第07讲 基本不等式 2025年升高一暑假数学讲义（人教A版2019必修第一册）

第07讲 基本不等式 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 对基本不等式的证明 【题型二】 对基本不等式的理解 【题型三】 基本不等式求和最小值的常见方法 【题型四】 利用基本不等式求积的最大值 【题型五】条件等式求最值 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.了解基本不等式代数和几何两方面的背景，了解几何平均数和代数平均数的概念； 2.理解基本不等式的证明过程； 3.熟练地掌握基本不等式及其变形形式，并能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小，求某些函数的最值，证明简单的不等式； 4.会应用基本不等式模型解决一些简单实际问题. 【题型一】 对基本不等式的证明 【典题1】几何法证明基本不等式：若，则 (当且仅当时，等号成立). 证明：基本不等式的几何证明 (当点重合，即时，取到等号) 变式练习 1 代数法证明基本不等式：若，则 (当且仅当时，等号成立). 证明：， 令，则(当且仅当时，等号成立). 【题型二】对基本不等式的理解 相关知识点讲解 若，则 (当且仅当时，等号成立). ① 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. ② 运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号. 【典题1】（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为2 D．最大值为2 变式练习 1（24-25高一上·上海·期末）若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·北京·期末）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3（23-24高一上·上海静安·期中）给出下列命题中，真命题的个数为（    ） ①已知，则成立； ②已知且，则成立； ③已知，则的最小值为2； ④已知，，则成立． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型三】基本不等式求和最小值的常见方法 方法1 直接法 【典题1】（24-25高一上·辽宁·期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 变式练习 1（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知实数，则的最小值是（    ） A． B． C．6 D．5 2（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 方法2 凑项法 【典题1】（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．6 变式练习 1（24-25高一上·天津南开·阶段练习）函数的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2（2025·四川德阳·二模）若，则函数的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 3（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 方法3 巧“1”法 【典题1】（24-25高一上·河南漯河·期末）已知实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．12 变式练习 1（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则的最小值为（    ） A． B．12 C． D．6 2（24-25高一上·广东深圳·期末）已知正数满足，则的最小值是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【题型四】利用基本不等式求积的最大值 【典题1】（24-25高一上·贵州·阶段练习）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（2025·广东汕头·一模）已知，，，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．不存在 2（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型五】条件等式求最值 【典题1】（24-25高一上·上海虹口·期末）设正实数满足，则下列结论不正确的是（    ）. A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 变式练习 1（24-25高三上·广东深圳·期末）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2（24-25高三下·河南周口·开学考试）已知，，且，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 3（24-25高一上·云南大理·期末）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4（24-25高三上·山东泰安·期末）若，则的最小值为（    ） A．12 B．16 C．20 D．25 5（24-25高一下·浙江·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 6（24-25高一上·河南三门峡·期末）设非负实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是1 C．的最小值是4 D．的最小值是4 【A组---基础题】 1（23-24高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知，，，则的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 3（24-25高一上·福建莆田·期末）已知都为正数，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 5（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，，且，则的最小值为（   ）． A．9 B．8 C．6 D．5 6（多选）若正实数满足，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 7（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知正数满足，则的最小值是 ． 8（24-25高二下·山西·开学考试）若，则函数的最小值为 ． 9（24-25高一上·海南儋州·期中）为了满足运输市场个性化线路的需求，海南儋州汽车运输公司购买了一批电动汽车投入运营．根据运营情况分析，每辆电动汽车营运的总利润（单位：万元）与营运年数为二次函数的关系（如图），其中为二次函数的顶点坐标. (1)在运营过程中，求每辆电动汽车的总利润y关于营运年数的函数关系； (2)当每辆电动汽车营运年数为多少时，儋州汽车运输公司营运的年平均利润最大？年平均利润最大是多少？ 【B组---提高题】 1（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知正数，满是，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2（2024·山东淄博·二模）记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 3（24-25高一上·重庆·阶段练习）若是三个不全相等的实数，且不等式恒成立，则实数t的最小值为（    ） A． B． C． D． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 基本不等式 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 对基本不等式的证明 【题型二】 对基本不等式的理解 【题型三】 基本不等式求和最小值的常见方法 【题型四】 利用基本不等式求积的最大值 【题型五】条件等式求最值 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.了解基本不等式代数和几何两方面的背景，了解几何平均数和代数平均数的概念； 2.理解基本不等式的证明过程； 3.熟练地掌握基本不等式及其变形形式，并能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小，求某些函数的最值，证明简单的不等式； 4.会应用基本不等式模型解决一些简单实际问题. 【题型一】 对基本不等式的证明 【典题1】几何法证明基本不等式：若，则 (当且仅当时，等号成立). 证明：基本不等式的几何证明 (当点重合，即时，取到等号) 变式练习 1 代数法证明基本不等式：若，则 (当且仅当时，等号成立). 证明：， 令，则(当且仅当时，等号成立). 【题型二】对基本不等式的理解 相关知识点讲解 若，则 (当且仅当时，等号成立). ① 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. ② 运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号. 【典题1】（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为2 D．最大值为2 【答案】C 【分析】利用基本不等式的概念及运算逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】当时，，当且仅当即时，等号成立； 当时，， 当且仅当即时，等号成立；故选项AB错误； 任意，，当且仅当时， 即也即时，等号成立，所以最小值为2，故选项C正确； 当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大，所以无最大值， 故D错误. 故选：C. 变式练习 1（24-25高一上·上海·期末）若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】AB通过分析a，b符号，可判断选项正误； C由基本不等式可判断选项正误； D由作差法结合AB分析可判断选项正误. 【详解】对于AB，因，则a，b同号，当a，b都为负数时， 显然，，故AB错误； 对于C，由基本不等式，因，则，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，则当a，b都为负数时， ，故D错误. 故选：C 2（24-25高一上·北京·期末）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】AD通过分析符号可完成判断； B由基本不等式可判断选项正误； C由做差法可判断选项正误. 【详解】对于A，因，则同号，但由题不能判断同为正或同为负， 当为负数时，，则A错误； 对于B，，当且仅当，即时，取等号，故B正确 对于C，，故C错误； 对于D，由A分析，当为负数时，，则D错误； 故选：B 3（23-24高一上·上海静安·期中）给出下列命题中，真命题的个数为（    ） ①已知，则成立； ②已知且，则成立； ③已知，则的最小值为2； ④已知，，则成立． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用基本不等式以及基本不等式的使用要求逐一判断即可. 【详解】当时，①中的不等式是错误的，①错； 因为与同号，所以是正确的，且，即时等号成立，所以②中的基本不等式计算是正确的，②对； （当时，无解，等号不成立），故③错； 因为，所以且，且，即时等号成立，所以④中的基本不等式运算是正确的，④对． 故选: B． 【题型三】基本不等式求和最小值的常见方法 方法1 直接法 【典题1】（24-25高一上·辽宁·期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为， 故选：D 变式练习 1（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知实数，则的最小值是（    ） A． B． C．6 D．5 【答案】B 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即， 所以的最小值是. 故选：B. 2（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】利用基本不等式即得. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，且，即时，取等号， 所以的最小值为2. 故选：D. 方法2 凑项法 【典题1】（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 故选：A 变式练习 1（24-25高一上·天津南开·阶段练习）函数的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则，当且仅当时取等号， 所以所求的最小值为8. 故选：D 2（2025·四川德阳·二模）若，则函数的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当即时等号成立. 故选：C. 3（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先变形已知，再利用基本不等式求最值. 【详解】， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 方法3 巧“1”法 【典题1】（24-25高一上·河南漯河·期末）已知实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】C 【分析】利用“1”的代换，由基本不等式求最小值． 【详解】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C. 变式练习 1（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则的最小值为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】A 【分析】利用代换1法求最值即可. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：A. 2（24-25高一上·广东深圳·期末）已知正数满足，则的最小值是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求解. 【详解】因为正数满足， 则， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值是8. 故选：A. 【题型四】利用基本不等式求积的最大值 【典题1】（24-25高一上·贵州·阶段练习）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式求积的最大值. 【详解】由，则， 当且仅当时等号成立，故原式最大值为. 故选：A 变式练习 1（2025·广东汕头·一模）已知，，，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．不存在 【答案】C 【分析】应用基本不等式计算求解即可. 【详解】由基本不等式得：，当且仅当时取等号，C正确． 故选：C. 2（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配凑法，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此取到最大值． 故选：B. 【题型五】条件等式求最值 【典题1】（24-25高一上·上海虹口·期末）设正实数满足，则下列结论不正确的是（    ）. A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】根据基本不等式的应用，结合选项计算即可判断. 【详解】A：∵， ∴， 当且仅当即时等号成立，故A正确． B：，得， ，所以， 当且仅当即时等号成立，故B正确． C：，∴，当且仅当时，等号成立，故C错误； D：，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：C． 变式练习 1（24-25高三上·广东深圳·期末）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用利用基本不等式化简已知条件，从而求得正确答案. 【详解】依题意，， 即， 由于，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故选：B 2（24-25高三下·河南周口·开学考试）已知，，且，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式列式求出最小值. 【详解】由，，得，当且仅当时取等号， 则，即，解得， 时等号成立，故取得最小值. 故选：C 3（24-25高一上·云南大理·期末）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析可知，代入化简后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为正实数，满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 4（24-25高三上·山东泰安·期末）若，则的最小值为（    ） A．12 B．16 C．20 D．25 【答案】C 【分析】由，代入,求解一元二次不等式即可； 【详解】，当且仅当时取等号， 即， 即，因为， 所以， 所以的最小值为20， 故选：C 5（24-25高一下·浙江·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】由得，利用基本不等式即可求解. 【详解】解：由题意得且所以 所以 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为 故选：C. 6（24-25高一上·河南三门峡·期末）设非负实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是1 C．的最小值是4 D．的最小值是4 【答案】D 【分析】对于ABD：利用基本不等式以及乘“1”法逐项分析判断；对于B：根据题设条件反推即可. 【详解】因为非负实数满足， 对于选项A：因为， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为为非负实数， 当时，，的最大值不是1，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故C错误； 对于选项D：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是，故D正确； 故选：D. 【A组---基础题】 1（23-24高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案. 【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合； 对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合； 对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合； 对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合. 故选：C. 2（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知，，，则的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由基本不等式求解即可； 【详解】，所以，，当且仅当，即，时，， 故选：B． 3（24-25高一上·福建莆田·期末）已知都为正数，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基本不等式进行求解即可. 【详解】都为正数，， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 故答案为： 4（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】D 【分析】利用“1”代换及基本不等式计算可得. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：D 5（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，，且，则的最小值为（   ）． A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：A 6（多选）若正实数满足，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】ACD 【分析】由，可判断A；利用基本不等式1的代换可求得的最小值可判断B；利用可求最大值可判断C；根据，结合二次函数可求最小值. 【详解】由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； ，当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值是9，故B错误； ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是，故C正确； ， 当时，取得最小值，故D正确. 故选：ACD. 7（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知正数满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式“1”的妙用可求得结果. 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 综上所述，的最小值是. 故答案为：8. 8（24-25高二下·山西·开学考试）若，则函数的最小值为 ． 【答案】7 【分析】把题干函数变形，然后根据基本不等式求解即可. 【详解】 由可知， ，当且仅当时，等号成立， 即函数的最小值为7. 故答案为：7 9（24-25高一上·海南儋州·期中）为了满足运输市场个性化线路的需求，海南儋州汽车运输公司购买了一批电动汽车投入运营．根据运营情况分析，每辆电动汽车营运的总利润（单位：万元）与营运年数为二次函数的关系（如图），其中为二次函数的顶点坐标. (1)在运营过程中，求每辆电动汽车的总利润y关于营运年数的函数关系； (2)当每辆电动汽车营运年数为多少时，儋州汽车运输公司营运的年平均利润最大？年平均利润最大是多少？ 【答案】(1)， (2)5，2 【分析】（1）根据图象即可求解； （2）由基本不等式求解的最大值即可. 【详解】（1）根据题意知，抛物线的顶点为，过点，开口向下， 设二次函数的解析式为， 所以，解得， 所以， （2）由（1），得营运的年平均利润， 当且仅当，即时取等号．最大值为2. 【B组---提高题】 1（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知正数，满是，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先利用换元法探索的关系，再结合基本不等式求的最小值. 【详解】因为，为正数，且， 两边平方得：， 所以. 设，则 . 所以 . 所以 . 当且仅当：即时取“”.即的最小值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于根据已知条件，探索出满足的条件等式. 2（2024·山东淄博·二模）记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】设，得，两次应用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件即可． 【详解】设，则，，， ∴，当且仅当时取等号， 又，当且仅当，即时取等号， 所以， 所以的最小值是2， 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据定义得出，，，相加后基本不等式求得最小值． 3（24-25高一上·重庆·阶段练习）若是三个不全相等的实数，且不等式恒成立，则实数t的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，令，可得，故，则求得t的范围，即可求得t的最小值. 【详解】设 ，， 因为，， 所以，等号成立的条件是． 令，解得， 所以， 即， 所以， 故选：A 【点睛】方法点睛：由已知式联想基本不等式，由于不等式一侧只有两项：，把拆成两项，分别与相加应用基本不等式，构成形式上的一致，再利用系数关系求得参数，然后由不等式恒成立可得结论． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$