专题16中心对称（8大类型精准练+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

专题16中心对称（8大类型精准练+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1.中心对称 1.中心对称的概念 把一个图形绕着某一个点旋转180°后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这个点对称也叫做这两个图形中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 方法归纳： １、中心对称是旋转角为180°的旋转对称； ２、寻找对称中心，只需分别联结两对对应点，所得两条直线的交点就是对称中心； ３、对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心平分． A C B C′ B′ A′ O 2.中心对称与轴对称的区别 中心对称 轴对称 对称中心只有一个点 对称轴至少有一条直线 图形绕对称中心旋转180° 图形沿对称轴折叠 旋转180°后和另一个图形重合 折叠后与另一个图形重合 2.中心对称的性质 1.中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被称中心所平分; 2.中心对称的两个图形是全等图形 方法归纳： (1)中心对称是一种特殊的旋转,因此,它具有旋转的一切特征 (2)中心对称的特征(性质)是画已知图形关于某点对称的图形的主要依据 (3)常常可以利用中心对称的性质来证明有关的线段相等、平行及三角形全等 3.确定对称中心的方法 方法1:连接任意一对对称点，取这条线段的中点,则该点为对称中心 方法2:连接任意两对对称点,这两条线段的交点即是对称中心 4.画已知图形关于某一点对称的图形 (1)连接:分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接并延长; (2)截取:等长截取,在延长线上截取长度等于关键点与对称中心所连线段的长度,截取的交点就是该关键点的对称点: (3)顺次连接:将对称点参照原图形顺次连接起来,即可得出关于对称中心对称的图形 知识点2.中心对称图形 1.中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转 180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.2.中心对称图形的判定 中心对称图形必须同时满足下列三个条件: (1)围绕某点旋转;(2)旋转180°;(3)与自身完全重合 2.中心对称图形的性质 (1)中心对称图形上的对称点的连线都经过对称中心,且被对称中心平分,即过对称中心的直线与中心对称图形的两个对应交点是对称点 (2)过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分是全等图形(即面积和周长都分别相等) 3.中心对称与中心对称图形的区别与联系： 　 中心对称 中心对称图形 区别 ①指两个全等图形之间的相互位置关系． ②对称中心不定． ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称． 知识点3.关于原点对称的点的坐标 1.两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P(-x，-y) 2.关于原点对称的点的坐标特征 如果两个点关于原点对称，那么它们的横坐标纵坐标分别互为相反数：反过来，如果两个点的横坐 标、纵坐标分别互为相反数，那么这两个点关于原点对称 【类型1】中心对称的认识 1．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图所示，与关于点O成中心对称，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的知识；根据成中心对称图形对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应点的连线被对称中心平分，对应角相等，解答即可． 【详解】成中心对称的两个图形是全等图形，它们的对应线段平行（或在同一直线上）且相等， 选项A，B正确；成中心对称的两个图形对应点的连线被对称中心平分，选项C正确，，选项D是错误的， 故选：D． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是理解中心对称的性质，属于中考常考题型．利用中心对称的性质一一判断即可． 【详解】解：与关于点成中心对称， 点与点是对称点，，， ，，正确， 故选：D． 3．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列描述中心对称的特征的语句中，其中正确的是（   ） A．成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段不一定经过对称中心 B．成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连接对称点的线段 C．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，但不一定被对称中心平分 D．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分 【答案】D 【分析】本题考查中心对称的性质．根据中心对称的性质，①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，判断各选项即可得出答案． 【详解】解：A、成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段一定经过对称中心，故本选项错误； B、成中心对称的两个图形中，对称中心一定平分连接对称点的线段，故本选项错误； C、成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分，故本选项错误； D、成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分，故本选项正确． 故选：D． 【类型2】中心对称的作图 4．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）如图： (1)画出向右平移5格，再向下平移3格后的图形； (2)如果点与点A关于某点成中心对称，请标出这个对称中心O，并画出关于点O成中心对称的图形； (3)画出关于直线成轴对称的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了画平移图形，画轴对称图形，画中心对称图形： （1）根据平移方式找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接即可； （2）连接，利用网格的特点找到的中点位置即为点O的位置，进而根据点O的位置找到的位置即可； （3）根据轴对称的特点找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解；如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点O和即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 5．（23-24九年级上·江西宜春·期中）如图 1，四边形是正方形；如图2，四边形是矩形，是等腰三角形. 请只用无刻度的直尺按要求画图．      (1)在图1中，画出正方形的对称中心O； (2)在图2中，画出线段的中点N． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了作图与应用作图，正方形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质和中心对称图形的性质，中点的定义． （1）依据正方形的对称中心为对角线的交点进行作图； （2）利用矩形的对称中心为对角线的交点，等腰三角形的轴对称图形，即可得到点N． 【详解】（1）解：如图1所示，连接交于点O即为所求；    （2）解：如图2所示，连接交于点O，连接并延长交于点N即为所求．    6．（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图所示，在中，，，．    (1)将向右平移4个单位长度，画出平移后的； (2)将绕原点O旋转，画出旋转后的； (3)由作图可知与成中心对称，对称中心的坐标是___________． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) 【分析】本题考查了作图的综合问题－平移、旋转和对称． （1）首先将点A、B、C分别向右平移4个单位，得到点、、，顺次连接即可； （2）将A、B、C绕点O旋转，得到点、、，顺次连接即可； （3）通过计算可得，和相交于点，根据中心对称图形的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图所示；   ； （2）解：如图所示； （3）解：连接，和， ∴对称中心为． 故答案为：． 【类型3】利用中心对称的性质进行计算 7．（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图，是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是中心对称图形的性质，锐角三角函数的应用，先求解，再利用中心对称图形的性质可得答案. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵该图是一个中心对称图形， ∴， ∴， 故选：A 8．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，与关于点成中心对称，，，，则点到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握中心对称图形的性质是解题关键．过点作于点，先根据中心对称图形的性质可得，，，利用勾股定理可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵与关于点成中心对称，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点到的距离是， 故答案为：． 9．（18-19九年级上·全国·期末）如图所示，在中，是边上的中线． (1)画出与关于点成中心对称的三角形；找出与相等的线段； (2)探究：中与的和与中线之间有何大小关系？并说明理由； 【答案】(1)作图见解析； (2)，见解析 【分析】本题考查了三角形的三边关系及中心对称的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键， （1）根据中心对称的特征，延长至，使，连接，则即为所求，， （2）根据三角形的两边之和大于第三边分析即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，在中，是边上的中线，延长至，使，连接，则即为所求，． （2）解：，理由： ∵与关于点成中心对称， ∴， ∵在中，有，即， ∴． 10．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心； (2)若，，，求的周长； (3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】本题考查了中心对称的性质．也考查了平行四边形的判定．熟练掌握中心对称的性质和平行四边形的判定方法是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质，对称中心在线段、上，则连接和，它们的交点即为对称中心； （2）根据中心对称的两个三角形全等可得到各边的长，然后计算的周长； （3）根据中心对称的性质得，，则根据平行四边形的判定方法可判断四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：如图，连接，点为所求： （2）解：和关于点成中心对称 ， ，，， 的周长为； （3）解：四边形是平行四边形，理由如下： 连接，如图所示： 和关于点成中心对称， ，， 四边形为平行四边形． 【类型4】中心对称图形 11．（2025·河北张家口·模拟预测）下列图形中，既是中心对称图形、又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据中心对称图形以及轴对称图形的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不符合题意； B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故B选项符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项不符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 12．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）下列图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的识别是解题的关键．根据中心对称图形的特征，将图形旋转后与原图形重合即为中心对称图形，即可得到答案． 【详解】 解：不是中心对称图形，故选项A不符合题意； 是中心对称图形，故选项B符合题意； 不是中心对称图形，故选项C不符合题意； 不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选B． 13．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）在线段、等边三角形、平行四边形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ． 【答案】线段、圆 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念作答． 【详解】解：线段、圆既是轴对称图形又是中心对称的图形； 等边三角形只是轴对称图形； 平行四边形只是中心对称的图形； 故答案为：线段、圆． 【类型5】中心对称图形的有关作图 14．（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图，在的正方形网格纸中，已知格点和格点线段，请按要求画出为对角线的格点四边形（顶点均在格点上）． (1)在图①中画出四边形，使得四边形是中心对称图形，且点M在四边形的内部（不包括边界上）． (2)在图②中画出四边形，使得四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，且点在四边形的内部（不包括边界上）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理和正方形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理和正方形的判定是解本题的关键． （1）根据题意可以作一个平行四边形，根据平行四边形的判定定理∶一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，或四条边相等的四边形即菱形，作图； （2）可以作一个正方形，根据正方形的判定：四条边相等且有一个角是直角的四边形，作图即可． 【详解】（1）如图，∵， ∴四边形是平行四边形，符合题意， （2）如图，， ∴四边形是菱形，符合题意； 15．（24-25九年级上·吉林·期末）图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点． (1)在图①，图②中，以4个标注点为顶点，各画一个中心对称图形．（两个中心对称图形不全等） (2)图①中所画的中心对称图形的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查格点作图，中心对称图形的定义． （1）利用格点的性质结合平行四边形是中心对称图形，分别选出能构成平行四边形的4个标注点连线即可； （2）根据图形利用割补法解答即可． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：图①中所画的中心对称图形的面积为：． 16．（22-23九年级上·四川广安·期中）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影： (1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（至少画出两种） (2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（画出一种） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案、利用旋转设计图案，正确掌握相关定义是解题关键． （1）直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案； （2）直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案． 【详解】（1）解：如图所示（画出两种即可）： （2）如图所示（画出一种即可）： 【类型6】关于原点对称的点的坐标 17．（23-24九年级上·四川南充·期中）已知点与点关于原点对称，则点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】本题主要考查了关于原点为对称的点的坐标及各象限点的坐标特点：第一象限的点满足横、纵坐标，第二象限的点满足横、纵坐标，第三象限的点满足横、纵坐标，第四象限的点满足横、纵坐标，关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数，熟知这一规律是正确解决本题的关键． 由点与点关于原点对称，可求得a、b的值，即可知点P在第几象限． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， 则点在第三象限， 故答案为：C． 18．（24-25九年级上·四川南充·期中）已知与 关于原点对称，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了求一点关于原点对称的点的坐标，求代数式的值，解题关键是理解两点关于原点对称的意义． 根据两点关于原点对称，列出关于，的方程求解，再代入代数式求值． 【详解】解：∵与 关于原点对称， ∴，，解得：，， ∴． 故答案为： 3． 19．（24-25九年级上·云南昆明·期中）已知点与点是关于原点O的对称点，则的值为 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的性质，解题关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标符号都是互为相反数．直接利用关于原点对称点的性质得出的值，进而得出答案． 【详解】解：根据题意，点与点是关于原点O的对称点， ∴，， 解得， ∴． 故答案为：1． 20．（24-25九年级上·山东济南·期末）已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的基本性质及关于原点中心对称的点的特点，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．根据抛物线的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后结合中心对称的性质确定抛物线的开口方向及顶点坐标，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∵抛物线与关于原点成中心对称， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为． 故答案为：． 【类型7】关于原点对称的点的坐标作图问题 21．（19-20八年级下·江苏苏州·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移6个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点O的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标：___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移、中心对称，根据题意正确作图是解题的关键． （1）根据平移方式，画出顶点的对应点分别为，再顺次连接即可得到； （2）根据中心对称方式，画出顶点的对应点分别为，再顺次连接即可得到； （3）结合图形得到的坐标，再根据旋转中心在旋转对应点连线的垂直平分线上即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，即为所求： （3）解：由图可得，，，，，，， 的中点为，的中点为，的中点为， 点同时在、、的垂直平分线上， 又将绕某一点旋转可得到， 旋转中心的坐标为． 故答案为：． 22．（24-25九年级上·吉林·期中）已知，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并写出点A的对应点的坐标； (2)画出绕点O按逆时针方向旋转90°后的图形，并写出点C的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析；的坐标为； (2)见解析；的坐标为 【分析】本题主要考查作图，旋转变化和关于原点对称，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的和旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． （1）分别作出点A，B，C关于原点对称的点，再首尾逆次连接即可． （2）分别作出点A，B，C绕点O按逆时针方向旋转90°后得到的点，再首尾逆次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标为； （2）如图，即为所求，的坐标为 23．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出与关于原点成中心对称的图形（、、的对应点分别为、、），并写出、、的坐标； (2)若以点为旋转中心逆时针旋转后得到的图形为（、、的对应点分别为、、），在网格中画出旋转后的图形，并写出、、的坐标． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了画旋转对称图形与画中心对称图形，写出旋转后的坐标及关于原点对称的坐标，正确理解旋转对称和中心对称的概念是解题的关键． （1）再根据中心对称的坐标性质，分别求出对应点​的坐标，然后在坐标系内描点，顺次连接各顶点即可求解； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点，再顺次连接各顶点即可． 【详解】（1）解：如图，，，， 为所作的三角形， （2）解：如图，，，， 为所作的三角形， 【类型8】中心对称的变化规律问题 24．（22-23八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键． 首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点关于点的对称点， ∴， ∴，， ∴， 同理可得点，，，，，… ∴点P每6次一循环， ∵ ∴点与点坐标相同，即． 故选：D． 25．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，一段抛物线记为，它与x轴的交点为O，，顶点为；将绕点旋转得，交x轴于点，顶点为；将绕点旋转得，交x轴于点，顶点为，…，如此进行下去，直至得到．当n为偶数时，抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象及其性质，中心对称的性质，先求出抛物线与x轴的交点的坐标及两交点的距离，再根据轴对称和中心对称找顶点坐标的规律，得到抛物线与x轴的交点的坐标及开口方向，即可得到答案； 【详解】解：当时，， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点的坐标为和，且开口方向向下，且抛物线与x轴两交点的距离为：； ∵将绕点旋转得，将绕点旋转得， ∴抛物线与x轴的交点的坐标为和，且开口方向向上； ∴抛物线与x轴的交点的坐标为和，且开口方向向下； 同理：当n为偶数时，抛物线与x轴的交点的坐标为和，且开口方向向上； ∴抛物线的表达式为： 故答案为：． 26．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，抛物线顶点为Q，交x轴于两点（E在F的右侧）．T是x轴正半轴上一点，以T为中心作抛物线的中心对称图形，交x轴于点K、L两点（L在K的右侧），已知，则K的坐标为 ． 【答案】 【分析】先利用配方法得到，解方程得，作轴于P，过F点作交于M．作轴于N，如图，证明得到，，则，则可利用待定系数法求出直线的解析式为，所以，接着利用中心对称的性质先确定T点坐标为，再确定点K的坐标． 【详解】解：， ， 当时，，解得， ， 作轴于P，过F点作交于M．作轴于N，如图， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为, 把代入得， 解得 ∴直线的解析式为， 当时， 解得， ， 点和点关于T对称， ∴T点坐标为， ∵点F与点K关于T点对称， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，中心对称图形的性质，配方法，二次函数与一元二次方程的关系，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式等知识．关键是作辅助线构造全等三角形． 【类型9】新定义探究问题 27．（2024·浙江宁波·一模）若二次函数与的图象关于点成中心对称图形，我们称与互为“中心对称”函数． (1)求二次函数的“中心对称”函数的解析式； (2)若二次函数的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式． (3)二次函数的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若，且四边形为矩形，求的值． 【答案】(1)“中心对称”函数的解析式为： (2)抛物线的表达式为： (3) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解一元二次方程、新定义、矩形的性质、解直角三角形等，综合性强，难度适中． （1）由新定义即可求解； （2）求出，得到抛物线的表达式为：，即可求解； （3）由，即可求解． 【详解】（1）解：， 则该函数的顶点坐标为：， 则该顶点关于的对称点为， 则“中心对称”函数的解析式为：； （2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 则顶点坐标为：， 则“中心对称”函数的顶点坐标为：， 则“中心对称”函数的表达式为：， 将代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 当时， 即， 则抛物线在时，取得最大值为2， 即， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （3）如下图： 设点、、的横坐标分别为：设左侧抛物线的对称轴交x轴于点H， 则点的坐标为：，，点H的坐标为：， 根据点关于中心对称，点的横坐标， 由点、的坐标得，， 则， 若， 即， 整理得：， 当四边形为矩形时，则， ， ， 则， 而， 则， 整理得：， 将代入上式得： 解得：（舍去）， 即． 28．（23-24九年级上·江西宜春·阶段练习）二次函数的图像交轴于原点及点． 感知特例： （1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表： ①补全表格：（___，___） ②请在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图像记为． 形成概念： 我们发现形如（1）中的图像上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”． 探究问题 （2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______； ②若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值． 【答案】（1）①；；②作图见解析；（2）①；②m=1 【分析】（1）①利用中心对称的特点即可求出点的对称点；②在平面直角坐标系中描出各点，用平滑的曲线依次连接各点即可； （2）①利用配方法求出抛物线的顶点与对称轴，利用点的坐标和对称性求出“孔像抛物线”的顶点与对称轴，进而得出“孔像抛物线”解析式，利用二次函数的性质即可得出结论； ②利用二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，可得直线必经过这两条抛物线中的一条的顶点，利用分类讨论的思想方法，令分别经过和的顶点，从而得到关于的方程，解方程即可求得结论． 【详解】（1）∵点与点关于点中心对称， ∴点的坐标为(，即， 故答案为：；； ②描点，连线，得到的图像如图所示： （2）①当时，抛物线为，对称轴为， 当， 解得：，， ∴， ∴原点关于对称的点的坐标为， ∴它的“孔像抛物线”的解析式为，对称轴为， 画出草图如图所示： ∵抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着x的增大而减小， ∴x的取值范围为：， 故答案为：； ②∵：，设顶点为，过点作轴于点，“孔像抛物线”的顶点为，过点作轴于点， ∴，， 由“孔像抛物线”的定义可知：点为的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵抛物线及“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点， ∴或， 解得：或， 当时，与只有一个交点，不合题意，舍去， ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图像与性质，中心对称的性质，全等三角形的判定和性质，理解“孔像抛物线”的定义及运用数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键． 一、单选题 1．（23-24九年级上·四川南充·期中）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形，准确掌握其定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可得到答案． 【详解】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义，可得： A选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24九年级上·广西河池·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标“如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数”、点所在的象限，熟练掌握关于原点对称的点的坐标变换规律是解题关键．根据如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数求出点的坐标，由此即可得． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为， ∵， ∴点在第四象限， 即在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点在第四象限， 故选：D． 3．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了两个图形关于中心对称的知识点，需要根据中心对称的性质进行求解.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】∵矩形与矩形关于某点对称， ∴点A的对称点为点F，点B的对称点为点E，点C的对称点为点D, 点D的对称点为点C, ∴对称中心为线段的中点． 故选D． 4．（2025·上海普陀·二模）有若干个全等三角形，如果这些全等三角形恰好能拼成一个正多边形，且这个正多边形不是中心对称图形，那么下列三角形中，符合条件的是（   ） A．顶角是的等腰三角形 B．顶角是的等腰三角形 C．有一个锐角是的直角三角形 D．有一个锐角是的直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质，中心对称图形的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由题意可得：拼成的正多边形的边数为奇数，分别求出每个选项中各个三角形的内角，进而得到组成的正多边形的内角，再根据正多边形的内角和公式判断出正多边形的边数，即可求解． 【详解】解：这些全等三角形恰好能拼成一个正多边形，且这个正多边形不是中心对称图形， 拼成的正多边形的边数为奇数， A、顶角是的等腰三角形，则底角为， 可能拼成的正多边形的内角为或，但无法对应奇数边正多边形的内角，故该选项不符合题意； B、顶角是的等腰三角形，可拼成正方形，但正方形是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、有一个锐角是的直角三角形，则另一个锐角为，可能拼成的正多边形的内角需为、或的组合，但无法匹配奇数边的正多边形内角，故该选项不符合题意； D、有一个锐角是的直角三角形，则另一个锐角为，正五边形的内角为，可由两个角组成，正五边形边数为奇数，且不是中心对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 5．（17-18八年级下·全国·课后作业）如图，与关于成中心对称，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的基本性质“1、中心对称的两个图形是全等图形；2、中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；3、中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等”，熟练掌握中心对称的基本性质是解题关键．根据中心对称的基本性质、平行线的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、由中心对称的基本性质得：，则此项不符合题意； B、由中心对称的基本性质得：，则此项不符合题意； C、由中心对称的基本性质得：，则此项不符合题意； D、由中心对称的基本性质得：， ∴，， ∴，即，则此项符合题意； 故选：D． 6．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，根据中心对称的性质，得出，求出，，，求出，根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 7．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，，，若画一条直线将这个图形分成面积相等的两个部分，则下列画法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合中心对称图形的性质求解即可． 【详解】解：因为平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，且选项中各图形可看作是由两个平行四边形构成的， 所以只要直线经过两个平行四边形的对称中心，即可这个图形分成面积相等的两个部分，观察可得，选项BCD符合题意， 故选：A． 8．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形变化-旋转及点的坐标变化规律，能由所给旋转方式得出第100秒旋转结束时点D的位置，与第4秒旋转结束时点D的位置相同是解题的关键． 根据所给旋转方式可知每旋转八秒，点D的坐标重复出现，再根据四边形是矩形，求出点D坐标可解决问题． 【详解】解：∵， ∴每旋转八次一个循环． ∵余4， ∴第100秒旋转结束时点D的位置，与第4秒旋转结束时点D的位置相同． 连接和， ∵四边形是矩形， ∴和互相平分， ∴，， ∴，， ∴点D的坐标为． 又∵， ∴第4秒旋转结束时的点D与点关于坐标原点对称， ∴此时点D的坐标为． 即第100秒旋转结束时，点D的坐标为． 故选：B． 二、填空题 9．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知点与点关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，求代数式的值，根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数得出，，代入计算即可得解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．（21-22八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，于点B，于点D．若，，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】12 【分析】此题考查了中心对称的性质、长方形的面积等知识，由曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，于点D，，则，图形①与图形②面积相等，即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵直线a、b垂直相交于点O，点A的对称点是点，于点D，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故答案为：12． 11．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图所示，平行四边形的对称中心在原点，，，则其他点的坐标分别为 【答案】， 【分析】本题考查平行四边形的性质，关于原点对称点的坐标特征，熟练掌握平行四边形是中心对称图形和关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解题的关键． 由平行四边形是中心对称图形可得点A与点C关于原点对称；点B和点D关于原点对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：∵平行四边形是中心对称图形，平行四边形的中心在原点， ∴点A与点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称， ∵，， ∴A，B两点的坐标分别为，． 故答案为：，． 12．（24-25九年级上·重庆合川·期末）如图，已知与关于点成中心对称，且，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查中心对称，勾股定理等知识，利用中心对称的性质得，，，，利用直角三角形30度角的性质求出，，进而可得，再由勾股定理可得结论． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴， ∴，，，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和中心对称，关键是熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质． 根据等边三角形的性质，得，，，再根据中心对称的性质，得，，，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解∶三角形是等边三角形，为的中点，， ，， ， 与关于点中心对称， ，，，， 在中，根据勾股定理， 得， 故答案为∶． 14．（2024八年级上·甘肃兰州·专题练习）如图所示是一个坐标方格盘，你可操纵一只遥控机器蛙在方格盘上进行跳步游戏，机器蛙每次跳步只能按如下两种方式（第一种：向上、下、左、右可任意跳动格或格；第二种跳到关于原点的对称点上）中的一种进行．若机器蛙在点，现欲操纵它跳到点，请问机器蛙至少要跳 次． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称，根据题意得到可以先向右跳三步，再向下跳一步，然后跳到关于原点的对称点即可到达，据此即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：若机器蛙在点，根据跳步游戏规则，可以先向右跳三步，再向下跳一步，然后跳到关于原点的对称点即可跳到点，这个路径步数最少，共步， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，函数G图象是由的图象和它关于成中心对称的图象组成．下列说法：①函数G图象关于y轴对称；②当时，函数G随x的增大而增大；③直线与G图象有三个交点，则，且；④已知不重合的两点，在函数G的图象上，且，，若当时，函数G的最大值和最小值为均为定值，则a的取值范围为．其中正确的命题有 ．（填序号）． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的中心变换及数形结合的数学思想，根据中心对称的性质求出的解析式是解答本题的关键．先根据中心对称求出的解析式，利用数形结合，即可判断①②③，要使当时该函数的最大值和最小值均与、的值无关，则，据此求出的范围，即可得到的取值范围，即可判断④． 【详解】解：图象，，其顶点坐标为， ∵图象和图象组成中心对称图形，对称中心为点， ∴图象的开口与图象方向相反，大小相同，其顶点坐标为， ∴图象，， 对于函数G，当时，，当时，， ∴函数G图象不关于y轴对称，故①不正确； 结合图形，当时，函数G随x的增大而增大，故②正确； 直线与G图象有三个交点，则，故③不正确； ∵，， ∴，关于对称， 当时，，当时，， ∵当时，函数G的最大值和最小值为均为定值， 结合图形可知，当，时，函数G的最大值和最小值不为定值，不符合题意； 当，时，函数G的最大值和最小值不为定值，不符合题意； ∴，此时，函数G的最大值和最小值均为定值，故④正确； 故答案为：②④． 三、解答题 17．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点O对称的，并写出点A、C的对应点、的坐标； (2)请画出绕点逆时针旋转后的，并写出点、的对应点、的坐标． 【答案】(1)图见解析，， (2)图见解析，， 【分析】本题考查坐标与图形变换-旋转，理解旋转性质是作图关键． （1）根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数得到对应点，再顺次连接即可作出对称图形； （2）根据旋转性质得到对应点，再顺次连接即可作出图形． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： 由图得，，； （2）解：如图，即为所求作： 由图得：，． 18．（24-25九年级上·广西河池·期末）尺规作图：在图中作出四边形关于点O对称的图形（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了作中心对称图形，正确得出对应点位置是解题关键． 直接利用中心对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案． 【详解】解：如图，四边形为所求． 19．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）正方形网格中(网格中的每个小正方形边长是1)，的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： (1)作出绕点逆时针旋转的； (2)作出关于原点成中心对称的； (3)在轴上找一点使得最小，则点坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查作图----旋转变换，一次函数的图象与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识 （1）作出的对应点即可； （2）作出的对应点即可； （3）作点C关于x轴在对称点，连接交x轴于点P，求出直线的解析式，求出与的交点坐标即可； 【详解】（1）解：如图，即为所作 （2）解：即为所作 （3）解：作点C关于x轴在对称点，连接交x轴于点P，如图， 设直线的解析式为， 把代入得， ， 解得，， 所以，直线的解析式为， 令，得， ∴， 故答案为：． 20．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段和轴上的点． 给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（，分别为，的对应点），则称线段为以点为中心的“关联线段”． (1)如图，已知点，，，，在线段，，中，以点为中心的“关联线段”是________； (2)已知点，线段是以点为中心的“关联线段”，点的横坐标的取值范围是________． 【答案】(1)和 (2) 【分析】本题考查了中心对称图形的性质、圆的性质等知识，熟练掌握以上知识和数形结合是解题的关键． （1）由题知“关联线段”是关于P点成中心对称的，根据中心对称的性质即可得和是以点P为中心的“关联线段”． （2）由与点关于P点成中心对称，且P点在x轴上，点在上，可得点的坐标为，P点坐标为，由此可得，根据与F点关于对称，可得F点的横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示： ∵线段与线段关于点成中心对称，且是的弦， ∴线段是以点为中心的“关联线段”； ∵线段与线段关于点成中心对称，且是的弦， ∴若线段是以点P为中心的“关联线段”， 则与关于P点成中心对称， 则， 而的坐标只能是， ∴不可能在上， ∴线段不是以点P为中心的“关联线段”， 综上，以点P为中心的“关联线段”是和， 故答案为：和． （2）∵与点关于P点成中心对称，且P点在x轴上， ∴点的纵坐标为． 又∵点在上， ∴点的坐标为，P点坐标为． ∵是的弦， ． ∵与F点关于对称， ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16中心对称（8大类型精准练+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1.中心对称 1.中心对称的概念 把一个图形绕着某一个点旋转180°后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这个点对称也叫做这两个图形中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 方法归纳： １、中心对称是旋转角为180°的旋转对称； ２、寻找对称中心，只需分别联结两对对应点，所得两条直线的交点就是对称中心； ３、对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心平分． A C B C′ B′ A′ O 2.中心对称与轴对称的区别 中心对称 轴对称 对称中心只有一个点 对称轴至少有一条直线 图形绕对称中心旋转180° 图形沿对称轴折叠 旋转180°后和另一个图形重合 折叠后与另一个图形重合 2.中心对称的性质 1.中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被称中心所平分; 2.中心对称的两个图形是全等图形 方法归纳： (1)中心对称是一种特殊的旋转,因此,它具有旋转的一切特征 (2)中心对称的特征(性质)是画已知图形关于某点对称的图形的主要依据 (3)常常可以利用中心对称的性质来证明有关的线段相等、平行及三角形全等 3.确定对称中心的方法 方法1:连接任意一对对称点，取这条线段的中点,则该点为对称中心 方法2:连接任意两对对称点,这两条线段的交点即是对称中心 4.画已知图形关于某一点对称的图形 (1)连接:分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接并延长; (2)截取:等长截取,在延长线上截取长度等于关键点与对称中心所连线段的长度,截取的交点就是该关键点的对称点: (3)顺次连接:将对称点参照原图形顺次连接起来,即可得出关于对称中心对称的图形 知识点2.中心对称图形 1.中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转 180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.2.中心对称图形的判定 中心对称图形必须同时满足下列三个条件: (1)围绕某点旋转;(2)旋转180°;(3)与自身完全重合 2.中心对称图形的性质 (1)中心对称图形上的对称点的连线都经过对称中心,且被对称中心平分,即过对称中心的直线与中心对称图形的两个对应交点是对称点 (2)过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分是全等图形(即面积和周长都分别相等) 3.中心对称与中心对称图形的区别与联系： 　 中心对称 中心对称图形 区别 ①指两个全等图形之间的相互位置关系． ②对称中心不定． ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称． 知识点3.关于原点对称的点的坐标 1.两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P(-x，-y) 2.关于原点对称的点的坐标特征 如果两个点关于原点对称，那么它们的横坐标纵坐标分别互为相反数：反过来，如果两个点的横坐 标、纵坐标分别互为相反数，那么这两个点关于原点对称 【类型1】中心对称的认识 1．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图所示，与关于点O成中心对称，下列结论错误的是（   ） A． B． B． C． D． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A．点A与点是对称点 B． C． D． 3．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列描述中心对称的特征的语句中，其中正确的是（   ） A．成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段不一定经过对称中心 B．成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连接对称点的线段 C．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，但不一定被对称中心平分 D．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分 【类型2】中心对称的作图 4．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）如图： (1)画出向右平移5格，再向下平移3格后的图形； (2)如果点与点A关于某点成中心对称，请标出这个对称中心O，并画出关于点O成中心对称的图形； (3)画出关于直线成轴对称的图形． 5．（23-24九年级上·江西宜春·期中）如图 1，四边形是正方形；如图2，四边形是矩形，是等腰三角形. 请只用无刻度的直尺按要求画图．      (1)在图1中，画出正方形的对称中心O； (2)在图2中，画出线段的中点N． 6．（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图所示，在中，，，．    (1)将向右平移4个单位长度，画出平移后的； (2)将绕原点O旋转，画出旋转后的； (3)由作图可知与成中心对称，对称中心的坐标是___________． 【类型3】利用中心对称的性质进行计算 7．（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图，是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D．4 8．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，与关于点成中心对称，，，，则点到的距离是 ． 9．（18-19九年级上·全国·期末）如图所示，在中，是边上的中线． (1)画出与关于点成中心对称的三角形；找出与相等的线段； (2)探究：中与的和与中线之间有何大小关系？并说明理由； 10．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心； (2)若，，，求的周长； (3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【类型4】中心对称图形 11．（2025·河北张家口·模拟预测）下列图形中，既是中心对称图形、又是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 12．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）下列图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）在线段、等边三角形、平行四边形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ． 【类型5】中心对称图形的有关作图 14．（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图，在的正方形网格纸中，已知格点和格点线段，请按要求画出为对角线的格点四边形（顶点均在格点上）． (1)在图①中画出四边形，使得四边形是中心对称图形，且点M在四边形的内部（不包括边界上）． (2)在图②中画出四边形，使得四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，且点在四边形的内部（不包括边界上）． 15．（24-25九年级上·吉林·期末）图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点． (1)在图①，图②中，以4个标注点为顶点，各画一个中心对称图形．（两个中心对称图形不全等） (2)图①中所画的中心对称图形的面积为__________． 16．（22-23九年级上·四川广安·期中）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影： (1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（至少画出两种） (2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（画出一种） 【类型6】关于原点对称的点的坐标 17．（23-24九年级上·四川南充·期中）已知点与点关于原点对称，则点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 18．（24-25九年级上·四川南充·期中）已知与 关于原点对称，则 ． 19．（24-25九年级上·云南昆明·期中）已知点与点是关于原点O的对称点，则的值为 ． 20．（24-25九年级上·山东济南·期末）已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 ． 【类型7】关于原点对称的点的坐标作图问题 21．（19-20八年级下·江苏苏州·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移6个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点O的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标：___________． 22．（24-25九年级上·吉林·期中）已知，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并写出点A的对应点的坐标； (2)画出绕点O按逆时针方向旋转90°后的图形，并写出点C的对应点的坐标． 23．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出与关于原点成中心对称的图形（、、的对应点分别为、、），并写出、、的坐标； (2)若以点为旋转中心逆时针旋转后得到的图形为（、、的对应点分别为、、），在网格中画出旋转后的图形，并写出、、的坐标． 【类型8】中心对称的变化规律问题 24．（22-23八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 25．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，一段抛物线记为，它与x轴的交点为O，，顶点为；将绕点旋转得，交x轴于点，顶点为；将绕点旋转得，交x轴于点，顶点为，…，如此进行下去，直至得到．当n为偶数时，抛物线的表达式为 ． 26．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，抛物线顶点为Q，交x轴于两点（E在F的右侧）．T是x轴正半轴上一点，以T为中心作抛物线的中心对称图形，交x轴于点K、L两点（L在K的右侧），已知，则K的坐标为 ． 【类型9】新定义探究问题 27．（2024·浙江宁波·一模）若二次函数与的图象关于点成中心对称图形，我们称与互为“中心对称”函数． (1)求二次函数的“中心对称”函数的解析式； (2)若二次函数的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式． (3)二次函数的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若，且四边形为矩形，求的值． 28．（23-24九年级上·江西宜春·阶段练习）二次函数的图像交轴于原点及点． 感知特例： （1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表： ①补全表格：（___，___） ②请在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图像记为． 形成概念： 我们发现形如（1）中的图像上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”． 探究问题 （2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______； ②若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值． 一、单选题 1．（23-24九年级上·四川南充·期中）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广西河池·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 4．（2025·上海普陀·二模）有若干个全等三角形，如果这些全等三角形恰好能拼成一个正多边形，且这个正多边形不是中心对称图形，那么下列三角形中，符合条件的是（   ） A．顶角是的等腰三角形 B．顶角是的等腰三角形 C．有一个锐角是的直角三角形 D．有一个锐角是的直角三角形 5．（17-18八年级下·全国·课后作业）如图，与关于成中心对称，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，，，若画一条直线将这个图形分成面积相等的两个部分，则下列画法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的坐标为(    ) A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知点与点关于原点对称，则 ． 10．（21-22八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，于点B，于点D．若，，则阴影部分的面积之和为 ． 11．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图所示，平行四边形的对称中心在原点，，，则其他点的坐标分别为 12．（24-25九年级上·重庆合川·期末）如图，已知与关于点成中心对称，且，，，则的长为 ． 13．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为 ． 14．（2024八年级上·甘肃兰州·专题练习）如图所示是一个坐标方格盘，你可操纵一只遥控机器蛙在方格盘上进行跳步游戏，机器蛙每次跳步只能按如下两种方式（第一种：向上、下、左、右可任意跳动格或格；第二种跳到关于原点的对称点上）中的一种进行．若机器蛙在点，现欲操纵它跳到点，请问机器蛙至少要跳 次． 15．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则的值是 ． 16．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，函数G图象是由的图象和它关于成中心对称的图象组成．下列说法：①函数G图象关于y轴对称；②当时，函数G随x的增大而增大；③直线与G图象有三个交点，则，且；④已知不重合的两点，在函数G的图象上，且，，若当时，函数G的最大值和最小值为均为定值，则a的取值范围为．其中正确的命题有 ．（填序号）． 三、解答题 17．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点O对称的，并写出点A、C的对应点、的坐标； (2)请画出绕点逆时针旋转后的，并写出点、的对应点、的坐标． 18．（24-25九年级上·广西河池·期末）尺规作图：在图中作出四边形关于点O对称的图形（不写作法，保留作图痕迹）． 19．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）正方形网格中(网格中的每个小正方形边长是1)，的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： (1)作出绕点逆时针旋转的； (2)作出关于原点成中心对称的； (3)在轴上找一点使得最小，则点坐标为 ． 20．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段和轴上的点． 给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（，分别为，的对应点），则称线段为以点为中心的“关联线段”． (1)如图，已知点，，，，在线段，，中，以点为中心的“关联线段”是________； (2)已知点，线段是以点为中心的“关联线段”，点的横坐标的取值范围是________． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$