1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系（第1课时）（教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

·选择性必修第一册· 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 第一章 空间向量与立体几何 1.4.1 用空间向量 研究空间直线、 平面的位置关系 1 2 学习目标 课程标准要求： 能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量。 课时目标要求： (1)能用向量语言表示空间中的点、直线与平面. (2)能用自己的语言解释直线的方向向量、平面的法向量的含义. (3)能说出求解直线的方向向量与平面的法向量的一般步骤，会求直线的方向向量与平面的法向量. 01 问题导入 1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 引入新知 必修第二册中，学习了《立体几何初步》，该章主要探究了三个方面的知识： 一、线线平行与垂直、线面平行与垂直、面面平行与垂直等位置关系； 二、点到直线、点到平面等距离问题； 三、线线、线面、面面之间的夹角问题. 刚刚学习了空间向量知识，我们知晓空间向量这个工具的应用：既可以证明平行与垂直，又可以求距离和夹角. 提出想法:　能否借助空间向量这个工具来解决立体几何中位置关系问题、距离问题和夹角问题呢？ 答案是肯定的 02 新课探究 1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 引入新知 在应用空间向量之前，需要解决一个关键性的问题： 这是本节课需要探究学习的主要内容 思考 空间向量 如何表示？ 如何表示？ 如何表示？ 点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素 立体几何 点 线 面 新课探究 在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ O P 图1.4-1 探究1 新课探究 空间中给定一个点 A 和一个方向就能唯一确定一条直线 l ． 你能将空间中确定直线 l 的这组条件转化为向量表示吗? A P l 用向量表示直线 l ,就是要利用点 A 和直线 l 的方向向量表示直线上的任意一点 P． 探究2 新课探究 图1.4-2 新课探究 图1.4-3 ①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知，空间任意直线由直线上一点A及直线的方向向量 唯一确定． 新课探究 两条相交直线能确定一个平面，类比空间直线的向量表示，你能将上述确定一个平面的条件转化为向量表示吗? 图1.4-4 探究3 新课探究 图1.4-5 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式． 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 新课探究 给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间中的位置吗？ 我们知道，给定空间一点 A 和一条直线 l ，则过点 A 且垂直于直线 l 的平面是唯一确定的．由此得到启发，我们可以利用点 A 和直线 l 的方向向量来确定平面． 探究4 新课探究 图1.4-6 新课探究 思 考 总结新知 空间中点线面的向量表示小结 1. 空间一点P： 2. 直线上一点：P为直线BC1 3. 平面内一点：P为平面BCC1B1上一点 l A P 4. 直线的方向向量：在直线l上取( t 也是直线l的方向向量) 5. 平面的法向量：若l⊥α，则l的方向向量称为平面的法向量。 (t 也是平面的法向量；法向量常用，，等表示) 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 03 应用新知 1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 应用新知 解析 图1.4-7 例1 线面垂直法 找（证）线面垂直的直线 应用新知 图1.4-7 解析 例1 待定系数法 建系求点、求平面内两个向量坐标 应用新知 解析 图1.4-7 例1 设法向量坐标 列方程组 赋非零值 下结论 牛刀小试 解析 找（证）线面垂直的直线 线面垂直法 牛刀小试 解析 建系求点、求平面内两个向量坐标 列方程组 赋非零值 下结论 待定系数法 设法向量坐标 应用新知 方法规律 应用新知 方法规律 求平面法向量的常见类型 (1)已知平面内三个点的坐标,求这三个点确定的平面的法向量; (2)一个几何体中存在线面垂直关系,在建立空间直角坐标系后,平面的垂线的方向向量即为平面的法向量; (3)在几何体中找到平面内已知点的坐标或找到与平面平行的向量,然后求平面的法向量. 04 重要题型 1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 重要题型专练 例1 题型一 求直线方向向量、利用直线的方向向量求参 解析 牛刀小试 解析 题型一 求直线方向向量、利用直线的方向向量求参 例2 重要题型专练 例3 题型一 求直线方向向量、利用直线的方向向量求参 A B C D D1 A1 B1 C1 O 解析 重要题型专练 解析 题型二 求平面法向量、利用法向量求参 例1 应用新知 A B C D D1 A1 B1 C1 x y z 解析 例2 题型二 求平面法向量、利用法向量求参 应用新知 A B C D D1 A1 B1 C1 x y z 解析 例2 应用新知 A B C D D1 A1 B1 C1 x y z 解析 例2 重要题型专练 解析 题型二 求平面法向量、利用法向量求参 例3 05 真题感知 1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 课堂笔记 1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 课堂笔记 课堂笔记 课堂笔记 课堂笔记 课堂笔记 07 小结与课后作业 1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 课堂小结 作业布置 巩固作业：教科书第29页练习第1题 ； 教科书第41页习题第1、2题.  作业答案（教科书第29页练习第1题） 解析 √ × √ 作业答案（教科书第41页习题1.4第1题） 解析 作业答案（教科书第41页习题1.4第1题） 解析 作业答案（教科书第41页习题1.4第2题） 解析 作业答案（教科书第41页习题1.4第2题） 解析 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 练1：下列命题是真命题的是（     ） A．平面的法向量是唯一确定的 B．平面的法向量是不唯一的，且它们共线 C．平面的法向量是不唯一的，且它们相互垂直 D．两个平面的法向量不可能相等 法向量的定义可知平面的法向量不唯一，且共线，故A错误、B正确、C错误； 若两个平面平行，则两个平面的法向量是可能相等的，故D错误； 练2：已知，在直线上，写出直线的一个方向向量为 . 点，，则， 而点在直线上，所以直线的一个方向向量可以为. 故答案为： 练4：（多选）如图，已知正方体的棱长为1，以D为原点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是__________ 法一：易知，平面，所以可以作为平面的一个法向量. 又，所以，即是平面的一个法向量 答案不唯一，与（1,1,1）共线的向量均可以 练4：（多选）如图，已知正方体的棱长为1，以D为原点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是______________ 法二：，，，，， 设是平面的一个法向量，则，， 所以， 即是平面的一个法向量 令，得，， 1.求平面法向量的方法与步骤 (1)建系求点坐标、平面内的两条相交直线的方向向量坐标，如； (2)设平面的法向量为； (3)列方程组； (4)赋非零值，设定一个坐标为常数(常数不能为0) (5)下结论：得到平面的一个法向量. 已知，若直线的一个方向向量为，则___. 根据题意，,，若直线的一个方向向量为， 则设，即， 则，解得. 故答案为：． 已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（    ） A．或1 B． C． D．1 因为向量都是直线l的方向向量； 所以向量共线， 则，解得. 故选：B 已知，则平面ABC的一个法向量可以为（    ） A． B． C． D． 由题设，， 若是平面ABC的一个法向量，则， 所以， 所以， 取，则，即. 于是是平面ABC的一个法向量，故选A 已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（     ） A． B． C． D． 因为，，所以. 平面的法向量，则， 所以，即. 故选：A. 由点，点，得 1．（24-25高二上·四川成都·期中） 经过点，点的直线的一个方向向量是 . 又点，点在直线上， 所以是直线的一个方向向量 故答案为：（答案不唯一，时，均可） 2．（23-24高二上·山西·阶段练习） 已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（     ） A． B． C．1 D．2 由和，得 又点，点在直线上，所以是直线的一个方向向量 又也是直线一个方向向量，所以向量与向量为共线， 所以，解得，，所以，故选：A. 3．（24-25高二上·河北石家庄·期末） 已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（     ） A． B． C． D． 对于A， ，则 ， 则此点在平面 内，故A正确； 对于B， ，则 ， 则此点不在平面 内吗，故B错误； 同理可判断，C、D错误，故选A 4．（24-25高二上·四川凉山·期末） 平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为 ． 由，则 设向量是平面的一个法向量， 所以，令，则 故答案为： 5．（24-25高二上·海南·期中） 已知平面以为法向量，且经过坐标原点和点，则（     ） A． B． C． D． 由 . 故选：B 6．（24-25高二下·江苏南京·期中） （多选）已知点，，则（    ） A．为 B．线段的中点坐标为 C．点B到x轴的距离为5 D．直线的一个方向向量为 对A，由，则，故A正确； 对B，线段的中点坐标为，即，故B正确； 对C，点B到x轴的距离为，故C正确； 对D，因为，且，则与向量不共线，故D错误. 1．空间中，点的向量表示 在空间中，我们取一定点O作为 ，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，向量 称为点P的 ． 2．点在直线上的向量表示 如图，是直线的方向向量，在直线上取，取定空间中的任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使 . 3．点在平面内的向量表示 如图，取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使 . 4．平面内的法向量 直线，取直线的 ，则叫做平面的法向量.过空间点，且以向量为法向量的平面，可以用集合表示为 . 5．求平面法向量的步骤： （1）设向量：设平面的法向量为 . （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量. （3）列方程组：由 列出方程组. （4）解方程组. （5）赋非零值：取的其中一个为 (常取). （6）得结论：得到平面的一个法向量. 1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×” （1）零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；（ ） （2）若是直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量；（ ） （3）在空间直角坐标系中，是坐标平面Oxy的一个法向量．（ ） （1）零向量的方向不确定，所以不能作为直线的方向向量和平面的法向量，正确； （3） 在空间直角坐标系中，，平面Oxy，所以是坐标 平面Oxy的一个法向量，正确． （2）当时，，所以不一定是直线l的方向向量，不正确； 1. 如图，在三棱锥中，E是CD的中点，点F在AE上，且． 设，，，求直线AE，BF的方向向量． 在△中，，，则， 在△中，，，则， ∵在△中，E是CD的中点， ∴，而，即， 1. 如图，在三棱锥中，E是CD的中点，点F在AE上，且． 设，，，求直线AE，BF的方向向量． 【答案】直线AE的方向向量，直线BF的方向向量. ∴在△中，. ∴直线AE，BF的方向向量分别为、 2. 如图，在直三棱柱中，，，． 以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系． （1）求平面的一个法向量；（2）求平面的一个法向量． 易知，，，. (1)，， 设面的法向量为，则 ， 即，取 ，则 ， 所以平面的一个法向量为； 2. 如图，在直三棱柱中，，，． 以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系． （1）求平面的一个法向量；（2）求平面的一个法向量． (2) ，， 设面的法向量为，则 ， 即，取 ，则， 所以平面的一个法向量为 $$