第10讲 弧长及扇形的面积 （知识清单+8大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（苏科版）

第10讲 弧长及扇形的面积 （知识清单+8大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 求弧长 题型二 求扇形半径 题型三 求圆心角 题型四 求某点的弧形运动路径长度 题型五 求扇形面积 题型六 求图形旋转后扫过的面积 题型七 求弓形面积 题型八 求其他不规则图形的面积 知识清单 知识点1．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点2．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 题型练习 【题型一】求弧长 【例1】（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知圆弧的半径为12，所对的圆心角为，则该圆弧的长是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，若滑轮旋转了，则重物上升了（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）若一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的底面圆面积为 ． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在的正方形网格图中，小正方形的边长都为，的顶点都在格点上，在该网格图中只用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)画出的外接圆圆心． (2)连结， ， 则的长为 ． 【题型二】求扇形半径 【例2】（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知扇形的弧长为，该所对圆心角为，则此扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm，扇形的圆心角θ=，则该圆锥的母线长为（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 2．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为 ． 3．（九年级上·江苏泰州·期末）如图，已知． （1）试用尺规作图确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若的度数为120°，的长是8π，求所在圆的半径的长． 【题型三】求圆心角 【例3】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）一个扇形的半径为4，弧长为，其圆心角度数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）物理课上，小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．如图，已知滑轮的半径，当重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则绕点O按逆时针方向旋转的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点随之旋转，则 ． 3．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）在如图所示的扇形中，，，扇形的弧长为，求扇形的面积． 【题型四】求某点的弧形运动路径长度 【例4】（22-23九年级上·江苏淮安·期中）钟面上分针的长为1，从12点到12点20分，分针针尖在钟面上走过的轨迹长度是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点从开始到结束所经过的路径长为（　　）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，把直径为的圆形车轮（）在水平地面上沿直线l无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为P，则当点P第二次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为 ． 3．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，的顶点、、都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法） ． (1)将绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为，画出， (2)连接，的面积为 ． (3)点在旋转过程中经过的路径长为 ． 【题型五】求扇形面积 【例5】（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，长的雨刮器扫过汽车挡风玻璃的角度为，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）中国瓦当的发展历程悠久，其艺术风格和功能随着历史时期的变化而演变，现有一瓦当，它的一面是呈扇形的一部分，如图1所示，其中两边所在直线构成的夹角，点O是扇形所在圆的圆心，，如图2所示，则该瓦此面的面积为 cm²．(结果保留) 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，AB是的直径，平分，过点E作直线，交的延长线于点D (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为2，求阴影部分面积． 【题型六】求图形旋转后扫过的面积 【例6】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（    ） A．π B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点，，将线段绕点O旋转一周，则线段扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为___________．    3．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， ，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形，并写出点的坐标； (2)求扫过的面积是多少？（结果保留）． 【题型七】求弓形面积 【例7】（九年级上·江苏常州·期中）如图，扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为（ ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，阴影表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，若，且，则的长为（　　　）    A．6 B．7 C．8 D．10 2．（九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知的周长为，的长为，则的半径为 ，图中阴影部分的面积为 ． 3．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，是的内接三角形，，，D 为延长线上一点，． (1)求证：是的切线； (2)如果的半径为 4，求阴影部分的面积． 【题型八】求其他不规则图形的面积 【例8】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，正方形的边长为8，以为直径的半圆O交对角线于点E，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在扇形中，，点在上且垂直平分线段，为垂足，以为圆心，为半径作弧交于点，则阴影部分面积等于 ． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，是的外接圆，是直径，过点作直线，过点作直线，两直线交于点，如果，的半径是． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)求图中阴影部分的面积（结果用表示）． 好题必刷 一、单选题 1．如图，正方形中，分别以，为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则 的长为（    ）    A．6π B．2π C．π D．π 3．若一个圆锥侧面展开图的圆心角是270°，圆锥母线与底面半径之间的函数关系图象大致是(　　) A．   B．   C．   D．   4．如图，在边长为6的正方形中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是（    ） A．9 B．6 C．3 D．12 5．如图，在扇形中，，将扇形沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则弧的长为（结果保留）（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，以直角边为直径作交于点，则图中阴影部分的面积是(     ) A． B． C． D． 7．如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为(　　)    A．90° B．120° C．135° D．150° 8．一电动玩具的正面是由半径为10cm的小圆盘和半径为20cm的大圆盘依右图方式连接而成的．小圆盘在大圆盘的圆周上外切滚动一周且不发生滑动（大圆盘不动），回到原来的位置，在这一过程中，判断虚线所示位置的三个圆内，所画的头发、眼睛、嘴巴位置正确的是（不妨动手试一试！）（　　） A． B． C． D． 9．如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是 A． B． C． D． 10．如图，等边中，，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若扇形的圆心角是，半径为，则该扇形的弧长为 ． 12．将长为20cm的铁丝首尾相连围成扇形，扇形面积为y（cm），扇形半径为x（cm），且0＜x＜10，则y与x的函数关系式为 ． 13．已知扇形的弧长为，面积为，则此扇形的圆心角为 度． 14．如图，AB是的直径，分别以点A和点B为圆心、AB长为半径作圆弧，两弧交于点C和点D．若，则图中阴影部分图形的周长和为 ．（结果保留） 15．已知圆上一段弧长为4πcm，它所对的圆心角为100°，则该圆的半径为 cm． 16．如图，的半径为，是弦，以点为圆心，为半径画弧，交于点，若，则阴影部分的面积为 ． 17．如图，半圆O的直径AE=6，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD则图中阴影部分的面积为 ． 18．如图，AB是半圆O的直径，且AB=10，点P为半圆上一点．将此半圆沿AP所在的直线折叠，若恰好弧AP过圆心O，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π） 三、解答题 19．半径为5㎝，圆心角为72°的弧长是多少？ 20．如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C＝90°，以AE为直径的⊙O切BC于点D (1)求证：AD平分∠BAC； (2)已知∠B＝30°，AD＝2，求图中阴影部分的面积． 21．如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）当AB＝4，∠C＝30°时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．    22．如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是．弧所对的圆心角是，这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小数点后一位）？ 23．半径为15cm，圆心角为72°的扇形面积是多少？ 24．如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，若⊙O半径为3，PA=，求弧AB的长. 25．如图，⊙O的直径EF = 10 cm，弦AB = 6 cm，CD = 8 cm，且AB∥EF∥CD，求由线段AE、BE和组成的图形及由线段CF、DF和组成的图形（图中阴影部分）面积的和. 26．如图，为的直径，，交于点D，交于点E，． (1)求的大小； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 弧长及扇形的面积 （知识清单+8大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 求弧长 题型二 求扇形半径 题型三 求圆心角 题型四 求某点的弧形运动路径长度 题型五 求扇形面积 题型六 求图形旋转后扫过的面积 题型七 求弓形面积 题型八 求其他不规则图形的面积 知识清单 知识点1．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点2．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 题型练习 【题型一】求弧长 【例1】（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知圆弧的半径为12，所对的圆心角为，则该圆弧的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求弧长 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长公式是解题的关键． 直接运用弧长公式求解即可． 【详解】解：由弧长公式可知： ． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，若滑轮旋转了，则重物上升了（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求弧长 【分析】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是解题的关键．根据弧长的计算方法计算半径为，圆心角为的弧长即可． 【详解】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长， 即， 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）若一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的底面圆面积为 ． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长公式，由弧长公式得出它的侧面展开图的弧长，从而得出圆锥的底面圆的半径，最后根据圆的面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图的圆心角为， ∴它的侧面展开图的弧长为， ∴圆锥的底面圆的半径为， ∴这个圆锥的底面圆面积为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在的正方形网格图中，小正方形的边长都为，的顶点都在格点上，在该网格图中只用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)画出的外接圆圆心． (2)连结， ， 则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】确定圆心(尺规作图)、求弧长 【分析】本题考查了画三角形的外心，勾股定理与网格，求弧长； （1）作线段，的垂直平分线交于点，点即为所求； （2）利用勾股定理求解； 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴的长为：， 故答案为：． 【题型二】求扇形半径 【例2】（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知扇形的弧长为，该所对圆心角为，则此扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求扇形半径 【分析】本题考查了用弧长公式计算扇形半径，扇形的半径为，然后用弧长公式即可求解，熟记弧长公式是解题的关键． 【详解】设扇形的半径为， ∴， 解得：， 故选：． 【举一反三】 1．（九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm，扇形的圆心角θ=，则该圆锥的母线长为（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】A 【知识点】求扇形半径 【分析】扇形的弧长即为底面圆的周长，所以==4（cm）， 由弧长公式，所以4=，由题意知，代入等式求出R，即求出圆锥的母线长． 【详解】解：圆锥的底面周长C=2πr=4π（cm）， 设圆锥的母线长为l，则=4π， 解得l=6． 故选：A． 【点睛】本题考查弧长公式及圆锥的侧面展开图，解题的关键是抓住圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长这一等量关系. 2．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为 ． 【答案】/ 【知识点】求扇形半径 【分析】本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解答本题的关键．根据弧长公式，计算得到答案． 【详解】解：设扇形的半径是R， 则 解得：． 故答案为：． 3．（九年级上·江苏泰州·期末）如图，已知． （1）试用尺规作图确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若的度数为120°，的长是8π，求所在圆的半径的长． 【答案】（1）作图见解析；（2）12 【知识点】求扇形半径 【分析】（1）在弧上任取一点C，连接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分线即可 （2）根据弧长公式计算即可； 【详解】（1）在弧上任取一点C，连接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分线即可，点O即为所求； （2）如图，连接AO，BO， ∵弧AB的度数为， ∴， 又∵弧AB的长是， ∴， 解得：， ∴所在圆的半径的长是12． 【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，结合垂直平分线作图求解是解题的关键． 【题型三】求圆心角 【例3】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）一个扇形的半径为4，弧长为，其圆心角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求圆心角 【分析】本题考查了弧长公式的计算，设扇形对应的圆心角的度数为，根据弧长公式得出，即可求解． 【详解】解：设扇形对应的圆心角的度数为，根据题意得， 解得：，即圆心角度数是 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）物理课上，小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．如图，已知滑轮的半径，当重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则绕点O按逆时针方向旋转的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求圆心角 【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：设旋转的角度是，滑轮的半径是， 由题意得：， 解得：， 绕点O按逆时针方向旋转的度数为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点随之旋转，则 ． 【答案】72 【知识点】求圆心角 【分析】本题主要考查了利用弧长求解圆心角．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：72 3．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）在如图所示的扇形中，，，扇形的弧长为，求扇形的面积． 【答案】 【知识点】求圆心角、求扇形面积 【分析】本题考查了扇形的弧长，扇形的面积；由弧长公式可求，即可求解；掌握和是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， ． 【题型四】求某点的弧形运动路径长度 【例4】（22-23九年级上·江苏淮安·期中）钟面上分针的长为1，从12点到12点20分，分针针尖在钟面上走过的轨迹长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求某点的弧形运动路径长度 【分析】由题意得可知，分针针尖在钟面上走过的轨迹为圆弧，从12点到12点20分走了圆周长的三分之一，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：分针针尖在钟面上走过的轨迹为圆弧，到12点20分走了圆周长的三分之一， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查弧长公式．熟练掌握弧长公式，是解题的关键． 【举一反三】 1．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点从开始到结束所经过的路径长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求某点的弧形运动路径长度 【分析】顶点从开始到结束所经过的路径是一段弧长是以点为圆心，为半径的圆弧，旋转的角度是，所以根据弧长公式可得． 【详解】解：在含有角的直角三角板中，，， ，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是弄准弧长的半径和圆心角的度数． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，把直径为的圆形车轮（）在水平地面上沿直线l无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为P，则当点P第二次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为 ． 【答案】 【知识点】求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题考查了圆的弧长计算，圆心运动的路径的长等于圆上的点滚动的距离，当点第二次到达距离地面的高度时，圆滚动了圈，由此可解． 【详解】解：根据题意可得圆心运动的路径即为圆滚动的距离． 当点第二次到达距离地面的高度时，圆滚动圈， 圆心运动的路径的长． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，的顶点、、都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法） ． (1)将绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为，画出， (2)连接，的面积为 ． (3)点在旋转过程中经过的路径长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】画旋转图形、用勾股定理解三角形、求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题考查作旋转图形，勾股定理，求弧长，掌握旋转的性质是解题关键． （1）根据旋转的性质分别找到、、点的对应点，再依次连接即可； （2）由勾股定理可求出，由旋转的性质可得，，最后根据，即可求解； （3）根据点在旋转过程中经过的路径长是以点位圆心，为半径的圆周长的，以此计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）由图可知，，， ， 由旋转可知，，， ， 故答案为：； （3），， 点在旋转过程中经过的路径长为， 故答案为：． 【题型五】求扇形面积 【例5】（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，长的雨刮器扫过汽车挡风玻璃的角度为，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求扇形面积 【分析】本题考查扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键．根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：扫过的面积为 故选：. 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求扇形面积、求圆锥侧面积 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是解题的关键． 根据题意可得，圆锥底面圆的周长，即展开图扇形的弧长为，圆锥展开图为扇形，扇形的半径为，由扇形的面积的公式，即可求解． 【详解】解：由题意可得，圆锥展开图为扇形，扇形的半径为，圆锥底面圆的直径为， ∴圆锥底面圆的周长，即展开图扇形的弧长为， ∴展开图扇形的面积为， 故选：C ． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）中国瓦当的发展历程悠久，其艺术风格和功能随着历史时期的变化而演变，现有一瓦当，它的一面是呈扇形的一部分，如图1所示，其中两边所在直线构成的夹角，点O是扇形所在圆的圆心，，如图2所示，则该瓦此面的面积为 cm²．(结果保留) 【答案】 【知识点】求扇形面积 【分析】本题主要考查了求扇形的面积， 根据此面的面积，再代入数值可得答案． 【详解】解：∵，， ∴此面的面积（）． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，AB是的直径，平分，过点E作直线，交的延长线于点D (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为2，求阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、求扇形面积 【分析】本题考查了切线的性质和判定、扇形的面积，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）若要证明是的切线，只需证明与半径垂直，故连接，证明即可； （2）先证明是等腰直角三角形，再利用三角形和扇形的面积公式得到和扇形的面积，即可得到阴影部分面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是的切线． （2）解：由（1）得，， 又， ， ， ，， 阴影部分面积． 【题型六】求图形旋转后扫过的面积 【例6】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（    ） A．π B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、求图形旋转后扫过的面积 【分析】本题考查勾股定理及逆定理，扇形面积的计算．根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而得出，再根据旋转可得旋转的圆心角为，半径，根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：连接，如下图：    ∵，， ∴， ∴， 又∵点为的中点， ∴， 弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，就绕着点逆时针旋转，扫过的部分为下图中的阴影部分，    由题意可得：， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 扫过的部分的面积就是， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点，，将线段绕点O旋转一周，则线段扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【分析】本题考查圆环的面积，明确扫出的图形是圆环是解题的关键． 线段扫过的轨迹为圆环，求出、到线段的距离，根据圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积即可求解． 【详解】解：如图，线段扫过的轨迹为圆环，其中大圆是以为圆心、为半径的圆，小圆是以为圆心、为半径的圆； 连接， ∵， ∴大圆的半径， 小圆的半径即到线段的距离，即， ∴圆环的面积为， 即线段扫过的面积为． 故选． 2．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为___________．    【答案】 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、求图形旋转后扫过的面积 【分析】根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而得出，再根据旋转可得旋转的圆心角为，半径，根据扇形面积的计算方法进行计算即可。 【详解】解：连接，如下图：    ∵， ∴ ∴， 又∵点为的中点， ∴， 弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，就绕着点逆时针旋转，扫过的部分为下图中的阴影部分，    由题意可得：， ∴，， 又∵， ∴， ∴ 扫过的部分的面积就是， 故答案为： 【点睛】本题考查勾股定理及逆定理，扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及勾股定理的逆定理是正确解答的前提． 3．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， ，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形，并写出点的坐标； (2)求扫过的面积是多少？（结果保留）． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、求图形旋转后扫过的面积、画旋转图形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查的是画旋转图形，求解扇形的面积，勾股定理的应用，熟练的画旋转图形是解本题的关键； （1）将点 A、B分别绕点O顺时针旋转得到其对应点，再与点O首尾顺次连接即可； （2）直接利用扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 点的坐标为； （2）∵， 如图，扫过的面积为扇形的面积， ∴． 【题型七】求弓形面积 【例7】（九年级上·江苏常州·期中）如图，扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题易得空白部分的三角形为等边三角形，先求出扇形和空白三角形的面积，由S阴影=S扇形-S△即可求解. 【详解】解：由扇形圆心角为60°可得空白部分的三角形为等边三角形， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查求不规则图形的面积，扇形面积的计算公式为． 【举一反三】 1．（九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，阴影表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，若，且，则的长为（　　　）    A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】A 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、求弓形面积 【分析】根据勾股定理得到AC2＋BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，AC2＋BC2＝AB2， ∵S1＋S2＝7， ∴×π×（）2＋×π×（）2＋×AC×BC−×π×（）2＝7， ∴AC×BC＝14， AB＝＝＝6， 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 2．（九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知的周长为，的长为，则的半径为 ，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 2 【知识点】求弧长、求弓形面积 【分析】根据圆周长公式即可求出圆的半径，设∠AOB=x，由弧长公式求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵⊙O的周长为4π， ∴⊙O的半径为， 设∠AOB=x， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：2；． 【点睛】本题主要考查了弧长公式，弓形面积，求出∠AOB=90°是解题的关键． 3．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，是的内接三角形，，，D 为延长线上一点，． (1)求证：是的切线； (2)如果的半径为 4，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、求弓形面积 【分析】 本题考查切线的判定和求弓形的面积： （1）圆周角定理结合等边对等角，求出，进而得到，即可得证； （2）连接，过点作，用扇形的面积减去三角形的面积求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴的度数为， ∴优弧的度数为：， ∴优弧所对的圆心角的度数为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）连接，过点作， 则：， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【题型八】求其他不规则图形的面积 【例8】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，正方形的边长为8，以为直径的半圆O交对角线于点E，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质求线段长、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，解题的关键是修改利用分割法求阴影部分面积．据图形可得，阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，代入面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【举一反三】 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求其他不规则图形的面积、求扇形面积 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先根据题意可知，，从而证明，最后根据阴影部分的面积=扇形的面积的面积，进行解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴弓形的面积=弓形的面积， ∴阴影部分的面积 =扇形的面积的面积 ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在扇形中，，点在上且垂直平分线段，为垂足，以为圆心，为半径作弧交于点，则阴影部分面积等于 ． 【答案】 【知识点】求其他不规则图形的面积、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查扇形面积的计算，线段的中垂线，根据中垂线的性质以及直角三角形的边角关系可得，再根据扇形面积、三角形面积以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可．掌握扇形面积的计算方法以及线段中垂线的性质是正确解答的关键． 【详解】解：如图，连接， 是的中垂线， ，， ，，， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，是的外接圆，是直径，过点作直线，过点作直线，两直线交于点，如果，的半径是． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)求图中阴影部分的面积（结果用表示）． 【答案】(1)与相切，证明见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积 【分析】本题主要考查切线的判定及扇形面积的计算，掌握切线的两种判定方法及扇形的面积公式是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得，，可判断为等腰直角三角形，所以，而，则有，然后根据切线的判定定理得到为的切线． （2）由，得到四边形为平行四边形，则，然后根据梯形的面积公式和扇形的面积公式，利用求得图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：与相切．理由如下： 连接，， 是直径， ． ． 为等腰直角三角形． 点为的中点， ． ， ． 为的切线． （2）∵，， ∴四边形为平行四边形． ∴． ． 好题必刷 一、单选题 1．如图，正方形中，分别以，为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图可知，树叶形图案的面积是两个圆心角为90°，且半径为a的扇形的面积与正方形的面积的差，可据此求出树叶形图案的面积． 【详解】解：树叶形图案的面积为： ． 故选：B． 【点睛】本题利用了扇形的面积公式，正方形的面积公式求解，得出树叶形图案的面积等于 是解题的关键． 2．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则 的长为（    ）    A．6π B．2π C．π D．π 【答案】D 【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，求出半径OB，再根据弧长公式求出答案即可． 【详解】解：∵直径AB=6， ∴半径OB=3， ∵圆周角∠A=30°， ∴圆心角∠BOC=2∠A=60°， ∴的长是=π， 故选：D． 【点睛】本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：半径为r，圆心角为n°的弧的长度是． 3．若一个圆锥侧面展开图的圆心角是270°，圆锥母线与底面半径之间的函数关系图象大致是(　　) A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到整理得，然后根据正比例函数图象求解． 【详解】解：∵圆锥侧面展开图的圆心角是， ∴， ∴，l是r的正比例函数． ∵， ∴图象符合B． 故选B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算正比例函数图象，掌握圆锥的侧面展开图的相关知识是解题的关键．圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 4．如图，在边长为6的正方形中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是（    ） A．9 B．6 C．3 D．12 【答案】A 【分析】设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，证明BE=CE，得到弓形BE的面积=弓形CE的面积，则． 【详解】解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠OCE=45°， ∵OE=OC， ∴∠OEC=∠OCE=45°， ∴∠EOC=90°， ∴OE垂直平分BC， ∴BE=CE， ∴弓形BE的面积=弓形CE的面积， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键． 5．如图，在扇形中，，将扇形沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则弧的长为（结果保留）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接OD．根据折叠的性质、圆的性质推知△ODB是等边三角形，则易求∠AOD=100°-∠DOB=40°；然后由弧长公式弧长的公式 来求的长即可． 【详解】解：如图，连接OD． 根据折叠的性质知，OB=DB． 又∵OD=OB， ∴OD=OB=DB，即△ODB是等边三角形， ∴∠DOB=60°． ∵∠AOB=100°， ∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=40°， ∴的长为 =2π． 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长的计算，翻折变换（折叠问题）．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．所以由折叠的性质推知△ODB是等边三角形是解答此题的关键之处． 6．如图，在中，，，以直角边为直径作交于点，则图中阴影部分的面积是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图连接OD、CD． ∵AC是直径， ∴∠ADC=90°． ∵∠A=30°， ∴∠ACD=90°﹣∠A=60°． ∵OC=OD， ∴△OCD是等边三角形． ∵BC是切线， ∴∠ACB=90°． ∵BC=， ∴AB=，AC=6， ∴S阴=S△ABC﹣S△ACD﹣（S扇形OCD﹣S△OCD） = =． 故选：A． 7．如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为(　　)    A．90° B．120° C．135° D．150° 【答案】B 【详解】解：∵圆锥的底面半径为3， ∴圆锥的底面周长为6π， ∵圆锥的高是6， ∴圆锥的母线长为 设扇形的圆心角为n∘， ∴ =6π， 解得n=120. 答：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°. 故选B. 点睛：本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角． 8．一电动玩具的正面是由半径为10cm的小圆盘和半径为20cm的大圆盘依右图方式连接而成的．小圆盘在大圆盘的圆周上外切滚动一周且不发生滑动（大圆盘不动），回到原来的位置，在这一过程中，判断虚线所示位置的三个圆内，所画的头发、眼睛、嘴巴位置正确的是（不妨动手试一试！）（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出小圆盘绕着大圆盘滚动一周时，小圆盘自转3圈，再根据三条长指针刚好把大圆盘平均分成3份，得到三条长指针所指的图象完全一致，即可判断答案． 【详解】当小圆盘绕着大圆盘滚动一周时，小圆盘自转 +1＝+1＝3圈， 大圆盘内的三条长指针刚好把大圆盘的角度平分， 所以三条长指针所指的图象完全一致，故排除C、D． 相邻两根长指针所指的图象与其中间的图象肯定不一致，故排除A． 只有B符合． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆的周长、弧长的计算，计算出小圆盘绕着大圆盘滚动一周时自转3圈和明确条长指针刚好把大圆盘平均分成3份是解决本题的关键． 9．如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，再由含30度角的直角三角形的性质得出．结合图形及题意得出，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵绕顶点A顺时针旋转度后得到， ∴． ∴． 故选A． 【点睛】题目主要考查不规则图形的面积及旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 10．如图，等边中，，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，作过A、B、F作⊙O，为点F的轨迹，然后计算出的长度即可． 【详解】解：如图：作过A、B、F作⊙O，过O作OG⊥AB ∵等边 ∴AB=BC，∠ABC=∠C=60° ∵ ∴△BCE≌△ABC ∴∠BAD=∠CBE ∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60° ∴∠ABE+∠BAD=60° ∴∠AFB=120° ∵∠AFB是弦AB同侧的圆周角 ∴∠AOB=120° ∵OG⊥AB，OA=OB ∴∠BOG=∠AOG=∠AOB=60°，BG=AB= ∴∠OBG=30° 设OB=x，则OG=x ∴，解得x=或x=-（舍） ∴的长度为． 故选B 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理以及圆周角定理，根据题意确定点F的轨迹是解答本题的关键． 二、填空题 11．若扇形的圆心角是，半径为，则该扇形的弧长为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧长公式，利用弧长公式：求解即可． 【详解】扇形弧长 故答案为：． 12．将长为20cm的铁丝首尾相连围成扇形，扇形面积为y（cm），扇形半径为x（cm），且0＜x＜10，则y与x的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意扇形的面积y＝， 故答案为：． 【点睛】此题考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是列出函数关系式是解题的关键． 13．已知扇形的弧长为，面积为，则此扇形的圆心角为 度． 【答案】60 【分析】本题考查求扇形的圆心角，根据扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为，圆心角的度数为， 由题意，得：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：60． 14．如图，AB是的直径，分别以点A和点B为圆心、AB长为半径作圆弧，两弧交于点C和点D．若，则图中阴影部分图形的周长和为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】阴影部分图形的周长为长和圆的周长，分别计算出即可求周长和． 【详解】 如图，连接AC，BC，AD，BD， , 同理 ． 阴影部分图形的周长和为： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长计算，圆的周长，等边三角形的判定和性质，求出弧所对的圆心角是解题的关键． 15．已知圆上一段弧长为4πcm，它所对的圆心角为100°，则该圆的半径为 cm． 【答案】7.2 【分析】设圆的半径为r cm，根据弧长公式列式计算即可． 【详解】解：设圆的半径为r cm， 则， 解得，r=7.2， 故答案为：7.2． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 16．如图，的半径为，是弦，以点为圆心，为半径画弧，交于点，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积，圆周角定理，连接，过点O作于点D，先得出，，推出是等边三角形，得出，得出，求出，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：连接，过点O作于点D， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 故答案为：． 17．如图，半圆O的直径AE=6，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】． 【分析】根据题意可知，图中阴影部分的面积等于扇形BOD的面积，根据扇形面积公式即可求解． 【详解】∵AB=BC，CD=DE，∴，，∴，∴∠BOD=90°，∴S阴影=S扇形OBD． 故答案为． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算及圆心角、弧之间的关系．解答本题的关键是得出阴影部分的面积等于扇形BOD的面积． 18．如图，AB是半圆O的直径，且AB=10，点P为半圆上一点．将此半圆沿AP所在的直线折叠，若恰好弧AP过圆心O，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】过点O作OD⊥BC于点D，交弧AP于点E，则可判断点O是弧AOP的中点，由折叠的性质可得OD=DE=R=，在Rt△OBD中求出∠OAD=30°，继而得出∠AOC，求出扇形AOC的面积即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：过点O作OD⊥BC于点D，交弧AP于点E，连接OP， 则点E是弧AEP的中点，由折叠的性质可得点O为弧AOP的中点， ∴S弓形AO=S弓形PO， 在Rt△AOD中，OA=OB=R=5，OD=DE=R=， ∴∠OAD=30°， ∴∠BOP=60°， ∴S阴影=S扇形BOP==π． 故答案为：π． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是作出辅助线，判断点O是弧AOP的中点，将阴影部分的面积转化为扇形的面积． 三、解答题 19．半径为5㎝，圆心角为72°的弧长是多少？ 【答案】6.28cm． 【分析】根据弧长公式求解即可． 【详解】， 所以半径为5㎝，圆心角为72°的弧长是6.28cm． 【点睛】本题考查了弧长问题，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 20．如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C＝90°，以AE为直径的⊙O切BC于点D (1)求证：AD平分∠BAC； (2)已知∠B＝30°，AD＝2，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析；(2) S阴影=2－. 【分析】（1）连接OD，可证明OD∥AC，结合平行线的性质可证得结论； （2）由直角三角形的性质可求得BD，再结合三角函数可求得OD，可求得△OBD和扇形OED的面积，可求得阴影部分面积． 【详解】（1）证明：如答图，连接OD. ∵BC为⊙O的切线，∴OD⊥BC. 又∵∠C＝90°，∴OD∥AC， ∴∠ODA＝∠DAC. 又∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠OAD＝∠DAC，即AD平分∠BAC. (2)解：∵∠B＝30°，∴∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝∠DAC＝30°，∴BD＝AD＝2. 在Rt△OBD中，tan B＝，即＝， ∴OD＝2，且∠BOD＝60°， ∴S阴影＝S△OBD－S扇形OED ＝×2×2－ ＝2－. 【点睛】本题考查切线的性质， 扇形面积的计算. 21．如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）当AB＝4，∠C＝30°时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．    【答案】（1）详见解析；（2）4． 【分析】（1）连接OD，利用三角形中位线的性质可以得到OD∥BC，然后根据DE⊥BC即可得到OD⊥DE，从而判断DE是圆的切线； （2）过点O作OF⊥AD，垂足为F，根据平行线的性质得出∠ADO的度数，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理得到∠AOD的度数和AD，OF的长度，然后利用扇形面积减去三角形面积即可求得阴影部分面积． 【详解】解：（1）连接OD，    ∵AB是⊙O的直径，D是AC的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥BC， ∵DE⊥BC， ∴OD⊥DE， ∵点D在圆上， ∴DE为⊙O的切线； （2）过点O作OF⊥AD，垂足为F，    ∵OD∥BC， ∴∠ADO＝∠C ＝30°， ∵OD＝OA， ∴∠OAD＝∠ODA＝30°， ∴∠A＝∠C，∠AOD＝120°， ∴AB＝BC＝4， ∵OD是△ABC的中位线， ∴OD＝2， OF＝， ∴AF＝ =3， ∴AD＝2AF=6， ∴S△AOD＝AD•OF＝×6×＝3， ∴阴影部分面积S＝﹣3＝． 【点睛】本题主要考查切线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理及扇形的面积公式，能够作出辅助线是解题的关键． 22．如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是．弧所对的圆心角是，这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小数点后一位）？ 【答案】8.5m 【分析】由弧长公式l＝得到关于R的方程，解方程即可 【详解】解：由l＝，可知R＝＝≈8.5（m）． ∴这段圆弧所在圆的半径R是8.5米． 【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l＝，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数． 23．半径为15cm，圆心角为72°的扇形面积是多少？ 【答案】141.3平方厘米 【分析】根据扇形的面积公式，在公式中代入圆心角和半径，计算即得结果． 【详解】解：由题意知扇形的圆心角是72°，半径为15cm， ∴扇形的面积是：（cm2）； ∴半径为15㎝，圆心角为72°的扇形面积是141.3平方厘米． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式的应用．解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式进行解题． 24．如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，若⊙O半径为3，PA=，求弧AB的长. 【答案】π 【分析】连接OA．根据切线的性质可得OA⊥PA,根据tan∠AOP可得∠AOP=600,最后根据弧长公式求出即可. 【详解】解:连接OA， ∵PA切⊙O于点A， ∴OA⊥PA， ∴在Rt△APO中，tan∠AOP= ∴∠AOP=600 ∴. 【点睛】此题主要考查学生对切线的性质及弧长公式的运用． 25．如图，⊙O的直径EF = 10 cm，弦AB = 6 cm，CD = 8 cm，且AB∥EF∥CD，求由线段AE、BE和组成的图形及由线段CF、DF和组成的图形（图中阴影部分）面积的和. 【答案】πcm2. 【分析】由已知条件得出BM=3cm，DN=4cm，运用三角函数关系进而求出：∠MOB与∠DON的度数，再借助扇形的面积公式，求出阴影部分的面积． 【详解】解： 作OM⊥AB，垂足为M，作ON⊥CD，垂足为N， ∵⊙O的直径EF为10cm，弦AB、CD分别为6cm、8cm， 且AB∥EF∥CD． ∴OA=OB=OC=OD=5cm， BM=3cm，DN=4cm， ∵△AOB与△AEB等底同高， ∴面积相等， ∴同理△OCD的面积等于△FCD的面积； tan∠MOB=，解得：∠MOB=36.87°， ∴∠AOB=73.74° ∵tan∠DON==， ∴∠DON=53.15°，∠COD=106.3°， ∴图中阴影部分面积之和为：==cm ²． 【点睛】此题主要考查了扇形的面积求法，得出△OCD的面积等于△FCD的面积，与△AOB与△AEB等底同高面积相等，是解决问题的关键． 26．如图，为的直径，，交于点D，交于点E，． (1)求的大小； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了圆周角定理，等边对等角，求不规则图形的面积，扇形面积计算公式，熟练掌握圆周角定理及扇形面积公式是解题的关键： （1）利用圆周角定理得到，从而求出，根据等边对等角求出，即可求出； （2）连接，根据求出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$