第06讲 等式性质与不等式性质 2025年升高一暑假数学讲义（人教A版2019必修第一册）

第06讲 等式性质与不等式性质 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 利用不等式的性质判断命题的真假 【题型二】 比较两个数(或式)的大小 【题型三】 求代数式的取值范围 【题型四】 由不等式的性质证明不等式 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解不等式的概念，能在具体问题中建立不等式关系；’ 2.掌握不等式的基本性质，能用不等式的基本性质解决一些简单问题。 【题型一】 利用不等式的性质判断命题的真假 相关知识点讲解 不等式的性质 (1) 传递性：； (2) 加法法则：； (3) 乘法法则：； (4) 倒数法则：； (5) 乘方法则：. 【典题1】（24-25高一上·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可. 【详解】对A，当时，，故A错误； 对B，，，故B正确； 对C，若，则，则，即，故C错误； 对D，当时，，则，故D错误. 故选：B 【典题2】 （24-25高三下·河南驻马店·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】运用不等式性质，结合举反例，根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当时，，则，则成立，可知充分性成立； 当时，成立，但不成立，可知必要性不成立． 可得“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 变式练习 1（24-25高一上·北京顺义·期末）已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据图可得，应用不等式性质及特殊值法逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A：因为，左右乘以，所以， 所以，故A正确； 对于B：由图可得，左右乘以，所以，所以B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，取，所以，故D错误， 故选：A 2（23-24高三上·四川南充·阶段练习）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】利用不等式的基本性质可判断AD选项，利用特殊值法可判断BC选项. 【详解】因为，， 对于A选项，，A错； 对于B选项，不妨取，，，，则，B错； 对于C选项，取，则，C错； 对于D选项，由题意可知，，由不等式的基本性质可得，D对. 故选：D. 3（2025高三·全国·专题练习）已知，则下列不等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式同向可加性可判断A；根据不等式同向同正可乘性可判断B；根据不等式基本性质可判断C、D. 【详解】因为，所以，故选项A正确； 因为，所以，故选项B正确； 因为，所以，故选项C错误； 因为，所以，所以，故选项D正确． 故选：C. 4（24-25高一上·上海宝山·期末）已知非零实数a、b满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】运用不等式的性质，结合特殊值法和作差法比较大小，对每个选项逐一分析判断其是否一定成立. 【详解】对于A选项，对于，即.当，时，，，此时，所以不一定成立.故A错误. 对于B选项，对于.当，时，满足，此时，，，所以不一定成立. 故B错误. 对于C选项，对于.因为，又恒大于，已知，即，所以，即一定成立. 故C正确. 对于D选项，对于.当，时，满足，但，，，所以不一定成立.故D错误. 故选：C. 【题型二】 比较两个数(或式)的大小 相关知识点讲解 比较两个实数(或代数式)大小 (1) 作差法(与的比较) (2) 作商法(与比较) (3)中间值法，若要证明，只需要在中间找一个数，即证明且. 其实质是不等式的传递性:若，，则. 【典题1】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 【答案】（1），（2） 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】（1）（2）利用作差法即可求解. 【详解】（1）， 由于，所以，所以， 故 （2）， 因为，即 所以. 【典题2】（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【答案】 【知识点】作商法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 变式练习 1（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）设，，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】举例说明判断AC；作差比较大小判断B；利用不等式性质判断D. 【详解】对于AC，取，满足，而，AC错误； 对于B，，则，B错误； 对于D，由，得，则，，D正确. 故选：D 2（2025高三·全国·专题练习）已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】根据题意利用作差法分析判断即可. 【详解】因为 ， 若，且，则，， 可得，即； 若，且，则，， 可得，即； 若，则，即； 综上可知，对于，，，都有. 故选：C. 3（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）若，设，则的大小关系是 ．（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空） 【答案】＞； 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以 ， ， 则，即， 故答案为：＞ 4（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①； ②； ③； 【知识点】作商法比较代数式的大小、作差法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】解： ① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 【题型三】 求代数式的取值范围 【典题1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）（1）若，求的取值范围； （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】利用不等式求值或取值范围、作差法比较代数式的大小 【分析】（1）由，得，再两个不等式相加即可得到结果. （2）首先设，求出的值，再让两个不等式相加可得结果. 【详解】（1）因为，即，， 所以，所以， 又，所以，即． （2）设， ，解得，． ，， ，， 则． 的取值范围是． 变式练习 1（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用不等式求值或取值范围、由不等式的性质证明不等式 【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解. 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又， 所以，故A，C，D错误. 故选：B. 2（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）解决下列问题 (1).已知，，求的取值范围； (2).已知，，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】作差法比较代数式的大小、利用不等式求值或取值范围 【分析】（1）由不等式性质可解决问题； （2）由待定系数法结合不等式性质可得答案； 【详解】（1）因，，则， 则； （2）设. 则.， 则； 【题型四】 由不等式的性质证明不等式 【典题1】（2025高三·全国·专题练习）设，证明：． 【答案】证明见解析 【知识点】由不等式的性质证明不等式 【分析】不妨设，，然后对的符号分类讨论即可. 【详解】根据的对称性，不妨设. 同时，可以不妨设，否则只需要用分别替换，即可将问题等价转化为的情形. 若，则. 若，，则，，故 . 若，，则，，故 . 若，则，，故 . 综上，原不等式成立. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于合理使用优化假设，并使用绝对值不等式. 变式练习 1（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【知识点】由不等式的性质证明不等式、作差法比较代数式的大小 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 2（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【知识点】由不等式的性质证明不等式、利用不等式求值或取值范围 【分析】（1）根据条件，利用不等式的性质，即可求解； （2）通过作差，得到，再根据条件，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以， 当，时，则，，此时， 当，时，则，此时，得到， 当，时，则，此时，得到， 当，时，， 又当或时，， 综上，. （2）因为， 又，，则，， 所以，得到. 3（24-25高一上·山东·阶段练习）（1）设，求证：， （2）设，求证：， 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【知识点】由不等式的性质证明不等式 【分析】（1）方法一：由，利用， 对进行放缩，即可证明； 方法二：由，利用， 对进行放缩，即可证明； 方法三：由，利用，即可证明； （2）方法一：由，利用 ，即可证明； 方法二：由，利用 ，即可证明； 方法三：几何法，构造符合题意的几何图形； 方法四：构造一次函数，，证明对，都有即可. 【详解】（1）方法一：，， ， ． 方法二：， ． 方法三： ， ， ， 即． （2）方法一：， ， ， ． ， . 方法二：， ， ， ， ． ， ． 【A组---基础题】 1（24-25高一上·湖南益阳·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质判断AC，举例说明判断BD. 【详解】A：若，则，故A错误； B：举例，不成立，故B错误； C：由题意知，则，故C正确； D：举例，不成立，故D错误. 故选：C 2（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知，则下列不等式中一定成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】利用特殊值法可判断AD错误，利用作差法计算可得B正确，再由不等式性质可得C错误. 【详解】对于A，当时，可知不成立，故A错误； 对于B，因为，可得； 所以，故B正确； 对于C，由，可得，则，即，故C错误； 对于D，，当时，，故D错误． 故选：B 3（24-25高一上·广东深圳·期末）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】作差法比较代数式的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】对于AＣＤ，由做差法与题意可判断选项正误； 对于B，由不等式性质可判断选项正误． 【详解】对于A，，因，则， 又，则，故A错误； 对于B，由不等式同向可加性可知，当时，，故B正确； 对于C，，因，则，又， 则，故C正确； 对于D，，因，则， ，则， 故D正确． 故选：A 4（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】首先确定的正负情况，再根据不等式的性质，即可判断. 【详解】因为，且，所以，，的取值不确定，可以为正数，负数和零， A.因为，时，，时，，时，，故A错误； B.，，所以，故B错误； C.，，所以，故C正确； D.，，，故D错误. 故选：C 5（24-25高一上·吉林长春·期中）已知实数，，满足，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】作差可得A错误，D正确；，举反例可得B错误，由不等式的性质可得C错误； 【详解】对于A，， 因为，所以，所以，故A错误； 对于B，令，则，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C错误； 对于D，， 因为，所以， 所以，故D正确； 故选：D. 6（多选） （24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】利用不等式的性质和同向不等式可加性，可判断ABD，利用作差法可判断C，即可. 【详解】对于A： ，又，由加法性质知，A正确, 对于B：, ,，B正确, 对于C：, ,,但是的正负号不确定, 与大小关系不确定，C错误, 对于D：,, ，又,，D正确, 故选：ABD. 7（2025高三·全国·专题练习） ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】< 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】分母有理化后比较即可. 【详解】分母有理化有， 显然，所以． 故答案为：. 8（24-25高一上·福建莆田·期末）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据不等式性质得到，进而得到取值范围. 【详解】，故， 故，故. 故答案为：. 9（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）（1）已知，求的取值范围； （2），其中，均为正实数，比较，的大小． 【答案】（1）；（2） 【知识点】利用不等式求值或取值范围、作差法比较代数式的大小 【分析】（1）由不等式的性质直接求范围即可； （2）利用作差法判断即可； 【详解】（1）， ， ． 又， ； （2）因为， 作差得 ， 因为，所以， 所以，即； 10（24-25高一上·上海黄浦·期中）设，，，是四个正数． (1)已知，比较与的值的大小； (2)若，求证：，，，中至少有一个小于1． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】反证法证明、作差法比较代数式的大小 【分析】（1）利用作差比较即可判断； （2）利用反证法即可证明． 【详解】（1）因为， 则， 所以； （2）假设，，，都不小于1，即，，，， 则，，，， 所以，与已知矛盾， 故，，，中至少有一个小于1． 【B组---提高题】 1（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，，，则之间的大小关系是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据绝对值的定义对分类讨论，首先对有一个为0进行分析，然后按同号、异号进行分析可得． 【详解】，时，，，时，，， 同号时，，因此， 时，，时，，或，因此， 异号时，时，，时，，或， ，，因此有， 综上，， 2（24-25高三上·山西大同·阶段练习）在四个数中（    ） A．任意三个数不能同时等于0 B．任意两个数之和不等于另两个数之和 C．至少有一个数不大于3 D．至少有一个数不小于1 【答案】D 【知识点】绝对值的三角不等式应用、由不等式的性质证明不等式 【分析】利用赋值法判断选项A,B,C，利用不等式的性质判断选项D. 【详解】当时，，A错误； 令，则，， 若，即，则四个数相等，B错误； 不妨取， 则，C错误； 记为四个数中最大的数， 当时， 故 ， 当时，，（时的条件不唯一）； 当时， 不妨设，则只需考虑且的情况， 此时，故，故当时，， 综上所述，，D正确； 故选：D. 3（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】由不等式的性质证明不等式、作差法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【详解】（1）由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以①， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以②， 综合①②，得. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 等式性质与不等式性质 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 利用不等式的性质判断命题的真假 【题型二】 比较两个数(或式)的大小 【题型三】 求代数式的取值范围 【题型四】 由不等式的性质证明不等式 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解不等式的概念，能在具体问题中建立不等式关系；’ 2.掌握不等式的基本性质，能用不等式的基本性质解决一些简单问题。 【题型一】 利用不等式的性质判断命题的真假 相关知识点讲解 不等式的性质 (1) 传递性：； (2) 加法法则：； (3) 乘法法则：； (4) 倒数法则：； (5) 乘方法则：. 【典题1】（24-25高一上·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典题2】 （24-25高三下·河南驻马店·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式练习 1（24-25高一上·北京顺义·期末）已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 2（23-24高三上·四川南充·阶段练习）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3（2025高三·全国·专题练习）已知，则下列不等式错误的是（   ） A． B． C． D． 4（24-25高一上·上海宝山·期末）已知非零实数a、b满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】 比较两个数(或式)的大小 相关知识点讲解 比较两个实数(或代数式)大小 (1) 作差法(与的比较) (2) 作商法(与比较) (3)中间值法，若要证明，只需要在中间找一个数，即证明且. 其实质是不等式的传递性:若，，则. 【典题1】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 【典题2】（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 变式练习 1（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）设，，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2（2025高三·全国·专题练习）已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）若，设，则的大小关系是 ．（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空） 4（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【题型三】 求代数式的取值范围 【典题1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）（1）若，求的取值范围； （2）已知，，求的取值范围． 变式练习 1（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）解决下列问题 (1).已知，，求的取值范围； (2).已知，，求的取值范围； 【题型四】 由不等式的性质证明不等式 【典题1】（2025高三·全国·专题练习）设，证明：． 变式练习 1（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 2（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 3（24-25高一上·山东·阶段练习）（1）设，求证：， （2）设，求证：， 【A组---基础题】 1（24-25高一上·湖南益阳·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 2（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知，则下列不等式中一定成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3（24-25高一上·广东深圳·期末）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 4（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 5（24-25高一上·吉林长春·期中）已知实数，，满足，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 6（多选） （24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 7（2025高三·全国·专题练习） ．（填“>”“<”或“=”） 8（24-25高一上·福建莆田·期末）若，则的取值范围是 ． 9（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）（1）已知，求的取值范围； （2），其中，均为正实数，比较，的大小． 10（24-25高一上·上海黄浦·期中）设，，，是四个正数． (1)已知，比较与的值的大小； (2)若，求证：，，，中至少有一个小于1． 【B组---提高题】 1（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，，，则之间的大小关系是（   ）. A． B． C． D． 2（24-25高三上·山西大同·阶段练习）在四个数中（    ） A．任意三个数不能同时等于0 B．任意两个数之和不等于另两个数之和 C．至少有一个数不大于3 D．至少有一个数不小于1 3（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$