精品解析：山东省青岛第五十八中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

2024—2025学年第二学期高二年级期末检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合，再进行交集运算即可. 【详解】因为集合，，所以. 故选：C． 2. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得，根据与的关系判断p、q的关系. 【详解】因为，所以，能推出，但不能推出，所以是的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知函数是奇函数，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的定义及对数运算即可求解． 【详解】函数的定义域为， 因为是奇函数， 所以恒成立， 所以， 故选：A． 4. 若X的概率分布为： X 0 1 P 0.5 a 则D(X)等于（ ） A. 0.8 B. 0.25 C. 0.4 D. 0.2 【答案】B 【解析】 【分析】由分布列的性质求得，再求数学期望后可求方差. 【详解】由0.5＋a＝1，得a＝0.5， ∴E(X)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5， D(X)＝(0－0.5)2×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25. 故选：B 5. 甲､乙､丙､丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲､乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（ ） A. 30种 B. 36种 C. 42种 D. 56种 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出所有可能得选派方法，在计算出甲乙在同一足球场的情况，可求出不在同一足球场的分配方案数. 【详解】总分配方案种数为，甲､乙在同一足球场的分配方案种数为，则甲､乙不在同一个足球场的分配方案种数为， 故选:A. 6. 已知变量x，y线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（ ） A. B. C. 0.1 D. 0.2 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求原数据的样本中心，再确定增加数据后的样本中心，进而得到修正后的回归直线方程，估计的对应值，最后由残差的定义求解即可. 【详解】由题设，则， 增加数据后，，，且回归直线为， 所以，则， 所以时，有，故残差为， 故选：B． 7. 若函数有最大值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考虑，函数的值域，结合时，若，不合要求，若，在上单调递减，进而得到不等式，及时代入判断即可. 【详解】当时， ， 当时，， 若，在上单调递增，此时没有最大值， 若，在上单调递减， 要想函数有最大值，则，解得； 若，，函数有最大值1，符合题意； 故实数的取值范围为. 故选：A. 8. 已知，则这三个数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较，在同一坐标系中作出与的图象，结合图象与幂函数的性质可比较，即可求解 【详解】令，则， 由，解得，由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 因为， 所以，即， 所以，所以， 又递增， 所以，即； ， 在同一坐标系中作出与的图象，如图： 由图象可知在中恒有， 又，所以， 又在上单调递增，且 所以，即； 综上可知：， 故选：A 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若，其中，则（ ） A. B. C. D. σ越小，越大 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可判断. 【详解】由条件可知，由正太密度曲线的对称性可知： 对于A:，故A正确；对于B：由对称性有，故B错误； 对于C：由对称性有，故C正确； σ越小，说明数据越集中，越小，故D错误. 故选：AC. 10. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，由基本不等式得到，得到；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；C选项，平方后得到，结合A知；D选项，，故D正确. 【详解】A选项，正数满足，故， 解得，当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，， 当且仅当，即，即时，等号成立，B正确； C选项，， 由A知，，故， 故，C错误； D选项，因为，所以， 故，当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，的定义域为，若函数是奇函数，函数是偶函数，，且.则下列结论正确的是（ ） A. 函数图像关于直线对称 B. 函数为偶函数 C. 4是函数的一个周期 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过函数的奇偶性可判断B；通过联立函数与的方程组以及对函数进行赋值可推出函数的周期从而判断C； 计算出从而排除A；先通过赋值求出，再通过周期性计算出D。 【详解】因为是偶函数，所以， 所以函数图象关于直线对称， 因为是奇函数，所以， 即，代入，得， 所以.由，得， 所以，所以函数为偶函数.故选项B正确； 因为，所以，由， 得，所以，得， 所以，所以4是函数的周期.故选项C正确； 由，得，所以，所以， 由，得，，所以，， 因为，所以，故选项A错误； 由，得即， 所以，故选项D正确. 故选:BCD 【点睛】本题是一道综合性较强的关于抽象函数奇偶性，对称性，周期性的综合题，且包含两个函数。 解决抽象函数奇偶性，对称性，周期的问题的关键是通过赋值，找到这几个性质之间的联系，函数的赋值包括两大类：即赋具体值和抽象的表达式，对于赋具体值一般根据题目的要求即可找到题目所需要求的值；而赋抽象的表达式，则需要遵循赋值后的表达式与其它子式子之间能够联立的原则。另外对于一个题目里有两个抽象函数的综合问题，则需通过建立方程组，然后赋值（表达式）消去其中一个函数，从而得到另一个函数的性质。 第Ⅱ卷 三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，含x项的系数为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据多项式相乘的特点可得含项的系数，合并同类项即可得解. 【详解】6个括号相乘，当每个括号内取含的项时，其余5个括号内都取即可， 所以含x项的系数为． 故答案为：. 13. 若函数在区间单调递增，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据单调性得出，最后结合基本不等式计算求解. 【详解】， 令，则当时，， 又因为， 当且仅当时等号成立，且当时，不恒为0， 故的取值范围是. 故答案为：. 14. 在一场三局两胜制的羽毛球比赛中，每一局甲获胜的概率为0.6，且每局比赛结果互不影响，已知甲获胜，则最终比分为2：0的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出甲获胜的概率，再由条件概率公式直接计算即可. 【详解】记事件A为甲获胜，由题意甲获胜的情况有2种： 打两局以甲乙比分为2：0结束比赛，记为事件B，此事件发生的概率为； 打三局以甲乙比分为2：1结束比赛，此时事件发生的概率为； 所以甲获胜的概率为，且， 所以已知甲获胜，则最终比分为2：0的概率为. 故答案为： 四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在数字化浪潮的推动下，线上办公日益普及.为研究不同工作年限的员工对线上办公的态度，某人力资源研究机构对300名员工进行了调查，将员工分为工作年限5年以下和工作年限5年及以上两组，调查结果如表所示： 接受线上办公 不接受线上办公 合计 工作年限5年以下 80 40 120 工作年限5年及以上 60 120 180 合计 140 160 300 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为员工对线上办公的态度与工作年限有关？ （2）从样本中接受线上办公的员工中按工作年限利用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取3人分享线上办公经验，设这3人中工作年限为5年以下的人数为，求的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）员工对线上办公的态度与工作年限有关 （2）的分布列为 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）利用公式计算，再与临界值比较可得结论． （2）根据题设条件，直接得2×2列联表，再计算数学期望 【小问1详解】 零假设：员工对线上办公的态度与工作年限无关. 由题知. 当时，，因为， 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即能认为员工对线上办公的态度与工作年限有关. 【小问2详解】 按工作年限利用分层随机抽样的方法抽取7人，则其中工作年限为5年以下的员工有（人），工作年限为5年及以上的员工有（人）. 故的所有可能取值为0，1，2，3. 则， ， ， . 所以的分布列为 0 1 2 3 所以. 16. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）若函数在区间上恰有两个零点，求m的取值范围． 【答案】（1）的极大值为，无极小值；（2） 【解析】 【分析】（1）求的定义域，并求的导函数，分和，求的单调区间，即可得极值； （2）由（1）可知，当时， 在单调递增，不可能有两个零点，当时，由以及在区间上恰有两个零点，建立不等式即可求解. 【详解】（1）的定义域为， ， 当时，恒成立， 此时在单调递增，无极大值和极小值， 当时，，由可得：， 由可得， 此时在单调递增，在单调递减， 所以的极大值为，无极小值. （2）由（1）可知，当时，在单调递增，所以在单调递增，不可能有两个零点， 当时，的极大值为， 因为，所以是的一个零点， 若函数在区间上恰有两个零点，则， 即 ，可得：， 所以m的取值范围为. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 17. 2008年北京奥运会乒乓球赛事精彩纷呈，推动了乒乓球运动在国内的进一步普及.如今有小周､小吴､小郑三人进行乒乓球比赛，规则是：先由两人上场比赛，另一人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，按此规则循环进行.通过抽签确定小周､小吴先上场比赛，小郑做裁判.依据过往比赛数据统计：小周与小吴比赛小周获胜的概率为，小郑与小吴比赛小吴获胜的概率为，小郑与小周比赛小郑获胜的概率为. （1）比赛完3局时，求三人各胜1局的概率； （2）比赛完4局时，设小郑做裁判的次数为，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2）Y的分布列为： 1 2 ，【解析】 【分析】（1）依据相互独立事件的概率乘法公式计算；（2）由题意可知，Y的取值为：1，2，求概率即可求得均值. 【小问1详解】 比赛完3局时，求三人各胜1局的概率 设小周与小吴比赛，小周获胜，记为事件A， 小郑与小吴比赛，小吴获胜，记为事件B， 小郑与小周比赛，小郑获胜，记为事件C， 且A，B，C相互独立. 则 设“比赛完3局时，三人各胜1局”记为事件，则 ； 【小问2详解】 Y的取值为：1，2 . 则Y的分布列为： 1 2 18. 蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：）有关.现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图. 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中，，，； （1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型_____比较合适？根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程. （2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为. ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 【答案】（1）模型①，； （2）①；②均值为2，方差为 【解析】 【分析】（1）根据残差点的分布情况即可确定函数模型①的拟合效果较好，将非线性回归转化为线性回归，根据所给数据代入公式即可得回归方程； （2）①由题意表示，利用导数分析函数单调性和最值可得结果； ②由①得每年需要人工防治的概率为，故服从二项分布，根据二项分布的均值和方差公式即可得解． 【小问1详解】 模型①更合适，理由如下： 模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区域宽度窄， 所以模型①的拟合效果更好，故选模型①比较合适. 令，则， 由所给的参考数据可得，， 所以， 因此关于的线性回归方程为，即， 所以产卵数关于温度的回归方程为． 【小问2详解】 ①由题意得，， 所以 ， 令，得，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以取得最大值时对应的概率； ②由①知，当时，取最大值， 所以当时，， 由题意可知每年需要人工防治的概率为，且服从二项分布， 所以，． 19. 已知函数. （1）求的图象在处的切线方程； （2）若时，恒成立，求正实数的取值范围； （3）当时，若正实数满足，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明：由（2）可知，当且时，，故， 当时，，令，则，其中，故单调递增. 设，其中，且， ，因此单调递增， 从而， 从而可得， 进而可知， 故. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后求切线方程即可； （2）对分类讨论，当时，设，二次求导得，再对分情况讨论，然后求解即可； （3）根据题意得出当且时， ，又当时，在单调递增. 设，其中，且，然后证明即可. 【小问1详解】 由得，又，则， 故切线方程为. 【小问2详解】 由，当时，则； 当时，此时，故； 当时，设，，令 则， 若，则单调递增，，因此单调递增， 故，符合题意； 若，令，即， 此时，在上单调递增，在上单调递减，因此. 而，设为的零点，注意到单调递增， 当时，此时，故，从而单调递增，故，符合题意； 当时，则存在，使得，且在上单调递增，在上单调递减， 故，即，解得，此时，即，因此， 综上可知，. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：1、切线方程的求法：，点斜式写切线方程； 2、单调递增；单调递减. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期高二年级期末检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数是奇函数，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 4. 若X的概率分布为： X 0 1 P 0.5 a 则D(X)等于（ ） A. 0.8 B. 0.25 C. 0.4 D. 0.2 5. 甲､乙､丙､丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲､乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（ ） A. 30种 B. 36种 C. 42种 D. 56种 6. 已知变量x，y线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（ ） A. B. C. 0.1 D. 0.2 7. 若函数有最大值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则这三个数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若，其中，则（ ） A. B. C. D. σ越小，越大 10. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，的定义域为，若函数是奇函数，函数是偶函数，，且.则下列结论正确的是（ ） A. 函数图像关于直线对称 B. 函数为偶函数 C. 4是函数的一个周期 D. 第Ⅱ卷 三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，含x项的系数为________. 13. 若函数在区间单调递增，则的取值范围是________. 14. 在一场三局两胜制的羽毛球比赛中，每一局甲获胜的概率为0.6，且每局比赛结果互不影响，已知甲获胜，则最终比分为2：0的概率为_____． 四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在数字化浪潮的推动下，线上办公日益普及.为研究不同工作年限的员工对线上办公的态度，某人力资源研究机构对300名员工进行了调查，将员工分为工作年限5年以下和工作年限5年及以上两组，调查结果如表所示： 接受线上办公 不接受线上办公 合计 工作年限5年以下 80 40 120 工作年限5年及以上 60 120 180 合计 140 160 300 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为员工对线上办公的态度与工作年限有关？ （2）从样本中接受线上办公的员工中按工作年限利用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取3人分享线上办公经验，设这3人中工作年限为5年以下的人数为，求的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）若函数在区间上恰有两个零点，求m的取值范围． 17. 2008年北京奥运会乒乓球赛事精彩纷呈，推动了乒乓球运动在国内的进一步普及.如今有小周､小吴､小郑三人进行乒乓球比赛，规则是：先由两人上场比赛，另一人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，按此规则循环进行.通过抽签确定小周､小吴先上场比赛，小郑做裁判.依据过往比赛数据统计：小周与小吴比赛小周获胜的概率为，小郑与小吴比赛小吴获胜的概率为，小郑与小周比赛小郑获胜的概率为. （1）比赛完3局时，求三人各胜1局的概率； （2）比赛完4局时，设小郑做裁判的次数为，求的分布列和期望. 18. 蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：）有关.现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图. 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中，，，； （1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型_____比较合适？根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程. （2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为. ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 19. 已知函数. （1）求的图象在处的切线方程； （2）若时，恒成立，求正实数的取值范围； （3）当时，若正实数满足，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $