1.2 集合间的基本关系 （教学设计）数学人教A版2019必修第一册

第1章 集合与常用逻辑用语 1.2 集合间的基本关系 教学设计 一、教学内容 本节课是人教A版2019必修第一册第一章“集合与常用逻辑用语”中的1.2节“集合间的基本关系”。内容包括集合之间的包含与相等的含义、子集、真子集与空集的概念以及集合的Venn图表示。 二、内容解析 本节类比实数，发现和提出“集合是否像实数一样具有相等关系、大小关系”的问题，抽象概括出包含关系，并从子集角度再认识相等关系。包含关系是集合的基本关系，包含关系和相等关系也都是从元素与集合之间的关系定义集合之间的关系。也就是说，当我们判断集合间关系时，其实是回归到了元素与集合的关系。明确了这一点，对于辨析属于关系、包含关系及理解其符号表示都是很有帮助的。 如就是“对于任意，都有”。 符号化是数学的重要特征。在集合的学习中，需要建立符号表示和数学意义之间的联系，Venn图则是梳理集合间的关系以及后面所学的运算的直观且有效的工具。通过各种问题，建立自然语言、符号语言和图形语言（Venn图）之间的联系，有利于表示数学问题，也有助于提升学生数学抽象素养。 一、教学目标 （1）理解集合之间的包含与相等的含义； （2）能识别给定集合的子集，了解空集含义； （3）能进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言间的转换，提升数学抽象素养 二、目标解析 达成上述目标的标志是： （1）会通过类比实数间关系，发现和提出需要研究的问题；能从元素与集合间关系的角度，分析两个集合之间的包含与相等关系，并用符号语言、图形语言表示这些关系；体会研究数学新对象的基本方法. （2）对于具体的集合，能写出集合的子集；能判断一个集合是否是另一个集合的子集；知道空集也是一个集合，以及空集与其他集合的关系。 （3）在具体问题情景中，能根据需求进行自然语言、符号语言和图形语言（Venn图）的转换，熟悉符号语言和图形语言的表述方式，并能有意识地使用符号语言表述数学对象，积累数学 本节内容来自人教版高中数学必修一第一章第一节集合第二课时的内容。集合论是现代数学的一个重要基础，是一个具有独特地位的数学分支。高中数学课程是将集合作为一种语言来学习，在这里它是作为刻画函数概念的基础知识和必备工具。本小节内容是在学习了集合的含义、集合的表示方法以及元素与集合的属于关系的基础上，进一步学习集合与集合之间的关系，同时也是下一节学习集合间的基本运算的基础，因此本小节起着承上启下的关键作用.通过本节内容的学习，可以进一步帮助学生利用集合语言进行交流的能力，帮助学生养成自主学习、合作交流、归纳总结的学习习惯，培养学生从具体到抽象、从一般到特殊的数学思维能力，通过Venn图理解抽象概念，培养学生数形结合思想。 学生在义务教育阶段数学学习中，已经接触过集合，对于数集、点集等有了一定的感性认识。从初中到高中，从直观到抽象，了解集合的含义及其性质，并不困难。学生优势在于对集合有一定的初步认识，能够理解集合的基本概念和表示方法。然而，学生劣势在于两种关系的识别——元素与集合、集合与集合，特别是符号语言的表述，提升了这部分内容学习的抽象度，例如，与，与、等。 基于以上分析，确定本节课的教学重点：子集、真子集、集合相等的概念，判断集合之间关系的方法。教学难点：准确判断集合之间的包含关系和相等关系，运用集合间的基本关系解决实际问题。 （一）温故知新 回顾上节课知识： 提问：什么是集合？集合的元素有哪些特性？（确定性、互异性、无序性） 提问：如何表示一个集合？（列举法和描述法） 引入新课： 提问：两个集合之间可能存在哪些关系？（引出集合间的基本关系） （设计意图：通过回顾已有的知识，激活学生的记忆，为学习新知识做好铺垫。引导学生思考集合间的关系，激发学习兴趣。） （教学建议：教师提问，指定学生代表回答。引导学生思考集合与集合之间的联系，为后续学习集合间的基本关系奠定基础。） 引入新课： 提问：实数有相等、大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？ （2） 情景引入 流行文化引入：社交媒体中的“好友圈” 同学们，大家平时都喜欢在社交媒体上分享生活、交流互动，对吧？比如微信、QQ、微博等。今天，我们就从这些熟悉的社交媒体中的“好友圈”说起。 假设我们有以下两个“好友圈”： 好友圈A：你的好友列表，包括小明、小华、小强、小李。 好友圈B：你所在的班级群成员列表，包括小明、小华、小强、小李、小王、小赵等。 问题1：如果你的好友圈A中的所有好友都在班级群B中，那么这两个“好友圈”之间有什么关系呢？ （引导学生思考好友圈A的所有成员都在好友圈B中，但好友圈B还有其他成员） 进一步引导： 再来看一个例子，假设你有一个特别的兴趣小组，比如“篮球爱好者群”，成员包括小明、小华、小强。同时，你还有一个更大的“体育爱好者群”，成员包括小明、小华、小强、小李、小王。 问题2：这两个群之间的成员关系又是什么样的呢？ （引导学生思考“篮球爱好者群”的所有成员都在“体育爱好者群”中，但“体育爱好者群”还有其他成员） 引出课题： 其实，这些“好友圈”和“兴趣群”之间的关系，就是我们今天要学习的集合间的基本关系。就像好友圈A和班级群B、篮球爱好者群和体育爱好者群一样，集合之间也存在着包含、相等等关系。今天，我们就来深入探究集合间的基本关系，看看这些关系在数学中是如何定义和应用的。 设计意图： 通过学生熟悉的社交媒体“好友圈”和“兴趣群”引入，能够迅速引起学生的兴趣和共鸣。这种贴近学生生活且充满趣味性的例子，不仅能够激发学生的学习兴趣，还能帮助他们从具体的情境中抽象出集合间的关系，为后续的学习打下良好的基础。 问题3：观察下面几个例子,类比实数之间的相等关系、大小关系,你能发现下面两个集合之间的关系吗? (1); (2)为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合,为这个班全体学生组成的集合; (3)是两条边相等的三角形是等腰三角形. 提问：观察这些集合，你能发现它们之间的关系吗？ 可以发现,在(1)中,集合的任何一个元素都是集合的元素.这时我们说集合包含于集合,或集合包含集合.(2)中的集合与集合也有这种关系. 【设计意图】通过贴近生活的实例，帮助学生从具体情境中抽象出集合间的基本关系，增强对集合间关系的理解。引导学生思考集合间关系在生活中的应用，激发学习兴趣。） 【教学建议】教师引导学生分析实例中的共同点，总结集合间的基本关系。鼓励学生举出更多生活中的集合关系实例，加深对集合间关系概念的理解。 （3） 探究点1：子集的概念 定义子集： 一般地,对于两个集合,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,就称集合为集合的子集(subset),记作读作“包含于”(或“包含”). 在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为图.这样,上述集合与集合的包含关系,可以用图1.2-1表示. 在(3)中,由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形,因此,集合都是由所有等腰三角形组成的集合.即集合中任何一个元素都是集合中的元素,同时,集合中任何一个元素也都是集合中的元素.这样,集合的元素与集合的元素是一样的 （4） 探究点2：真子集的概念 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作. 与实数中的结论“若,且,则”相类比,你有什么体会? 也就是说,若,且,则.如果集合,但存在元素,且,就称集合是集合的真子集(propersubset),记作 【设计意图】通过具体实例，引导学生自主归纳子集的定义，培养学生的抽象思维能力。引导学生理解子集的概念，为后续学习打下基础。 【教学建议】教师引导学生通过观察、类比，自行归纳得到子集的定义，培养学生主动参与、合作交流、归纳总结的意识。强调子集的概念，引导学生注意符号的规范使用。 （5） 探究点3：定义空集 例如（1）,但,且,所以集合是集合的真子集. 我们知道,方程没有实数根,所以方程2的实数根组成的集合中没有元素. 一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集(emptyset),记为,并规定:空集是任何集合的子集. 你能举出几个空集的例子吗? 【师生活动】根据学生举例的情况，教师可以补充一些例子，帮助学生提升对概念的理解，比如集合“{0}”是否为空集等例子.根据追问的问题（4），教师可以引导学生获得教科书第8页的两个结论. 思考 包含关系与属于关系有什么区别?试结合实例作出解释. 由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论: (1)任何一个集合是它本身的子集,即 （2）对集合如果,且,那么. 【设计意图】对于难度不大的内容，特别是符号比较多时，通过阅读，熟悉自然语言、符号语言和图形语言，并建立它们之间的对应关系；通过阅读，提出自己的困惑，学会质疑，深入理解概念；通过举例子，抽象概念具体化，深入理解概念. （6） 探究点4：集合的Venn图表示 Venn图是用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。通过Venn图可以直观地表示集合之间的关系。 实例分析： （1）集合A={1,2,3}，集合B={1,2,3,4,5}； （2）集合C={xx是立德中学高一（2）班全体女生}，集合D={xx是立德中学高一（2）班全体学生}。 提问：如何用Venn图表示这些集合之间的关系？ 【设计意图】通过具体实例，帮助学生掌握判断集合之间关系的方法，理解子集、真子集和集合相等概念的应用。引导学生通过练习，掌握判断集合关系的规范使用，避免常见错误。 【教学建议】教师通过实例讲解，引导学生理解判断集合关系的步骤和注意事项。引导学生通过练习，掌握判断集合关系的规范使用，避免混淆和遗漏。 （7） 典例分析 例题1. 写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 【分析】根据子集与真子集的定义枚举判断即可. 【解析】 集合的所有子集为,,,.真子集为,,. 【点睛】本题主要考查了子集与真子集的辨析,属于基础题型. 例题2. 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由. （1），是8的约数}； （2）是长方形），是两条对角线相等的平行四边形}. 【分析】 (1)根据8的约数判断即可. (2)根据平行四边形的特殊性质判断即可. 【解析】 （1）因为3不是8的约数,所以集合A不是集合B的子集. （2）因为若x是长方形,则x一定是两条对角线相等的平行四边形,所以集合A是集合B的子集. 【点睛】本题主要考查了子集的辨析与约数和特殊平行四边形的性质,属于基础题型. 【设计意图】通过具体例题，帮助学生掌握判断集合之间关系的方法，理解子集、真子集和集合相等概念的应用。引导学生通过练习，掌握判断集合关系的规范使用，避免常见错误。 【教学建议】教师通过板书和讲解，引导学生理解判断集合关系的步骤和注意事项。引导学生通过练习，掌握判断集合关系的规范使用，避免混淆和遗漏。 1.已知集合，则的真子集共有个 A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】写出集合，即可确定真子集的个数. 【详解】因为，所以其真子集个数为. 故选：D. 【点睛】本题考查集合的真子集个数问题，属于简单题. 2.已知集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．8 C．7 D．16 【答案】B 【知识点】 【解析】先分别用列举法表示出，然后根据确定出中一定有的元素和可能有的元素，从而求解出满足的的个数. 【详解】因为的解为或，所以； 又因为，且，所以中一定含有元素，可能含有元素， 所以的个数即为集合的子集个数：， 故选：B. 【点睛】本题考查根据集合的子集关系求解符合条件的集合个数，解答问题的关键是确定出集合中一定包含的元素和可能包含的元素，难度一般. 3.同时满足：①，②，则的非空集合M有（    ） A．6个 B．7个 C．15个 D．16个 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、判断元素与集合的关系 【分析】根据所给条件确定M中元素，再根据M是所给集合的子集，得到所有的M即可求解. 【详解】时，；时，；时，；时，；，， ∴非空集合M为，，，，，，，共7个． 故选：B 4.已知集合A={0，1}，则集合A的子集个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据子集个数的公式可得正确的选项. 【详解】因为元素个数为2，故其子集个数为， 故选：D. 【点睛】本题考查有限集的子集的个数，如果有限集有个元素，则其子集的个数为，本题属于基础题. 5.已知集合，，若，则实数的值为（    ） A．2 B．0 C．0或2 D．1 【答案】B 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【解析】先化简集合A，再根据求解. 【详解】已知集合，， 因为， 所以m=0， 故选：B 【点睛】本题主要考查集合基本关系的应用，属于基础题. 6.已知集合，，若，则（    ） A．-3 B．-2 C．3 D．-2或3 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】因为得到或者，但是算出的值后，要将值代回去检验是否满足集合的互异性的条件. 【详解】因为， 若，则，，集合中的元素不满足互异性，舍去； 若，则或-2，因为，所以. 故选C. 【点睛】根据集合之间的包含关系求解参数的值时，一定要记得将参数的值代回集合中检验是否会有重合的元素，如果有重合的情况就要舍掉这个参数的取值，切记集合的三要素：确定性，互异性，无序性. 7.（多选题）下列关系式正确的为(    ) A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】判断元素与集合的关系、空集的性质及应用、子集的概念 【分析】根据集合相关的基本概念逐项判断即可﹒ 【详解】A：集合里面的元素没有顺序，且一个集合是其本身的子集，故A正确； B：空集里面没有元素，故B错误； C：元素与集合是属于或不属于的关系，故C错误； D：空集是任何集合的子集，故D正确﹒ 故选：AD﹒ 8.设集合，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】对于集合，令和，即得解. 【详解】，，，， 对于集合，当时，，； 当时，，． ， 故选：B． 9.若集合，，且，则（    ） A．0 B．1 C． D．0或1 【答案】A 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等，结合集合元素的互异性，即可求得参数值. 【详解】，，或1， 显然，. 故选：A. 【点睛】本题考查由集合相等求参数值，涉及集合的互异性，属基础题. 10.已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是（    ） A．a<1 B．a≤1 C．a>2 D．a≥2 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】解一元二次不等式得到集合B，由A∩B＝B可得B⊆A，结合数轴可得答案. 【详解】集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，由A∩B＝B可得B⊆A，作出数轴如图,可知a≥2. 故选：D 【点睛】本题考查由集合的包含关系求参数问题，属于基础题. 11.已知集合，则正确的是 A．0⊆A B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】由元素与集合以及集合与集合的关系即可求解. 【详解】对A，,故A错误； 对B，，故B错误； 对C，空集是任何集合的子集，即，故C错误； 对D，由于集合是集合A的子集，故D正确. 故选D 【点睛】本题主要考查了元素与集合以及集合与集合之间的关系，要注意区分，属于基础题. 12.（多选题）下列关系中，正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】利用元素与集合的关系、集合与集合的包含关系可判断各选项的正误. 【详解】对于A选项，，A选项正确； 对于B选项，，B选项正确； 对于C选项，，C选项错误； 对于D选项，，而不是，D选项错误. 故选：AB. 【设计意图】通过课堂练习，帮助学生巩固对集合间基本关系的理解。引导学生通过判断实例，加深对集合间关系概念的理解。 【教学建议】教师通过提问和讲解，引导学生分析每个选项，理解集合间关系的定义和判断标准。引导学生总结判断集合关系的标准，帮助学生掌握集合的基本概念。 1. 子集：如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B。 1. 真子集：如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A⊊B。 1. 集合相等：如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素也都是集合A中的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B。 1. 判断集合关系的方法：通过比较集合中的元素，确定集合之间的包含关系或相等关系。 【设计意图】通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的主要内容，巩固所学知识。引导学生总结本节课的重点和难点，加深对集合概念的理解。 【教学建议】教师通过提问和讲解，引导学生回顾本节课的主要内容。引导学生总结本节课的重点和难点，帮助学生形成知识体系。 1.必做题：教材第8页 --- 习题1.2 --- 第1,2,3题。 2.探究性作业：教材第8页 --- 习题1.2 --- 第4题。 教科书第8页练习 1. 写出集合的所有子集. 【分析】 根据子集的定义枚举列出即可. 【解析】集合的所有子集有： ,,,,,,,. 【点睛】本题主要考查了子集的定义与辨析,属于基础题型. 2. 用适当的符号填空： （1）a_____；（2）0____；（3）____； （4）____N；（5）____；（6）____. 【分析】 根据元素与集合,集合与集合的关系填空即可. 【解析】(1)元素属于集合,故. (2)元素满足,故. (3)因为在时无解,故 (4)因为0,1均属于自然数,故集合 (5)因为,故. (6)因为的根为.故. 【点睛】本题主要考查了元素与集合和集合与集合间的基本关系,属于基础题型. 3. 判断下列两个集合之间的关系：（1），； （2），； （3）是4与10的公倍数}，. 【分析】 (1)根据数轴上的范围判断即可. (2)根据集合表示的数分析即可. (3)根据集合表示的数分析即可. 【解析】(1)根据数轴可知, 表示左边的数的集合, 表示左边的数的集合,故. (2) 表示3的整数倍 , 表示6的整数倍.故. (3) 是4与10的公倍数}即 20的正整数倍, 也表示20的正整数倍.故 【点睛】本题主要考查了对集合的范围的理解,属于基础题型. 习题1．2 复习巩固 1. 选用适当的符号填空： （1）若集合，， 则______， ______ ，______ ， ______ （2）若集合，则______，______ ，______ ，______； （3）是菱形______是平行四边形；是等边三角形}______是等腰三角形 【分析】（1）求出集合，，由此能求出结果．（2）求出集合，由此能求出结果．（3）利用菱形与平行四边形的关系和等腰三角形与等边三角形的关系进行求解． 【解析】（1）∵集合， ∴．故答案为：． （2）∵集合，∴，故答案为：． （3）是菱形是平行四边形；是等边三角形是等腰三角形}．故答案为：． 2. 指出下列各集合之间的关系，并用Venn图表示： A={是四边形}，B={是平行四边形}，C={是矩形}，D={是正方形}. 【分析】 根据四边形，平行四边形，矩形，正方形的范围关系得到答案. 【解析】各集合之间的关系为DCBA用Venn图表示如图所示： 【点睛】本题考查了集合的包含关系，韦恩图，意在考查学生对于集合的理解和掌握. 综合运用 3. 举出下列各集合的一个子集： （1）A={是立德中学的学生}； （2）B={是三角形}； （3）； （4）. 【分析】 根据子集的定义写出一个子集即可. 【解析】（1）{是立德中学的女生} （2）{是直角三角形} （3） （4） 【点睛】本题考查了集合的子集，属于简单题. 4. 在平面直角坐标系中，集合表示直线，从这个角度看，集合表示什么？集合C，D之间有什么关系？ 【分析】 集合表示两条直线的交点，解得交点得到集合关系. 【解析】集合表示直线与直线交点的集合， 即. DC 【点睛】本题考查了集合表示的意义，集合的包含关系，意在考查学生对于集合的理解和掌握. 拓广探索 5. 请解决下列问题： （1）设，若，求的值； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围. 【分析】 （1）直接根据集合相等得到答案. （2）根据集合的包含关系得到得到答案. 【解析】（1）由于，所以，且，. （2），且， 如图所示. 【点睛】本题考查了根据集合相等和集合的包含关系求参数，意在考查学生的理解能力. 1.2 集合间的基本关系 1. 子集： · 定义：A⊆B · 符号：A⊆B · 例子：A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}，A⊆B 1. 真子集： · 定义：A⊊B · 符号：A⊊B · 例子：A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}，A⊊B 1. 集合相等： · 定义：A=B · 符号：A=B · 例子：A={1,2,3}，B={3,2,1}，A=B 1. 判断集合关系的方法： · 比较集合中的元素 · 确定集合之间的包含关系或相等关系 设计意图：通过板书，清晰呈现本节课的主要知识点，帮助学生理解和记忆。引导学生通过板书内容，梳理本节课的重点和难点，加深对集合间基本关系的理解。 教学建议：教师在讲解过程中，逐步板书本节课的重点内容，帮助学生形成知识体系。引导学生通过板书内容，回顾本节课的主要知识点，巩固所学内容。 学科网（北京）股份有限公司 $$