专题20点与圆的位置关系（9大类型精准练+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

专题20点与圆的位置关系（9大类型精准练+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1.点和圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点2.圆的确定条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 要点归纳：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 方法总结：破“镜”重圆问题一确定圆心的方法 对于已知圆上的某段孤，作出全部圆的问题，实质上属于确定圆心的问题.解决此类问题的方法是在圆 孤上任意找三，点，形成两条线段，则这两条线段垂直平分线的交点就是圆心，圆心到圆孤上任意点的距离就是半径圆心和半径确定了，圆就可以轻松画出来了： 知识点3.三角形的外接圆 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点4.反证法 1.反证法 假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.反证法是一种间接证明命题的方法. 2.用反证法证明命题的一般步骤 (1)假设命题的结论不成立; (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾 (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论正确 【类型1】点与圆的位置关系 1．（2025·广东广州·二模）已知等边三角形的三个顶点均在上，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 2．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）的直径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是 ． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）设的半径为2，点P到圆心的距离，且m使关于x的方程有两个不相等的实数根，试确定点P与的位置关系． 5．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系内，以原点为圆心，5为半径作，已知三点的坐标分别为，，．试判断三点与的位置关系． 【类型2】已知点与圆的位置关系求半径 6．（24-25九年级上·陕西延安·期末）点P到圆心O的距离为7，若点P在圆O内，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 8．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知点不在半径为的内，如果设，那么的取值范围是 ． 9．（21-22九年级上·江苏南京·阶段练习）在中，，，， （1）斜边上的高为________； （2）以点C为圆心，r为半径作⊙C ①若直线与⊙C没有公共点，直接写出r的取值范围； ②若边与⊙C有两个公共点，直接写出r的取值范围； ③若边与⊙C只有一个公共点，直接写出r的取值范围． 10．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 【类型3】利用点与圆的位置关系求最值 11．（23-24九年级上·河北邢台·期中）在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 12．（22-23九年级下·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、点，点、点，，点为中点，则长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 13．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为   A．5 B． C．6 D．3 【类型4】三角形的外心 14．（24-25九年级下·四川遂宁·阶段练习）下列四个命题中，正确的有（   ） ①圆的对称轴是直径；②经过三个点确定一个圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 15．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 16．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，点O是的外心，若，则 ． 17．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，外接圆的圆心坐标为 ． 18．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，是的外接圆，则圆心的坐标为 ． 19．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别三个是，，．    (1)把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； (2)若点P为的外心，请直接写出点P的坐标 ． 【类型5】三角形的外接圆的有关计算 20．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 21．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 22．（2023·江苏扬州·三模）在中，，，，则的长的取值范围是 ． 23．（19-20九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，是的外接圆． (1)求的半径； (2)若在同一平面内的也经过B、C两点，且，请直接写出的半径的长． 【类型6】确定圆的条件 24．（22-23九年级下·江苏南通·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．三个点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C．圆内接平行四边形一定是矩形 D．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等 25．（18-19九年级下·全国·单元测试）如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下： （甲）作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求； （乙）连接，两线段交于一点O，则O即为所求 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（    ） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 26．（24-25九年级上·江苏南京·期末）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 【类型7】反证法 27．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（   ） A． B．a与b不平行 C． D． 28．（24-25九年级上·福建厦门·期中）用反证法证明：在同一直线上的三点不能确定一个圆，首先应假设 ． 29．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点D、E分别在、上，连接、，、相交于点O．用反证法证明：和不可能互相平分． 【类型8】基本作图问题 30．（24-25九年级下·吉林长春·期中）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题： (1)在图1中，画出圆心O． (2)在图2中，点D为圆上任意一点，在圆上找一点E，使得是圆上最长的弦． (3)在图3中，点M是圆上任意一点（不与点A重合），作一条弦，使得． 31．（2025·吉林长春·一模）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中作出直线，使，点为格点； (2)在图②中作出以线段为腰的等腰三角形，点为格点，且的面积为8； (3)在图②中作出的外接圆圆心（不要求画）． 32．（2025·河南信阳·二模）学校耕读园里有一块空地，空地上有三棵树A，B，C，学校想修建一个圆形苗圃，使三棵树都在苗圃的边上． (1)请你把苗圃的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若中，米，米，，试求圆形苗圃的面积． 【类型9】新定义材料问题 33．（2025·江西抚州·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点C是弦“可及点”． (1)如图，点，．在点，，中，点_____是弦的“可及点”，其中_____； (2)若点D是弦的“可及点”，求点D的横坐标的最大值． 34．（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，的半径为．对于的弦和点C（C可以与A，B重合）给出如下定义：若直线经过弦的一个端点，另一端点与点C之间的距离恰好等于，则称点C是弦的“关联点”． (1)如图，点． ①点，在点，，中，弦AB的“关联点”是________； ②点，若点C是弦的“关联点”，直接写出点D的坐标________； (2)已知点，．线段上存在弦的“关联点”，记的长为t，直接写出t的取值范围． 一、单选题 1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）的半径为，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（  ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．点在上或外 2．（24-25九年级上·吉林通化·期中）已知的半径是，，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．不能确定 3．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）是的外接圆，则点O是（     ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个内角平分线的交点 C．三条边上的中线的交点 D．三条边上的高的交点 5．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　）    A． B． C． D． 6．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 7．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线． 直线与相交于点，若以点为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（   ） A．点在上 B．是上的外接圆 C．是的弦 D．是的内心 8．（24-25九年级下·河北秦皇岛·开学考试）是等腰三角形的外接圆，圆心O到底边的距离为，的半径为，则腰的长为（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 9．（2025·江苏南京·一模）已知等边三角形的边长为，则它的外接圆半径长为 ． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）以的直角边为直径作圆，点在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 11．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，外接圆的圆心坐标是 ． 12．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）若点A到圆心O的距离为，的半径是3，则点A在圆 （填“内、上、外”）． 13．（24-25九年级下·上海·阶段练习）在中，，，，若以为直径作⊙，则点在⊙ ．（填“内”、“外”、“上”） 14．（2025·河北邯郸·二模）如图，已知，将绕点顺时针旋转，若，，则在旋转过程中，的最小值是 ． 15．（2025·重庆渝中·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，的半径为2．若将点绕点顺时针旋转得到点，则点在 （填“内”或“上”或“外”）；若线段绕点顺时针旋转，其对应线段恰好是的弦，则点的坐标为 ． 16．（2025·广东惠州·一模）如图，点A，B的坐标分别为，，为坐标平面内一动点，且，过点做，当取最大值时，点的长度 ． 三、解答题 17．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，在平面直角坐标系中有，请在图中画出外接圆的圆心P． (1)圆心P的坐标是________； (2)判断点是否在上？ 18．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，， 经过，， 三点．        (1)点 的坐标为 ． (2)判断点 与 的位置关系． 19．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 20．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）是的外接圆，P是上一点．    (1)请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中的平分线； (2)结合图②，说明你这样画的理由． 21．（2024·四川攀枝花·一模）作图题 如图，在中，已知． (1)尺规作图：画的外接圆（保留作图痕迹，不写画法） (2)连接，；若，，求的长． 11 / 11 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假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.反证法是一种间接证明命题的方法. 2.用反证法证明命题的一般步骤 (1)假设命题的结论不成立; (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾 (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论正确 【类型1】点与圆的位置关系 1．（2025·广东广州·二模）已知等边三角形的三个顶点均在上，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，等边三角形的性质、三角函数及垂径定理，熟练掌握点与圆的位置关系，等边三角形的性质、三角函数及垂径定理是解题的关键；过点O作于点D，连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点D，连接， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点在内； 故选B． 2．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为，圆的半径为，若点在圆外，则时，当点在圆上时，则时；当点在圆内时，则． 【详解】解：∵点在上， ∴点到圆心的距离为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）的直径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是 ． 【答案】点P在外 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系．若点与圆心的距离d，圆的半径为r，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点P到圆心O的距离为，， ∴点P与的位置关系是点P在外． 故答案为：点P在外． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）设的半径为2，点P到圆心的距离，且m使关于x的方程有两个不相等的实数根，试确定点P与的位置关系． 【答案】点P在内 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，点与圆的位置关系两个知识点；先由一元二次方程根的判别式确定出m的范围，再与半径比较即可判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵m使关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵圆的半径为2， ∴点P在内． 【类型2】已知点与圆的位置关系求半径 5．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系内，以原点为圆心，5为半径作，已知三点的坐标分别为，，．试判断三点与的位置关系． 【答案】点在上，点在内，点在外 【分析】本题考查了平面内两点之间的距离、点与圆的位置关系，先根据平面内两点之间的距离公式求出、、的长度，再与半径进行比较，即可得出答案． 【详解】解：∵ ，，， ∴点在上，点在内，点在外． 6．（24-25九年级上·陕西延安·期末）点P到圆心O的距离为7，若点P在圆O内，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对点与圆的位置关系的判断．解题的关键：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为，圆的半径，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，反过来与成立．据此解答即可． 【详解】解：∵点到圆心的距离为7，点P在圆O内， ∴，即． 故选：C． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．首先确定的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出b的取值范围，即可得到正确选项． 【详解】解：∵半径为4．若点A在内， ∴， ∵点A所表示的实数为6， ∴， 故选：D． 8．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知点不在半径为的内，如果设，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点不在圆内，可知点在圆上或圆外，即得点到圆心的距离，据此解答即可求解，掌握点到圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵点不在半径为的内， ∴点在上或外， ∴， 故答案为：． 9．（21-22九年级上·江苏南京·阶段练习）在中，，，， （1）斜边上的高为________； （2）以点C为圆心，r为半径作⊙C ①若直线与⊙C没有公共点，直接写出r的取值范围； ②若边与⊙C有两个公共点，直接写出r的取值范围； ③若边与⊙C只有一个公共点，直接写出r的取值范围． 【答案】（1）2.4；（2）①；②；③或 【分析】（1）勾股定理求得斜边，进而根据等面积法求得斜边上的高； （2）根据圆心到直线的距离与半径比较，根据直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系，即可求得的取值范围． 【详解】（1）中，，，， 设斜边上的高为, , , 故答案为： （2）①若直线与⊙没有公共点，则⊙相离，则r的取值范围是； ②若边与⊙有两个公共点，点在圆外或者圆上，则r的取值范围是； ③若边与⊙只有一个公共点，则⊙相切，或者点在圆内，则r的取值范围是或 【点睛】本题考查了勾股定理，直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系，理解直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系是解题的关键． 【类型3】利用点与圆的位置关系求最值 10．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 【答案】(1)点在内，点在外，点在上 (2) 【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较与圆的半径之间的大小关系，即可得解； （2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解． 【详解】（1）解：连接， ，， ， 的半径为8， 点在内，点在外，点在上； （2）解：，，， 又以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， 的半径的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，判断点与圆的位置关系，是解题的关键． 11．（23-24九年级上·河北邢台·期中）在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据题意可知圆上的点到直线的最短距离为，最长距离为，据此判断即可，掌握直线与圆的位置与圆心到直线的距离之间的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，    由题意得，，， 当点在的延长线与的交点时，点到直线的距离最大， 此时，点到直线的最大距离是， 当点在与的交点时，点到直线的距离最小， 此时，点到直线的最小距离是， 点到直线的距离， 故点到直线的距离不可能是， 故选：． 12．（22-23九年级下·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、点，点、点，，点为中点，则长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得出点在以为圆心，2为半径的圆上运动，由点为中点，取点，连接，根据点到圆的距离的最值问题求得三点共线时取得最小值，进而根据中位线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，取点，点，连接， 依题意，， ∴， ∵，得出点在以为圆心，2为半径的圆上运动， ∴三点共线时取得最小值， 最小值为， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角相等，中位线的性质，勾股定理，坐标与图形，点到圆的最值问题，两点之间线段最短，数形结合是解题的关键． 13．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为   A．5 B． C．6 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的中位线，点与圆的位置关系．掌握三角形的中位线定理，点与圆的位置关系是解题的关键．由点、点的坐标得是的中点，则是的中位线，，当的长最大时，的长最大，根据点与圆的位置关系可得长的最大值为，求出，即可求解． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， 是的中点， 为的中点， 是的中位线， ， 当的长最大时，的长最大，如图， 点的坐标为，点的坐标为， ， 长的最大值为， 长的最大值为， 故选：D． 【类型4】三角形的外心 14．（24-25九年级下·四川遂宁·阶段练习）下列四个命题中，正确的有（   ） ①圆的对称轴是直径；②经过三个点确定一个圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】此题考查了圆中的有关概念和性质．根据相关知识进行解答即可． 【详解】解：①圆的对称轴是直径所在的直线，故原说法错误； ②当三点共线的时候，不能作圆，故原说法错误； ③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故原说法错误； ④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故原说法正确． 故选：D． 15．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ∴， ∴点是的外心， 故选：． 16．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，点O是的外心，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外心，圆周角定理，熟练掌握三角形的外心，圆周角定理是解题的关键．利用三角形的外心的得出为圆心角，为圆周角，根据圆周角定理得出即可． 【详解】解：∵点O是的外心，， ∴， 故答案为：． 17．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，外接圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线及三角形的外心．三角形三边的垂直平分线的交点是三角形的外心．解决本题需仔细分析三条线段的特点．利用网格，作线段线段的垂直平分线相交于D，再根据图形写出点D的坐标即可． 【详解】解：作线段、线段的垂直平分线相交于点D，如图， 由图可得点D的坐标为：， 故答案为：． 18．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，是的外接圆，则圆心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊三角形外心，根据直角三角形的外心为斜边的中点，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵点，的坐标分别是，， ∴ ∴是直角三角形， ∵是的外接圆， ∴ ∴在上，且为的中点 ∴， 故答案为：． 19．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别三个是，，．    (1)把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； (2)若点P为的外心，请直接写出点P的坐标 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的作图，三角形的外心，掌握旋转的作图方法，以及三角形的外心是三边垂直平分线是交点，是解题的关键． （1）连接并延长，使，再依次连接点即可； （2）找出，垂直平分线的交点，即可解答． 【详解】（1）解：如图1所示：即为所求； （2）解：如图2，点P为的外心， ∵四边形为正方形， ∴为的垂直平分线， ∵，， ∴的垂直平分线为直线， 由图可知，的垂直平分线与的垂直平分线相交于点， ∴点为外心， ∴点坐标为． 故答案为：． 【类型5】三角形的外接圆的有关计算 20．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离． 【详解】解：∵中，，，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键． 21．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．根据题意可知，直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，解可得方程的两个根为6与8；故直角三角形外接圆的直径即斜边边长为10；故半径等于5． 【详解】解：， 解得：，， ∴斜边边长为， 即直角三角形外接圆的直径是10， ∴半径等于5． 故选：C 22．（2023·江苏扬州·三模）在中，，，，则的长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质；作出的外接圆进行推理计算是解题的关键．作的外接圆，求出当时，是直径最长为；当时，是等边三角形，，而，即可得出答案． 【详解】解：作的外接圆，如图所示： ∵，， 当时，是直径最长， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当时，是等边三角形，， ∵， ∴长的取值范围是； 故答案为：． 23．（19-20九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，是的外接圆． (1)求的半径； (2)若在同一平面内的也经过B、C两点，且，请直接写出的半径的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过点作，垂足为，连接、，根据勾股定理即可求解； （2）分点在点的上方和下方，两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）过点作，垂足为，连接、， ，， 垂直平分， ， 点在的垂直平分线上，即在上， ， ， 在中，，， ， 设，则． 在中，， ，即． 解得， 即的半径为； （2）当也经过、两点，且，如图： 设， ∵，则或， ∵， 或． ∴的半径的长为或． 【点睛】本题考查了三角形外接圆、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理，解决本题的关键是准确确定点的两个位置． 【类型6】确定圆的条件 24．（22-23九年级下·江苏南通·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．三个点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C．圆内接平行四边形一定是矩形 D．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等 【答案】C 【分析】利用确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及圆内接多边形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故原命题错误，不符合题意； C、圆内接平行四边形一定是矩形正确，符合题意； D、在同圆或等圆中，弦相等则所对的优弧相等，所对的劣弧相等，故原命题错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及圆内接多边形的性质，难度不大． 25．（18-19九年级下·全国·单元测试）如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下： （甲）作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求； （乙）连接，两线段交于一点O，则O即为所求 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（    ） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【分析】证明O为的两边中垂线的交点，判断甲，根据的圆周角所对的弦是直径判断乙，从而可得答案． 【详解】解：甲，∵矩形ABCD，E为AB的中点， ∴AE=EB，∠A=∠B=，AD=BC， ∴△ADE≌△BCE（SAS）， ∴ED=EC， ∴△DEC为等腰三角形， ∵射线L为∠DEC的角平分线， ∴射线L为线段CD的中垂线， ∴O为两中垂线之交点， 即O为△CDE的外心， ∴O为此圆圆心． 乙，∵∠ADC=，∠DCB=， ∴PC、QD为此圆直径， ∴PC与DQ的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确． 故选：A． 【点睛】本题考查的是确定圆的条件，涉及到矩形性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、垂径定理的推论，熟练掌握线段垂直平分线的性质、圆周角定理是解题的关键． 26．（24-25九年级上·江苏南京·期末）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 【类型7】反证法 27．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（   ） A． B．a与b不平行 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反证法、两直线的位置关系，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】解：反证法证明“在同一平面内，若，，则”时，应假设与不平行，即与相交． 故选：B． 28．（24-25九年级上·福建厦门·期中）用反证法证明：在同一直线上的三点不能确定一个圆，首先应假设 ． 【答案】在同一直线上的三点能确定一个圆 【分析】本题考查反证法，根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，作答即可． 【详解】解：用反证法证明：在同一直线上的三点不能确定一个圆，首先应假设在同一直线上的三点能确定一个圆； 故答案为：在同一直线上的三点能确定一个圆 29．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点D、E分别在、上，连接、，、相交于点O．用反证法证明：和不可能互相平分． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查反证法的证明方法，反证法的步骤：首先假设反论题正确，然后依据规则进行推理，若出现与已知条件不符或与公理定理相矛盾的情形，即可证明反论题不成立，原命题正确． 第一步先假设和互相平分，根据平行四边形的判定和性质得到，即，与已知矛盾，从而证明原命题正确． 【详解】证明：连接．假设和互相平分． 和互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵在中，点D、E分别在、上， 与不可能平行，与已知矛盾， 故假设不成立，和不可能互相平分．   【类型8】基本作图问题 30．（24-25九年级下·吉林长春·期中）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题： (1)在图1中，画出圆心O． (2)在图2中，点D为圆上任意一点，在圆上找一点E，使得是圆上最长的弦． (3)在图3中，点M是圆上任意一点（不与点A重合），作一条弦，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题是圆的综合题，考查作图，垂径定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作的垂直平分交于点O，即可求解； （2）连接，并延长交圆O于点E，即可求解； （3）分别连接，并延长分别交圆O于点Q，P，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：如图，点E即为所求； （3）解：如图，即为所求． 31．（2025·吉林长春·一模）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中作出直线，使，点为格点； (2)在图②中作出以线段为腰的等腰三角形，点为格点，且的面积为8； (3)在图②中作出的外接圆圆心（不要求画）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了网格作图，等腰三角形的定义，勾股定理与网格问题，三角形的外接圆圆心的定义，数形结合是解题的关键； （1）找到的格点，作直线即可求解； （2）根据等腰三角形的定义以及轴对称的性质，作出等腰三角形， （3）根据三角形的外接圆圆心的定义，找到的垂直平分线的交点，即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； 如图， ∵, ∴ 又∵ ∴，即 （2）解：如图，即为所求； ∵ ∴是等腰三角形， ∵，到的距离为 ∴的面积为8； （3）解：如图，点即为所求， 同（1）作出的垂直平分线与的垂直平分线交于点， ∴到的距离相等，即是的外接圆圆心． 32（2025·河南信阳·二模）学校耕读园里有一块空地，空地上有三棵树A，B，C，学校想修建一个圆形苗圃，使三棵树都在苗圃的边上． (1)请你把苗圃的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若中，米，米，，试求圆形苗圃的面积． 【答案】(1)见解析 (2)圆形花坛的面积为平方米 【分析】本题考查了作垂直平分线，画三角形的外接圆，勾股定理，直角所对的弦是直径； （1）根据线段垂直平分线性质，求三角形的外接圆； （2）根据勾股定理求斜边，斜边的一半就是圆的半径，即可求圆的面积． 【详解】（1）解：如图，即为苗圃的位置． （2）∵，米，米， ∴米， ∴外接圆的半径为米． ∴圆形花坛的面积为平方米． 【类型9】新定义材料问题 33．（2025·江西抚州·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点C是弦“可及点”． (1)如图，点，．在点，，中，点_____是弦的“可及点”，其中_____； (2)若点D是弦的“可及点”，求点D的横坐标的最大值． 【答案】(1)，45 (2) 【分析】（1）作出关于的对称圆，根据题意可得点应在的圆内或圆上，可证明，利用勾股定理分别求出三个点到的距离即可得到答案； （2），取中点为H，连接，可证明点在以为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B），则当轴时，点D横坐标最大，求出的长和即可得到答案． 【详解】（1）解：作出关于的对称圆， 若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦AB的“可及点”， 点应在的圆内或圆上， 点，， ， ， ， 由对称得：， ∴，即， ， ∵，，， ∴，故在外，不符合题意； ，故在上，符合题意； ，故在外，不符合题意， 点是弦的“可及点”， ∵，，三点共线， ， 故答案为：，45； （2）解：如图所示，取中点为H，连接， ， ， 点在以为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B）， ∴当轴时，点D横坐标最大， ，， ， ， 点，， ， ， 点的横坐标的最大值为， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，坐标与图形，两点距离计算公式，圆周角定理，直角所对的弦是直径等等，正确理解题意是解题的关键． 34．（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，的半径为．对于的弦和点C（C可以与A，B重合）给出如下定义：若直线经过弦的一个端点，另一端点与点C之间的距离恰好等于，则称点C是弦的“关联点”． (1)如图，点． ①点，在点，，中，弦AB的“关联点”是________； ②点，若点C是弦的“关联点”，直接写出点D的坐标________； (2)已知点，．线段上存在弦的“关联点”，记的长为t，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①，；②，； (2)，． 【分析】（1）①如图所示，通过题中关联点的定义，分别分析点、、即可判断；②根据题意分析可得，以点为圆心，半径为作圆，交圆于点、点，过点作轴于点，连接、，设点的坐标为，则，即，解得，进而求出点的纵坐标，考虑轴对称的性质，可得点与点关于轴对称，即可求出点、的坐标； （2）通过分析可得线段与圆相切，设线段与圆相切于点，连接，设线段上的“关联点”为点，当点在点时，取最小值，最小值为，当点在点时，取最大值，最大值为，，第一种情况，连接交圆于点，以点为圆心，长为半径作圆，交圆于点、点（，点不用考虑），过点作于点，连接、、，设，根据勾股定理，得，第二种情况，连接，延长交圆于点，以点为圆心，长为半径作圆，交圆于点、点（，点不用考虑），过点作于点，连接、、，设，根据勾股定理，得，即可确定t的取值范围． 【详解】（1）解：①由点可得，所在直线的解析式为， 直线经过点， 点与点之间的距离为，， ， 点是弦的“关联点”； 由题中图像可得，直线经过点， 点与点之间的距离为，， ， 点是弦的“关联点”； 由题中图像可得，直线经过点， 点与点之间的距离为，， ， 点不是弦的“关联点”； 故答案为：，； ②点是弦的“关联点”，直线经过点， ， ， ， 如图所示，以点为圆心，长为半径作圆，交圆于点、点，过点作轴于点，连接、， 设点的坐标为，则， 即， 解得， ， 点的坐标为， 点与点关于轴对称， 点的坐标为， 故答案为：，； （2）如图所示，在直角坐标系中作出点，，连接， 根据题意得，， ， ， 即等于圆的半径， ，即， 线段与圆相切， 设线段与圆相切于点，连接， 线段上存在弦的“关联点”，设此“关联点”为点，点为线段上的动点， 当点在点时，取最小值，最小值为，当点在点时，取最大值，最大值为， 设， ， 第一种情况，如图所示，连接交圆于点，以点为圆心，长为半径作圆，交圆于点、点（，点不用考虑）， 过点作于点，连接、、，设， 根据勾股定理，得， 即， ， ， 记的长为， ； 第二种情况，如图所示，连接，延长交圆于点，以点为圆心，长为半径作圆，交圆于点、点（，点不用考虑）， 过点作于点，连接、、，设， 根据勾股定理，得， 即， ， 记的长为， ； 综上所述，，． 【点睛】本题是新定义综合题，考查了最值问题、圆的定义、切线的性质、直角坐标系中两点坐标、勾股定理、锐角三角函数的应用等知识点，解题的关键是通过题干，熟练掌握新定义“关联点”的内涵，同时运用“分类讨论”、“数形结合”的思想画图，根据动点的轨迹确定的取值范围，通过勾股定理找到与之间的关系，进而确定的取值范围． 一、单选题 1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）的半径为，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（  ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．点在上或外 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 运用勾股定理得到，根据点与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：点的坐标为， ∴， ∵的半径为，圆心的坐标为， ∴点与的位置关系是点在上， 故选：B ． 2．（24-25九年级上·吉林通化·期中）已知的半径是，，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题关键．将点到圆心的距离（即的长度）与的半径进行比较即可得． 【详解】解：∵的半径为5，，且， ∴点在外， 故选：A． 3．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．根据题意可知，直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，解可得方程的两个根为6与8；故直角三角形外接圆的直径即斜边边长为10；故半径等于5． 【详解】解：， 解得：，， ∴斜边边长为， 即直角三角形外接圆的直径是10， ∴半径等于5． 故选：C 4．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）是的外接圆，则点O是（     ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个内角平分线的交点 C．三条边上的中线的交点 D．三条边上的高的交点 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外接圆和外心，正确把握外心的定义是解题关键．根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而得出答案． 【详解】解：是的外接圆，则点O是三条边的垂直平分线的交点， 故选：A． 5．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理，可求得点P到A，B，C，D，E各点的距离，只有到B、C、E的距离相等，而三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，即可解答． 【详解】解：如图，由勾股定理得：，    ∴P到B、C、E的距离相等， ∴P是的外心， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的外心及勾股定理，解题的关键在于熟悉三角形外心的概念． 6．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，进而求得圆的半径． 【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，M点的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴的半径为， 故选：C． 7．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线． 直线与相交于点，若以点为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（   ） A．点在上 B．是上的外接圆 C．是的弦 D．是的内心 【答案】D 【分析】本题考查了中垂线的尺规作图和三角形的外接圆，掌握“三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点”是解题的关键． 先根据作图得出、、在以为圆心、为半径的圆上，内心是三角形的角平分线的交点，从而判断求解． 【详解】解：连接，，，如图： 由题意得：直线垂直平分，直线垂直平分， ， 点、、在以为圆心、为半径的圆上， 点在上，、、为的弦，是的外接圆． A、正确，但不符合题意； B、正确，但不符合题意； C、正确，但不符合题意； D、错误，但符合题意． 故选：D． 8．（24-25九年级下·河北秦皇岛·开学考试）是等腰三角形的外接圆，圆心O到底边的距离为，的半径为，则腰的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理和勾股定理，注意分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，有一定难度．分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，先根据勾股定理先求得的值，再根据勾股定理可求得的值即可． 【详解】解：分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论， 如图一，假若是锐角，是锐角三角形， 连接， ，， ， ， ， ， ， ， ； 如图二，若是钝角，则是钝角三角形， 和图一解法一样，只是， ， 综上可得腰长或 故选： 二、填空题 9．（2025·江苏南京·一模）已知等边三角形的边长为，则它的外接圆半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形外接圆半径的计算，解题的关键是利用等边三角形的性质和三角函数关系求解． 如图，连接、，过点作于，利用等边三角形的性质，由圆周角定理得，得，再借助和三角函数求出外接圆半径． 【详解】如图，连接、，过点作于， ∵为等边三角形， ∴， 由圆周角定理得： ， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）以的直角边为直径作圆，点在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 【答案】圆上 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的外接圆，以及点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外． 求出点C到圆心的距离，然后根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：如图， ∵斜边为直径， ∴圆心O是斜边的中点， ∴， ∴点C在圆上． 故答案为：圆上． 11．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，外接圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外接圆，根据三角形的外接圆的圆心是三角形三边中垂线的交点，结合网格的特点，画出圆心，即可． 【详解】解：如图， 点即为外接圆的圆心； 故答案为：． 12．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）若点A到圆心O的距离为，的半径是3，则点A在圆 （填“内、上、外”）． 【答案】外 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．根据点与圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：∵的半径是3，点A到圆心O的距离为， ∴点A到圆心的距离大于圆的半径， ∴点A在外． 故答案为：外． 13．（24-25九年级下·上海·阶段练习）在中，，，，若以为直径作⊙，则点在⊙ ．（填“内”、“外”、“上”） 【答案】上 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，直角三角形的性质等知识，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，最后根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵为⊙的直径， ∴点O为的中点，半径为， ∴， ∴点C在⊙上， 故答案为：上． 14．（2025·河北邯郸·二模）如图，已知，将绕点顺时针旋转，若，，则在旋转过程中，的最小值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了旋转的性质，理解旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质解题即可． 【详解】解：如图，在旋转过程中，当与重合时，即在位置，有最小值，最小值为. 15．（2025·重庆渝中·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，的半径为2．若将点绕点顺时针旋转得到点，则点在 （填“内”或“上”或“外”）；若线段绕点顺时针旋转，其对应线段恰好是的弦，则点的坐标为 ． 【答案】 上 或 【分析】本题考查了旋转的性质，点和圆的位置关系．根据题意画出图形，即可得解． 【详解】解：点如图所示，则点在上； 如图，线段是线段绕点顺时针旋转得到，的坐标为； 线段是线段绕点顺时针旋转得到，的坐标为； 故答案为：上；或． 16．（2025·广东惠州·一模）如图，点A，B的坐标分别为，，为坐标平面内一动点，且，过点做，当取最大值时，点的长度 ． 【答案】2.4 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积，点的坐标． 根据题意得出最大的情况是解题的关键． 连接，由题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动，根据勾股定理求出，延长交于点，此时最大，，由，此时，然后 根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，由题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴，， ∴， 延长交于点，此时最大，， ∵，此时， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2.4． 三、解答题 17．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，在平面直角坐标系中有，请在图中画出外接圆的圆心P． (1)圆心P的坐标是________； (2)判断点是否在上？ 【答案】(1)作图见解析； (2)点M不在上，在内 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点是解答本题的关键． （1）作和的垂直平分线，它们的交点为的外接圆的圆心，然后直接读出的外接圆的圆心坐标． （2）先求出的值，根据点和圆的位置关系进行判断即可． 【详解】（1）解：如图所示：点P即为所求； 所以点P的坐标为． 故答案为：． （2）解：， 圆的半径， ∵， ∴点M在内，不在上． 18．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，， 经过，， 三点．        (1)点 的坐标为 ． (2)判断点 与 的位置关系． 【答案】(1) (2)点在内 【分析】（1）分别作的垂直平分线，交点即为点 ； （2）计算圆的半径与的长度，比较大小即可； 【详解】（1）解：分别作的垂直平分线，交点即为点 ，    坐标为：， （2）解：，，， ，， 点在内． 【点睛】本题考查了三点确定圆，确定圆心的位置、点与圆的位置关系等知识点，准确找到圆心的位置是解题关键． 19．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （2）连接计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求． （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 20．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）是的外接圆，P是上一点．    (1)请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中的平分线； (2)结合图②，说明你这样画的理由． 【答案】(1)画图见解析 (2)理由见解析 【分析】（1）如图①，连接，即为所求角平分线；如图②，连接并延长，与交于点D，连接，即为所求角平分线； （2）由得到，再利用等弧所对的圆周角相等可得结论． 【详解】（1）解：如图①，连接，即为所求角平分线； ∵， ∴， ∴平分； 如图②，连接并延长，与交于点D，连接，即为所求角平分线， ∵，点O为外接圆圆心， ∴， ∴， ∴， ∴平分；    （2）∵，点O为外接圆圆心， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 【点睛】此题主要考查了基本作图以及圆心角、弧、弦的关系，等弧所对的圆周角相等等知识，熟练利用圆心角、弧、弦的关系得出是解题关键． 21．（2024·四川攀枝花·一模）作图题 如图，在中，已知． (1)尺规作图：画的外接圆（保留作图痕迹，不写画法） (2)连接，；若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画三角形外接圆，圆周角定理，勾股定理： （1）先画出该三角形两条垂直平分线，相交于点O，以为半径画圆即可； （2）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵ ∴， ∵，，即， 解得：或（负值舍去）． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$