1.2 集合间的基本关系（导学案）数学人教A版2019必修第一册

1.2 集合间的基本关系 导学案 （1）理解集合之间的包含与相等的含义； （2）能识别给定集合的子集，了解空集含义； （3）能进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言间的转换，提升数学抽象素养 教学重点：子集、真子集、集合相等的概念，判断集合之间关系的方法。 教学难点：准确判断集合之间的包含关系和相等关系，运用集合间的基本关系解决实际问题。 一、自主学习——温故知新 知识点一　子集 1．Venn图：在数学中，我们经常用平面上 的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中 一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的 集 记法与读法 记作 (或B⊇A)，读作“ ”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 ； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则 3.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作 . 也就是说，若 ，且 ，则A＝B. 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，集合“A＝B”可类比实数中的结论“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，即“若A⊆B，且B⊆A，则A＝B”，反之亦成立． 知识点二　真子集 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且 ，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作 (或BA)，读作“ ”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把 的集合叫做空集 记法 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)A≠∅，则∅ A 3.性质： (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC. 注意点： (1)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅{0}． 求集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集：∅和自身． (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏． 【学法指导】 1．知识清单： (1)子集、真子集的概念与性质． (2)子集的个数． (3)由集合间的关系求参数范围． 2．方法归纳：分析法、观察法、元素特征法、数形结合、分类讨论． 3．常见误区：在解决问题时，容易遗忘空集；求含参的问题时，容易遗漏端点的取值，应注意讨论． 第二环节 合作探究 问题3：观察下面几个例子,类比实数之间的相等关系、大小关系,你能发现下面两个集合之间的关系吗? (1); (2)为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合,为这个班全体学生组成的集合; (3)是两条边相等的三角形是等腰三角形. 提问：观察这些集合，你能发现它们之间的关系吗？ 可以发现,在(1)中,集合的任何一个元素都是集合的元素.这时我们说集合包含于集合,或集合包含集合.(2)中的集合与集合也有这种关系. （2） 探究点1：子集的概念 定义子集： 一般地,对于两个集合,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,就称集合为集合的子集(subset),记作读作“包含于”(或“包含”). 在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为图.这样,上述集合与集合的包含关系,可以用图1.2-1表示. 在(3)中,由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形,因此,集合都是由所有等腰三角形组成的集合.即集合中任何一个元素都是集合中的元素,同时,集合中任何一个元素也都是集合中的元素.这样,集合的元素与集合的元素是一样的 （3） 探究点2：真子集的概念 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作. 与实数中的结论“若,且,则”相类比,你有什么体会? 也就是说,若,且,则.如果集合,但存在元素,且,就称集合是集合的真子集(propersubset),记作 （4） 探究点3：定义空集 例如（1）,但,且,所以集合是集合的真子集. 我们知道,方程没有实数根,所以方程2的实数根组成的集合中没有元素. 一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集(emptyset),记为,并规定:空集是任何集合的子集. 你能举出几个空集的例子吗? 【师生活动】根据学生举例的情况，教师可以补充一些例子，帮助学生提升对概念的理解，比如集合“{0}”是否为空集等例子.根据追问的问题（4），教师可以引导学生获得教科书第8页的两个结论. 思考 包含关系与属于关系有什么区别?试结合实例作出解释. 由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论: (1)任何一个集合是它本身的子集,即 （2）对集合如果,且,那么. （5） 探究点4：集合的Venn图表示 Venn图是用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。通过Venn图可以直观地表示集合之间的关系。 实例分析： （1）集合A={1,2,3}，集合B={1,2,3,4,5}； （2）集合C={xx是立德中学高一（2）班全体女生}，集合D={xx是立德中学高一（2）班全体学生}。 提问：如何用Venn图表示这些集合之间的关系？ （6） 典例分析 例题1. 写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 【分析】根据子集与真子集的定义枚举判断即可. 【解析】 【点睛】本题主要考查了子集与真子集的辨析,属于基础题型. 例题2. 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由. （1），是8的约数}； （2）是长方形），是两条对角线相等的平行四边形}. 【分析】 (1)根据8的约数判断即可. (2)根据平行四边形的特殊性质判断即可. 【解析】 【点睛】本题主要考查了子集的辨析与约数和特殊平行四边形的性质,属于基础题型.    1.已知集合，则的真子集共有个 A．3 B．4 C．6 D．7 2.已知集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．8 C．7 D．16 3.同时满足：①，②，则的非空集合M有（    ） A．6个 B．7个 C．15个 D．16个 4.已知集合A={0，1}，则集合A的子集个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.已知集合，，若，则实数的值为（    ） A．2 B．0 C．0或2 D．1 6.已知集合，，若，则（    ） A．-3 B．-2 C．3 D．-2或3 7.（多选题）下列关系式正确的为(    ) A． B． C． D． 8.设集合，，，，则（    ） A． B． C． D． 9.若集合，，且，则（    ） A．0 B．1 C． D．0或1 10.已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是（    ） A．a<1 B．a≤1 C．a>2 D．a≥2 11.已知集合，则正确的是 A．0⊆A B． C． D． 12.（多选题）下列关系中，正确的有（    ） A． B． C． D． 1. 子集：如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B。 1. 真子集：如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A⊊B。 1. 集合相等：如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素也都是集合A中的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B。 1. 判断集合关系的方法：通过比较集合中的元素，确定集合之间的包含关系或相等关系。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 集合间的基本关系 导学案 （1）理解集合之间的包含与相等的含义； （2）能识别给定集合的子集，了解空集含义； （3）能进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言间的转换，提升数学抽象素养 教学重点：子集、真子集、集合相等的概念，判断集合之间关系的方法。 教学难点：准确判断集合之间的包含关系和相等关系，运用集合间的基本关系解决实际问题。 一、自主学习——温故知新 知识点一　子集 1．Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 3.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，集合“A＝B”可类比实数中的结论“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，即“若A⊆B，且B⊆A，则A＝B”，反之亦成立． 知识点二　真子集 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)A≠∅，则∅A 3.性质： (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC. 注意点： (1)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅{0}． 求集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集：∅和自身． (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏． 【学法指导】 1．知识清单： (1)子集、真子集的概念与性质． (2)子集的个数． (3)由集合间的关系求参数范围． 2．方法归纳：分析法、观察法、元素特征法、数形结合、分类讨论． 3．常见误区：在解决问题时，容易遗忘空集；求含参的问题时，容易遗漏端点的取值，应注意讨论． 第二环节 合作探究 问题3：观察下面几个例子,类比实数之间的相等关系、大小关系,你能发现下面两个集合之间的关系吗? (1); (2)为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合,为这个班全体学生组成的集合; (3)是两条边相等的三角形是等腰三角形. 提问：观察这些集合，你能发现它们之间的关系吗？ 可以发现,在(1)中,集合的任何一个元素都是集合的元素.这时我们说集合包含于集合,或集合包含集合.(2)中的集合与集合也有这种关系. 【设计意图】通过贴近生活的实例，帮助学生从具体情境中抽象出集合间的基本关系，增强对集合间关系的理解。引导学生思考集合间关系在生活中的应用，激发学习兴趣。） 【教学建议】教师引导学生分析实例中的共同点，总结集合间的基本关系。鼓励学生举出更多生活中的集合关系实例，加深对集合间关系概念的理解。 （2） 探究点1：子集的概念 定义子集： 一般地,对于两个集合,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,就称集合为集合的子集(subset),记作读作“包含于”(或“包含”). 在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为图.这样,上述集合与集合的包含关系,可以用图1.2-1表示. 在(3)中,由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形,因此,集合都是由所有等腰三角形组成的集合.即集合中任何一个元素都是集合中的元素,同时,集合中任何一个元素也都是集合中的元素.这样,集合的元素与集合的元素是一样的 （3） 探究点2：真子集的概念 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作. 与实数中的结论“若,且,则”相类比,你有什么体会? 也就是说,若,且,则.如果集合,但存在元素,且,就称集合是集合的真子集(propersubset),记作 【设计意图】通过具体实例，引导学生自主归纳子集的定义，培养学生的抽象思维能力。引导学生理解子集的概念，为后续学习打下基础。 【教学建议】教师引导学生通过观察、类比，自行归纳得到子集的定义，培养学生主动参与、合作交流、归纳总结的意识。强调子集的概念，引导学生注意符号的规范使用。 （4） 探究点3：定义空集 例如（1）,但,且,所以集合是集合的真子集. 我们知道,方程没有实数根,所以方程2的实数根组成的集合中没有元素. 一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集(emptyset),记为,并规定:空集是任何集合的子集. 你能举出几个空集的例子吗? 【师生活动】根据学生举例的情况，教师可以补充一些例子，帮助学生提升对概念的理解，比如集合“{0}”是否为空集等例子.根据追问的问题（4），教师可以引导学生获得教科书第8页的两个结论. 思考 包含关系与属于关系有什么区别?试结合实例作出解释. 由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论: (1)任何一个集合是它本身的子集,即 （2）对集合如果,且,那么. 【设计意图】对于难度不大的内容，特别是符号比较多时，通过阅读，熟悉自然语言、符号语言和图形语言，并建立它们之间的对应关系；通过阅读，提出自己的困惑，学会质疑，深入理解概念；通过举例子，抽象概念具体化，深入理解概念. （5） 探究点4：集合的Venn图表示 Venn图是用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。通过Venn图可以直观地表示集合之间的关系。 实例分析： （1）集合A={1,2,3}，集合B={1,2,3,4,5}； （2）集合C={xx是立德中学高一（2）班全体女生}，集合D={xx是立德中学高一（2）班全体学生}。 提问：如何用Venn图表示这些集合之间的关系？ 【设计意图】通过具体实例，帮助学生掌握判断集合之间关系的方法，理解子集、真子集和集合相等概念的应用。引导学生通过练习，掌握判断集合关系的规范使用，避免常见错误。 【教学建议】教师通过实例讲解，引导学生理解判断集合关系的步骤和注意事项。引导学生通过练习，掌握判断集合关系的规范使用，避免混淆和遗漏。 （6） 典例分析 例题1. 写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 【分析】根据子集与真子集的定义枚举判断即可. 【解析】 集合的所有子集为,,,.真子集为,,. 【点睛】本题主要考查了子集与真子集的辨析,属于基础题型. 例题2. 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由. （1），是8的约数}； （2）是长方形），是两条对角线相等的平行四边形}. 【分析】 (1)根据8的约数判断即可. (2)根据平行四边形的特殊性质判断即可. 【解析】 （1）因为3不是8的约数,所以集合A不是集合B的子集. （2）因为若x是长方形,则x一定是两条对角线相等的平行四边形,所以集合A是集合B的子集. 【点睛】本题主要考查了子集的辨析与约数和特殊平行四边形的性质,属于基础题型. 【设计意图】通过具体例题，帮助学生掌握判断集合之间关系的方法，理解子集、真子集和集合相等概念的应用。引导学生通过练习，掌握判断集合关系的规范使用，避免常见错误。 【教学建议】教师通过板书和讲解，引导学生理解判断集合关系的步骤和注意事项。引导学生通过练习，掌握判断集合关系的规范使用，避免混淆和遗漏。    1.已知集合，则的真子集共有个 A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】写出集合，即可确定真子集的个数. 【详解】因为，所以其真子集个数为. 故选：D. 【点睛】本题考查集合的真子集个数问题，属于简单题. 2.已知集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．8 C．7 D．16 【答案】B 【知识点】 【解析】先分别用列举法表示出，然后根据确定出中一定有的元素和可能有的元素，从而求解出满足的的个数. 【详解】因为的解为或，所以； 又因为，且，所以中一定含有元素，可能含有元素， 所以的个数即为集合的子集个数：， 故选：B. 【点睛】本题考查根据集合的子集关系求解符合条件的集合个数，解答问题的关键是确定出集合中一定包含的元素和可能包含的元素，难度一般. 3.同时满足：①，②，则的非空集合M有（    ） A．6个 B．7个 C．15个 D．16个 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、判断元素与集合的关系 【分析】根据所给条件确定M中元素，再根据M是所给集合的子集，得到所有的M即可求解. 【详解】时，；时，；时，；时，；，， ∴非空集合M为，，，，，，，共7个． 故选：B 4.已知集合A={0，1}，则集合A的子集个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据子集个数的公式可得正确的选项. 【详解】因为元素个数为2，故其子集个数为， 故选：D. 【点睛】本题考查有限集的子集的个数，如果有限集有个元素，则其子集的个数为，本题属于基础题. 5.已知集合，，若，则实数的值为（    ） A．2 B．0 C．0或2 D．1 【答案】B 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【解析】先化简集合A，再根据求解. 【详解】已知集合，， 因为， 所以m=0， 故选：B 【点睛】本题主要考查集合基本关系的应用，属于基础题. 6.已知集合，，若，则（    ） A．-3 B．-2 C．3 D．-2或3 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】因为得到或者，但是算出的值后，要将值代回去检验是否满足集合的互异性的条件. 【详解】因为， 若，则，，集合中的元素不满足互异性，舍去； 若，则或-2，因为，所以. 故选C. 【点睛】根据集合之间的包含关系求解参数的值时，一定要记得将参数的值代回集合中检验是否会有重合的元素，如果有重合的情况就要舍掉这个参数的取值，切记集合的三要素：确定性，互异性，无序性. 7.（多选题）下列关系式正确的为(    ) A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】判断元素与集合的关系、空集的性质及应用、子集的概念 【分析】根据集合相关的基本概念逐项判断即可﹒ 【详解】A：集合里面的元素没有顺序，且一个集合是其本身的子集，故A正确； B：空集里面没有元素，故B错误； C：元素与集合是属于或不属于的关系，故C错误； D：空集是任何集合的子集，故D正确﹒ 故选：AD﹒ 8.设集合，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】对于集合，令和，即得解. 【详解】，，，， 对于集合，当时，，； 当时，，． ， 故选：B． 9.若集合，，且，则（    ） A．0 B．1 C． D．0或1 【答案】A 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等，结合集合元素的互异性，即可求得参数值. 【详解】，，或1， 显然，. 故选：A. 【点睛】本题考查由集合相等求参数值，涉及集合的互异性，属基础题. 10.已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是（    ） A．a<1 B．a≤1 C．a>2 D．a≥2 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】解一元二次不等式得到集合B，由A∩B＝B可得B⊆A，结合数轴可得答案. 【详解】集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，由A∩B＝B可得B⊆A，作出数轴如图,可知a≥2. 故选：D 【点睛】本题考查由集合的包含关系求参数问题，属于基础题. 11.已知集合，则正确的是 A．0⊆A B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】由元素与集合以及集合与集合的关系即可求解. 【详解】对A，,故A错误； 对B，，故B错误； 对C，空集是任何集合的子集，即，故C错误； 对D，由于集合是集合A的子集，故D正确. 故选D 【点睛】本题主要考查了元素与集合以及集合与集合之间的关系，要注意区分，属于基础题. 12.（多选题）下列关系中，正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】利用元素与集合的关系、集合与集合的包含关系可判断各选项的正误. 【详解】对于A选项，，A选项正确； 对于B选项，，B选项正确； 对于C选项，，C选项错误； 对于D选项，，而不是，D选项错误. 故选：AB. 【设计意图】通过课堂练习，帮助学生巩固对集合间基本关系的理解。引导学生通过判断实例，加深对集合间关系概念的理解。 【教学建议】教师通过提问和讲解，引导学生分析每个选项，理解集合间关系的定义和判断标准。引导学生总结判断集合关系的标准，帮助学生掌握集合的基本概念。 1. 子集：如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B。 1. 真子集：如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A⊊B。 1. 集合相等：如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素也都是集合A中的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B。 1. 判断集合关系的方法：通过比较集合中的元素，确定集合之间的包含关系或相等关系。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$