专题21直线与圆的位置关系（12大类型精准练+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

专题21直线与圆的位置关系（13大类型精准练+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：12大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1.直线和圆的位置关系 (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 　　　　　　　　 　　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 　　 知识点2.切线的判定定理和性质定理（重点）（难点） （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． （3）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （4）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （5）切线性质的运用 由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 归纳总结： 　　切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 知识点3.切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 归纳总结： 切线长定理的一个基本图形如图所示其中包含的其他结论有： (1)三组垂直线段：OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥OP: (2)三组全等三角形：△QAP≌△OBP,△OCA≌△OCB,△ACP≌△BCP; (3)两组相等的孤：弧AD=弧BD,弧AE=弧BE; (4)两个等腰三角形：△OAB和△PAB. 知识点4.三角形的内切圆 1.三角形的内切圆： 　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 　　三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点归纳： 　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 　　(3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 21直线与圆的位置关系（12大类型精准练+过关检测） 【类型1】直线与圆的位置关系 1．（24-25九年级上·广东江门·期中）若半径为的圆，其圆心到直线的距离是，则直线和圆的位置关系为（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 2．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）已知直线l与圆O相交，点P在直线l上，若P点到O点的距离等于圆O的半径，则点P的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．3个以上 3．（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，，以点为圆心，为半径画，根据下列条件，分别求出的取值范围． (1)边与相离； (2)边与相切； (3)边与相交． 【类型2】已知直线与圆的位置关系求半径 4．（24-25九年级下·广西南宁·阶段练习）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相离，则r的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级下·上海·阶段练习）如果一圆的半径为，圆心到直线的距离为，且这个圆与这条直线有公共点，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 【类型3】圆平移到与直线相切时满足的条件 7．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 8．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 9．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，开始时，．如果以的速度向右运动，那么当的运动时间满足条件 时，与直线相交． 【类型4】切线的判定的认识 10．（2025·江苏无锡·模拟预测）下列判断正确的是（   ） A．同弧或等弧所对的圆心角相等 B．三点确定一个圆 C．长度相等的弧是等弧 D．垂直于半径的直线是圆的切线 11．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列命题：①等弧所对的弦相等；②垂直于弦的直线平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④直径所对的圆周角是直角；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的命题有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12．（2024·湖北·模拟预测）如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【类型5】切线的判定条件 13．（23-24九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 14．（17-18九年级下·全国·期末）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线． 15．（21-22九年级上·北京·期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【类型6】证明直线与圆相切 16．（19-20九年级上·福建福州·期中）如图,在RT△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D．求证:AC与⊙D相切.    17．（2025·江苏·二模）如图，在中，是的直径，点在上，点是弧的中点，，垂足为点．求证：是的切线． 18．（2025·四川眉山·一模）如图，为的直径，取的中点C，过点C作交于点D，D在的上方，连接、，点E在线段的延长线上，且． (1)求的度数； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 19．（2025·山东临沂·一模）如图，内接于，是上一点，．是外一点，，，连接． (1)若，，求的长； (2)求证：是的切线． 【类型7】切线的性质 20．（2025·山西·模拟预测）如图，与的边相切于点，与边相交于点．点为优弧上的点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 21．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，过外一点作圆的切线，点为切点，为直径，设，则的度数为 ． 22．（2025·湖南·中考真题）如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切与点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 23．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：与相切； (2)若，，试求的长． 【类型8】切线长定理 24．（2024·西藏日喀则·二模）如图，P为外一点，，分别切于A，B两点，若，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 25．（24-25九年级上·北京石景山·期末）如图，是的内切圆，切点分别为，，．若，，则的周长为（    ） A．16 B．23 C．25 D．32 26．（19-20九年级上·贵州黔西·期末）如图，分别切于点切于点C，分别交于点M，，若，则的周长是 ． 【类型9】有关切线长定理的计算与证明 27．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是⊙O的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求和的度数． 28．（18-19九年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90o，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2cm，AD＝4cm． (1)求⊙O的直径BE的长； (2)计算△ABC的面积． 29．（18-19九年级·安徽马鞍山·阶段练习）如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm． （Ⅰ）求证：OB⊥OC； （Ⅱ）求CG的长． 【类型10】三角形的内切圆 30．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，中，，点是的内心．则的度数（   ） A． B． C． D． 31．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 ． 32．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，且， ，，则的半径是 ． 33．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，请利用尺规作图法作出的内心O．（不写作法，保留作图痕迹） 34．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）（1）尺规作图：如图，已知．求作：的内切圆．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）的内切圆与分别相切于点D，E，F，且cmcm，求的长． 35．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 【类型11】切线的性质与判定的计算与证明 36．（21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线 (2)若，，则的长 37．（22-23九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是的直径，点P在上，且，点M是外一点，与相切于点B，连接，过点A作交于点C，连接交于点D． (1)求证是的切线 (2)若，，连接，求的长． 38．（21-22九年级上·福建莆田·期末）如图，AB是⊙O的直径，D在AB上，C为⊙O上一点，AD＝AC，CD的延长线交⊙O于点E． (1)点F在CD延长线上，BC＝BF，求证：BF是⊙O的切线； (2)若AB＝2，，求∠CAE的度数． 【类型12】切线的综合问题 39．（2022·河北石家庄·一模）如图，AB是半圆形量角器的直径，点O为半圆的圆心，DA与半圆O相切于点A，点P在半圆上，且点P对应的示数为120°（60°），点C是上一点（不与点P重合）．连接DO交半圆O于点E，点E对应的示数为60°（120°）． (1)连接PC，AC，求∠PCA的度数； (2)连接AP，PB，求证：△DAO≌△APB； (3)若直径AB上存在一点M，使得EM＋PM的值最小，已知半圆O的半径是2，直接写出EM＋PM的最小值． 40．（19-20九年级上·河北石家庄·期中）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点． （1）线段AC的长度是　 　． （2）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长； （3）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围　 　． 【类型13】新定义材料探究 41．（20-21九年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，的半径为1． 给出如下定义：记线段的中点为，当点不在上时，平移线段，使点落在上，得到线段（分别为点的对应点）线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”． （1）已知点的坐标为，点在轴上． ①若点与原点重合，则线段到的“平移距离”为________； ②若线段到的“平移距离”为2，则点的坐标为________； （2）若点都在直线上，且，记线段到的“平移距离”为，求的最小值； （3）若点的坐标为，且，记线段到的“平移距离”为，直接写出的取值范围． 42．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于平面内点和轴上点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在上，称点为的“赋能点”． (1)已知点的坐标为． ①如图1，在点中，的“赋能点”是_____； ②如图2，若直线上存在点，使点为的“赋能点”，求的取值范围； (2)如图3，点．若线段上存在点，使点为的“赋能点”，直接写出的取值范围． 一、单选题 1．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）已知的半径，直线上有一点到圆心O的距离为，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相切或相交 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川自贡·中考真题）分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（    ） A． B． C． D．或 5．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，以为直径的半圆交于点，已知与相切于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 7．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，点为的内心，，，，将平移，使其顶点与点重合，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·四川德阳·二模）如图，内切于正方形，边分别与切于点，点分别在线段上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25九年级上·北京·期中）的直径为，若圆心O与直线l的距离为，则l与的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）． 10．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）若的圆心到直线的距离小于半径，则直线与的位置关系是 ． 11．（2025·浙江湖州·二模）如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，为切点，连结，，若，则的度数为 ． 12．（2025·浙江温州·一模）如图，，是的切线，切点分别是，，如果，那么的度数等于 ． 13．（2025·湖南株洲·三模）如图，在中，，的角平分线、交于点，则以点为圆心，以 为半径，可作的内切圆． 14．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，是一张三角形纸片，，是它的内切圆，小陈准备用剪刀在的左侧沿着与相切的任意一条直线剪下，若剪下的的周长为，则的周长为 ． 15．（2023·广东广州·一模）如图，在中，为直径，点M为延长线上的一点，与相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径两侧，且使得，连接．现有下列结论：①与相切；②四边形是菱形；③；④．其中正确的结论是 （填序号）． 16．（18-19九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A(−6，0)，B(0，6)，⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为 三、解答题 17．（21-22九年级上·江苏南京·阶段练习）在中，，，， （1）斜边上的高为________； （2）以点C为圆心，r为半径作⊙C ①若直线与⊙C没有公共点，直接写出r的取值范围； ②若边与⊙C有两个公共点，直接写出r的取值范围； ③若边与⊙C只有一个公共点，直接写出r的取值范围． 18．（20-21九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，为的直径，C为上一点，直线是的切线，于点D，交于点F，连接． (1)求证：平分． (2)若，求． 19．（2022·河南·一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作切线DE交AB的延长线于点E，交BC于点F． (1)求证：BC⊥DE； (2)若AB＝4，∠A＝30°，填空： ①线段AD的长为______；②线段BF的长为______． 20．（22-23九年级上·山东烟台·期末）如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且平分，过点E作于点F，延长，交延长线于点G． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 21．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点A作⊙O的切线，交BC的延长线于点D，取AD的中点E，延长CE交BA的延长线交于点P． (1)求证：PC是⊙O的切线； (2)AB＝2AP，AB＝8，求AD的长． 22．（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 23．（24-25九年级下·湖南永州·阶段练习）平面直角坐标系中的与上一点Q，若存在一点M（点M不与点Q重合）使得直线绕点M旋转，所得直线恰好经过中点，则称点M为的“内直点”．如图所示点M为的内直点，平面直角坐标系中半径为r． (1)若，下列各点：，，，中是的“内直点”的是 ； (2)在（1）条件下，若一次函数上存在的“内直点”，结合图形求k的取值范围； (3)直线与x轴交于点E与y轴交于点F，若线段上存在的“内直点”，直接写出此时半径r的取值范围． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21直线与圆的位置关系（13大类型精准练+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：12大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1.直线和圆的位置关系 (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 　　　　　　　　 　　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 　　 知识点2.切线的判定定理和性质定理（重点）（难点） （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． （3）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （4）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （5）切线性质的运用 由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 归纳总结： 　　切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 知识点3.切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 归纳总结： 切线长定理的一个基本图形如图所示其中包含的其他结论有： (1)三组垂直线段：OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥OP: (2)三组全等三角形：△QAP≌△OBP,△OCA≌△OCB,△ACP≌△BCP; (3)两组相等的孤：弧AD=弧BD,弧AE=弧BE; (4)两个等腰三角形：△OAB和△PAB. 知识点4.三角形的内切圆 1.三角形的内切圆： 　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 　　三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点归纳： 　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 　　(3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 【类型1】直线与圆的位置关系 1．（24-25九年级上·广东江门·期中）若半径为的圆，其圆心到直线的距离是，则直线和圆的位置关系为（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，先确定圆的半径为，而圆心到直线的距离为，即圆心O到直线的距离小于圆的半径，根据直线与圆的位置关系得到直线与圆相交，则直线与圆有两个交点． 【详解】解：∵圆的半径为，圆心到直线的距离为， ∴圆心到直线的距离圆的半径， ∴直线与圆相交， 故选：B． 2．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）已知直线l与圆O相交，点P在直线l上，若P点到O点的距离等于圆O的半径，则点P的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．3个以上 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：∵直线l与圆O相交， ∴直线l与圆O有两个公共点，这两个公共点到O点的距离等于圆O的半径， 故选B， 3．（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，，以点为圆心，为半径画，根据下列条件，分别求出的取值范围． (1)边与相离； (2)边与相切； (3)边与相交． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． （1）过作于，根据勾股定理得到，再根据三角形的面积公式得到的长，然后根据圆心到的距离与半径的关系即可得到结论； （2）解法同（1），边与相切时，； （3）解法同（1），边与相交时，． 【详解】（1）解：如图，过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直线与相离，则的取值范围是； （2）解：直线与相切，则的值是； （3）解：直线与相交，则的取值范围是． 【类型2】已知直线与圆的位置关系求半径 4．（24-25九年级下·广西南宁·阶段练习）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相离，则r的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，以及勾股定理．根据题意画出草图，过点作于点，利用勾股定理求出，再根据直线与圆相离得到，最后利用等面积法求解，即可解题． 【详解】解：根据题意画图如下， 过点作于点， ，，， ， 以点C为圆心，r为半径作圆，且与直线相离， ， ， 解得， 故选：C． 5．（22-23九年级下·上海·阶段练习）如果一圆的半径为，圆心到直线的距离为，且这个圆与这条直线有公共点，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解答本题的关键． 根据这个圆与这条直线有公共点，可判断出直线与圆相切或相交，即可得到与的大小关系． 【详解】解：这个圆与这条直线有公共点， 直线与圆相切或相交， 圆心到直线的距离为， ， 故选：B． 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（）如图作于，求出的值即可判断； （）当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ； （）当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图作于，    在中，，，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴当半径时，直线与相切， 故答案为：； （2）观察图形可知， 当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ， 故答案为：或； （3）观察图形可知， 当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 故答案为：或． 【类型3】圆平移到与直线相切时满足的条件 7．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 8．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】当圆的圆心到直线的距离等于圆半径时，直线与圆相切，即可求解． 【详解】解：（1）当的圆心P在y轴左侧时， P到y轴距离时，⊙P与y轴相切， ∴移动时间（秒）； （2）当 的圆心P在y轴右侧时， P到y轴距离时，与y轴相切， ∴移动时间（秒）． 故选C． 【点睛】本题考查直线和圆位置关系的判定，关键是掌握判定方法：圆心到直线的距离等于圆的半径． 9．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，开始时，．如果以的速度向右运动，那么当的运动时间满足条件 时，与直线相交． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，分当点P在射线OA和点P在射线OB两种情况进行计算是解题的关键． 求得当位于点O的左边与CD相切时t的值和位于点O的右边与CD相切时t的值，两值之间即为相交． 【详解】解：当点P在射线时，与相切，如图，过P作于E， ∴， ∵， ∴， ∴的圆心在直线上向右移动了后与相切， ∴移动所用的时间（秒）； 当点P在射线时，与相切，如图，过P作与F， ∴， ∵， ∴， ∴的圆心在直线上向右移动了后与相切， ∴移动所用的时间（秒）． ∴当的运动时间满足条件时，与直线相交． 故答案为：． 【类型4】切线的判定的认识 10．（2025·江苏无锡·模拟预测）下列判断正确的是（   ） A．同弧或等弧所对的圆心角相等 B．三点确定一个圆 C．长度相等的弧是等弧 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】A 【分析】本题主要考查了等弧的定义，弧与圆心角之间的关系，确定圆的条件，切线的定义，分别根据圆的确定条件，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念依次进行判断即可． 【详解】解：A、同弧或等弧所对的圆心角相等，原说法正确，符合题意； B、不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意； C、能够完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，原说法错误，不符合题意； D、经过半径外端且与半径垂直的直线为圆的切线，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 11．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列命题：①等弧所对的弦相等；②垂直于弦的直线平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④直径所对的圆周角是直角；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的命题有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角、垂径定理、切线等知识，熟练掌握圆的相关知识和定理是解题关键．根据“在等圆或同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的圆心角相等”、垂径定理、直径所对的圆周角是直角、切线的定义，逐一分析判断即可． 【详解】解：等弧所对的弦相等，说法①正确； 垂直于弦的直径平分弦，故说法②错误； 同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故说法③错误； 直径所对的圆周角是直角，说法④正确； 垂直于半径且垂足在圆上的直线是圆的切线，故说法⑤错误． 综上所述，正确的命题有①④，共计2个． 故选：C． 12．（2024·湖北·模拟预测）如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【答案】D 【分析】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进行判断即可． 【详解】解：是的直径，且是的切线 又 直线与相切 故选项A、B可以判定，不符合题意； C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意； D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意； 故选：D． 【类型5】切线的判定条件 13．（23-24九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质，逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，则， ∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； C、当时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； D、当时，由得到， ∴是等腰三角形，无法确定， ∴不能得到切于点C，该选项不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查切线的判定，平行线的判定与性质，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键． 14．（17-18九年级下·全国·期末）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线． 【答案】60 【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数． 【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°， ∴， ∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线， ∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键． 15．（21-22九年级上·北京·期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可． 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键． 【类型6】证明直线与圆相切 16．（19-20九年级上·福建福州·期中）如图,在RT△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D．求证:AC与⊙D相切.    【答案】详见解析 【分析】过点D作DF⊥AC于F，求出BD=DF（半径），即可得出AC是⊙D的切线． 【详解】证明：过点D作DF⊥AC于F，如图所示： ∵AB为⊙D的切线， ∴∠B=90°， ∴AB⊥BC， ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC， ∴BD=DF， ∴AC与⊙D相切．    【点睛】本题考查的是切线的判定、角平分线的性质定理、熟练掌握切线的判定方法是解题的关键． 17．（2025·江苏·二模）如图，在中，是的直径，点在上，点是弧的中点，，垂足为点．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查切线的判定、等弧所对的圆周角相等、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解答的关键．连接，先证明得到，再利用平行线的性质得到，进而利用切线的判定定理可得结论． 【详解】证明：连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，又为的半径， ∴是的切线． 18．（2025·四川眉山·一模）如图，为的直径，取的中点C，过点C作交于点D，D在的上方，连接、，点E在线段的延长线上，且． (1)求的度数； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)与的位置关系是相切，理由见解析 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）如图，连接，根据等腰三角形的性质得到．推出是等边三角形．得到，再结合即可求解； （2）根据三角形的内角和定理得到．由垂直的定义得到．推出是的切线． 【详解】（1）解：如图，连接， ， 点为的中点，， ， ， 是等边三角形， ， ， ； （2）解：与的位置关系是相切，理由如下： 由（1）知，， ， ， 是的切线． 19．（2025·山东临沂·一模）如图，内接于，是上一点，．是外一点，，，连接． (1)若，，求的长； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，切线的判定，掌握切线的判定是关键． （1）证明 ，得到，即可求解； （2）连接并延长交于点，可得，，，所以，结合切线的判定即可求解． 【详解】（1）解：， ，即， 又，， ， ， ； （2）证明：连接并延长交于点，连接， 是的直径， ， ， ∵， ∴， 由（1）知 ∴， ， 又， ， ， ， ， 是的切线． 【类型7】切线的性质 20．（2025·山西·模拟预测）如图，与的边相切于点，与边相交于点．点为优弧上的点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理、切线的性质定理等知识，根据切线的性质得到即可得到根据圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图，连接． 与的边相切于点， ， ， ， ， ； 故选：B． 21．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，过外一点作圆的切线，点为切点，为直径，设，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，连接，由切线的性质可得，则由四边形内角和定理可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵都是的切线， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， 故答案为：． 22．（2025·湖南·中考真题）如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切与点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）由切线的性质得到，据此根据角的和差关系可得答案； （2）由等边对等角得到，再由三角形内角和定理可得，则可证明，进而可证明． 【详解】（1）解：∵与相切与点， ∴， ∴， ∵， ∴; （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 23．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：与相切； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了圆与三角形的综合，角平分线性质，圆的切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，一元一次方程解决实际问题等知识点，熟练掌握各性质定理是解题的关键． （1）作 于点，根据角平分线性质得 ，得点 在 上，即得 与 相切； （2）根据勾股定理求得，表示出，根据切线性质定理表示出所需要的边，根据勾股定理列出关于 的方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）证明： 如图，作 于点 ， ， 平分 交 于点 ， 于点 ， ， 是 的半径，， 点 在 上， 是 的半径，且 ， 与 相切． （2） 解： ，，， ， ， ， 是 的半径，且 ， 是 的切线， ， ， ， ， ， ， ， 的长为 3． 【类型8】切线长定理 24．（2024·西藏日喀则·二模）如图，P为外一点，，分别切于A，B两点，若，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． 利用切线长定理即可直接得出答案． 【详解】解：由切线长定理可知： ， 故选：． 25．（24-25九年级上·北京石景山·期末）如图，是的内切圆，切点分别为，，．若，，则的周长为（    ） A．16 B．23 C．25 D．32 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理，由切线长定理得，，，即可求解；掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：是的内切圆，切点分别为，，， ， ， ， 的周长为： ； 故选：D． 26．（19-20九年级上·贵州黔西·期末）如图，分别切于点切于点C，分别交于点M，，若，则的周长是 ． 【答案】/15厘米 【分析】本题考查切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度相等是解题关键．根据切线长定理可知，，从而可求出，即可求解． 【详解】解：∵切于点C， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【类型9】有关切线长定理的计算与证明 27．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是⊙O的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求和的度数． 【答案】， 【分析】根据切线的性质，得到，利用互余关系求出的度数，利用切线长定理，得到是等腰三角形，利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：∵是⊙O的切线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质和切线长定理．熟练掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键． 28．（18-19九年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90o，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2cm，AD＝4cm． (1)求⊙O的直径BE的长； (2)计算△ABC的面积． 【答案】（1）BE＝6；(2) S△ABC＝24.. 【分析】（1）连接OD，由切线的性质得OD⊥AC，，在Rt△ODA中运用勾股定理可以求出半径OD，即可求得直径BE的长； （2）由切线长定理知，CD=BC，在Rt△ABC中运用勾股定理可以求出BC，则可由直角三角形的面积公式求得△ABC的面积． 【详解】（1）连接OD， ∴OD⊥AC ∴△ODA是直角三角形 设半径为r ∴AO＝r＋2 ∴ 解之得：r＝3 ∴BE＝6 (2)∵∠ABC＝900 ∴OB⊥BC ∴BC是⊙O的切线 ∵CD切⊙O于D ∴CB＝CD 令CB＝x ∴AC＝x＋4， CB＝x，AB＝8 ∵ ∴x＝6. ∴S△ABC＝24（cm2）. 故答案为（1）BE＝6；(2) S△ABC＝24.. 【点睛】本题考查勾股定理，切线的定义，切线长定理. 29．（18-19九年级·安徽马鞍山·阶段练习）如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm． （Ⅰ）求证：OB⊥OC； （Ⅱ）求CG的长． 【答案】（Ⅰ）证明见解析  （Ⅱ）6.4cm 【分析】（Ⅰ）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°； （Ⅱ）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到CG的长. 【详解】解：（Ⅰ）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG； ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴∠OBE+∠OCF＝90°， ∴∠BOC＝90°， ∴OB⊥OC； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠BOC＝90°． ∵OB＝6cm，OC＝8cm， ∴由勾股定理得到：BC＝＝10cm， ∴ 即 ∴OF＝4.8cm． ∴ ＝6.4cm， ∵CF、CG分别与⊙O相切于F、G， ∴CG＝CF＝6.4cm．    【点睛】本题综合运用了切线长定理和切线的性质定理．注意：求直角三角形斜边上的高时，可以借助直角三角形的面积进行计算． 【类型10】三角形的内切圆 30．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，中，，点是的内心．则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的内心等知识，熟练掌握三角形的内心的定义是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据三角形的内心可得平分，平分，从而可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 31．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查切线长定理，正方形的判定和性质，勾股定理．根据题意，连接，根据内切圆的性质可得四边形是正方形，则，根据切线的性质可得，，设的半径为，则，运用勾股定理可得，据此计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是直角三角形的内切圆，点为切点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴， ∵点为切点， ∴，， 设的半径为，则， ∴， ∴或（舍去）， ∴，， ∴的面积， 故答案为：． 32．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，且， ，，则的半径是 ． 【答案】/ 【详解】设，利用切线长定理，构建方程，解方程即可解决问题． 本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上基本知识． 【解答】解：在中， ∵， ，， ∴， ∵为的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， 设， 则， ， ∵， ∴， ∴， 则圆O的半径为． 故答案为：． 33．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，请利用尺规作图法作出的内心O．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了作三角形的内心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，分别作的角平分线，二者所在的直线交于点O，则点O即为所求． 【详解】解：如图所示，分别作的角平分线，二者所在的直线交于点O，则点O即为所求． 34．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）（1）尺规作图：如图，已知．求作：的内切圆．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）的内切圆与分别相切于点D，E，F，且cmcm，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【分析】本题主要考查了尺规作三角形内切圆，切线长性质定理， 对于（1），作的平分线，再作的平分线，交于点O，过点O作，交于点D，以点O为圆心，为半径作圆，即为所求作； 对于（2），根据切线长定理得，再结合，可得答案． 【详解】解：（1）如图所示． （2）如图所示， ∵的内切圆与分别相切与点D，E，F， ∴． ∵， ∴， ∴． 则， ∴， 则， 即， 解得． 35．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 【答案】30 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 设，由切线长定理得，根据题意可得四边形为正方形，则，，在直角三角形中，利用勾股定理求出x，然后求其周长． 【详解】解：连接，，设． 由切线长定理，得． 与的三边分别切于点D，E，F， ，， ∵ ∴四边形为正方形． 的半径为2，， ，． 在中，， 即， 解得， ，， 的周长为． 【类型11】切线的性质与判定的计算与证明 36．（21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线 (2)若，，则的长 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，全等三角形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到答案； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， 为直径， ，即， 又， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 37．（22-23九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是的直径，点P在上，且，点M是外一点，与相切于点B，连接，过点A作交于点C，连接交于点D． (1)求证是的切线 (2)若，，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据，，可得，证明，又因为是的切线，所以，即可得是的切线； （2）根据，得出，因为，由勾股定理得，过点A作于点H，可得和长度，即可得的长度． 【详解】（1）证明：如图所示：连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在与中， ， ∴， 又∵是的切线， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点A作于点H, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线，掌握并灵活运用这些知识点． 38．（21-22九年级上·福建莆田·期末）如图，AB是⊙O的直径，D在AB上，C为⊙O上一点，AD＝AC，CD的延长线交⊙O于点E． (1)点F在CD延长线上，BC＝BF，求证：BF是⊙O的切线； (2)若AB＝2，，求∠CAE的度数． 【答案】(1)见解析 (2)45° 【分析】（1）要证明BF是⊙O的切线，只要求出∠OBF=90°即可，先根据直径所对的圆周角是直角，求出∠ACB=90°，再利用等边对等角得出∠ACD=∠ADC，∠BCD=∠F，即可解答； （2）根据直径的长可得出半径的长，所以连接OC，OE，然后利用勾股定理的逆定理证明△COE是直角三角形，最后利用圆周角定理即可解答． 【详解】（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， ∵AC=AD， ∴∠ACD=∠ADC， ∵∠ADC=∠BDF， ∴∠ACD=∠BDF， ∵BC=BF， ∴∠BCD=∠F， ∴∠BDF+∠F=90°， ∴∠FBD=180°-（∠FDB+∠F）=90°， ∵OB是圆O的半径， ∴BF是⊙O的切线； （2）连接CO，EO， ∵AB=2， ∴OC=OE=1， ∵CE=， ∴CO2+EO2=2，CE2=（）2=2， ∴CO2+EO2=CE2， ∴∠COE=90°， ∴∠CAE=∠COE=45°． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，根据题目个已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【类型12】切线的综合问题 39．（2022·河北石家庄·一模）如图，AB是半圆形量角器的直径，点O为半圆的圆心，DA与半圆O相切于点A，点P在半圆上，且点P对应的示数为120°（60°），点C是上一点（不与点P重合）．连接DO交半圆O于点E，点E对应的示数为60°（120°）． (1)连接PC，AC，求∠PCA的度数； (2)连接AP，PB，求证：△DAO≌△APB； (3)若直径AB上存在一点M，使得EM＋PM的值最小，已知半圆O的半径是2，直接写出EM＋PM的最小值． 【答案】(1)60°； (2)见解析； (3)4 【分析】（1）连接AP，OP，根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半进行解答； （2）连接AP，OP，先证ΔBOP是等边三角形，再根据圆周角定理及切线的性质得到∠OAD =∠APB，最后证△DAO≌△APB； （3）作点E关于直线AB对称的对称点E'，连接E'O，PO，先证ΔΑΕΟ是等边三角形，再得到E'、O、P在同一条直线上，最后求得EM＋PM的最小值． 【详解】（1）连接AP，OP， 根据题意可知，∠AOP = 120° 所对的圆心角为∠AOP， ∴ ∠PCA=∠AOP = 60°； （2）连接PO， 根据题意可知，∠AOE= ∠BOP = 60°， ∵BO = PO， ∴ΔBOP是等边三角形， ∴PB = OB，∠ABP = ∠AOD = 60°， ∵AO = OB， ∴AO = BP ， ∵AB是直径， ∴∠APB = 90°， ∵AD是OO的切线， ∴∠OAD = 90°， ∴∠OAD =∠APB， 在ΔDAO和ΔAPB中 ∴； （3）作点E关于直线AB对称的对称点E'，连接E'O，PO， 根据对称性可知EO =E'O =2， 根据题意可知∠AOE= 60°， ∵AO = EO， ∴ΔΑΕΟ是等边三角形， ∴∠AEO = 60°， ∵ΕΕ'⊥AO， ∴∠ΟEE'= ∠AEO = 30°， ∴∠EE'O =∠OEE'= 30°， ∴∠EΟE'= 120°， ∵∠AOE =∠BOP = 60°， ∴∠EOP = 180°-∠AOE-∠BOP=60°， ∴∠EOP + ∠EOE'=180°， ∴E'、O、P在同一条直线上， ∴当点M与点O重合时，EM+PM为最小值，此时EM+PM = E'P = 2+ 2 = 4． 【点睛】本题属于几何综合题，主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，以及对称线段之和最短问题，关键是熟练掌握切线的性并能灵活应用． 40．（19-20九年级上·河北石家庄·期中）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点． （1）线段AC的长度是　 　． （2）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长； （3）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围　 　． 【答案】（1）8；（2）AP＝；（3）＜AP＜或AP＝5． 【分析】（1）在Rt△ABC中，直接利用勾股定理求解即可； （2）连接PF，如图3，利用平行四边形的性质和切线的性质可得PF∥AC，进而可证明△DPF∽△DAC，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即得AP的长； （3）先利用平行四边形的面积求出当⊙P与BC相切时圆的半径，可发现此时⊙P与平行四边形ABCD的边有5个公共点；再分两种情况：①⊙P与边AD、CD分别有两个公共点；②⊙P过点A、C、D三点，分别求出即可得到答案． 【详解】解：（1）∵平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10， ∴BC＝AD＝10， ∵AB⊥AC， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝， 故答案为：8； （2）如图3所示，连接PF，设AP＝x，则DP＝10﹣x，PF＝x， ∵⊙P与边CD相切于点F， ∴PF⊥CD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵AB⊥AC， ∴AC⊥CD， ∴AC∥PF， ∴△DPF∽△DAC， ∴，即， 解得：x＝， 即AP＝； （3）当⊙P与BC相切时，设切点为G，连接PG，如图4，则S▱ABCD＝×6×8×2＝10PG，解得：PG＝，此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为5； ①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点，与BC没有公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4； ②当⊙P过点A、C、D三点，如图5，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP＝5， 综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP＝5， 故答案为：＜AP＜或AP＝5． 【点睛】本题是平行四边形和圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质、圆的切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握上述知识、善于动中取静、灵活应用运动变化的观点和数形结合的思想方法是解题的关键． 【类型13】新定义材料探究 41．（20-21九年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，的半径为1． 给出如下定义：记线段的中点为，当点不在上时，平移线段，使点落在上，得到线段（分别为点的对应点）线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”． （1）已知点的坐标为，点在轴上． ①若点与原点重合，则线段到的“平移距离”为________； ②若线段到的“平移距离”为2，则点的坐标为________； （2）若点都在直线上，且，记线段到的“平移距离”为，求的最小值； （3）若点的坐标为，且，记线段到的“平移距离”为，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②或；（2） ；（3） 【分析】（1）根据平移的性质以及线段AB到的“平移距离”的定义判断即可求出． （2）过点O作 于E，联立方程组求出OE即可得出的最小值． （3）以A为圆心，1为半径作，连接OA 交于E、F；由图可知：当M在点时，最小；在点E时，最大．由此得出的取值范围． 【详解】（1）①当B与原点O重合时，AB中点为，移动最小距离为向左平移到上． 故答案为： ②当“平移距离”为2时，如图： 有两种情况，当为时， ，AB=4， 为． 当为时，，AB=8，B为． 故答案为： 或． （2）如图： 直线如图L，当L平移到m位置时，最小.即平移到直线m与相切时，最小． 过点O作于E， 则 设直线OE为y=kx， ， ∴ 即， ∴． 联立方程组， 解得： ， ∴E为 ， ∴， ∴． （3）∵， ∴AM=1， 即M点在以A为圆心，半径为1的圆上，如图所示： 连接OA 交于E、F，可知：当M在点F时，最小；在点E时，最大． 当M在F时，， 当M在E时，， ∴． 【点睛】本题属于综合题，考查了平面直角坐标系平移变换，一次函数的性质，圆相切的相关概念，解直角三角形，线段AB到的“平移距离”的定义等知识；此题解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题． 42．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于平面内点和轴上点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在上，称点为的“赋能点”． (1)已知点的坐标为． ①如图1，在点中，的“赋能点”是_____； ②如图2，若直线上存在点，使点为的“赋能点”，求的取值范围； (2)如图3，点．若线段上存在点，使点为的“赋能点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，，通过计算判断是否在或上，即可得出结论；②根据“赋能点”的定义可得直线与或有交点，再根据直线与、的位置关系讨论即可求解； （2）将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，，根据“赋能点”的定义可得线段与或有交点，再根据线段与、的位置关系讨论即可求解． 【详解】（1）解：①将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，， ，， 点在上，点在上， 点是的“赋能点”， ，， 点不在上，也不在上， 点不是的“赋能点”， 综上所述，的“赋能点”是． 故答案为：． ②直线与轴交于点，与轴交于点， ， ， 直线上存在点，使点为的“赋能点”， 直线与或有交点， 当直线与相切于点，与直线交于点，如图， 连接、，则有， ， 又， ， ， ， ， 点在直线上， ， ； 当直线与相切于点，与直线交于点，如图， 同理可得，， 点在直线上， ， ； 的取值范围为． （2）解：将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，， 线段上存在点，使点为的“赋能点”， 线段与或有交点， 当线段与只有点一个交点，此时， ， 解得：，； 当线段与只有点一个交点，此时， ， 解得：，； 结合图象得，的取值范围为． 【点睛】本题考查了新定义、旋转的性质、解直角三角形、直线与圆的位置关系、一次函数的性质，理解“赋能点”的定义是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 一、单选题 1．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）已知的半径，直线上有一点到圆心O的距离为，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相切或相交 【答案】D 【分析】本题考查了判断直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系是解题的关键．比较圆心O到直线上的距离与的半径大小关系，即可得出结论． 【详解】解：直线上有一点到圆心O的距离为， 圆心O到直线上的距离， 的半径， ， 当时，直线与相切； 当时，直线与相交； 直线与的位置关系是相切或相交． 故选：D． 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了圆与直线的位置关系．要掌握直线与圆的三种位置关系中各自的特点，并根据特殊的位置关系求出相对应的半径的长度是解题的关键．已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2．过点O作直线l的垂线，垂足为A．当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上．从距离角度看，圆的半径r要满足：，即，得出答案． 【详解】解：已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2． 过点O作直线l的垂线，垂足为A． 当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上． 从距离角度看，圆的半径r要满足：，即． 故选：D 3．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．结合等腰三角形三线合一的性质和平角的定义分析即可． 【详解】解：A、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； B、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； C、由，可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； D、不能判断出直线是切线，符合题意； 故选：D． 4．（2025·四川自贡·中考真题）分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先画图，连接，，求解，再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案. 【详解】解：如图，连接，， ∵分别与相切于两点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故选：D 5．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，以为直径的半圆交于点，已知与相切于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由圆周角定理可得出，再由圆的切线定理可得出，最后由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故选：B． 6．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、圆的切线的判定与性质、切线长定理等知识，根据切线长定理及正方形的性质求出正方形的边长是解题的关键． 设正方形的边长为，，则，证明是的切线，因为与相切于点，所以，，即可由的周长为12列方程，得，即可求得正方形周长为16． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， 设正方形的边长为，，则， ∵经过的半径的外端，且， ∴是的切线， ∵与相切于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形周长为16， 故选：C． 7．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，点为的内心，，，，将平移，使其顶点与点重合，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键． 连接，，根据点为的内心，可得和分别平分和，再根据平移，使其顶点与点重合，可得，可得角相等，从而得等腰三角形，进而可得图中阴影部分的周长． 【详解】解：如图，连接，， 点为的内心， 和分别平分和， ，， 将平移，使其顶点与点重合， ，， ，， ，， ，， ． 所以图中阴影部分的周长为． 故选：B． 8．（2024·四川德阳·二模）如图，内切于正方形，边分别与切于点，点分别在线段上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、切线长定理，勾股定理，三角形的面积，设与相切于点，设正方形的边长为 ，由切线长定理得，，，设，，在中，由勾股定理得，即得，又由，得，即得，得到，即可求解，掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：设与相切于点，设正方形的边长为 ， ∵是切线， ∴，，， 设，， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为， 故选：． 二、填空题 9．（24-25九年级上·北京·期中）的直径为，若圆心O与直线l的距离为，则l与的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）． 【答案】相交 【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，由的直径为，求得的半径为，而圆心O与直线l的距离为，则圆心O与直线l的距离小于的半径，所以l与相交，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵的直径为，， ∴的半径为， ∵圆心O与直线l的距离为， ∴圆心O与直线l的距离小于的半径， ∴l与相交， 故答案为：相交． 10．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）若的圆心到直线的距离小于半径，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键． 根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案． 【详解】解：的圆心O到直线l的距离d小于半径r， ∴直线l与的位置关系是相交． 故答案为：相交． 11．（2025·浙江湖州·二模）如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，为切点，连结，，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 由是的切线，则有，根据等边对等角得，所以，最后通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2025·浙江温州·一模）如图，，是的切线，切点分别是，，如果，那么的度数等于 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确把握切线的性质是解题关键．直接利用切线的性质得出，进而利用圆周角定理结合四边形内角和定理得出答案． 【详解】连接，， 、是的切线，切点分别是、， ， ， ， ． 故答案为：． 13．（2025·湖南株洲·三模）如图，在中，，的角平分线、交于点，则以点为圆心，以 为半径，可作的内切圆． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形内心的定义，等腰三角形的性质，三角形内接圆，根据题意可得点O是的内心，即点到三边的距离相等，再根据等腰三角形三线合一可得，进而可得当以点为圆心，以为半径，可作的内切圆． 【详解】解：根据题意可得点O是的内心，即点到三边的距离相等， ∵， ∴， ∴当以点为圆心，以为半径，可作的内切圆． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，是一张三角形纸片，，是它的内切圆，小陈准备用剪刀在的左侧沿着与相切的任意一条直线剪下，若剪下的的周长为，则的周长为 ． 【答案】21 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、三角形的周长等知识．设与分别相切于点F、G、L、H，则，，所以，而，，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：根据题意设与分别相切于点F、G、L、H， 则，，且， ∴， ∵，，且的周长为， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：21． 15．（2023·广东广州·一模）如图，在中，为直径，点M为延长线上的一点，与相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径两侧，且使得，连接．现有下列结论：①与相切；②四边形是菱形；③；④．其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、切线的判定及性质、菱形的判定及性质、含角的直角三角形的特征，利用得，可得，再根据切线的判定及性质可判断①，利用三角形的判定及性质得，再根据菱形的判定即可判断②，利用含角的直角三角形的特征可判断③，利用菱形的性质可判断④，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：连接，， ，，， ， ， 与相切于点C， ， ， 是的直径， 与相切；故①正确； ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形，故②正确； ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ∵四边形是菱形， ， ，故④正确； 故答案为：①②③④． 16．（18-19九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A(−6，0)，B(0，6)，⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为 【答案】 【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短． 【详解】解：连接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ； 根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2， ∵当PO⊥AB时，线段PQ最短； 又∵A（-6，0）、B（0，6）， ∴OA=OB=6， ∴AB=6， ∴OP=AB=3， ∵OQ=2， ∴PQ=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题． 三、解答题 17．（21-22九年级上·江苏南京·阶段练习）在中，，，， （1）斜边上的高为________； （2）以点C为圆心，r为半径作⊙C ①若直线与⊙C没有公共点，直接写出r的取值范围； ②若边与⊙C有两个公共点，直接写出r的取值范围； ③若边与⊙C只有一个公共点，直接写出r的取值范围． 【答案】（1）2.4；（2）①；②；③或 【分析】（1）勾股定理求得斜边，进而根据等面积法求得斜边上的高； （2）根据圆心到直线的距离与半径比较，根据直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系，即可求得的取值范围． 【详解】（1）中，，，， 设斜边上的高为, , , 故答案为： （2）①若直线与⊙没有公共点，则⊙相离，则r的取值范围是； ②若边与⊙有两个公共点，点在圆外或者圆上，则r的取值范围是； ③若边与⊙只有一个公共点，则⊙相切，或者点在圆内，则r的取值范围是或 【点睛】本题考查了勾股定理，直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系，理解直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系是解题的关键． 18．（20-21九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，为的直径，C为上一点，直线是的切线，于点D，交于点F，连接． (1)求证：平分． (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质和已知求出，求出，即可得出答案； （2）首先由勾股定理和圆周角的性质得到，然后证明出，最后根据相似三角形的性质即可求出的值． 【详解】（1）证明：连接， ∵直线是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵， ∴在中， ∵ ∴ ∵圆内接四边形 ∴ ∵ ∴ ∵为的直径 ∴ ∴ ∴，即，解得． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键． 19．（2022·河南·一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作切线DE交AB的延长线于点E，交BC于点F． (1)求证：BC⊥DE； (2)若AB＝4，∠A＝30°，填空： ①线段AD的长为______；②线段BF的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)①2，②1 【分析】（1）证明OD是△ABD的中位线，再根据切线的性质即可证明BC⊥DE； （2）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接BD、OD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，AO=OB， ∵AB=BC， ∴AD=DC， ∴OD是△ABD的中位线， ∴OD∥BC， ∵DE是⊙O的切线， ∴OD⊥DE， ∴BC⊥DE； （2）解：①∵AB=4，∠A=30°，∠ADB=90°， ∴DB=AB=2，AD==2， ②∵∠A=30°， ∴∠BOD=60°， ∴△OBD是等边三角形， ∴∠ODB=60°， ∵OD⊥DE， ∴∠BDF=30°， ∵BC⊥DE， ∴∠DFB=90°， ∴BF=BD=1， 故答案为：①2，②1． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 20．（22-23九年级上·山东烟台·期末）如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且平分，过点E作于点F，延长，交延长线于点G． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)6． 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义，得到，再利用半径相等，得到，进而得到，推出，又因为，得到，即可证明结论； （2）过点O作，证明四边形是矩形，得到，再利用勾股定理得到，最后利用垂径定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 点E在上， 是的切线； （2）解：过点O作于点M， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，圆的切线性质和判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题关键． 21．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点A作⊙O的切线，交BC的延长线于点D，取AD的中点E，延长CE交BA的延长线交于点P． (1)求证：PC是⊙O的切线； (2)AB＝2AP，AB＝8，求AD的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接AC，OC，欲证PC是⊙O的切线，只需证明OCP＝90°即可． （2）利用直角三角形斜边上的中线证明AOC是等边三角形，进而可得BD＝2AD，运用勾股定理即可得到解答． 【详解】（1）证明：连接AC，OC， ∵AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线， ∴BAD＝ACB＝90°， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE＝CE， ∴ACE＝CAE， ∵OC＝OA， ∴OAC＝OCA，   ∴OCA+ACE＝OAC+CAE＝90°， ∴OCP＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线； （2）解：∵AB＝2AP，AB＝2AO， ∴AP＝AO， ∵OCP＝90°， ∴AC＝OA＝OC，   ∴AOC是等边三角形， ∴AOC＝60°， ∴B＝30°， ∵BAD＝90°，   ∴BD＝2AD， 在RtADB中， ∵， ∴， ∴AD＝． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、等边三角形的判定和性质、含30°的直角三角形的性质和勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握以上基本的性质并加以运用． 22．（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心、切线的性质、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）由切线的性质可得，由四边形内角和定理和直角三角形的性质可求解； （2）由三角形面积的和差关系列出等式计算即可解答． 【详解】（1）解：，是的切线， ， 又， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，，，， ，，是的切线， ，，， ，，， ， ， ， ． ， 的半径为1． 23．（24-25九年级下·湖南永州·阶段练习）平面直角坐标系中的与上一点Q，若存在一点M（点M不与点Q重合）使得直线绕点M旋转，所得直线恰好经过中点，则称点M为的“内直点”．如图所示点M为的内直点，平面直角坐标系中半径为r． (1)若，下列各点：，，，中是的“内直点”的是 ； (2)在（1）条件下，若一次函数上存在的“内直点”，结合图形求k的取值范围； (3)直线与x轴交于点E与y轴交于点F，若线段上存在的“内直点”，直接写出此时半径r的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3) 【分析】（1）可得出点的轨迹是以为直径的圆（不包括与半径为2和4相切的点），进一步判断即可得解； （2）直线过，求出相切时的的值，即可得解； （3）求出与相切时的值，结合题意分析即可得解． 【详解】（1）解：如图1， 设半径的中点为A，则点A的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆， ∵， ∴点M的轨迹是以为直径的圆（不包括与半径为2和4相切的点）， ∴点M在圆环内， ∵，，， ∴点，，不是的“内直点”， ∵， ∴是的“内直点”， 故答案为：； （2）解：如图2， ∵， ∴直线过， 设直线与半径为4的圆且与点A和点B，连接，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴或； （3）解：如图3，直线记作直线l，直线l与x轴交于点B，交y轴于点C，当直线l与相切于点A，连接， 可得，，，， ∵， ∴， ∴， 如图4，当时，和圆环交于点C， ∴． 【点睛】本题在新定义的基础上，考查了确定圆的条件，直线和圆的位置关系，一次函数的有关知识点，解直角三角形等知识点，解决问题的关键是数形结合的思想． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$