1.1菱形的性质与判定第3课时（教学设计）数学北师大版九年级上册

1.1 菱形的性质与判定（第3课时） 教学设计 1.教学内容 本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》九年级上册第一章“特殊平行四边形”第一节菱形的性质与判定第3课时，内容包括：运用菱形的性质定理及判定定理解决相关问题，及菱形面积的求法。 2.内容解析 ​本节是在学生已经学习了菱形的定义、性质和判定方法的基础上进行的，主要侧重于菱形性质与判定的综合运用。菱形是一种特殊的平行四边形，它既是对平行四边形知识的延续和深化，又为后续学习正方形等特殊四边形奠定了重要基础。通过本节课的学习，学生能够进一步理解菱形与其他四边形之间的内在联系，提高运用几何知识解决实际问题的能力，在整个初中几何知识体系中具有承上启下的关键作用。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题,并掌握菱形面积的求法。 1.通过实际案例研讨，运用菱形性质与判定定理进行推理论证，培养从已知条件出发，依据逻辑规则得出结论的能力，提升数学思维的严谨性，发展逻辑推理能力。​ 2.在运用菱形性质与判定定理解决计算问题时，发展准确、合理进行运算的能力，包括对边长、角度、面积等几何量的计算。 3.观察菱形与其他图形的关联，主动构建知识网络，从具体图形和问题中提炼出数学本质特征和规律，提升抽象思维能力。 2.目标解析 1.能独立完成复杂菱形证明题，从题目给定的边、角、对角线等条件出发，依据菱形性质与判定定理，有条理地写出完整的推理过程，且推理步骤严谨、逻辑连贯。 2.在计算类问题中，无论是求解菱形边长、角度，还是计算面积、周长等，都能正确选择并运用公式，计算过程准确无误，最终得出符合实际几何意义的答案，展现出熟练运用知识进行推理与运算的能力。​ 3.可以自主归纳总结菱形区别于其他四边形的本质特征，将菱形的性质、判定定理等知识点系统化，形成完整的知识网络，能够从不同角度对菱形相关问题进行抽象分析，灵活运用知识解决问题。 学生已初步掌握菱形的定义、基本性质以及判定的基本方法，对平行四边形与菱形的关系也有了一定认识。但在综合运用菱形性质和判定定理解决复杂问题时，部分学生仍存在知识衔接不流畅的情况。例如，对于需要同时运用菱形对角线互相垂直平分与勾股定理求解边长的问题，部分学生不能快速建立知识联系，容易出现思路卡顿。同时，学生对定理的逆用、变形运用还不够熟练，难以灵活应对变式题目。九年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键时期，具备一定的观察、分析和归纳能力。在之前的几何学习中，学生积累了一定的逻辑推理经验，但在面对复杂的几何图形和证明过程时，逻辑思维的严谨性和条理性仍有待提高。部分学生在几何证明中，存在推理步骤跳跃、依据表述不清的问题。在直观想象能力方面，学生能够对静态的菱形图形进行一定的分析，但对于动态变化的图形，以及菱形与其他几何图形之间的转化关系，理解和想象能力较为薄弱。 1.通过绘制思维导图，引导学生梳理菱形的定义、性质、判定定理之间的逻辑关系，以及与平行四边形知识的联系，明确知识脉络，强化知识衔接。例如，以菱形为中心，向外延伸出 “性质”“判定” 分支，在 “性质” 下细分边、角、对角线性质，标注与平行四边形性质的异同点，帮助学生形成系统的知识框架。 2.设计由易到难的变式题目，先从基础的单一知识点运用题入手，逐步过渡到综合运用多知识点的复杂题目。如先练习仅用菱形对角线互相垂直平分性质求对角线长度，再过渡到结合勾股定理求边长，最后设置需要同时运用多种性质和判定定理的证明题。针对不同层次学生，布置分层作业，让基础薄弱学生巩固基础，学有余力学生挑战拓展题，提升对定理逆用、变形运用的熟练度。 3.在几何证明教学中，采用 “步步追问” 法，要求学生每完成一步推理，都要明确说出依据的定理或性质，规范推理步骤和表述。 4.运用几何画板等动态软件，展示菱形在不同条件下的动态变化过程，以及与矩形、正方形等图形的转化关系。如通过改变菱形内角大小，让学生直观观察其如何变为矩形；拖动顶点，呈现菱形与平行四边形的联系，帮助学生理解动态图形和图形间的转化规律，提升直观想象能力。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：菱形的性质与判定的综合应用。 1.复习回顾 教师通过多媒体展示菱形的图片，提问学生：“同学们，我们之前学习了菱形，谁能说一说菱形的定义是什么？” 引导学生回答：“有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。”​ 继续提问：“那菱形有哪些独特的性质呢？” 邀请几位同学分别回答，总结出菱形的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。​ 接着提问：“我们又有哪些方法可以判定一个四边形是菱形呢？” 学生回答后，教师进行归纳：定义法，即有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形。​ （设计意图：通过回顾菱形的定义、性质和判定方法，唤起学生已有的知识记忆，为后续学习菱形性质与判定的综合运用奠定基础。） （教学建议：让学生以小组为单位，用思维导图或表格梳理菱形的性质与判定，对学生回答进行及时评价与补充，确保知识回顾准确全面。） 2.情景引入 教师：利用多媒体展示一个实际问题情境：如图，有一块菱形的草地 ABCD，其对角线 AC 与 BD 相交于点 O，已知 AC = 8m，BD = 6m，现在要在这块草地上种植鲜花，每平方米的种植成本是 50 元，那么种植这块草地的鲜花总成本是多少？ ​ 学生：要求总成本，需要先求出草地的面积。而菱形是特殊的平行四边形，因此可以用底×高计算。 教师：“菱形的底和高容易求出来吗？还有其他方法可以求这个菱形的面积吗？” （设计意图：以实际问题为驱动，让学生明确本节课所学知识的实用性，激发学生的学习动力。） （教学建议：问题提出后，可先让学生独立思考片刻，然后组织小组讨论，鼓励学生分享自己的思路和方法。） 探究点一　菱形的面积 问题1：菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗? 能.过点A作AE⊥BC于点E, 则S菱形ABCD=底×高 =BC·AE. 问题2:如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC把菱形ABCD分成等腰三角形ABC和等腰三角形ADC,试用两个等腰三角形的面积和推导菱形的面积. 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD, ∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC =AC·BO+AC·DO =AC(BO+DO) =AC·BD. 知识归纳： 菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半. （设计意图：通过探究菱形面积的不同表示方法，引导学生将菱形的边、对角线等性质与面积计算紧密联系起来，提高运用数学知识解决实际问题的能力，体现数学的实用性，发展数学建模核心素养。） （教学建议：教师可以提供不同条件的菱形图形（如已知边长和高、已知两条对角线长度等），让学生尝试从不同角度推导面积公式，激发学生主动探究的兴趣。） 例 如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm. 求:(1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积. 解:(1)∵四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点E， ∴∠AED=90°(菱形的对角线互相垂直), ∴DE=BD=×10=5(cm)(菱形的对角线互相平分), ∴AE===12(cm). ∴AC=2AE=2×12=24(cm). (2)菱形ABCD的面积 =△ABD的面积+△ABD的面积 =2×△ABD的面积 =2××BD×AE =2××10×12 =120(cm²). 练一练 1.如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（ B　） A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm 探究点二　菱形的性质与判定的综合应用 做一做：如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？ 分析：易知四边形ABCD是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可. 由题意可知BC边上的高和CD边上的高相等， 然后通过证△ABE≌△ADF，即得AB=AD. （设计意图：通过动手制作菱形模型、构造菱形图形等任务，学生能直观感知菱形特征，将抽象概念与实际操作结合，强化知识运用能力；同时，在自主探究过程中发现并解决问题，培养实践与探究能力） （教学建议：以启发性问题引导学生思考，建立理论与实践的联系；可以设置拓展任务，鼓励学生运用知识解决复杂问题，从而全方位提升学生的数学素养与综合能力） 练一练 2.如图，两张宽均为3cm的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD. 若测得AB＝5 cm，则四边形ABCD的周长为 20 cm. 典例分析 例1 如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8 cm． 求：（1）两条对角线的长度； （2）菱形ABCD的面积． 解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°. ∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2， ∴∠ABC=×180°=60°， ∴∠ABO=×∠ABC=30°，△ABC是等边三角形. ∵菱形ABCD的周长是8cm． ∴AB=2cm， ∴OA=AB=1cm，AC=AB=2cm， OB==(cm). ∴BD=2OB=2 cm； （2）S菱形ABCD=AC•BD=×2×2= 2（cm2）． 例2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长. 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)， OB=OD=BD =×6=3(菱形的对角线互相平分). 在等腰三角形ABC中， ∵∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形. ∴AB = BD = 6. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得 OA2+OB2=AB2， ∴OA ===3. ∴AC=2OA=6（菱形的对角线相互平分）. （设计意图：通过典型例题，帮助学生掌握运用判定定理解决实际问题的方法，提高学生分析和解决问题的能力，强化对定理的理解与运用。） （教学建议：先让学生独立思考，尝试解题；教师巡视了解学生思路，适时引导；讲解时注重分析解题思路和方法，强调规范答题格式。） 1.如图,在菱形ABCD中,AB＝5,对角线AC＝6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为(　　) A.4　　 B.2.4　　 C.4.8 　　 D.5 （1题） （2题） 2.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E，F分别是BC和CD的中点，连接AE，EF，AF，则△AEF的周长为（ ） A. B. C. D.3. 3.已知在菱形ABCD中，AB＝10，BD＝16，则菱形ABCD的面积为（ 　） A. 160 B. 80 C. 40 D. 96 （3题） （4题） 4.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则点C的坐标为（ 　） A. （3，4） B. （4，3） C. （2，3） D. （2，4） 5.如图，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下： 甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN， CM，则四边形ANCM是菱形. 乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形. 根据两人的作法可判断(　　) A.甲正确，乙错误 B.甲错误，乙正确 C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误 6.如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD.若从三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是　 （填序号）. （6题） （7题） 7.如图，两张宽度均为2 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为30°，则重叠部分构成的四边形ABCD的周长为 cm. 8.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． 参考答案 1.C 2.B 3.D 4.A 5.C 6. ② 7.16 8.(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE∥BC且2DE＝BC. 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形． 又∵EF＝BE， ∴四边形BCFE是菱形. (2)解：∵∠BCF＝120°， ∴∠EBC＝60°， ∴△EBC是等边三角形， ∴菱形的边长为4，高为2， ∴菱形的面积为4×2=8. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.） （教学建议：让学生先独立完成，然后将不会的问题各小组交流讨论得出结果.让学生从题目中找解题信息，从图形中找解决问题的突破口.） (设计意图：帮助学生梳理知识，形成完整的知识体系，加深对重点知识的理解和记忆，培养学生归纳总结能力。) （教学建议：采用提问、学生总结等方式，鼓励学生积极参与；教师补充完善，强调重点和易错点。） 1.必做题：习题1.3第1-4题。 2.探究性作业：习题1.3第5题。 （设计意图：通过分层作业，巩固知识，拓展思维，满足不同学生的学习需求。)​ （教学建议：批改作业时认真记录学生问题，为后续教学提供参考；对选做题优秀答案进行展示和表扬.） 1.1菱形的性质与判定第3课时 1. 菱形的面积：①底×高；②对角线乘积的一半. 2.菱形的性质与判定的综合应用 3. 例题区：（学生板演区域） 本课时教学通过多样化情境导入激发学生兴趣，借助 “做一做” 实践操作与分层例题变式训练，有效深化学生对菱形知识的理解，培养实践、协作及逻辑推理能力，部分学生展现创新思维；但存在时间把控欠佳、小组合作分工不明、学生参与不均，以及知识巩固针对性不足等问题，致使个别学生核心素养培养效果不显著。后续教学将优化时间规划，明确小组合作规则，加强巡视指导，收集典型错题开展专项训练，设计更具针对性的分层练习，并进一步强化数学核心素养的渗透，以推动全体学生数学素养全面提升。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$