1.2.3 直线的一般式方程（教学课件）数学苏教版2019选择性必修第一册

1.2.3 直线的一般式方程 第一章 直线与方程 苏教版2019选择性必修第一册•高二 学 习 目 标 1 2 3 掌握直线的一般式方程. 理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线. 会进行直线方程的五种形式之间的转化． 方程 适用范围 点斜式 不垂直于x轴的直线 斜截式 不垂直于x轴的直线 两点式 不垂直于坐标轴的直线 截距式 不垂直于坐标轴且不经过原点的直线 ★四种直线方程及其适用范围★ 知识回顾 我们已经学习了直线方程的几种特殊形式，它们都是关于，y的二元一次方程，那么， ● 任意一条直线的方程都是关于 x，y 的二元一次方程吗? 事实上，在平面直角坐标系中，直线可以分成两类：一类是与 x 轴不垂直的直线，另一类是与 x 轴垂直的直线. 新知探究 当直线与 x 轴不垂直时，直线的斜率存在，于是经过点 P(x1，y1)，斜率为 k 的直线的方程为 y－y1＝k(x－x1)， 即 kx－y1＋y1－kx1＝0， 此方程是关于 x，y 的二元一次方程. 当直线与 x 轴垂直时，直线的斜率不存在，于是经过点 P1(x1，y1) 的直线的方程为 x＝x1，即 x＋0×y－x1＝0， 此方程也可看作是关于 x，y 的二元一次方程. 因此，平面直角坐标系中的任意一条直线的方程都可以用关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0 (A，B 不全为0) 来表示. 在平面直角坐标系中，动点由横坐标、纵坐标决定，所以方程 x＝x1也可以看成二元一次方程. 新知探究 反过来，关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0 (A，B不全为0) 都表示平面直角坐标系中的一条直线吗? 显然，当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成 它表示斜率为 在y轴上的截距为的直线 显然，当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成 它表示垂直于x轴的直线 新知探究 因此，在平面直角坐标系中，任何一个关于，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0 ( A，B 不全为0 ) 都表示一条直线. 也称为关于 x，y 的线性方程. 方程 (A，B不全为0)叫作直线的 . 注意点： (1)直线的一般式方程是关于x，y的二元一次方程，方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列，x的系数一般不为分数和负数. (2)当A≠0，B＝0时，直线与x轴垂直，即直线与y轴平行或重合. (3)当A＝0，B≠0时，直线与y轴垂直，即直线与x轴平行或重合. Ax＋By＋C＝0 一般式方程 概念归纳 典例分析 方法技巧 解题的关键： 作图关键 当x=0时，y=3 当y=0时，x=5 例1.求直线l：3x+5y-15=0的斜率以及它在 x轴、y轴上的 截距，并作图。 解:将直线l的方程化为 因此，直线l的斜率 k= 在方程 3x+5y-15=0中 当x=0时，y=3 当y=0时，x=5 所以直线l在y轴上的截距为 3， 在x轴上的截距为 5， 过点(5，0)，(0，3)作直线，就得到直线l 。 教材P17 例题 例2.设m为实数，若l的方程为x+my−2m+6=0，根据下列条件分别确定m的值： (1)直线l在x轴上的截距是−3； (2)直线l的斜率是1 。 解（1）令y=0，得 x=2m-6. 由题意知2m-6=-3. 解得m=. （2）因为直线l的斜率存在，所以m≠0，于是直线l的方程化为 由题意知 解得m=-1. 典例分析 方法技巧 含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不全为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距.令y＝0可得在x轴上的截距. 若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式. (3)解分式方程要注意验根. 教材P17 例题 教材P18 练习 1.分别写出下列直线的斜率以及它们在x轴、y轴上的截距: (1)x+2y=4; (2)y= +3): (3)y-1=-3(x-2); (4) =1. 2. 设直线 5x－2y－10＝0 在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截距为 b，则( ). A. a＝2，b＝5 B. a＝2，b＝－5 C. a＝－2，b＝5 D. a＝－2，b＝－5 B 教材P18 练习 3. 设 m 为实数，若直线 l 的方程为 mx＋(m－1)y＋3＝0，根据下列条件分别确定 m 的值： (1) 直线 l 在 y 轴上的截距为6； (2) 直线 l 的斜率为2； (3) 直线 l 垂直于 x 轴； (4) 直线 l 经过点(1，3). 教材P18 练习 4. 设 A，B，C 为实数，且 A，B 不同时为 0. 若直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0，根据下列条件，分别求出 A，B，C 应满足的条件： (1)直线 l 过原点； (2)直线 l 垂直于 x 轴； (3)直线 l 垂直于 y 轴； (4)直线 l 与两条坐标轴都相交. 答案：(1) C＝0. (2) B＝0、A≠0. (3) A＝0、B≠0. (4) A≠0、B≠0. 教材P18 练习 5. 写出下列图中各条直线的方程，并化为一般式： 答案：(1) x－y＋2＝0. (2) x＋y－1＝0. (3) x＋3y－3＝0. (4) x＋2y＋2＝0. 教材P18 练习 方法技巧 直线的一般式方程 题型一 题型探究 例1　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； 即2x＋y－3＝0. (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； 即x＋3y＋3＝0. (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴. y－2＝0. 求直线的一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式. 1.如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A(0,2)，B(－2,0)，C(1,0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为______________. x＋4y－14＝0 变式训练 过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N(图略). ∵四边形ACGH为正方形，∴Rt△AMH≌Rt△COA， ∵OC＝1，∴AM＝OC＝1，∴OM＝OA＋AM＝3，又MH＝OA＝2， ∴点H的坐标为(2,3)，同理得到F(－2,4)， 化为一般式方程为x＋4y－14＝0. 方法技巧 一般式方程化为其他形式的方程 题型二 题型探究 含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不全为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距.令y＝0可得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式. (3)解分式方程要注意验根. 例2　设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6， 根据下列条件分别确定m的值： ①直线l在x轴上的截距是－3； 当直线在x轴上的截距为－3时， ②直线l的斜率是－1. 解得m＝－2. 2.若直线(m＋1)x＋(m2－m－2)y＝m＋1在y轴上的截距等于1，则实数m的值为_____. 由题意可知直线过点(0,1)， 代入可得m2－m－2＝m＋1，变形可得m2－2m－3＝0， 解得m＝3或m＝－1， 当m＝－1时，m＋1＝m2－m－2＝0，不满足题意，所以m＝3. 3 变式训练 直线一般式方程的应用 题型三 题型探究 例3　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围. 如图所示，要使直线l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3， ∴a≥3. 方法技巧 已知含参直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤 20 3.已知直线l：ax＋by－1＝0，若a∈{－1,1}，b∈{－2，－1,1}，求直线l不经过第二象限的概率. 变式训练 要使直线l：ax＋by－1＝0恰好不经过第二象限， ∵a∈{－1,1}，b∈{－2，－1,1}， ∴a＝1，b＝－2或a＝1，b＝－1，共有2个结果. 而a，b的选择共有6个结果，则根据古典概率的概率公式， 方程 适用范围 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 ★五种直线方程及其适用范围★ 不垂直于x轴的直线 不垂直于x轴的直线 不垂直于坐标轴的直线 不垂直于坐标轴且 不经过原点的直线 任何直线 课堂小结 感谢聆听! ∴直线FH的方程为＝， 有＝－3，且m2－2m－3≠0， 解得m＝－. 当斜率为－1时，有－＝－1，且2m2＋m－1≠0， 将直线l的方程整理为y－＝a， ∴直线l的斜率为a，且过定点A， 又点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限. 直线OA的斜率为k＝＝3. 由直线l：ax＋by－1＝0得y＝－x＋， 则或 即或 得所求的概率P＝＝. $$