专题1.3 二次函数的应用（高效培优讲义）数学沪科版九年级上册

专题1.3 二次函数的应用 教学目标 1.学会建立二次函数模型解决实际问题，能从实际情境中分析变量之间的关系。 2.掌握利用二次函数图象与性质求实际问题中的最值，包括最大值和最小值。能够准确地根据二次函数的性质求出最值，并结合实际意义对结果进行解释。 教学重难点 教学重点：如何将实际问题转化为数学问题。 教学难点：二次函数在实际问题中的应用，数形结合的思想方法。 知识点 求解与二次函数相关的实际问题 建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤 (1)理解问题:有些实际问题需要建立适当的平面直角坐标系,找到抛物线的顶点、与坐标轴的交点及关键点。 (2)分析问题:理清问题中的变量与常量的关系,或已知量与未知量的关系,用数学方法表示它们之间的关系,列出函数表达式. (3)解数学问题:如确定函数表达式中的待定系数,求自变量或变量的值,求最值等. (4)检验并作答:检验问题的结果是否符合实际意义,并作答. 注意！！！ 在实际问题中,自变量的取值范围往往会受到实院条件的限制,此时,要注意自变量的取值范围会影响最值。 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 【即学即练】1.（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，用一段长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的一边可借用一段墙体（墙体的最大可用长度）．设的长是．长方形花圃的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)求出长方形花圃的最大面积． 【答案】(1) (2)长方形花圃的最大面积为 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系，列出方程． （1）设花圃的宽为，则，即可得，根据进行计算即可得； （2）将y与x之间的函数关系式转化为顶点式，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图所示， 设花圃的宽为，则， ， ∵， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为：； （2）解：∵，且， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，长方形花圃的面积最大， 最大面积为． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是一座拱桥的简易示意图，其形状是抛物线型，拱高6m，跨度10m，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)拱桥下地平面是双向行车道，正中间有一条宽度为1m的绿化带，问：一辆宽度为2m，高度为3m的货车能否通行？ 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用知识点，解题的关键是根据已知条件建立合适的平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式，并利用函数表达式解决实际问题． （1）先根据抛物线的顶点坐标和与轴交点坐标设出抛物线表达式，代入点坐标求出表达式； （2）根据货车通行情况确定的值，代入表达式求出对应的值，与货车高度比较判断能否通行． 【详解】（1）因为抛物线顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为． 又因为抛物线过点，把代入得： ，即，解得． 所以这条抛物线的函数表达式为． （2）因为正中间有1m宽的绿化带，货车宽2m，那么货车在一侧车道行驶时，离对称轴的距离最远为， 所以当或时，代入得： 因为，所以一辆宽度为，高度为的货车能通行． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）项目化学习 项目主题：吴山贡鹅的最优销售单价． 项目背景：吴山贡鹅是安徽省合肥市的一道传统名菜，属于徽菜系．吴山贡鹅源于唐朝乾符年间，已有千年历史．唐末五代十国时期，合肥人民以当地特产鹅配美味佐料制成卤鹅进贡给吴王杨行密，吴王食之大悦，称之为“贡品”，从此吴山贡鹅名扬天下．某校学习小组以探究“吴山贡鹅的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究吴山贡鹅销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤： （1）学习小组到合肥某特产专卖店了解到吴山贡鹅的成本为元千克； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对吴山贡鹅的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 贡鹅销售单价（元千克） … … 每月销售数量（千克） … … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： (1)根据表中信息可知：该吴山贡鹅每月的销售数量（千克）是吴山贡鹅的销售单价（元千克）的__________函数（选填“一次”或“二次”），与的函数关系式为__________； (2)吴山贡鹅的单价定为多少时，才能使吴山贡鹅的每月销售利润（元）最大，并求出最大利润． 【答案】(1)一次；； (2)单价定为元时，每月可获得最大利润元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（）根据数据变化特点可知是一次函数，再将数值代入求出关系式即可； （）求出利润的二次函数关系式，配方再讨论得出最值； 本题考查了一次函数和二次函数的应用，二次函数的最值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：观察表格可知黄花每天的销售数量随着销售单价的增加而减小，可知是一次函数， 设一次函数关系式为， ∴，解得：， ∴一次函数关系式为， 故答案为：一次，； （2）解： ， ∵， ∴图象开口向下， 当时，， 答：当吴山贡鹅单价定为元时，每月可获得最大利润元． 题型01 利用二次函数解决最值问题 【例1】面积最大问题（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）用总长的木板制作矩形置物架（图中外框和内部三条分割线的长度和为）．已知四边形是正方形，四边形、、是矩形，．为了便于放置物品，的长不小于，设的长为． (1)若矩形的面积为，求x的值． (2)若矩形的面积为，求S最大时，x的值． 【答案】(1)x的值为70 (2)x的值为80 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用， （1）根据题意表示出，，然后列方程求出，，然后分别代入求解判断即可； （2）表示出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∴，， 由题意，得， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不合题意， ∴x的值为70． （2）解：由（1）知， 由题意，得， ∵的高度不小于， ∴，解得， ∴当时，S最大， ∴x的值为80． 【例2】利润最大问题（24-25九年级上·安徽合肥·期中）世界羽毛球团体锦标赛成都2024“汤尤杯”的吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”于4月14日下午首次公开亮相．某商场销售该吉祥物，如果以单价32元销售，那么每天可以销售280套．根据经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少10套．已知每套吉祥物的进价为20元．设每套吉祥物的售价为元． (1)若商家想要每天获取3640元的利润，且尽快清空库存，的值应定为多少？ (2)若物价局规定该商品的利润不超过进价的80%，求此商场每天销售该吉祥物的最大利润，并指出相应的值． 【答案】(1)的值应定为 (2)此商场每天销售该吉祥物的最大利润为元，相应的值为 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）根据题意得到，解得，即可得到答案． （2）由题意得，得到，设总利润为元，得到 ，得出当时元． 【详解】（1）解：由题意得， 整理得：， 解得， 要尽快清空库存， ， 答：的值应定为； （2）解：由题意得， 解得：， ， 设总利润为元， 由题意得 ， ， 当时，随的增大而增大， 当时元， 答：此商场每天销售该吉祥物的最大利润为元，相应的值为． 1.解决有关几何图形面积问题的策略: 抓住几何图形的特点,利用几何图形的有关条件和性质,借助变量表示图形面积中的相关线段,并运用面积公式构建函数关系式，从而利用函数的性质进行求解,注意考虑自变量的取值范围 2.利用二次函数解决利润问题的方法: 根据利润=每个商品的利润×销售数量或利润=销售额-总成本建立模型,具体运用哪一种方法表示函数关系需要根据题意灵活选择.求最大小)值时，利用二次函数的性质，在自变量的取值范围内求解. 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，学校在教学楼自行车停放处计划搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形． (1)若设车棚宽度为xm，则车棚长度为___________m； (2)求学校计划搭建的自行车车棚面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】列代数式、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，即可列代数式； （2）由题意得，再利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴当时，面积取得最大值为． 【变式2】（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）如图，张大伯准备利用一面墙和一些竹篱笆围成一个矩形养殖场，且中间用竹篱笆隔开．已知竹篱笆的总长为，墙长为，设养殖场的一边长为，面积为． (1)求S与的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当的长是多少米时，围成的养殖场面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1) (2)时，围成的养殖场面积最大，最大面积为 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． （1）根据题意，花圃的宽为，则花圃的长为，结合矩形面积公式即可获得与的函数关系式；根据题意，墙的最大可用长度为，即可求得值的取值范围； （2）由函数解析式，可知该函数图像开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，然后结合值的取值范围，即可获得答案． 【详解】（1）解：由题意知养殖场的长为， 则． ∵， ∴， ∴S与的函数关系式为． （2）解：由题意，得． ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，S随的增大而减小． 又∵， ∴当时，S的值最大， 即时，围成的养殖场面积最大，最大面积为． 【变式3】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，用长为的铝合金材料做一个如图所示的窗框，其中三个， (1)若，用含有x的式子表示的长，并求出x的取值范围； (2)求窗框的面积y关于x的解析式，并求出面积的最大值． 【答案】(1)， (2)，最大面积为 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、图形问题(实际问题与二次函数)、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，二次函数的应用； （1）设，根据得出，，进而得出，根据窗框的周长为得出，进而求得的取值范围； （2）根据题意列出函数关系式，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设， ∵ ∴， ∵ 则，即 ∴ ∴， ∵窗框的周长为 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， （2）解：依题意， ∴当时，取得最大值 【变式4】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）怀宁贡糕是外地游客来怀宁旅游必带的名特产，临近春节怀宁贡糕大量上市．某糕点食品公司在一景点推出一款成本为88元的贡糕礼盒，当每盒售价为128元时，每天可销售200盒．为扩大景点市场，在保证盈利的情况下，公司采取降价措施，根据景点调查发现，每盒每降低1元，每天销量可增加10盒． (1)求出糕点食品公司每天的利润W元与降价x元之间的函数关系式，并求出当降价多少元时，公司每天的利润最大，最大利润为多少元？ (2)若糕点食品公司要在该景点每天的利润达到8640元，并最大限度让利于游客，则售价应为多少元？ 【答案】(1)，当降价10元时，公司每天的利润最大，最大为9000元 (2)112元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数图象及性质，一元二次方程实际应用等． （1）根据题意列二次函数解析式，再整理成顶点式，继而得到本题答案； （2）令，解出，，再根据实际问题含义舍值，继而得到答案． 【详解】（1）解∶由题意得：， ， ∴元时，最大为9000元， 即当降价10元时，公司每天的利润最大，最大为9000元； （2）解：当， 解得：，， ∵最大限度让利于游客， ∴不合题意，舍去， ∴售价应为（元）， 答：售价应为112元． 题型02 建立二次函数模型解决实际问题 【例1】拱桥问题（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，一座拱桥的轮廓呈抛物线型，拱高，在高度为的两支柱和之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为∶ (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式； (2)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽、高的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见详解 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键． （1）设拱桥抛物线的函数表达式为：，根据题目可知抛物线经过的两点的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （3）令求得的值，再与3.2比较大小即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，图象过原点，设拱桥抛物线的函数表达式为：， 相邻两支柱间的距离均为， ， ，两点都在抛物线上， ， ， ． （2）解：由于中间绿化带的宽两米，即绿化带到或的距离为9米，三辆车并排宽共6米， 因此只需考虑当时，的值与3.2的大小即可判定， 当时，， 不能并排行驶宽、高的三辆汽车． 【例2】投球问题（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）在2024年巴黎奥运会网球女子单打比赛中，我国选手郑钦文战胜克罗地亚选手维基奇获得冠军。郑钦文在一次击球过程中，将球从O点正上方的A处击打出去，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为，球场的边界距O点的水平距离为． (1)当时，求y与x的关系式：（不要求写出自变量x的取值范围） (2)当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由： (3)若球一定能越过球网（不接触球网），又不出边界（可压边界），求h的取值范围． 【答案】(1) (2)球能越过球网，球不会出界，理由见解析 (3) 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）将点A的坐标和h的值代入二次函数解析式中即可解答； （2）分别将代入二次函数解析式中，求出y的值，然后比较大小即可得出结论； （3）先将点A的坐标代入解析式中，用含h的式子表示出a，根据题意可知：当时，；当时，，列出不等式组即可求出结论． （2） 【详解】（1）解：解：由图象可知：点A的坐标为 将点和代入解析式中，得,解得： ∴与的关系式为； （2）解：球能越过球网，球不会出界，理由如下 将代入中，得， ∴球能越过球网； 将代入中，得， ∴该抛物线与x轴的右交点必在的左侧， ∴球不会出界， 综上所述，球能越过球网，球不会出界； （3）解：将点代入解析式中，得： 解得： ∴抛物线的解析式为 若球一定能越过球网，则当时， ； ∴， 解得； 若不出边界，即抛物线与x轴的右交点在的左侧或重合，即当时，； ∴， 解得， 综上：若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围为． 【例3】喷水问题（24-25九年级上·安徽淮北·期中）护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形．已知该装置最大功率的情况下，水柱在距出水口A的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，A处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点为点，求喷到处的水柱距出水口的水平距离． (3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 【答案】(1)； (2)喷到处的水柱距出水口的水平距离为； (3)水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为米． 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的平移是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，代入求解即可； （2）联立抛物线与直线，解出点C坐标即可解答； （3）设安装的支架高度为米，即抛物线向上平移个单位长度，设平移后的抛物线表达式为，又由直线得出，并代入平移后的抛物线求解的值即可． 【详解】（1）解：由题意，可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把代入，得， 解得， 水柱所在抛物线的函数表达式为． （2）联立， 解得：或， ， 喷到处的水柱距出水口的水平距离为． （3）设安装的支架高度为米，即抛物线向上平移个单位长度， 平移后的抛物线表达式为， 对于，当时，， 解得：， ， 将代入， 得， 解得：． 水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为米． 【变式1】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为米，宽度为米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示）． (1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为米，该双车道能否同时并行两辆宽米、高米的特种车辆？请通过计算说明； 【答案】(1) (2)能同时并行两辆宽米、高米的特种车辆 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的实际应用． （1）根据题意，可得点及抛物线顶点的坐标，待定系数法求解析式即可求解； （2）由题知，当时，，而，即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为米，宽度为米，现在点为原点， ∴点，顶点， 设抛物线的解析式为， 把点，点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵，， ∴自变量x的取值范围为：． （2）解：当时，， 故能同时并行两辆宽米、高米的特种车辆． 【变式2】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）图1是合肥逍遥津公园内的一座拱桥，跨度为，拱顶离地面高，拱桥的形状可以近似地看成一条抛物线．    (1)以的中点为坐标原点建立如图2所示的平面直角坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； (2)当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施，禁止游客进入．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施？并说明理由． 【答案】(1) (2)需要，理由见解析 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）计算出时对应的x的值，进而计算出水面宽度，即可判断． 【详解】（1）解：由题意知，，， ，，顶点， 设抛物线解析式为， 将代入，得：， 解得， 拱桥所在抛物线的表达式为； （2）解：需要，理由如下： ， 将代入，得：， 解得， 水面宽度为， 需要采取紧急措施． 【变式3】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）悬索桥是现代高架桥的主要结构方式，如图是某悬索桥的截面示意图，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点，点距离桥面为，以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)写出点的坐标，并求出主索抛物线的表达式； (2)距离点水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？ 【答案】(1)，； (2) 【知识点】根据矩形的性质求线段长、拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】（1）本题考查矩形的性质，用待定系数法求二次函数解析式，设抛物线的表达式为，根据题意得到C点坐标为，P点坐标为，将点代入中求解，即可解题． （2）本题考查二次函数的对称性，将和代入解析式求得吊索长度，再将四条吊索长度相加，即可解题． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 由题易知，四边形为矩形， ， 点距离桥面为，， ， 平面直角坐标系以中点为原点，所在直线为轴， ， C点坐标为，P点坐标为， 将，代入中， 得 ，解得． 主索抛物线的表达式为； （2）解：当时，，此时吊索的长度为（）， 由抛物线的对称性可得，时，此时吊索的长度也为． 同理，时，，此时吊索的长度为（）， 时，此时吊索的长度也为． 四根吊索的总长度为． 【变式4】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）某物理兴趣小组在老师的带领自制一种小球发射器，已知该发射器的小球出口C离地竖直高度米．如图，小球在最大档位和最小档位的力度发射出去的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，矩形为移动的接球盒，其中米，米，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最大档位抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口米． (1)求最大档位时小球射出的抛物线的函数表达式，并求出小球射出的最大射程OA； (2)求最小档位时小球射出的最大射程； (3)要使接球盒能接住所有档位射出的小球（即射出的小球都能落入水平移动的接球盒中），请求出接球盒距发射器的水平距离的取值范围． 【答案】(1)最大档位时射出小球的抛物线的函数解析式为，小球最大射程为6米 (2)最小档位小球射出射程为2米 (3)接球盒距发射器的水平距离的取值范围为 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移，求二次函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据题意设顶点式，求出的值，得到函数解析式，再求出时的函数值，即可得到答案； （2）根据最大档位时抛物线的函数解析式得到点的对称点为，进而得出最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移4米得到的，从而得出点的坐标，即可得到答案； （3）令，求出的值，从而得到的最大临界值，再根据二次函数平移的性质，求出的最小临界值，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 设抛物线解析式为， 抛物线经过点， ， 解得， 最大档位时射出小球的抛物线的函数解析式为； 当时，则， ，（舍去）， 小球最大射程为6米； （2）解：最大档位时抛物线的函数解析式为， 对称轴为直线， 点的对称点为， 最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移4米得到的， 的坐标为， 即最小档位小球射出射程为2米； （3）解：米， 令，则， 解得，（舍）， 要使接球盒能接住小球， 由（2）知，最小档位抛物线是由最大档位抛物线向左平移4米得到的， 又米， ， 即接球盒距发射器的水平距离的取值范围为． 【变式5】（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图1，草坪地面上有一个可垂直升降的草坪喷灌器，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在点处，水线落地点为，；若喷水口上升到点处，水线落地点为． (1)若喷水口在点处，求水线最高点与点之间的水平距离． (2)当喷水口在点处时，求水线的最大高度． (3)若喷水口从点处向上平移到点处，水线落地点为，求的长． 【答案】(1)水线最高点与点之间的水平距离为 (2)当喷水口在点处时，水线的最大高度为 (3)的长为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）以为单位长度，点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．得出点的坐标为，点坐标为，点的坐标为，进而可得出答案； （2）设喷水口在点处时，喷出的抛物线形水线的解析式为．将坐标代入即可得出答案； （3）根据抛物线形水线的解析式为，当时，求出，进而可得出答案． 【详解】（1）解：如图，以为单位长度，点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． ， 点的坐标为，点坐标为， 若喷水口在点处，水线抛物线的对称轴为直线． 点的坐标为， 水线最高点与点之间的水平距离为． （2）设喷水口在点处时，喷出的抛物线形水线的解析式为． 经过点，对称轴与过点的抛物线的对称轴相同， 解得 ． 当时，， 当喷水口在点处时，水线的最大高度为． （3）喷水口从点处向上平移到点处， 抛物线形水线的解析式为． 当时， 解得， 点的坐标为 的长为． 题型03综合应用二次函数与一次函数的知识解决实际问题 【例1】（24-25九年级上·安徽池州·期末）某景区纪念品超市以50元每个的价格新进一批工艺摆件，经过一段时间的销售发现日销量y（个）与单个售价x（元）之间的函数关系如图． (1)根据图象，求出y与x的函数关系式； (2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设与的函数关系式为，利用待定系数法可求出函数解析式； （2）设每天的利润为元，根据利润（销售单价成本单价）销售量可得关于的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设（为常数）， 将点代入，得， 解得：， 与x的函数关系式为； （2）解：设每天获得的利润为W元，由题意得： ， ，抛物线开口向下， ∴当时，W有最大值，． ∴销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元． 【例2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）某网络经销商购进了一批以马拉松为主题的文创用品进行销售，该文创用品的进价为每件28元，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图． (1)每件文创用品的利润为 元/件，每天销售数量y＝ 件（不要求写自变量的取值范围）； (2)设经销商每天的利润为W元，求销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少？ (3)营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文创用品的销售单价高于成本且不超过45元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文创用品的利润至少为37元；请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 【答案】(1)， (2)55元；1250元 (3)方案A；理由见解析 【知识点】求一次函数解析式、一元一次不等式组的其他应用、销售问题(实际问题与二次函数)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象及性质，一元一次不等式组应用等． （1）先求出每件文创用品的利润，再设y与x的函数解析式为，代入两点求出解析式即可； （2）根据题意列式，利用二次函数性质即可得到； （3）分别求出方案A和B的利润，再进行比较即可． 【详解】（1）解：∵销售单价x元/件，进价为每件28元，销售一件需缴纳网络平台管理费2元， ∴每件文创用品的利润为：元； ∵每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系， ∴设y与x的函数解析式为， 把代入解析式得：， 解得， ∴， 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， ， ， ∵， ∴当时，W最大，最大值为1250， ∴销售单价为55元时，每天获利最大，最大利润是1250元； （3）解：方案A的最大利润更高．理由如下： 方案A：， 由（2）可知，当时，W取得最大值，最大值（元）； 方案B：由题意知：， 解得， 由（2）知，当时，W最大，最大值为（元）， ∵， ∴方案A的最大利润更高． 【例3】（24-25九年级上·安徽淮北·期末）超市购进一批某商品，成本为6元/件，根据市场调研发现，这种商品在未来10天的日售价t（元/件）与时间第x天之间满足函数关系式（，x为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量y（件）与时间第x天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值． 时间第x天 … 3 5 7 … 销售量y/件 … 32 30 28 … (1)求y与x的函数表达式； (2)在这10天中，哪一天销售这种商品的利润最大，最大销售利润为多少元？ 【答案】(1)（，x为整数） (2)第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数)、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用，熟练掌握待定系数法求一次逊解析式，二次函数的性质，是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设销售这种水果的日利润为w元，得出，再结合，x为整数，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设每天销售量y与时间第x天之间满足的一次函数关系式为， 根据题意，得：， 解得， （，x为整数）； （2）设销售这种水果的日利润为w元， 则 ， ，x为整数， 当或时，w取得最大值，最大值为378， 答：在这10天中，第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元 【例4】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）某超市销售一种儿童玩具，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数）．当每件售价为10元时，每天的销售量为100件；当每件售价为12元时，每天的销售量为90件． (1)求与之间的函数关系式； (2)若该超市销售这种儿童玩具每天获得360元的利润，则每件儿童玩具的售价为多少元？ (3)设该超市销售这种儿童玩具每天获利元，则当每件儿童玩具的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)每件儿童玩具的售价为12元． (3)每件儿童玩具的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识点，根据等量关系建立函数解析式成为解题的关键． （1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式即可； （2）根据每件的销售利润、每天的销售量、利润的关系列出一元二次方程求解即可； （3）利用销售该玩具每天的销售利润为每件的销售利润与每天的销售量的积，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求最值即可解答． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 根据题意得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为． （2）解：， 整理得：，解得：， ∵， ∴； 答：若该商店销售这种儿童玩具每天获得360元的利润，则每件儿童玩具的售价为12元． （3）解：根据题意得： ； ∵，且x为整数， 当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为525． 答：每件儿童玩具的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 利用二次函数解决实际问题的方法: 利用二次函数解决实际问题时,经常需要求二次函数的最值.求二次函数的最值时,一定要考虑二次函数图象的对称轴是否在自变量的取值范围内.但是在实际做题过程中,我们很容易忽视这一点,而直接利用顶点坐标公式求得二次函数的最值,所以在做题过程中应注意判断自变量的取值范围，不要盲目解题,而导致错解. 1．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）某超市在春节前夕，购进一批大米，每袋进价30元，超市规定每袋售价不得少于40元．根据以往销售经验发现：当售价为每袋40元时，每天可以卖出500袋，每袋售价每提高1元，每天要少卖出20袋． (1)试求出每天的销售量y袋与每袋售价x元之间的函数关系式； (2)当每袋售价定为多少元时，每天销售的利润T元最大？最大利润是多少？ (3)如果这种大米的每袋售价不高于46元，超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售大米多少袋？ 【答案】(1)； (2)定价为47.5，T有最大利润为6125元； (3)380袋． 【知识点】求一次函数解析式、列一元一次不等式组、销售问题(实际问题与二次函数)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二次函数的销售盈利，一次函数的解析式以及图象性质，不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据当售价为每袋40元时，每天可以卖出500袋，每袋售价每提高1元，每天要少卖出20袋，则，再化简，即可作答． （2）根据每袋进价30元，且，则，即可作答． （3）根据每袋售价不高于46元，每天获得不低于6000元的利润，得，再结合一次函数的图象性质，进行作答即可． 【详解】（1）解：依题意，当每袋售价x元时，则， 依题意，（元） 即； （2）解：依题意， ， 当时，T有最大利润为6125元； （3）解：∵每袋售价不高于46元，超市想要每天获得不低于6000元的利润 ∴，且， 解得， ∴， ∵中的随的增大而减小， ∴当时，， 即． 答：超市每天至少销售大米380袋． 2．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）2024年10月26日我省第一届少儿科技体育比赛在黄山举行，为了迎接这场比赛，某商店购入一批进价为10元/个的大赛徽章进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为12元时，日销售量为76个．当销售单价为16元时，日销售量为68个． (1)求与的函数表达式； (2)徽章销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)徽章销售单价定为30元时，所获日销售利润最大，最大利润是800元 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设一次函数表达式为（），根据题意列出二元一次方程组，即可得到答案； （2）设最大利润为元，根据题意得到，根据二次函数的性质计算即可． 【详解】（1）解：设一次函数表达式为（）， 当销售单价为12元时，日销售量为76个；当销售单价为16元时，日销售量为68个， ， 解得， 与的函数表达式为； （2）解：销售单价为元，进价为10元/个， 每个徽章的利润为元， 设最大利润为元， ， ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，最大值为800元， 徽章销售单价定为30元时，所获日销售利润最大，最大利润是800元． 3．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）【综合与实践】 【项目背景】 白鹅是我省西部农村特产，某班级同学前往养鹅大户王大伯家开展综合实践活动． 【知识运用】 根据王大伯家去年的销售经验，他们发现：白鹅的年销售量y（千克）与销售价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表： 销售价x（元/千克） 50 60 70 年销售量y（千克） 2000 1600 1200 【问题解决】 (1)求y与x之间的函数表达式； (2)已知饲养白鹅的成本为40元/千克，要确保王大伯家饲养白鹅获得的年利润在32000元以上，求销售价x（元/千克）的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，获得的年利润在32000元以上． 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用以及一次函数的应用． （1）设函数关系式，把，代入求出k和b即可； （2）根据总利润=每千克的销售利润×销售数量，可得出年利润关于x的二次函数，当时，，解一元二次方程得到，，再利用二次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：由表格知，，， 设y与x之间的函数关系式， 把，代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式； （2）解：设年利润为元， 根据题意得：， 当时，， 整理，得：， 解得：，． ∵，二次函数的开口向上， ∴当时，获得的年利润在32000元以上． 4．（24-25九年级上·安徽黄山·期末）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民把一片坡地改造后种植了优质葡萄，今年正式上市销售，并在网上直播推销优质葡萄．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第天 的售价为元/千克，关于的函数解析式为， 且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售葡萄的成本是18元/千克，每天的利润是元． (1)______，______； (2)销售优质葡萄第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)， 25 (2)销售优质葡萄第18天时当天的利润最大，最大利润是968元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用： （1）根据第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克，待定系数法求出的值，即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式，利用函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）∵第12天的售价为32元/千克， ∴，解得：； ∵第26天的售价为25元/千克， ∴； （2）由题意，知：第天的销售量为千克． 当，且是正整数时， ． ∴当时，取得最大值，最大值为968． 当，且是正整数时，． 这是一个一次函数，且， ∴随的增大而增大， ∴当时，． ， ∴当时，． ∴销售优质葡萄第18天时当天的利润最大，最大利润是968元． 题型04 二次函数与动点问题相结合求最值 【例】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b是常数且）与x轴的一个交点，且抛物线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知点B与点C是x轴上的两个动点，且点C的横坐标比点B的横坐标小2，分别过点B和点C作轴交抛物线于点D，作轴交抛物线于点E．设点B的坐标为． ①若点D和点E的纵坐标分别为m和n，求的最小值； ②当时，若以点B，D，C，E为顶点的四边形面积为12，求t的值． 【答案】(1) (2)①的最小值为；②t的值为或7 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①设点，点，则，即可求解； ②进行分类讨论且分别逐个情况作图，结合平行四边形的性质以及二次函数的图象性质，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：分别把点和点代入抛物线中， 得：， 解得：； ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：①∵点B的坐标为，且点C的横坐标比点B的横坐标小2， ∴点C的坐标为． ∵轴交抛物线于点D，轴交抛物线于点E， ∴点D的坐标为，点E的坐标为． 即，， ∴． ∵，即开口向上 ∴当时，的值最小，最小值为． ②ⅰ）如图1，当时，点D和点E均在x轴的下方， 图1 ∴，， 以点B，D，C，E为顶点的四边形面积： 化简得， 解得：，． ⅱ）当时，点B和点D重合，不能构成四边形，故舍去； ⅲ）如图2，当时，点D在x轴的上方，点E在x轴的下方， 图2 ∴，，， 以点B，D，C，E为顶点的四边形面积： 解得：． ⅳ）当时，点C和点E重合，不能构成四边形，故舍去； ⅴ）如图3，当时，点D和点E均在x轴的上方， 图3 ∴，， 以点B，D，C，E为顶点的四边形面积： 化简得， ∴ 则 解得：（舍去），（舍去）． 综上所述：t的值为或7． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法、二次函数的图象性质，平行四边形的性质，解一元二次方程．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，抛物线过点，，与轴交于点，拋物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一动点（点与，不重合），过点作轴的垂线交抛物线于点．若，求点的坐标； (3)设的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】面积问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解法是解题的关键．． （1）把，代入解方程组即可得到结论； （2）设，则，则，然后依据列方程求解即可； （3）根据抛物线的解析式求得D点坐标，求出直线的解析式，得到直线BD与轴交点坐标，求出的面积为，的面积为，即可得到结论． 【详解】（1）解：把，代入解析式， 解得 抛物线的解析式为： （2）解：设点坐标为，则， ， ， 解得，（舍去） 当时， 点坐标为 （3）解：， 点坐标为， 设直线BD解析式为， 把，代入得 解得 设直线与轴交于点， 则点坐标为， ， ， ， 【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b是常数且）与x轴的一个交点，且抛物线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知点B与点C是x轴上的两个动点，且点C的横坐标比点B的横坐标小2，分别过点B和点C作轴交抛物线于点D，作轴交抛物线于点E．设点B的坐标为． ①若点D和点E的纵坐标分别为m和n，求的最小值； ②当时，若以点B，D，C，E为顶点的四边形面积为12，求t的值． 【答案】(1) (2)①的最小值为；②t的值为或7 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）①设点，点，则，即可求解； ②当点、均在点的左侧时，则，即，解得：；当点、在点的两侧和点、均在点的右侧时，同理可解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）解：①设点，点， 则， 即的最小值为； ②当点、均在点的左侧时，即， 则，即， 解得：或； 当点、在点的两侧时，即， 同理可得：， 解得：； 当点、均在点的右侧时， 则， 解得：或（均舍去）； 综上，或或． 【变式3】（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的抛物线与轴的另一交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是该抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，设点的横坐标为． ①求面积S与的函数表达式，并求S的最大值； ②当为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)； (2)①，S的最大值6；②满足条件的t的值为或或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）设，将点代入即可求解； （2）①由，则，求出，再由即可求解； ②分三种情况讨论：当时，；当时，过点C作交于M，则M为的中点；当时，过点P作交于N，则N是的中点；分别求出t的值即可． 【详解】（1）解：直线与x轴，y轴的交点坐标分别为， ∵抛物线与x轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， ∴所求抛物线的函数表达式为，即； （2）解：①，则， ∴， ∵，， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值6； ②过点C作交于M， 则，， ∴ 分三种情况讨论： 当时，， 解得或（舍）； 当时，则M为的中点，如图1， ∴， 解得或（舍）； 当时，过点P作交于N，则N是的中点，如图2， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述：满足条件的t的值为或或． 【变式4】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）抛物线（，，是常数，）与轴交于A，B两点，与轴交于点，三个交点的坐标分别为，，． (1)求抛物线对应的函数解析式及顶点的坐标． (2)如图，若为线段上的一个动点（不与点B，D重合），过点P作轴于点，连接，，求四边形的最大面积和此时点的坐标． (3)若是抛物线在第一象限上的一个动点，过点作，交轴于点．当点的坐标为 时，四边形是平行四边形． 【答案】(1)， (2)，； (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）把，，代入，再建立方程组求解解析式，再化为顶点式解题即可； （2）先求解直线的解析式为，求出点C坐标，利用直角梯形的面积公式可得四边形的面积加上的面积可得函数关系式，求得面积的最大值； （3）要使四边形是平行四边形只要即可，利用二次函数的对称性可得答案． 【详解】（1）解：把，，代入，得 ， 解得， ∴； ∴抛物线的顶点； （2）解：设直线的解析式为，将点、点的坐标代入得 ，解得， 所以直线的解析式为 设，而，． 由题意可知： ∴，，． ∴ ． ∵， ∴当时，； ∴； 故四边形的最大值为，点P的坐标为． （3）解：如图，过点作， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴关于抛物线对称轴直线对称， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的解析式及顶点、一次函数的解析式、二次函数在三角形和平行四边形中的应用，将二次函数的解析式与几何图形相结合是解题的关键． 【变式5】（24-25九年级上·安徽黄山·期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点、重合），过点作轴于点，交直线于点． ①求线段的最大值； ②连接，直线把的面积分成两部分，若，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求解析式，点的对称性，图形的面积计算，勾股定理，两点间的距离公式，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． （1）将，代入求解即可； （2）先求出直线解析式为，设点，则点，则，再根据二次函数的性质求解即可； （3）设点，则点，由三角形的面积关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：①如图， 设直线解析式为，把、坐标代入得： ， 解得：， 直线解析式为， 设点，则点， 则， ， 当时，线段有最大值，为； ②设点，则点， 则，， ， ， ， 解得：或5（舍去）， 经检验，是原方程的解， 点． 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离与时间的函数关系式为，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用．由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即s的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答． 【详解】解：依题意，该函数关系式化简为， 当时，汽车停下来，滑行了16米， 采取紧急制动措施的最小安全距离为16米， 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺三项冠军，羽毛球在空中的运动路线可以看做是一条抛物线（如图），羽毛球行进的高度（米）与水平距离（米）之间满足关系为，则羽毛球飞出的最大高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、投球问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用（投球问题），把化成顶点式，二次函数的最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 将函数解析式化为顶点式，再求二次函数的最值即可． 【详解】解：， ∵， 当时，取得最大值， ∴羽毛球飞出的最大高度为米， 故选：A． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，用长为8的铝合金条制成如图的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（   ）． A． B． C． D．4 【答案】C 【知识点】面积问题(二次函数综合) 【分析】此题注意考查了二次函数的应用，解题的关键是得出面积的表达式，将实际问题转化为函数问题解答，渗透了数学建模的思想． 设出矩形窗户的透光面积为，窗户的宽为，则窗户的高为，利用长方形的面积求出函数解析式，进一步利用函数求最大值． 【详解】解：设矩形窗户的透光面积为，窗户的宽为，则窗户的高为，根据题意得： ， 整理得， ∵， ∴抛物线开口向下，取得最大值，最大值为， 故选：C． 4．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）某新能源汽车配件公司四月份生产配件万个，经过连续两个月的增长，到六月份生产配件达到了万个，设每个月增长的百分率都是，则与的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题考查了二次函数的应用，设每个月增长的百分率都是，根据题意列出函数表达式即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】解：设每个月增长的百分率都是，依题意得：， 故选：． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，抛物线的表达式为，沿此抛物线篮球可准确落入篮圈．求篮圈中心到地面的距离为多少米？ A．3.5 B．1.5 C． D．3.05 【答案】D 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意，将代入抛物线表达式求解即可． 【详解】（米） ∵抛物线的表达式为 ∴将代入得，． ∴篮圈中心到地面的距离为3.05米． 故选：D． 6．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，当水面上升时，水面的宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，然后求出函数的解析式，然后令求出相应的x的值，则水面的宽就是此时两个x的差的绝对值．本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，根据函数值求出相应的x的值． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为：， ∵函数图象过点， ∴， 得a， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， 解得，，， ∴水面的宽度是：． 故选：C． 7．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，正方形的边长为，点和点分别沿着路线和同时运动，点和点的运动速度分别为、，当点运动到点时，两点同时停止运动，连接，，设的面积为，运动时间为，和之间的函数关系图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、判断一次函数的图象 【分析】本题考查了一次函数、二次函数的解析式和图象．根据题意确定函数关系是解题的关键． 由题意知，当时，；当时，，然后根据一次函数和二次函数的图象求解作答即可． 【详解】解：由题意知，当时，点在上，如图1， ∴； 当时，点在上，如图2， ∵， ∴， ， ∴函数图象如下； ． 故选：A． 二、填空题 8．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）某市今年第一季度的专项教育投入为亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围） 【答案】 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得今年第二季度的专项教育投入为亿元，则今年第二季度的专项教育投入为亿元，然后化简即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：今年第二季度的专项教育投入为亿元， ∴今年第二季度的专项教育投入为亿元， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·安徽六安·期末）一辆汽车刹车后行驶的距离与行驶时间之间的函数关系为，当 时，汽车停下来了． 【答案】6 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的最值问题，将二次函数解析式配方成顶点式，求出S取最大值时t的值即可． 【详解】解： ∵， ∴有最大值， 即当时，有最大值，为18， ∴当时，汽车停下来了． 故答案为：6． 10．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，某公园的示意图是对角线互相垂直的四边形，已知米，则该四边形公园的最大面积为 平方米． 【答案】 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． 由，可得，如图，记的交点为，根据，求最值即可． 【详解】解：∵， ∴， 如图，记的交点为， ∴， 整理得，， ∵， ∴当时，该四边形公园的面积最大，为平方米， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）某公园新建了一个音乐喷泉，喷泉喷出的水流呈抛物线型．如图是两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于轴对称，其中左侧的喷泉可用表示． （1）请写出的函数表达式： ． （2）这两个喷泉最高点之间的距离是 m． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求出的顶点坐标，再根据对称性求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴y轴左侧喷泉最高点坐标为 ∵两个喷泉关于轴对称， ∴轴右侧喷泉最高点坐标为， 即右侧喷泉的解析式为； ∴两个喷泉最高点之间的距离是． 故答案为:； ． 三、解答题 12．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）在精彩的羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分（水平地面为x轴，垂直水平地面为y轴，单位：）． (1)求出球点A离点O的距离（的长）． (2)求羽毛球横向飞出的最远距离（的长），并直接写出羽毛球运动路线最高点到水平地面的距离． 【答案】(1) (2)， 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）当时，即可求解； （2）当时，解一元二次方程，即可求解，将二次函数化为，由二次函数的性质即可求解； 理解横纵坐标的实际意义是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 的长为； （2）解：当时， ， 整理，得， 解得（舍去），， 的长为． 羽毛球运动路线最高点到水平地面的距离为． ， ， 当时，y的值最大，且最大值为． 13．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）某养殖户为扩大养殖规模，拟一边利用墙建一个矩形的养鸡场地，如图，已知可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形养鸡场地中，垂直于墙的边为，面积为． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，y有最大值?最大值是多少? 【答案】(1) (2)当时，y有最大值，最大值为， 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，并由求出自变量x的取值范围即可； （2）把（1）中所得的二次函数解析式写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：由（1）知， 化成顶点式：， ∵开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y有最大值，最大值为， 14．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）某公司生产一种产品，生产费用（万元）由制造费用、材料费用和人工费用三部分组成，已知该公司每年生产该产品（件），制造费用（万元），材料费用（万元），人工费用为固定费用万元，其中，，生产中得到了下表中的数据． 生产件数（件） 生产费用（万元） (1)求与的函数表达式； (2)公司每年生产的该产品均全部售出，经市场调查，产品的销售单价（万元/件）与生产件数（件）满足一次函数关系．设该产品每年的利润为万元（利润销售收入生产费用），求的最大值． 【答案】(1) (2)2000元 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）利用利润销售收入生产费用得到利润w关于x的函数表达式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，， 将，；，代入， 得，解得， ∴与的函数表达式为 （2）解：根据题意， ， ∵， ∴当时，w取最大值，最大值为2000元． 15．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）某公司在年初上市了一款新款手机，该款手机自上市以来产生的利润（万元），与销售时间（月份）之间满足二次函数的关系，其部分图象如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题．    (1)求与之间的函数解析式． (2)求几月份该公司所获得的利润恰好为万元． (3)年月份该公司所获得的利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)月份 (3)万元 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数)、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． （1）先确定二次函数的顶点坐标为，设顶点式，再将点代入即可求解； （2）代入，求解即可； （3）将代入，求解即可． 【详解】（1）解：由图可知二次函数图象过点，， 则二次函数的对称轴为直线， 结合二次函数图象过点， 则二次函数的顶点坐标为， 设与的函数解析式为． 将点代入， 得， 解得：， 与之间的函数解析式为； （2）解：把代入， 得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 月份该公司所获得的利润恰好为万元； （3）解：将代入， 得， 年月份该公司所获得的利润是万元． 16．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）国庆期间，某景区游客排队接受检票，景区统计了游客排队情况，发现游客到景区检票口的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为、其中，景区检票口每分钟可检票40人． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)景区检票口排队等待检票的游客人数最多时有多少人？ (3)检票口检票到第4分钟时，除正常游客外，又新增一单位团体游客300人，为了减少排队等候时间，在检票口临时增设一个检票口．已知临时新增检票口每分钟可检测27人，增设临时检票口检票多长时间后，景区检票口前将不再出现排队等待的情况（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)排队等待人数最多时是100人； (3)增设临时检票口检票13分钟时间后，景区检票口不再出现排队等待的情况． 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质是解题的关键． （1）由顶点坐标为，可设，再将代入，求得a的值，则可得y与x之间的函数解析式； （2）设第x分钟时的排队等待人数为w人，根据及（1）中所得的y与x之间的函数解析式，可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案； （3）设增设临时检票口检票m分钟时间后，景区检票口不再出现排队等待的情况，根据题意可列出关于m的方程，求解并根据问题的实际意义作出取舍即可． 【详解】（1）解：∵顶点坐标为， ∴设， 将代入， 得：， 解得：， ∴； （2）解：设第x分钟时的排队等待人数为w人， 由题意可得： ， ∵， ∴当时，w的最大值为100， 答：排队等待人数最多时是100人； （3）解：设增设临时检票口检票m分钟时间后，景区检票口不再出现排队等待的情况， 由题意得： ， 整理得：， 解得：，（舍）． 答：增设临时检票口检票13分钟时间后，景区检票口不再出现排队等待的情况． 17．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出上边缘抛物线解析式是解题的关键． （1）根据题意可知是上边缘抛物线的顶点，然后把抛物线设为顶点式，然后代入进行求解即可； （2）先求出上边缘抛物线与x轴的交点C的坐标，再求出上边缘抛物线上与点H对称的点的坐标，进而确定下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，即点B是点C向左平移得到的，由此即可得到答案； （3）对于上边缘抛物线，先求出当，当时，，进而确定，要使，则，从而得到d的最大值为，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，则d的最小值为2，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点， ∴可设上边缘抛物线解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为； （2）解：在中，令，则， 解得或， ∴； ∵上边缘抛物线的对称轴为直线， ∴在上边缘抛物线上点的对称点为， ∵下边缘抛物线是有上边缘抛物线向左平移得到的，且下抛物线经过， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点B是点C向左平移得到的， ∴点B的坐标为； （3）解：∵， ∴点F的纵坐标为， 对于上边缘抛物线，当时，则， 解得， ∵， ∴， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，要使，则， ∵当时，y随x的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴d的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴d的最小值为2， 综上所述，d的取值范围是． 18．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图1为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为6米，宽为12米．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系．    (1)求出该抛物线的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽2米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高3.5米的消防车辆？请通过计算说明； (3)如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”，使点，在地物线上，点，在上，求出所需的三根“光带”，，的长度之和的最大 【答案】(1) (2)能，计算见解析 (3)15米 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出或时，求出函数值，进行判断即可； （3）设点的坐标为，求出的解析式，根据二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴设这条抛物线的函数解析式为， ∵抛物线过， ∴，解得， ∴这条抛物线的函数解析式为， 即； （2）当（或）时，． 故能行驶宽2.5米、高3.5米的消防车辆． （3）设点的坐标为， 则，， 根据抛物线的轴对称，可得：， ∴，即， 令， ， ∴当，即米时，三根木杆长度之和的最大值为15米． 19．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，是一个长方形广告牌的示意图，，，设计师在广告牌上设计了三条抛物线（部分）作为构图轮廓，点D，E分别是，的中点，抛物线①经过点O和A，顶点为D，由抛物线②向右平移得抛物线③．以为单位长度，点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，抛物线②的解析式为． (1)求抛物线①的解析式，并直接写出抛物线③的解析式； (2)设计师在广告牌上三条抛物线围成的区域设计一些竖直的灯条，利用灯条的亮与不亮两种状态产生动感效果．灯条的上端点在抛物线①上，下端点在抛物线②或③上．从某时刻开始，只有两根灯条亮着，分别用和代表它们．从O处开始，以的速度向右移动，到E处停止．从A处开始，以的速度向左移动，到O处停止．在这一过程中，求： 的最大值； 的时长． 【答案】(1)， (2)； 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）先求出抛物线①的顶点D坐标，设出顶点式，再将点A坐标代入，即可求出抛物线①的解析式；将抛物线②的解析式转化为顶点式，根据平移方式确定抛物线③的解析式； （2）结合（1）中结论，用含t的式子表示出和，即可求解． 【详解】（1）解：长方形中，，为单位长度，点D，E分别是，的中点， ，，， 设抛物线①的解析式为， 把代入，得， 解得， 故抛物线①的解析式为， 抛物线②的解析式为，抛物线②向右平移得抛物线③， 抛物线③的解析式为； （2）解：设灯条移动了秒，则点M，N的横坐标为，点P，Q的横坐标为， ， 当时，， 当时，， ， 当时，随t的增大而增大，当时，随t的增大而减小， 当，即灯条运动了时，取最大值，最大值为； 当时，，， ， 当时，，， 当时，， 解得， 即运动时间时，， 的时长为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 二次函数的应用 教学目标 1.学会建立二次函数模型解决实际问题，能从实际情境中分析变量之间的关系。 2.掌握利用二次函数图象与性质求实际问题中的最值，包括最大值和最小值。能够准确地根据二次函数的性质求出最值，并结合实际意义对结果进行解释。 教学重难点 教学重点：如何将实际问题转化为数学问题。 教学难点：二次函数在实际问题中的应用，数形结合的思想方法。 知识点 求解与二次函数相关的实际问题 建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤 (1)理解问题:有些实际问题需要建立适当的平面直角坐标系,找到抛物线的顶点、与坐标轴的交点及关键点。 (2)分析问题:理清问题中的变量与常量的关系,或已知量与未知量的关系,用数学方法表示它们之间的关系,列出函数表达式. (3)解数学问题:如确定函数表达式中的待定系数,求自变量或变量的值,求最值等. (4)检验并作答:检验问题的结果是否符合实际意义,并作答. 注意！！！ 在实际问题中,自变量的取值范围往往会受到实院条件的限制,此时,要注意自变量的取值范围会影响最值。 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 【即学即练】1.（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，用一段长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的一边可借用一段墙体（墙体的最大可用长度）．设的长是．长方形花圃的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)求出长方形花圃的最大面积． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是一座拱桥的简易示意图，其形状是抛物线型，拱高6m，跨度10m，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)拱桥下地平面是双向行车道，正中间有一条宽度为1m的绿化带，问：一辆宽度为2m，高度为3m的货车能否通行？ 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）项目化学习 项目主题：吴山贡鹅的最优销售单价． 项目背景：吴山贡鹅是安徽省合肥市的一道传统名菜，属于徽菜系．吴山贡鹅源于唐朝乾符年间，已有千年历史．唐末五代十国时期，合肥人民以当地特产鹅配美味佐料制成卤鹅进贡给吴王杨行密，吴王食之大悦，称之为“贡品”，从此吴山贡鹅名扬天下．某校学习小组以探究“吴山贡鹅的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究吴山贡鹅销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤： （1）学习小组到合肥某特产专卖店了解到吴山贡鹅的成本为元千克； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对吴山贡鹅的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 贡鹅销售单价（元千克） … … 每月销售数量（千克） … … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： (1)根据表中信息可知：该吴山贡鹅每月的销售数量（千克）是吴山贡鹅的销售单价（元千克）的__________函数（选填“一次”或“二次”），与的函数关系式为__________； (2)吴山贡鹅的单价定为多少时，才能使吴山贡鹅的每月销售利润（元）最大，并求出最大利润． 题型01 利用二次函数解决最值问题 【例1】面积最大问题（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）用总长的木板制作矩形置物架（图中外框和内部三条分割线的长度和为）．已知四边形是正方形，四边形、、是矩形，．为了便于放置物品，的长不小于，设的长为． (1)若矩形的面积为，求x的值． (2)若矩形的面积为，求S最大时，x的值． 【例2】利润最大问题（24-25九年级上·安徽合肥·期中）世界羽毛球团体锦标赛成都2024“汤尤杯”的吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”于4月14日下午首次公开亮相．某商场销售该吉祥物，如果以单价32元销售，那么每天可以销售280套．根据经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少10套．已知每套吉祥物的进价为20元．设每套吉祥物的售价为元． (1)若商家想要每天获取3640元的利润，且尽快清空库存，的值应定为多少？ (2)若物价局规定该商品的利润不超过进价的80%，求此商场每天销售该吉祥物的最大利润，并指出相应的值． 1.解决有关几何图形面积问题的策略: 抓住几何图形的特点,利用几何图形的有关条件和性质,借助变量表示图形面积中的相关线段,并运用面积公式构建函数关系式，从而利用函数的性质进行求解,注意考虑自变量的取值范围 2.利用二次函数解决利润问题的方法: 根据利润=每个商品的利润×销售数量或利润=销售额-总成本建立模型,具体运用哪一种方法表示函数关系需要根据题意灵活选择.求最大小)值时，利用二次函数的性质，在自变量的取值范围内求解. 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，学校在教学楼自行车停放处计划搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形． (1)若设车棚宽度为xm，则车棚长度为___________m； (2)求学校计划搭建的自行车车棚面积的最大值． 【变式2】（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）如图，张大伯准备利用一面墙和一些竹篱笆围成一个矩形养殖场，且中间用竹篱笆隔开．已知竹篱笆的总长为，墙长为，设养殖场的一边长为，面积为． (1)求S与的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当的长是多少米时，围成的养殖场面积最大？并求出最大面积． 【变式3】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，用长为的铝合金材料做一个如图所示的窗框，其中三个， (1)若，用含有x的式子表示的长，并求出x的取值范围； (2)求窗框的面积y关于x的解析式，并求出面积的最大值． 【变式4】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）怀宁贡糕是外地游客来怀宁旅游必带的名特产，临近春节怀宁贡糕大量上市．某糕点食品公司在一景点推出一款成本为88元的贡糕礼盒，当每盒售价为128元时，每天可销售200盒．为扩大景点市场，在保证盈利的情况下，公司采取降价措施，根据景点调查发现，每盒每降低1元，每天销量可增加10盒． (1)求出糕点食品公司每天的利润W元与降价x元之间的函数关系式，并求出当降价多少元时，公司每天的利润最大，最大利润为多少元？ (2)若糕点食品公司要在该景点每天的利润达到8640元，并最大限度让利于游客，则售价应为多少元？ 题型02 建立二次函数模型解决实际问题 【例1】拱桥问题（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，一座拱桥的轮廓呈抛物线型，拱高，在高度为的两支柱和之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为∶ (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式； (2)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽、高的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由． 【例2】投球问题（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）在2024年巴黎奥运会网球女子单打比赛中，我国选手郑钦文战胜克罗地亚选手维基奇获得冠军。郑钦文在一次击球过程中，将球从O点正上方的A处击打出去，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为，球场的边界距O点的水平距离为． (1)当时，求y与x的关系式：（不要求写出自变量x的取值范围） (2)当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由： (3)若球一定能越过球网（不接触球网），又不出边界（可压边界），求h的取值范围． 【例3】喷水问题（24-25九年级上·安徽淮北·期中）护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形．已知该装置最大功率的情况下，水柱在距出水口A的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，A处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点为点，求喷到处的水柱距出水口的水平距离． (3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 【变式1】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为米，宽度为米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示）． (1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为米，该双车道能否同时并行两辆宽米、高米的特种车辆？请通过计算说明； 【变式2】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）图1是合肥逍遥津公园内的一座拱桥，跨度为，拱顶离地面高，拱桥的形状可以近似地看成一条抛物线．    (1)以的中点为坐标原点建立如图2所示的平面直角坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； (2)当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施，禁止游客进入．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施？并说明理由． 【变式3】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）悬索桥是现代高架桥的主要结构方式，如图是某悬索桥的截面示意图，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点，点距离桥面为，以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)写出点的坐标，并求出主索抛物线的表达式； (2)距离点水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？ 【变式4】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）某物理兴趣小组在老师的带领自制一种小球发射器，已知该发射器的小球出口C离地竖直高度米．如图，小球在最大档位和最小档位的力度发射出去的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，矩形为移动的接球盒，其中米，米，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最大档位抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口米． (1)求最大档位时小球射出的抛物线的函数表达式，并求出小球射出的最大射程OA； (2)求最小档位时小球射出的最大射程； (3)要使接球盒能接住所有档位射出的小球（即射出的小球都能落入水平移动的接球盒中），请求出接球盒距发射器的水平距离的取值范围． 【变式5】（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图1，草坪地面上有一个可垂直升降的草坪喷灌器，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在点处，水线落地点为，；若喷水口上升到点处，水线落地点为． (1)若喷水口在点处，求水线最高点与点之间的水平距离． (2)当喷水口在点处时，求水线的最大高度． (3)若喷水口从点处向上平移到点处，水线落地点为，求的长． 题型03综合应用二次函数与一次函数的知识解决实际问题 【例1】（24-25九年级上·安徽池州·期末）某景区纪念品超市以50元每个的价格新进一批工艺摆件，经过一段时间的销售发现日销量y（个）与单个售价x（元）之间的函数关系如图． (1)根据图象，求出y与x的函数关系式； (2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【例2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）某网络经销商购进了一批以马拉松为主题的文创用品进行销售，该文创用品的进价为每件28元，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图． (1)每件文创用品的利润为 元/件，每天销售数量y＝ 件（不要求写自变量的取值范围）； (2)设经销商每天的利润为W元，求销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少？ (3)营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文创用品的销售单价高于成本且不超过45元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文创用品的利润至少为37元；请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 【例3】（24-25九年级上·安徽淮北·期末）超市购进一批某商品，成本为6元/件，根据市场调研发现，这种商品在未来10天的日售价t（元/件）与时间第x天之间满足函数关系式（，x为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量y（件）与时间第x天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值． 时间第x天 … 3 5 7 … 销售量y/件 … 32 30 28 … (1)求y与x的函数表达式； (2)在这10天中，哪一天销售这种商品的利润最大，最大销售利润为多少元？ 【例4】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）某超市销售一种儿童玩具，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数）．当每件售价为10元时，每天的销售量为100件；当每件售价为12元时，每天的销售量为90件． (1)求与之间的函数关系式； (2)若该超市销售这种儿童玩具每天获得360元的利润，则每件儿童玩具的售价为多少元？ (3)设该超市销售这种儿童玩具每天获利元，则当每件儿童玩具的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 利用二次函数解决实际问题的方法: 利用二次函数解决实际问题时,经常需要求二次函数的最值.求二次函数的最值时,一定要考虑二次函数图象的对称轴是否在自变量的取值范围内.但是在实际做题过程中,我们很容易忽视这一点,而直接利用顶点坐标公式求得二次函数的最值,所以在做题过程中应注意判断自变量的取值范围，不要盲目解题,而导致错解. 【变式1】（24-25九年级上·安徽安庆·期末）某超市在春节前夕，购进一批大米，每袋进价30元，超市规定每袋售价不得少于40元．根据以往销售经验发现：当售价为每袋40元时，每天可以卖出500袋，每袋售价每提高1元，每天要少卖出20袋． (1)试求出每天的销售量y袋与每袋售价x元之间的函数关系式； (2)当每袋售价定为多少元时，每天销售的利润T元最大？最大利润是多少？ (3)如果这种大米的每袋售价不高于46元，超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售大米多少袋？ 【变式2】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）2024年10月26日我省第一届少儿科技体育比赛在黄山举行，为了迎接这场比赛，某商店购入一批进价为10元/个的大赛徽章进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为12元时，日销售量为76个．当销售单价为16元时，日销售量为68个． (1)求与的函数表达式； (2)徽章销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 【变式3】（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）【综合与实践】 【项目背景】 白鹅是我省西部农村特产，某班级同学前往养鹅大户王大伯家开展综合实践活动． 【知识运用】 根据王大伯家去年的销售经验，他们发现：白鹅的年销售量y（千克）与销售价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表： 销售价x（元/千克） 50 60 70 年销售量y（千克） 2000 1600 1200 【问题解决】 (1)求y与x之间的函数表达式； (2)已知饲养白鹅的成本为40元/千克，要确保王大伯家饲养白鹅获得的年利润在32000元以上，求销售价x（元/千克）的取值范围． 【变式4】（24-25九年级上·安徽黄山·期末）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民把一片坡地改造后种植了优质葡萄，今年正式上市销售，并在网上直播推销优质葡萄．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第天 的售价为元/千克，关于的函数解析式为， 且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售葡萄的成本是18元/千克，每天的利润是元． (1)______，______； (2)销售优质葡萄第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？ 题型04 二次函数与动点问题相结合求最值 【例】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b是常数且）与x轴的一个交点，且抛物线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知点B与点C是x轴上的两个动点，且点C的横坐标比点B的横坐标小2，分别过点B和点C作轴交抛物线于点D，作轴交抛物线于点E．设点B的坐标为． ①若点D和点E的纵坐标分别为m和n，求的最小值； ②当时，若以点B，D，C，E为顶点的四边形面积为12，求t的值． 【变式1】（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，抛物线过点，，与轴交于点，拋物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一动点（点与，不重合），过点作轴的垂线交抛物线于点．若，求点的坐标； (3)设的面积为，的面积为，求的值． 【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b是常数且）与x轴的一个交点，且抛物线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知点B与点C是x轴上的两个动点，且点C的横坐标比点B的横坐标小2，分别过点B和点C作轴交抛物线于点D，作轴交抛物线于点E．设点B的坐标为． ①若点D和点E的纵坐标分别为m和n，求的最小值； ②当时，若以点B，D，C，E为顶点的四边形面积为12，求t的值． 【变式3】（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的抛物线与轴的另一交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是该抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，设点的横坐标为． ①求面积S与的函数表达式，并求S的最大值； ②当为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的的值． 【变式4】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）抛物线（，，是常数，）与轴交于A，B两点，与轴交于点，三个交点的坐标分别为，，． (1)求抛物线对应的函数解析式及顶点的坐标． (2)如图，若为线段上的一个动点（不与点B，D重合），过点P作轴于点，连接，，求四边形的最大面积和此时点的坐标． (3)若是抛物线在第一象限上的一个动点，过点作，交轴于点．当点的坐标为 时，四边形是平行四边形． 【变式5】（24-25九年级上·安徽黄山·期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点、重合），过点作轴于点，交直线于点． ①求线段的最大值； ②连接，直线把的面积分成两部分，若，请求出点的坐标． 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离与时间的函数关系式为，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺三项冠军，羽毛球在空中的运动路线可以看做是一条抛物线（如图），羽毛球行进的高度（米）与水平距离（米）之间满足关系为，则羽毛球飞出的最大高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，用长为8的铝合金条制成如图的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（   ）． A． B． C． D．4 4．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）某新能源汽车配件公司四月份生产配件万个，经过连续两个月的增长，到六月份生产配件达到了万个，设每个月增长的百分率都是，则与的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，抛物线的表达式为，沿此抛物线篮球可准确落入篮圈．求篮圈中心到地面的距离为多少米？ A．3.5 B．1.5 C． D．3.05 6．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，当水面上升时，水面的宽度为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，正方形的边长为，点和点分别沿着路线和同时运动，点和点的运动速度分别为、，当点运动到点时，两点同时停止运动，连接，，设的面积为，运动时间为，和之间的函数关系图象大致为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）某市今年第一季度的专项教育投入为亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围） 9．（24-25九年级上·安徽六安·期末）一辆汽车刹车后行驶的距离与行驶时间之间的函数关系为，当 时，汽车停下来了． 10．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，某公园的示意图是对角线互相垂直的四边形，已知米，则该四边形公园的最大面积为 平方米． 11．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）某公园新建了一个音乐喷泉，喷泉喷出的水流呈抛物线型．如图是两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于轴对称，其中左侧的喷泉可用表示． （1）请写出的函数表达式： ． （2）这两个喷泉最高点之间的距离是 m． 三、解答题 12．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）在精彩的羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分（水平地面为x轴，垂直水平地面为y轴，单位：）． (1)求出球点A离点O的距离（的长）． (2)求羽毛球横向飞出的最远距离（的长），并直接写出羽毛球运动路线最高点到水平地面的距离． 13．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）某养殖户为扩大养殖规模，拟一边利用墙建一个矩形的养鸡场地，如图，已知可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形养鸡场地中，垂直于墙的边为，面积为． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，y有最大值?最大值是多少? 14．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）某公司生产一种产品，生产费用（万元）由制造费用、材料费用和人工费用三部分组成，已知该公司每年生产该产品（件），制造费用（万元），材料费用（万元），人工费用为固定费用万元，其中，，生产中得到了下表中的数据． 生产件数（件） 生产费用（万元） (1)求与的函数表达式； (2)公司每年生产的该产品均全部售出，经市场调查，产品的销售单价（万元/件）与生产件数（件）满足一次函数关系．设该产品每年的利润为万元（利润销售收入生产费用），求的最大值． 15．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）某公司在年初上市了一款新款手机，该款手机自上市以来产生的利润（万元），与销售时间（月份）之间满足二次函数的关系，其部分图象如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题．    (1)求与之间的函数解析式． (2)求几月份该公司所获得的利润恰好为万元． (3)年月份该公司所获得的利润是多少万元？ 16．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）国庆期间，某景区游客排队接受检票，景区统计了游客排队情况，发现游客到景区检票口的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为、其中，景区检票口每分钟可检票40人． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)景区检票口排队等待检票的游客人数最多时有多少人？ (3)检票口检票到第4分钟时，除正常游客外，又新增一单位团体游客300人，为了减少排队等候时间，在检票口临时增设一个检票口．已知临时新增检票口每分钟可检测27人，增设临时检票口检票多长时间后，景区检票口前将不再出现排队等待的情况（直接写出结果）． 17．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 18．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图1为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为6米，宽为12米．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系．    (1)求出该抛物线的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽2米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高3.5米的消防车辆？请通过计算说明； (3)如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”，使点，在地物线上，点，在上，求出所需的三根“光带”，，的长度之和的最大 19．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，是一个长方形广告牌的示意图，，，设计师在广告牌上设计了三条抛物线（部分）作为构图轮廓，点D，E分别是，的中点，抛物线①经过点O和A，顶点为D，由抛物线②向右平移得抛物线③．以为单位长度，点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，抛物线②的解析式为． (1)求抛物线①的解析式，并直接写出抛物线③的解析式； (2)设计师在广告牌上三条抛物线围成的区域设计一些竖直的灯条，利用灯条的亮与不亮两种状态产生动感效果．灯条的上端点在抛物线①上，下端点在抛物线②或③上．从某时刻开始，只有两根灯条亮着，分别用和代表它们．从O处开始，以的速度向右移动，到E处停止．从A处开始，以的速度向左移动，到O处停止．在这一过程中，求： 的最大值； 的时长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$