专题22正多边形与圆（5大类型精准练+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

专题22正多边形与圆（5大类型精准练+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1.正多边形及有关概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点归纳： 　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点归纳：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 知识点2.正多边形的有关计算 　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点归纳：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点3.正多边形的画法 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形。 　　 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 　　②正六、三、十二边形的作法。 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点归纳：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 【类型1】有关正多边形角的计算 1．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）正六边形的中心角是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·天津南开·期末）如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，点O为正五边形的中心，连接，则的度数为（    ） A．72° B．54° C．60° D．36° 4．（24-25九年级下·陕西宝鸡·开学考试）如图，点是正五边形的中心，连接，于点，则的度数为 ． 5．（2025·安徽滁州·三模）如图，在的圆内接正五边形中，过点D作交于点F，则的度数为 ． 【类型2】求正多边形的边数 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 7．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A．9 B．10 C．18 D．20 8．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是正多边形的一部分，若，则该正多边形的边数为 ． 9．（2025·安徽合肥·二模）如图，在正边形中，，则的值是 ． 【类型3】求正多边形的半径、周长 、面积 10．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·安徽合肥·一模）如图，螺母的外围可以看作是正六边形，已知这个正六边形的半径是2，则它的面积是（   ）    A． B．12 C． D．24 12．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，正六边形内接于．若，则的直径为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 13．（22-23九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是 ． 14．（2025·陕西西安·模拟预测）若正方形的周长为12，则这个正方形的边心距为 ． 15．（24-25九年级下·上海·阶段练习）边心距为2的正六边形面积是 ． 16．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 17．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在圆内接正六边形中，半径，求这个正六边形的周长．    18．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，正外接圆的半径为，求正的边长，边心距，周长和面积． 【类型4】正多边形的作图问题 19．（2025·江西·模拟预测）如图，多边形是正五边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作一个以为腰，顶角为的等腰三角形； (2)如图2，作一个底角为的等腰三角形． 20．（2025·上海嘉定·二模）已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 【类型5】正多边形的实际应用 21．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）如图，是中国人民银行年发行的铝锌合金外圆内凹九边形立体感极强的“菊花1角硬币”．霖霖移动该硬币（）与直角三角形（）形成如图所示位置．其中，是内接正九边形的一条边，经过点和圆心，点是与的交点，，． (1)求证：是的切线； (2)若切于点，且霖霖测得，，求该硬币（）的直径为多长（精确到）． 22．（24-25九年级下·江苏徐州·阶段练习）今年假期，你有没有和父母或者小伙伴一起走进影院去看一下国漫电影《哪吒2》呀？影片中，玉虚宫的镇宫之宝“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八边形”的宫殿，你想知道这座建筑有多大吗？ 问题一：要求出“正八边形”的面积，我们可以把一个“正八边形”均分成八个顶角为______度的等腰三角形； 问题二：中，，，，求的面积和的值分别是多少？（可以作的中垂线交于D，交于E，则为等腰三角形，） 问题三：若“正八边形”的边长为，求：正八边形的面积． 23．（24-25九年级下·福建福州·期中）在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护草坪．某公司准备在一块边长为的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案． 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面，喷洒覆盖率为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． (1)如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的实际喷洒面积___________，实际喷洒覆盖率___________． (2)如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为5m的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为的自动喷洒装置．．．以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置，与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． (3)如图6，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知正方形各边上依次取点，使得，设的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值． 一、单选题 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知正多边形的中心角是30度，则这个正多边形的边数是（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 2．（23-24九年级上·青海果洛·期末）正六边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·广西河池·期末）如图，已知正五边形内接于，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广西南宁·模拟预测）青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点为正八边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽合肥·三模）如图，是的内接正三角形，五边形是的内接正五边形，若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 6．（2025·广东惠州·模拟预测）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）一个正六边形的内切圆的半径为3，则这个正六边形的外接圆的半径为（    ） A． B．4 C． D．6 8．（24-25九年级下·福建漳州·阶段练习）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25九年级下·上海浦东新·阶段练习）如果一个正多边形内角和是，那么它的中心角是 ． 10．（24-25九年级上·河南信阳·期末）若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个正多边形是 ． 11．（24-25九年级上·福建厦门·期末）正六边形内接于半径为1的圆，则该正六边形的周长是 ． 12．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，正五边形的顶点在上，是优弧上的一点（不与点重合），连接，则的度数为 ．    13．（22-23九年级上·广西河池·期末）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则边长a为 ． 14．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，小明计划绘制一个具有小太阳笑脸特征的图案．为此，他首先绘制了一个边长为10的正十二边形，再以该正十二边形的每个顶点为圆心，边长的一半为半径，画12个扇形，这些扇形共同构成如图所示的“太阳”轮廓，那么，这个“太阳”轮廓的总长度是 ．（π取） 15．（2025·陕西咸阳·一模）如图，是半径为3的正八边形的外接圆，连接，则的长为 ． 16．（2025·安徽·模拟预测）如图，在内接正六边形中，连接，交于点．设正六边形的面积为，的面积为，则 ． 三、解答题 17．（24-25九年级下·江西九江·开学考试）请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，圆内多边形是矩形，请作出该圆的圆心；点 即为所求； (2)在图2中，圆内正多边形是正五边形，请作出垂直的直径．线段 即为所求． 18．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，已知正方形 ，以边为直径作，点E是边上一点（不与B，C重合），将正方形沿折叠，使得点C恰好落在上． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若正方形的边长为2，求线段的长． 19．（2023九年级下·全国·专题练习）明达中学在校园里建了一个读书亭．它的地基是半径为4米的正六边形． (1)求地基的周长是多少？ (2)求地基的面积是多少？ 20．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，正六边形内接于，半径，求这个正六边形的边长和边心距的长． 21．（22-23九年级上·安徽淮南·阶段练习）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设半径为1的圆的面积与其内接正n边形的面积差为，如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，求的值． 22．（2025·山西长治·三模）阅读与思考 请阅读以下材料并完成相应的任务． 如果一个点把一条线段分割成两部分，其中较长线段与整条线段之比，等于较短线段与较长线段之比，则这个点叫做这条线段的黄金分割点，这个比例叫做黄金比，也叫做中外比，按此比例设计出的图案十分美丽． 如图1，C是线段AB的黄金分割点，或就是黄金比，其比值为． 黄金三角形是一个等腰三角形，常见的黄金三角形有两种：①它的底之长与一腰之长的比为黄金比，此时等腰三角形的两个底角为，顶角为；②它的一腰之长与底之长的比为黄金比，此时等腰三角形的两个底角为，顶角为． 任务： (1)如图2，在中，，．用尺规在AC边上求作一点P，连接，使为黄金三角形．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)如图3，在的内接正十边形中，是正十边形的一条边，平分．若，求的长． 23．（2025·福建福州·二模）“裁剪1次”是指在单张平面图形（或将此图形经过若干次折叠后），用剪刀沿某条路径（图1中，裁剪路径为直线）进行一次裁剪将其裁开的操作．若进行次裁剪，则记载剪次数为．某数学综合实践活动小组开展裁剪卡纸的活动（裁剪路径均为直线），将一个长为，宽为的可折叠矩形卡纸（如图2）裁剪为八边形卡纸，得到的八边形需满足以下要求：①该八边形的所有顶点都在原矩形卡纸的边上，②原矩形卡纸的每一条对称轴都是该八边形的对称轴． (1)为了得到符合要求的八边形卡纸，请用文字简要描述你的裁剪方法（要求：裁剪次数最少，获得满分）； (2)当，时，经裁剪得到符合要求且各边长相等的八边形卡纸，如图3，求得到的该八边形卡纸的面积； (3)该小组在一系列探究后发现可以提供一款矩形卡纸，使其经裁剪能得到符合要求的八边形卡纸，且该八边形是正八边形．请分析他们的说法是否正确？若正确，求该款矩形卡纸长和宽之间的数量关系；若不正确，请说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22正多边形与圆（5大类型精准练+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1.正多边形及有关概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点归纳： 　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点归纳：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 知识点2.正多边形的有关计算 　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点归纳：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点3.正多边形的画法 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形。 　　 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 　　②正六、三、十二边形的作法。 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点归纳：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 【类型1】有关正多边形角的计算 1．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）正六边形的中心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正多边形的中心角．据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角是：，此题比较简单，注意准确掌握定义是关键． 【详解】解：正六边形的中心角是：． 故选：A． 2．（23-24九年级上·天津南开·期末）如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 【详解】解：连接、， ∵是圆内接五边形， ∴， ∴， 故选B． 3．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，点O为正五边形的中心，连接，则的度数为（    ） A．72° B．54° C．60° D．36° 【答案】A 【分析】根据正边形的中心角的度数为，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：的度数为； 故选A． 4．（24-25九年级下·陕西宝鸡·开学考试）如图，点是正五边形的中心，连接，于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆的位置关系，等腰三角形的性质，正确的添加辅助线以及记熟正多边形的有关性质是解题关键，根据题意，可得，根据正多边形的性质，求出，根据三角形的内角和，求出，再根据三角形的内角和，即可． 【详解】解：连接， ∴， ∴， ∵点是正五边形的中心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2025·安徽滁州·三模）如图，在的圆内接正五边形中，过点D作交于点F，则的度数为 ． 【答案】/18度 【分析】本题考查圆内接正多边形，三角形内角和，连接，，根据圆内接正五边形，得到，，则，得到，根据等腰三角形得到，再由得到，最后根据三角形内角和求解即可． 【详解】解：连接，， ∵在的圆内接正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【类型2】求正多边形的边数 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法是正确解答的关键． 根据正多边形中心角的计算方法列方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形为正边形，由题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以这个正多边形是正九边形， 故选：B． 7．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A．9 B．10 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， 点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ， ， 这个正多边形的边数， 故选：A． 8．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是正多边形的一部分，若，则该正多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形中心角问题、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．连接，，易知点在以点为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，再根据正多边形中心角计算方法即可得到答案． 【详解】解：连接，，如下图， ∵为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵ ∴， ∴这个正多边形的边数． 故答案为：． 9．（2025·安徽合肥·二模）如图，在正边形中，，则的值是 ． 【答案】20 【分析】本题考查正多边形和圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，求出的值即可． 【详解】解：如图，点为正边形的外接圆的圆心，连接， 则：，， ∴， ∴； 故答案为：20． 【类型3】求正多边形的半径、周长 、面积 10．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正多边形的内切圆和外接圆，解答本题的关键在于熟练掌握内切圆与外接圆的性质以及正多边形的中心角，求出正六边形的中心角的度数，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接、，过作， ， 又∵正六边形中心角， ∴为正三角形， ， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：A． 11．（2025·安徽合肥·一模）如图，螺母的外围可以看作是正六边形，已知这个正六边形的半径是2，则它的面积是（   ）    A． B．12 C． D．24 【答案】A 【分析】此题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；根据题意得出△AOB是等边三角形是解题关键．由正六边形的性质证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：设正六边形的中心为O，连接，，过点O作于点H，如图所示：    ∵O是正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴正六边形的面积． 故选：A． 12．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，正六边形内接于．若，则的直径为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，正确得出是等边三角形是解题关键． 直接利用等边三角形的判定与性质进而分析得出答案． 【详解】解：连接， ∵正六边形内接于 ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴ ∴的直径为． 故选：A． 13．（22-23九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 连接、，根据的周长等于，可得的半径，而六边形是正六边形，即知，是等边三角形，即可得正六边形的边长． 【详解】解：连接、，如图： 的周长等于， 的半径， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， 即正六边形的边长为3， 故答案为：3． 14．（2025·陕西西安·模拟预测）若正方形的周长为12，则这个正方形的边心距为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查正方形的性质、正多边形和圆、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，正确地画出图形并且添加相应的辅助线是解题的关键． 根据正方形的周长为12，易得，如图∶作正方形的外接圆，圆心为点O，连接，作于点E，则，所以即可解答． 【详解】解：如图，正方形的周长为12， ∴，且， ∴， 如图∶作正方形的外接圆，圆心为点O，连接，作于点E， ∵，， ∴ ∴正方形ABCD的边心距为． 故答案为：． 15．（24-25九年级下·上海·阶段练习）边心距为2的正六边形面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，根据题意，求出正六边形的边长，根据正六边形的面积为6个全等的等边三角形的面积之和，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，作，由题意可知：，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正六边形面积为：； 故答案为：． 16．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接六边形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到．，得到是等边三角形，得出，即可得到答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ．， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长． 17．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在圆内接正六边形中，半径，求这个正六边形的周长．    【答案】这个正六边形的周长为． 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定与性质．连接，如图，根据正六边形的性质得到，则为等边三角形，所以，进而可求出正六边形的周长． 【详解】解：如图，连接， ． ∵六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ∴这个正六边形的周长为．    18．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，正外接圆的半径为，求正的边长，边心距，周长和面积． 【答案】边心距，边长为，周长是，面积是． 【分析】连接，延长交于D，根据等边三角形性质得出，，进而求得；再根据勾股定理求出，即可求出，进而求得周长和面积． 【详解】解：如图：连接，延长交于D， ∵正外接圆是， ∴， ∴边心距， 由勾股定理得：， ∴三角形边长为，， ∴的周长是； 的面积是． 【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、三角形的面积等知识点，正确作辅助线后求出的长是解题的关键． 【类型4】正多边形的作图问题 19．（2025·江西·模拟预测）如图，多边形是正五边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作一个以为腰，顶角为的等腰三角形； (2)如图2，作一个底角为的等腰三角形． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）连接，，交于点，则即为所求作的三角形； （2）连接，，交于点，连接并延长交于，则或即为所求； 【详解】（1）解：如图，连接，，交于点，则即为所求作的三角形； 理由：∵多边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴即为所求作的三角形； （2）解：如图，连接，，交于点，连接并延长交于，则或即为所求； 理由：由（1）可得：，， ∴， ∴， 同理：， ∴，， ∴是正五边形的对称轴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即为所求作的等腰三角形， 同理可得：即为所求作的等腰三角形． 【点睛】本题考查的是正多边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，熟练的画图是解本题的关键． 20．（2025·上海嘉定·二模）已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用正五边形与等腰三角形的性质求解； （2）连接交于点M，四边形即为所求； （3）各边延长线的交组成的五边形即为所求． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：； （2）如图1所示，连接相交于点，菱形为所求图形， 证明：在正五边形中，每个内角都相等且等于，每条边都相等， 可得≌，从而 ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可证：. ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形. （3）如图，五边形即为所求． 【类型5】正多边形的实际应用 21．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）如图，是中国人民银行年发行的铝锌合金外圆内凹九边形立体感极强的“菊花1角硬币”．霖霖移动该硬币（）与直角三角形（）形成如图所示位置．其中，是内接正九边形的一条边，经过点和圆心，点是与的交点，，． (1)求证：是的切线； (2)若切于点，且霖霖测得，，求该硬币（）的直径为多长（精确到）． 【答案】(1)见解析 (2)该硬币（）的直径为 【分析】本题考查了正多边形与圆，切线的判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据正多边形的性质可得中心角，进而得出得出则，即可得证； （2）连接，证明四边形是正方形，设的半径为，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是内接正九边形的一条边， ∴中心角， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵切于点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， 设的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴该硬币（）的直径为． 22．（24-25九年级下·江苏徐州·阶段练习）今年假期，你有没有和父母或者小伙伴一起走进影院去看一下国漫电影《哪吒2》呀？影片中，玉虚宫的镇宫之宝“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八边形”的宫殿，你想知道这座建筑有多大吗？ 问题一：要求出“正八边形”的面积，我们可以把一个“正八边形”均分成八个顶角为______度的等腰三角形； 问题二：中，，，，求的面积和的值分别是多少？（可以作的中垂线交于D，交于E，则为等腰三角形，） 问题三：若“正八边形”的边长为，求：正八边形的面积． 【答案】问题一：45；问题二：，；问题三：． 【分析】本题考查正多边形的有关运算，含的直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握含的直角三角形性质和利用正方形的面积解决正八边形的面积是解决本题的关键． 问题一：根据正八边形分成的八个等腰三角形的顶角组成，可得等腰三角形每个顶角的度数； 问题二：根据及的长可得和的长度，进而可得的长度，的面积，，把相关数值代入计算即可； 问题三：延长正八边形的四条边相交成正方形，则补充的四个小三角形为等腰直角三角形，求得正方形的边长后，正八边形的面积正方形的面积4个等腰直角三角形的面积，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：问题一：八个等腰三角形的顶角组成， 每个顶角的度数为：， 故答案为：45； 问题二：作的中垂线交于D，交于E， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 问题三：如图，延长正八边形的四条边相交成正方形，则补充的四个小三角形为全等的等腰直角三角形， 正八边形的边长为， ∴， ， 正方形的边长为， 正八边形的面积． 23．（24-25九年级下·福建福州·期中）在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护草坪．某公司准备在一块边长为的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案． 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面，喷洒覆盖率为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． (1)如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的实际喷洒面积___________，实际喷洒覆盖率___________． (2)如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为5m的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为的自动喷洒装置．．．以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置，与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． (3)如图6，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知正方形各边上依次取点，使得，设的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值． 【答案】(1) (2)不能提高喷洒覆盖率，理由见解析 (3)y 【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解； （2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解； （3）根据勾股定理求得的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：（1）当喷洒半径为时，喷洒的圆面积． ∴； 正方形草坪的面积． 故喷洒覆盖率． （2）解：对于任意的，喷洒面积，而草坪面积始终为． 因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为． 这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用． （3）如图所示，连接， 要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积． ∴都经过正方形的中心点， 在中，，， ∵ ∴， 在中， ∴ ∴ ∴当时，取得最小值，此时 解得：． 【点睛】本题考查了正方形与圆，二次函数的应用，解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒覆盖率的计算问题转化为面积计算和函数求解问题．同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数学知识，如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等．最后，还需要注意将数学计算结果还原为实际问题的解决方案． 一、单选题 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知正多边形的中心角是30度，则这个正多边形的边数是（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．根据正多边形的中心角的计算公式计算即可，中心角等于（n为边数）． 【详解】解：由题意得，这个正多边形的边数是， 故选：A． 2．（23-24九年级上·青海果洛·期末）正六边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形中心角定义．根据题意正多边形中心角即为除以正多边形边数即可选出本题答案． 【详解】解：∵是正六边形， ∴中心角为：， 故选：C． 3．（22-23九年级上·广西河池·期末）如图，已知正五边形内接于，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正边形的中心角的计算公式（为正整数，）解答即可． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴正五边形的中心角． 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正边形的中心角的计算公式（为正整数，）是解题的关键． 4．（2025·广西南宁·模拟预测）青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点为正八边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求正多边形中心角度数，掌握正n边形中心角的计算公式是解题的关键． 用除以正多边形的边数，计算即可． 【详解】解： 故选：C． 5．（2025·安徽合肥·三模）如图，是的内接正三角形，五边形是的内接正五边形，若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，连接、、、，由题意可得，，，由圆周角定理计算得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接、、、， 由题意可得：，，， ∴， ∴若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为， 故选：A． 6．（2025·广东惠州·模拟预测）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查切线的性质，正多边形的内角，圆周角定理，连接，求出的度数，根据四边形的内角和为360度求出的度数，圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， 连接， 由题意，得：， ∴， ∴； 故选B． 7．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）一个正六边形的内切圆的半径为3，则这个正六边形的外接圆的半径为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形；设正六边形的中心是，一边是，过作于，在直角中，根据三角函数即可求得边长，从而求出周长． 【详解】解：如图， 作于G，由题意可得,, ， 在中，，， ； 故选：A． 8．（24-25九年级下·福建漳州·阶段练习）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长．过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，利用余弦得出，再求弧长即可求解． 【详解】解：如图所示：过点C作， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为：， ∴花窗的周长为：， 故选：D． 二、填空题 9．（24-25九年级下·上海浦东新·阶段练习）如果一个正多边形内角和是，那么它的中心角是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了正多边形的内角和、边数、中心角，先根据正多边形的内角和求出边数，再求其中心角的度数即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴正六边形的中心角是， 故答案为：36． 10．（24-25九年级上·河南信阳·期末）若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个正多边形是 ． 【答案】正六边形 【分析】本题考查了正多边形的边数与中心角的关系，掌握正多边形的中心角等于是解题的关键． 根据正多边形中心角等于即可求解． 【详解】解：由题意得，边数为， 故答案为：正六边形． 11．（24-25九年级上·福建厦门·期末）正六边形内接于半径为1的圆，则该正六边形的周长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，掌握圆心角的计算，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意作图可得，，则有，是等边三角形，，由此即可求解． 【详解】解：正六边形内接于半径为1的圆， 如图所示，，， ∴正六边形每条边所对的圆心角的度数为， ∴是等边三角形， ∴， ∴该正六边形的周长是， 故答案为：6 ． 12．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，正五边形的顶点在上，是优弧上的一点（不与点重合），连接，则的度数为 ．    【答案】/54度 【分析】本题考查正多边形与圆、圆周角定理等知识点，理解圆周角定理是解题的关键． 先根据正多边形内角和定理求得再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵是优弧上的一点（不与点重合）， ∴． 故答案为：． 13．（22-23九年级上·广西河池·期末）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则边长a为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由正多边形的外接圆半径、边长、边心距组成的直角三角形是解题的关键． 如图，连接、，过O作于H．证明出是等边三角形，解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，连接、，过O作于H． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：2． 14．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，小明计划绘制一个具有小太阳笑脸特征的图案．为此，他首先绘制了一个边长为10的正十二边形，再以该正十二边形的每个顶点为圆心，边长的一半为半径，画12个扇形，这些扇形共同构成如图所示的“太阳”轮廓，那么，这个“太阳”轮廓的总长度是 ．（π取） 【答案】157 【分析】本题主要考查了弧长计算，正多边形的内角，解题的关键是熟练掌握弧长公式．先求出正十二边形每个内角度数为：，根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：正十二边形每个内角度数为： ， 这个“太阳”轮廓的总长度是： ． 故答案为：157． 15．（2025·陕西咸阳·一模）如图，是半径为3的正八边形的外接圆，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形的外接圆， 先求出中心角，再根据勾股定理可得答案． 【详解】解：连接，如图所示， ∵这个多边形是正八边形， ∴， ∴． 在中，， ∴． 故答案为：． 16．（2025·安徽·模拟预测）如图，在内接正六边形中，连接，交于点．设正六边形的面积为，的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，三角形的面积，连接，，连接交于点，得，，求出，故可得． 【详解】解：如图，连接，，连接交于点， 正六边形内接于， 经过点，且，，， ， ， ， 在正六边形中，，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 17．（24-25九年级下·江西九江·开学考试）请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，圆内多边形是矩形，请作出该圆的圆心；点 即为所求； (2)在图2中，圆内正多边形是正五边形，请作出垂直的直径．线段 即为所求． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， 【分析】本题考查了矩形的性质，垂径定理，圆周角定理；熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接，，交点即为圆心． （2）延长交于点，作射线交圆于点，则即为所求． 【详解】（1）解：如图1，连接，，相交于点，则点即为所求． （2）解：如图2，延长交于点，作射线交圆于点，则即为所求． 18．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，已知正方形 ，以边为直径作，点E是边上一点（不与B，C重合），将正方形沿折叠，使得点C恰好落在上． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若正方形的边长为2，求线段的长． 【答案】(1)为的切线．理由见解析； (2)线段的长为 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，再根据折叠的性质得到，所以，于是可判断，所以，然后根据切线的判定方法可判断为的切线； （2）先由得到点O、、E共线，设，则，所以,然后利用勾股定理得到，从而可解方程即可． 【详解】（1）解：与相切． 理由如下： 四边形为正方形， ， 正方形沿折叠，使得点恰好落在上， ， ， 在和中， ， ， ， 为的半径， 为的切线： （2）由（1）得， ， 点O、、E共线， 设，则， ， 为的直径， ， ， 在中，， 解得 即线段的长为． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质和折叠的性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 19．（2023九年级下·全国·专题练习）明达中学在校园里建了一个读书亭．它的地基是半径为4米的正六边形． (1)求地基的周长是多少？ (2)求地基的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，求出圆心角的度数，再由等边三角形的性质即可求出正六边形的周长； （2）过O作，利用等边三角形及特殊角的三角函数值可求出的长，利用三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接； ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的周长． （2）解：过O作于G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是正六边形及等边三角形的性质、特殊角的三角函数值，作出辅助线构造出等边三角形是解答此题的关键． 20．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，正六边形内接于，半径，求这个正六边形的边长和边心距的长． 【答案】正六边形的边长为4，边心距的长为． 【分析】连结，证出为等边三角形，利用锐角三角函数的定义求即可． 【详解】解：如图，连结， ∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． 答：正六边形的边长为4，边心距的长为． 【点睛】本题考查圆内接正六边形的边心距问题，掌握正多边形的性质，会求中心角，会利用边心距和半径构成直角三角形，会用锐角三角函数求解是关键． 21．（22-23九年级上·安徽淮南·阶段练习）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设半径为1的圆的面积与其内接正n边形的面积差为，如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，求的值． 【答案】 【分析】由题意知，由此计算即可． 【详解】解：如图， 由题意知，圆的内接正八边形的中心角度数为，内接正十二边形的中心角度数为， ∴ ． 【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．（2025·山西长治·三模）阅读与思考 请阅读以下材料并完成相应的任务． 如果一个点把一条线段分割成两部分，其中较长线段与整条线段之比，等于较短线段与较长线段之比，则这个点叫做这条线段的黄金分割点，这个比例叫做黄金比，也叫做中外比，按此比例设计出的图案十分美丽． 如图1，C是线段AB的黄金分割点，或就是黄金比，其比值为． 黄金三角形是一个等腰三角形，常见的黄金三角形有两种：①它的底之长与一腰之长的比为黄金比，此时等腰三角形的两个底角为，顶角为；②它的一腰之长与底之长的比为黄金比，此时等腰三角形的两个底角为，顶角为． 任务： (1)如图2，在中，，．用尺规在AC边上求作一点P，连接，使为黄金三角形．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)如图3，在的内接正十边形中，是正十边形的一条边，平分．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，黄金分割，正多边形的性质，等腰三角形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于P，连接，则即为所求；根据线段垂直平分线的性质可得，则，则可得到，再由等边对等角可得； （2）求出，由角平分线的定义可得，则，则可证明和是黄金三角形，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示，作线段的垂直平分线交于P，连接，则即为所求； （2）∵正十边形的中心角，， ． ∵平分， ， ∴． 和是黄金三角形． ，． ， ． ． 23．（2025·福建福州·二模）“裁剪1次”是指在单张平面图形（或将此图形经过若干次折叠后），用剪刀沿某条路径（图1中，裁剪路径为直线）进行一次裁剪将其裁开的操作．若进行次裁剪，则记载剪次数为．某数学综合实践活动小组开展裁剪卡纸的活动（裁剪路径均为直线），将一个长为，宽为的可折叠矩形卡纸（如图2）裁剪为八边形卡纸，得到的八边形需满足以下要求：①该八边形的所有顶点都在原矩形卡纸的边上，②原矩形卡纸的每一条对称轴都是该八边形的对称轴． (1)为了得到符合要求的八边形卡纸，请用文字简要描述你的裁剪方法（要求：裁剪次数最少，获得满分）； (2)当，时，经裁剪得到符合要求且各边长相等的八边形卡纸，如图3，求得到的该八边形卡纸的面积； (3)该小组在一系列探究后发现可以提供一款矩形卡纸，使其经裁剪能得到符合要求的八边形卡纸，且该八边形是正八边形．请分析他们的说法是否正确？若正确，求该款矩形卡纸长和宽之间的数量关系；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)476 (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由矩形的性质及折叠的性质得出裁剪方案即可； （2）由勾股定理求出，则可得出答案； （3）由全等的等腰直角三角形得出，即，则可得出结论． 【详解】（1）解：裁剪次数为1．裁剪方案：将矩形卡纸沿竖直方向对称轴对折，再沿水平方向对称轴对折，在原矩形四个内角重叠处的适当位置（在原长与宽的位置小于原长与宽的一半处）裁剪1次，展开即可得到符合要求的八边形卡纸． （2）解：根据题意，得裁剪掉的4个三角形是全等的直角三角形．设这些直角三角形在宽上的直角边长为m，在长上的直角边长为n， ∵八边形的各边长相等， ∴， 即， ∴八边形的边长为， 根据勾股定理，得， 化简，得． ∵， ∴， ∴， ∴得到的八边形卡纸的面积是． （3）解：∵正八边形的八条边相等， ∴若能裁剪得到，可同理（2），得， 又∵正八边形的八个角都相等，都为， ∴裁剪掉的4个全等的直角三角形的两个锐角都为， 即这4个三角形是全等的等腰直角三角形， 此时，，即， 综上，当时，能够经裁剪得到的八边形卡纸的形状是正八边形． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$