大， 当是的外接圆的直径时，最大，此时点在中点处， ，最大值=，最大为，故答案为：． 例3（2024·河南·校考一模）综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．    特殊情况分析：(1)如图1，正方形中，点为对角线上一个动点，连接，将射线绕点顺时针旋转的度数，交直线于点． 小明的思考如下： 连接，∵，，∴，（依据1） ∵，∴，∴点共圆， ∴，，（依据2）；∴，∴．（依据3） 填空：①依据1应为___________，②依据2应为___________，③依据3应为___________； 一般结论探究：(2)将图1中的正方形改为菱形，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，若成立，请仅以图2的形式证明，若不成立，请说明理由； 结论拓展延伸：(3)如图2，若，，当为直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；同弧所对的圆周角相等；等角对等边 (2)成立，理由见解析(3)或3 【详解】（1）解：由题意可知：①两直线平行，内错角相等，②同弧所对的圆周角相等，③等角对等边， 故答案为：两直线平行，内错角相等；同弧所对的圆周角相等；等角对等边； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：连接DQ，如图1所示：          ∵在菱形中，∴，， ∵，∴点共圆，∴，， ∵为菱形的对角线，∴，∴，∴； （3）解：或3． 由于点为对角线上一个动点，分两类情况讨论如下： ①当时，如图2所示： ∵在菱形中，，，∴， ∵，∴，∴， 由（2）中知点共圆，知，， ∴，∴，即， ∴在中，，则，∴由（2）知； ②当时，如图3所示： 在菱形中，，则， ，点与点重合， 由（2）可知，，，综上所述：或3． 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，为等边的外心，四边形为正方形．现有以下结论:是的外心；是的外心；；设，则；若点，分别在线段，上运动（不含端点），随着点运动到每一个确定位置时，的周长都有最小值，，其中所有正确结论的序号是（   ）    A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤ 【答案】A 【详解】解：连接，；∵为的外心；∴； ∵正方形；∴；∴；∴是的外心；故正确．         对于，连接，；∵；∴不是的外心；故错误． 对于，连接；∴；∴，，，三点共圆；∴； ∵即；故正确． 对于，∵，∴，，，四点共圆， 如图所示，以点为旋转中心，把绕点逆时针旋转，点的对应点为点，∴， ∵，∴，即 ∵，∴，∴，，三点共线； 由旋转的性质可得，，∴是等边三角形； ∵；过点作的垂线，垂足为；∴； ∵；在中，；∴； ∴；∵；∴；故正确．       对于，如下图所示；作EM和EN关于和的对称线段； ∴，；∴； 当，，，四点共线时，周长最小；即 连接，∴，连接；∴是等腰三角形； ∵，；∴； ∵；∴； ∴三角形是以为顶角的等腰三角形；过点作的垂线，垂足为， ∵；∴；在中；∴； ∴；即；故错误；综上所述，①③④正确；故选． 2．（24-25·安徽·模拟预测）如图，在中，的边经过点，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解法1：在中，， ∴，， ，∴，又，， ， ，，当取最大值时，取最大值． ，，四点共圆，最大值为直径长． ，∴是直径，的最大值为， 的最大值为． 解法2：同解法1得，作的外接圆，连接，过圆心作，垂足为点． ，．， ．当为的直径时，取得最大值为．故选：A 3．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在长方形中，，，垂足为，延长交于，表示面积，则给出的下列命题：①；②；③；④．其中正确命题的代号是 ． 【答案】①③④ 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，， 在和中，，∴，∴①正确； ∵的面积的面积，∴的面积的面积，∴②不正确； ∵，∴，∴， ∴、、、四点共圆，∴，∴③正确； ∵、、、四点共圆，如图所示： 延长交矩形的外接圆于，连接，则， ∵，∴，∴④正确；正确的代号是①③④；故答案为：①③④． 4.（2024•连云港九年级期中）如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是　 　． 【详解】由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示， ∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故答案为：140°． 5．（2020·黑龙江大庆·中考真题）如图，等边中，，点，点分别是边，上的动点，且，连接、交于点，当点从点运动到点时，则点的运动路径的长度为 ． 【答案】 【详解】解：如图：作过A、B、F作⊙O,过O作OG⊥AB，连OB ∵等边∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°；∵∴△BCE≌△ABC∴∠BAD=∠CBE ∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°∴∠ABE+∠BAD=60°∴∠AFB=120° ∵∠AFB是弦AB同侧的圆周角∴∠AOB=120°；∵OG⊥AB,OA=OB ∴∠BOG=∠AOG=∠AOB=60°,BG=AB=∴∠OBG=30° 设OB=x，则OG=x ∴，解得x=或x=-（舍）∴的长度为．故答案为：． 6．（2024·四川成都·一模）如图，已知四边形是矩形，，点E是线段上一个动点，分别以、为边向线段的下方作正方形、正方形，连接，过点B作直线的垂线，垂足是J，连接，求点E运动过程中，线段的最大值是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，取中点，以为直径作，连接并延长交于点，作于，作于，交、于点、，是梯形中位线， ，， 是中点，到、的距离均为4，一定是以为边的正方形的中心点， 一定在以为直径的圆上运动，当过点圆心时，最大， ，，，， ，，，，， ，，，．故答案为：． 7．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________． 【答案】     80     【详解】解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB =∠ECA， 在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（ SAS），∴∠EAC=∠DBC， ∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；设BF与AC相交于点H，如图： ∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC， ∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四个点在同一个圆上， ∵点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，∴此时线段AF长度有最小值，在Rt△BCD中，BC=5，CD=3， ∴BD=4，即AE=4，∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，∵∠AFB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，∴FD=FE， 过点F作FG⊥DE于点G，∴DG=GE=，∴FE=DF==， ∴AF=AE-FE=4-，故答案为：80；4-． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，，，点E、F分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接并延长，如图，，，，    ，，，，四点共圆，为等腰直角三角形，， ，，点的轨迹为的平分线上， 垂线段最短，当时，取最小值，的最小值为，故答案为：． 9．（2025·浙江宁波·一模）如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图旋转，连接 以为直径作，以为半径作，过点作的切线交于点 在和中 ∴点共圆，点共圆，点在上运动 ，的半径为∴ 又∵，∴当点运动到点时，到直线距离的最大， 过点作，过点作，， ∴四边形是矩形，   是圆心，设 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 10．（24-25·广东九年级课时练习）如图所示，正方形中，为对角线，点为上一点，过作，交于，求证：. 【答案】见解析. 【详解】在正方形ABCD中，,∠BDC=45° ∵∴∴∠ADC+∠AEF=180° ∴，，，共圆，∴，∴∴. 11．（24-25·浙江九年级课时练习）在正方形中，是边上一点，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）如图1，求证：；（2）如图2，若点，，三点共线，求证：，，，四点共圆； （3）若点，，三点共线，且，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）根据旋转的性质可得，， ∵，∴，∵，∴，∴； （2）∵，∴，∵点，，三点共线，∴， ∴，∴，，，四点共圆； （3）∵，，∴为等腰直角三角形，∴， 以点为圆心，为半径作， ∵，，∴，∴点在圆上，∴． 12．（2023·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，其中点与点对应，点与点对应． (1)画出．(2)直线与直线相交于点，证明：A，，，四点共圆． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【详解】（1）解：如下图所示，过点A作，且，过点A作，且， 连接即可得到； （2）证明：如下图所示：由题意可知逆时针旋转 得到边 ，，则 ， ，，，， ，，，， 四点共圆． 13．（24-25·山东九年级课时练习）如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．（1）求证：ME=MF．（2）若∠A=50°，求∠FME的度数． 【答案】（1）证明见解析（2）80°． 【详解】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，M为BC的中点，∴ME=BC，MF=BC，∴ME=MF； （2）解：∵CF⊥AB，∠A=50°，∴∠ACF=40°， ∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴B、C、E、F四点共圆，∴∠FME=2∠ACF=80°． 14．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）请阅读下列材料，完成相应任务．我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图①，C，D是线段同侧两点，且．求证：A，B，C，D四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点D在外或在内． 如图②，若点D在外，设与交于点E，连接，则（依据1） 又，（依据2）所以． 所以．这与已知条件“”矛盾，故点D在外不成立． 如图③，若点D在内，…… 综上所述，作的外接圆，点D在上，即A，B，C，D四点共圆． 任务：(1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别指什么？ 依据1：______；依据2：______． (2)请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分． 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和(2)见解析 【详解】（1）解：依据一：同弧所对的圆周角相等；依据二：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）如图3，若点在内，延长与交于点，连接，则， 又，．． 这与已知条件“”矛盾，故点在内不成立； 15．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】（1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】（2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】（3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵，∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，； （3）∵在正方形中，，， ∴，，，， ∴，∵，∴， 又∵是直角三角形，，∴，∴ 又∵，∴即∴． 16．（24-25九年级上·福建·期末）综合与实践：数学活动课上，兴趣小组开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示：设是的外接圆；如图2，假设点在内，延长交于点，连接 点在上，∴（_____） 在中， 这与已知条件矛盾；点不在内 如图3，假设点在外，； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】（1）上述探究过程中的括号内填的依据是_____； （2）如图3，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】（3）如图4，已知四边形中，，若，平分，记，的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）同弧所对的圆周角相等； （2）证明：如图3，假设点在外，设交于点，连接， 点在上，，在中，， ，这与已知条件矛盾，点不在外； （3）解：的值不会发生改变；理由如下：已知四边形中，，若，平分，记，延长至点，使得，过点作于， ，，，四点在同一个圆上，平分， ，，； ，，，四点在同一个圆上，， ，， 在和中，，，，， ，，，平分，， ，，，， ，∴． 17．（2024·陕西渭南·一模）【结论理解】“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． (1)【问题探究】如图1，在矩形中，点E为上一点，将沿翻折，点C的对应点F恰好落在边上，做经过F、E、C三点的圆，请根据以上结论判断点B点______（填“在”或“不在”）该圆上； (2)如图2，四边形是的内接四边形，， ，，求四边形的面积．(3)【问题解决】如图3，四边形是某公园的一块空地，现计划在空地中修建与两条小路，（小路宽度不计），将这块空地分成四部分，记两条小路的交点为P，其中与空地中种植草坪，与空地中分别种植郁金香和牡丹花．已知，且点C到的距离是，求种植牡丹花的地块的面积比种植郁金香的地块的面积多多少？ 【答案】(1)在(2)(3) 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，由折叠的性质得：， ∴，∴四点B、C、E、F共圆， ∴点B在点C、E、F确定的圆上，故答案为：在； （2）解：∵四边形是圆内接四边形，∴， ∵，∴， 由勾股定理，， ； （3）解：如图，过点C作于E，过点B作，交的延长线于点F， 则，， ∵，，∴， ∵，∴，∴； ∵，， ∴． 18．（24-25九年级下·广西·开学考试）综合与实践 【问题提出】在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题： 如图1，中，，．点是边上的一动点（点不与，重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接． 【初步感知】（1）求证：A，，，四点共圆； 【深入探究】（2）如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线； 【延伸探究】（3）已知，，点是边的中点，此时是四边形的外接圆，求出圆心与点距离的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）证明：由旋转的性质可得，∴， ∴，即， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴A、B、D、E四点共圆； （2）证明：如图所示，连接， ∵，∴， ∵是四边形的外接圆，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，即，∴， 又∵是的半径∴是的切线； （3）解：如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接， ∵，∴， ∵点M是边的中点，，∴，，∴， 由勾股定理得，∴，∴， 在中，，∴，由得，∴， ∵是四边形的外接圆，∴点P一定在的垂直平分线上， ∴点P在直线上，∴当时，有最小值， ∵，∴， ∴在中，，∴， ∴圆心P与点M距离的最小值为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $